【文档说明】黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第二次检测数学（理）试题含答案.docx，共(10)页，492.024 KB，由小赞的店铺上传

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大庆四中2019～2020学年度高三年级第二次校内检测数学（理科）试题考试时间：120分钟分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i是虚数单位，

则复数5(2)zii=+的虚部为（）A．2−B．2C．1−D．2i−2．已知集合{|24}MxNx=−，1{|0}3xNxx+=−，则集合MN中元素的个数是（）A．1B．2C．3D．43．已知向量,ab满足1,228==，（+）（-）=-ababab，则a与b的夹角为（）A．2B．3

C．4D．64．已知(,)22−，且cos22sin21=−，则tan=（）A．12−B．2C．2−D．125．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．172B．9C．192

D．106．已知F1，F2为椭圆E的左、右焦点，点M在E上（不与顶点重合），△MF1F2为等腰直角三角形，则E的离心率为（）A．21+B．21-C．312−D．312+7．已知数列na满足13a=，1110nnnaaa++++=，则2019a=（）A．43−B．14−C．3−D．38

．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成31n+；如果n是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最

后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4﹣2﹣1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为（）A．5B．16C．5或32D．4或5或329．已知l，m是平面α外的两条不同直线，给出以下三个

命题：①若l⊥m，m∥α，则l⊥α；②若l⊥m，l⊥α，则m∥α；③若m∥α，l⊥α，则l⊥m．其中正确命题的个数是（）A．3B．2C．1D．010．已知实数,xy满足1,210,0,yyxxym−++−如果目标函数zxy=−的最小值为1−，则实数m等

于（）A．3B．4C．5D．711．已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab−=的一条渐近线恰好是曲线222:2220Cxyxy+−−=在原点处的切线，且双曲线1C的顶点到渐近线的距离为263，则曲线1C的方程为（）A．221128xy−=

B．221168xy−=C．2211612xy−=D．22184xy−=12．已知函数1()()()4xfxeaax=−+，若()0()fxxR恒成立，则满足条件的实数a的个数为（）A．3B．2C．1D．0第II卷二．填空题（本大题共4小

题，每小题5分，共20分）13．2(sin3)xxdx−+=．14．已知函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当01x时，2()logfxx=，则5()(2)2ff−+=．15．如右图是各棱长均相等的某

三棱锥表面展开图，Q是DF的中点，则在原三棱锥中BQ与EF所成角的余弦值为．16．过抛物线24yx=焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为C，D．若|AF|＝4|BