【文档说明】山东省菏泽市2023-2024学年高二1月教学质量检测数学试题word版含解析.docx，共(21)页，2.706 MB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年高二上学期教学质量检测数学试题2024.01注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间20分钟.2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答

题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无放，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()123,,2,3,3,23nxn==−−分别是平面,的法向量，若⊥，则x=（）A.7−B.1−C.1D.7【答案】D【解析】【分析】根据两个平面垂直，两个平面

的法向量也垂直，求解即可.【详解】因为⊥，所以12nn⊥，所以()()123332230nnx=−++−=，解得7x=.故选：D2.已知椭圆22221(0)xyabab+=的长轴长为4，离心率为22，则该椭圆的方程为（）A.22142xy+=B.2214x

y+=C.221168xy+=D.221816xy+=【答案】A【解析】【分析】根据长轴以及离心率即可求解.【详解】由长轴长为4，可得24a=，又离心率为22，即22cea==，解得2,2ac==，故222bac=−

=，所以椭圆方程为22142xy+=，故选：A3.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221(0,0)yxabab−=下支的一部分，且此

双曲线的渐近线方程为33yx=，则该双曲线的离心率为（）A.233B.2C.63D.3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的性质即可求.【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，且渐近线方程为33yx=，所以33ab=

，即3ba=，所以该双曲线的离心率为：222221132cabbeaaa+===+=+=.故选：B4.记nS为等差数列na的前n项和，若435123,2SSSa=++=，则5a=（）A.12−B.10−C.10D.12【答案】

B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式以及前n项求和公式求解即可.【详解】设等差数列na的公差为d，由43523SSS=++可得()43543SSSS−=−+，即453aa=+，所以543daa=−=−，又12a=，所以51421210

aad=+=−=−故选：B5.已知等比数列na的前n项和为12,12nSaa+=且123,6,aaa+成等差数列，则105SS为（）A.244B.243C.242D.241【答案】A【解析】【分析】首先根据条件求公比，再代入

等比数列的前n项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212aa+=且()13226aaa+=+，设等比数列的公比为q，则2111112aaqaqaaq+=++，得3q=，()()10110510555113131

313244131313aSSa−−−===+=−−−.故选：A6.欧拉函数()()*nnN的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数.例如()()11,42==.则下列结论正确的是（）A.()()1nn+B.()()22nn=C.数列()2n是等比

数列D.()()()734=+【答案】C【解析】【分析】根据题意，由特殊值，即可判断ABD，再根据等比数列的定义，以及欧拉函数，即可判断C.【详解】因为()32=，()54=，()62=，所以()()65，故A错误；且()()62

3，故B错误；因为所有偶数与2n不互素，所有奇数与2n互素，所以()122nn−=，()122nn+=，.所以()()1222nn+=，即数列()2n是等比数列，故C正确；()76=，()()34224+=+=，所以()()()734+，故D错误.故选：

C7.一平面截正四棱锥PABCD−，与棱,,,PAPBPCPD的交点依次为1111,,,ABCD，已知1111111,,,324PAPAPBPBPCPCPDPD====，则的值为（）A.19B.15C.25D.211【答案】B【解析】【分析】连接ACBD、相交于点O，连接PO，

以O为原点，分别以OAODOP、、所在的直线为xyz，，轴正方向建立空间直角坐标系，设,==OAaOPc，求出111111,,ABACAD，求出平面111ABC的一个法向量，利用110=nAD可得答案.【详

解】如图，在正四棱锥PABCD−中，连接ACBD、相交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，且ACBD⊥，以O为原点，分别以OAODOP、、所在的直线为xyz，，轴正方向建立空间直角坐标系，设()()0,0OAaaOPcc=

=，由1111111,,,324PAPAPBPBPCPCPDPD====，可得()111123,0,,0,,,,0,,0,,332244aacacAcBCDacc−−−，则11117,,,,0,3261212aacacABAC=−

−=−，11,,33acADac=−−−，设(),,nxyz=为平面111ABC的一个法向量，则11110326701212aacnABxyzacnACxz=−+−

==−+=，令1x=，则7=azc，3y=，可得71,3,anc=，所以11771,3,,,303333aacacaADnacaccc=−−−=−−+−=

，解得15=.故选：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和向量11AD的数量积为零求解.8.如图，12,FF分别为双曲线22221(0,0)xyabab−=的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且1AF2BF

，122::1:2:3AFAFBF=，则该双曲线的渐近线方程为（）A.30xy=B.30xy=C.360xy=D.3260xy=【答案】A【解析】【分析】连接1BF，根据双曲线定义及题干知12AFa=，24AFa=，26BFa=，18BFa=，根据1AF2BF，得1221coscosA

FFBFF=−，然后利用余弦定理建立方程求出3ba=，即可求解渐近线方程.【详解】连接1BF，因为212AFAF=，由双曲线的定义可得2112AFAFAFa−==，则24AFa=，26BFa=，1228BFBFaa=+=，

在12AFF△中，22222221122121124123cos282AFFFAFcacaAFFAFFFacac+−−−===，在12BFF△中，22222222121212124287cos2246BFFFBFcacaBFFBFFFacac+−

−−===，因为1AF2BF，所以1221180AFFBFF+=，所以1221coscosAFFBFF=−，所以22223726cacaacac−−=−，所以224ca=，即2224aba+=，所以3ba=，所以该双曲线的渐近线方程为3yx=即30xy=

.故选：A【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a、b求得比值，则焦点在x轴上时，渐近线方程为byxa=，焦点在y轴上时，渐近线方程为ayxb=；（2）构造齐次式：利用已知条

件结合222abc=+，构建ba的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在平面直角

坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：12:20,:40lxylxy++=++=，另一组对边3142:340,:340lxyclxyc−+=−+=.则下列命题正确的有（）A.1252cc−=B.与12,ll距离相等的点的轨迹方程为30xy++=C.该菱形一定有内切圆和外接圆D.若

直线1l经过抛物线22xpy=−的焦点，则2p=【答案】AB【解析】【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可判断A，设点的坐标利用点到直线距离列等式求解判断B，根据菱形有外接圆时为正方形判断C，根据焦点坐标求p判断D.【详解】对于A，因为菱形四条边都相等，所以

每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线20xy++=和40xy++=之间的距离为：222422211−==+，1340xyc−+=和2340xyc−+=之间的距离为：()121222534cccc−−=+−，于是有：1225cc−=，解得1252cc−=，正确；

对于B，设与12,ll距离相等的点为(),ab，则2222241111abab++++=++，所以()24abab++=−++，即30++=ab，所以所求点的轨迹方程为30xy++=，正确；对于C，若该菱形有外接圆，则菱形两条对角线的交点和外接圆的圆心重合，此时菱形的两条对角线与

圆的直径重合，故两对角线长相等，则对角线相等的菱形必然为正方形，则13ll⊥，而1331,4llkk=−=，所以13314llkk=−−，矛盾，故该菱形没有外接圆，错误；对于D，直线1:20lxy++=经过点()0,2−，即22xpy=−的焦点为()0,2−，所以

4p=，错误；故选：AB10.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果()2,1,4AB=−−，()4,2,0AD=，()1,2,1AP=−−，下列结论正确的有（）A.APAB⊥B.AP∥BDC.AP⊥平面ABCDD.四边形ABCD为矩形【答案】AC【解析】【分析】运用空

间向量数量积的坐标运算结合垂直关系逐项分析判断.【详解】由题意可知,,APABAD都是非零向量，对于A，()()()·1221140APAB=−+−+−−=，即APAB⊥，故A正确；对于C，()·1422

100APAD=−++−=，即APAD⊥，且,ABAD平面ABCD，ADABA=，所以AP⊥平面ABCD，故C正确；对于B，因为AP⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以APBD⊥，故B错误；对于D

，因为()()24124060ABAD=+−+−=，即,ABAD不垂直，故D错误；故选：AC.11.已知等差数列na的前n项和为nS，,,,pqst是互不相同的正整数，且pqst+=+，若在平面直角坐标系中有点()(

)()(),,,,,,,pqstApaBqaCsaDta，则下列选项成立的有（）A.直线AC与直线BD的斜率相等B.ABCD=C.22tptqsaaaaatptqs−−−=−−−D.pqstqSpSpqtSsS

st+=+【答案】ACD【解析】【分析】利用等差数列通项的性质与前n项和公式，验证各选项的结论.【详解】设等差数列na的公差为d，,,,pqst是互不相同的正整数，且pqst+=+，则有pqstaaaa+=+，sp

tqaaaadsptq−−==−−，直线AC的斜率spACaakdsp−==−，直线BD的斜率tqBDaakdtq−==−，A选项正确；()()()()222221qpABqpaaqpqpddqp+−=−+=−−=+−，()()()()222221ts

CDtsaatstsddts+−=−+=−−=+−，已知条件中不能得到tsqp−=−，B选项错误；tpaadtp−=−，()()()()()()()()22tqtstqsaaaaaaadtqdtsdtqstqtstqts−+−−−−+−===−−−+−−+−，22

tptqsaaaaatptqs−−−=−−−，C选项正确；()()()()()()111111222222pqpqpqstststpaaqaaqppqaaaqSpSpqsaataatSsSstaaastt

s++++++===++++++，D选项正确.故选：ACD12.O为坐标原点，以l为准线，F为焦点的抛物线C的方程为：24yx=.过F的直线交C于()()1122,,PxyQxy､两点，PDl⊥于,DQEl⊥于,EM为线段DE的中

点.下列选项正确的有（）A.ODE面积ODES的最小值为4B.21EQFDPFSxSx=C.直线PM与x轴交于T点，过点P作PM的垂线与x轴交于N点，则FTFN=D.24||PFQFDE，当且仅当PQ

x⊥轴时取等号【答案】BC【解析】【分析】设直线PQ的方程为1xmy=+，与抛物线方程联立，可得124yym+=，124yy=−，对A，12ODESDE=，而124DEyy=−，得解；对B，易得22EQFPDFSQFSPF=，又

21QFyPFy=，可判断；对C，设直线PT的方程求出点T的横坐标Tx，同理求出点N的横坐标Nx，结合111xmy=+，2111444yxmy==+，计算可得2TNxx+=可判断；对D，计算222121616DEyym=−=+，2

44PFQFm=+，从而可判断.【详解】根据题意，()1,0F，准线:1lx=−，设直线PQ的方程为1xmy=+，()11,Pxy，()22,Qxy，联立214xmyyx=+=，消去x整理得2440ymy−−=，2

16160m=+，124yym+=，124yy=−，()22121212416164DEyyyyyym=−=+−=+，当且仅当0m=时等号成立，1114222ODESDE==，故A错误；又PFPD=，

QEQF=，πDPFEQF+=，1sin2EQFSQEQFEQF=，1sin2PDFSPDPFDPF=，22EQFPDFSQFSPF=，又21QFyPFy=，222222211144EQFPDFSQFyxxSyxxPF

====，故B正确；易知()1,2Mm−，则直线PT的斜率为11121ymkx−=+，所以直线PT的方程为()112211ymymxx−−=++，令0y=，解得()112112Tmxxym−+=−−，因为直线PT与直线PN垂直，所以直线P

N的方程为()111112xyyxxmy+−=−−，令0y=，求得()111121Nyymxxx−=++，又111xmy=+，2111444yxmy==+，()()111111212121TNmxyy

mxxxymx−+−+=−++−+()()()()()322321111111221111421882221122224mmymymymmmyyymmyymmymymym+−+++−+−=−+++=−+−+−+()()212

144222mymy−+==−+，所以FTFN=，故C正确；()222212121241616DEyyyyyym=−=+−=+，()()()()121212121211111111PFQFxxxxxxmymymymy=++=+++=+++++++()2212122444myym

yym=+++=+，()222416164440DEPFQFmm−=+−+=，即24DEPFQF=恒成立，故D错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，综合性强难度大.选项A，由于12ODESDE=，所以只要求出DE的最小值即可判断；选项B，由三角形面积公

式结合抛物线定义可得22EQFPDFSQFSPF=，又21QFyPFy=，即可判断；选项C，设出直线PT与直线PN的方程求出,TNxx，结合111xmy=+，2111444yxmy==+，化简计算得2TNxx+=可判断；选项D，利用韦达定理分别计

算2DE，PFQF可判断.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线6:30lxy−−=被圆C：22240xyxy+−−=截得的弦长为__________.【答案】10【解析】【分析】首先求圆心到直线的距离，再代入弦长公式.【详解】圆()()22:125Cxy−+−=，圆

心为()1,2，半径为5，圆心()1,2到直线6:30lxy−−=的距离32610210d−−==，所以弦长为21025102−=.故答案为：1014.已知四面体,OABCD−是棱AB的中点，设,,OAaOBbOCc===，则CD=________（用向量,,ab

c表示）.【答案】1122abc+−【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】由于D是棱AB的中点，所以()()111111222222CDCACBOAOCOBOCOAOBOCabc=+=−+−=+−=+−.故答案为：1122abc+−

15.已知圆22670xyx++−=上恰有3个点到双曲线22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为______.【答案】355##355【解析】【分析】先求出圆的圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，结合已知列方程求得32bc

=，然后利用离心率公式求解即可.【详解】圆22670xyx++−=即()22316xy++=圆心为()3,0，半径为4，不妨取双曲线22221(0,0)xyabab−=一条渐近线为byxa=−即0bxay+=，由题意圆上恰有3点到直线0bx

ay+=的距离为2，只需圆心()3,0到直线0bxay+=的距离2232bdba==+，即32bc=，所以2253acbc=−=，所以该双曲线的离心率为35553cceac===.故答案为：35516.如果数列na满足以下两个条件，称该数列为“闭数列”.（1）已知数列na各项均为正

数，且单调递增；（2）数列na的前n项组成的集合记为12,,,nAaaa=，对于任意1ijn，如果ia、jaA，则jiaaA−.已知数列()12024ncn为“闭数列”，且1220242024ccc+++=，则1c=__________.【答案】22025【解析】

【分析】利用“闭数列”定义结合累加法可求出2024c的值，再次利用“闭数列”的定义结合累加法可求出1c的值.【详解】因为数列()12024ncn为“闭数列”，且1220242024ccc+++=，由题意得202412023ccc−=

，202422022ccc−=，202432021ccc−=，……202420222ccc−=，202420231ccc−=，等式两边叠加()2024123202312320232023ccccccccc−++++=++++，即()202420242

024202320242024ccc−−=−，所以，202440482025c=，同理可得202412023ccc−=，202312022ccc−=，202212021ccc−=，……312ccc−=，211ccc−=，等式两边叠加得()234202

4123420242023ccccccccc++++−=++++，即12024202420242024cc−=−，所以，20241220242025cc==.故答案为：22025.【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用“闭数列”的新定义，充分利用累加法，转化为关系与某些特殊项的方程进行求解.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的前n项和为nS，且()*2424,21NnnSSaan==+.的（1）求数列na的通项公式；（2）若3nnab=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=

−；（2）()3891nnT=−.【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量转化已知条件，求得首项和公差，即可求得通项公式；（2）根据（1）中所求，利用等比数列的前n项和公式，即可求得结果.【小问1详解】设等差数列n

a的公差为d，由244SS=，可得114684adad+=+；由221nnaa=+，令1n=，可得2121aa=+，即1121ada=++；解方程可得：11,2ad==，所以21nan=−.【小问2详解】因为3nnab=，由（1）得21nan=−，所以213nnb−=，又19nnbb+=

，故nb是首项为3，公比为9的等比数列，所以nb前n项和()()319911938nnnT−==−−.18.如图，1111ABCDABCD−是底面边长为1的正四棱柱.（1）已知点C到平面11ABD的距离为43，求正四棱柱1111ABCDABCD−的高；（2）在（1）的条件下，求平面11

ABD与平面1ABC所成角的余弦值.的【答案】（1）2（2）19【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解空间距离，即可求解，（2）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系，由1111ABCDABCD−

是底面边长为1的正四棱柱，设高为h，则()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,,0,0,ACBhDh，则()()()111,1,0,0,1,,1,0,ACABhADh=−==−，设平面11ABD的

法向量为(),,nxyz=则1100ABnADn==即00yzhxzh+=−+=,令1z=，则,yhxh=−=，则(),,1nhh=−已知点C到平面11ABD的距离为43，所以43ACnn=，即224321hh=+，解得2h=，所以正四棱柱1111ABCDABCD−

的高是2【小问2详解】设平面设平面1ABC的法向量为(),,mabc=，由（1）()()11,1,0,0,1,2ACAB=−=，则100ABmACm==，即200bcab+=−+=，令1b=，则11,2ac==−，即11,1,2m=−，由（1）知平面11ABD的法

向量为()2,2,1n=−设向量,mn得夹角为，则112cos9994mnmn−===−，所以平面11ABD与平面1ABC所成角的余弦值为1919.直线1y=与双曲线2213xy−=的两条渐近线交于AB､两点，12FF､分别为双曲线的左､右焦点.（1）求过点1ABF､､的圆的方程；（2）设

（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点P，求圆在点P处的切线方程.【答案】（1）224xy+=（2）1580xy+−=【解析】【分析】（1）联立方程求得AB､两点坐标，然后根据12OFOAOB===确定所求圆的圆心为原点，半径为2，从而求出圆的方程即可；（2

）联立双曲线与圆的方程求得点P的坐标，利用切线性质求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解.【小问1详解】由双曲线2213xy−=，得左焦点()12,0F−，又直线1y=与双曲线2213xy−=两条渐近线交于AB､两点，将1y=代入2203xy−

=，得3x=，所以AB､两点得坐标分别为()()3,1,3,1−，所以12OFOAOB===，则过点1ABF､､的圆的方程为224xy+=.【小问2详解】由（1）得圆的方程为224xy+=.解方程组2222413xyxy+

=−=得切点151,22P，的所以11215152OPk==，又过P点的圆的切线的斜率1OPkk=−，得15k=−，所以过P点的圆的切线方程为1151522yx−=−−

，即1580xy+−=.20.“天眼”探空､神舟飞天､高铁奔驰､北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹.为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利20%，每年年底需从利润中取出200亿元

作为研发经费.设经过n年之后，该项目资金为na亿元.（1）写出1a的值，并求出数列{}na的通项公式.（2）求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标.（取lg20.3,lg30.5）【答案】（1）

12200a=，16120010005nna−=+；（2）5年.【解析】【分析】（1）根据题意，容易求得1a；结合已知条件，求得1,nnaa+之间的递推关系，构造等比数列，即可求得na；（2）令4000na

，结合对数运算以及参考数据，即可求得结果.【小问1详解】由题意知()12000120%2002200a=+−=，而且()16120%2002005nnnaaa+=+−=−.可知()166100020010001000,55nnnaaa+−=−−=−又因1100012000

a−=，所以可知10000na−，从而可知1000−na为等比数列.因此()11166100010001200,55nnnaa−−−=−=所以16120010005nna−=+.【小问2详解】令4000na，可得16552n−

，因此()()65121lglg,1lg12lg25210nn−−−，所以12lg214lg32lg21n−−=+−，因此5n.即至少要经过5年，项目的资金才可以达到或超过翻两番的目

标.21.已知数列na的首项为1a，前n项和为nS，且()12nnSaan=+.（1）求证：数列na为等差数列.（2）若数列na公差为122391011111,0,32naaaaaaa+++=，当10nSn+取最小值时，求n的值.【答案】（1）证明见解析（2）8

【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn−==−得到()()1121nnnanaa−−=−−，再结合()111nnnanaa+−=−，得到11nnnnaaaa+−−=−，证明出结论；（2）裂项相消

法求和得到方程，求出13a=，进而得到10160176nSnnn+=++，由单调性得到当8n=时，10nSn+取最小值.【小问1详解】对于()()()11112,2,21nnnnnSaanSaan−

−=+=+−，两式相减，得()()1121nnnanaa−−=−−，为递推可得：()111nnnanaa+−=−，两式相减：得()()()111121nnnnanana+−−+−=−，所以11nnnnaaaa+−−=−所以11221nnnnaaaaaa−−−−=−==−，即

na为等差数列.【小问2详解】因为na公差为13，所以111113nnnnaaaa++=−，故122391012239101101111111111133aaaaaaaaaaaaaa+++=−+−++−=−11

11111113313293aaaa=−=−=++，整理得2113180aa+−=，解得13a=或16a=−（舍去），即()211173236nnnnnSn−+=+=，则21017601601766nSnnnnnn+++==++

，由对勾函数性质可知，当7n时，数列单调递减，当8n时，数列单调递增，当7n=时，10387nSn+=；当8n=时，106512nSn+=，由于3865712，故当8n=时，10nSn+取最小值.22.已知两圆2

22212:20,:280CxyxCxyx++=+−−=.一动圆与圆1C相外切，与圆2C相内切.设动圆的圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）,AB为曲线C上的两动点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，直线AB的斜率为k，其中k为12,kk的等比中项，以OA为直径

的圆的面积为1S，以OB为直径的圆的面积为2,SOAB的面积为S，求12SSS+的最小值.【答案】（1）22143xy+=（2）73π12【解析】【分析】（1）由圆与圆的位置关系，结合椭圆的定义，及看看求解；（2）首先设直线():0ABykxmm=

+，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示212kkk=，化简后求k的值，并利用坐标和韦达定理表示12SS+和S，并根据m的取值，求面积比值的最值.【小问1详解】设动圆圆心为P，半径为R圆1C的圆心为()1,0−，半径为1，圆2C的圆心为()1,0，

半径为3，则11PCR=+，23PCR=−，则124PCPC+=，根据椭圆的定义，知动圆圆心的轨迹为：以()()1,01,0−为焦点，长轴为4的椭圆，即22143xy+=；【小问2详解】设直线()()()

1122:0,,,ABykxmmAxyBxy=+，223412xyykxm+==+，得()2223484120kxmkxm+++−=①，()()222221212228412Δ644344120,,4343mkmmkkmxxxxkk−−=−+−+==++，由212kkk=得21

212yxxyk=，得()()12212kxmkxmkxx++=，所以：()2120kmxxm++=.即22843kk=+，得32k=.代回①式，得226434120xmxm++−=，由0，得66m−.2121223263

3mmxxxx−+==，()()22222212112211ππ44SSOAOBxyxy+=+=+++()22222121212121π117π31316π4444424xxxxxxxx

=++−+−=+−+=，()()222121212122111442221mmSABdkxxxxxxxxk==++−=+−+2224436233mmmm−=

=−所以()1222222273173173173ππππ444126662SSSmmmmmm+===−−+−.（当且仅当3m=时取等）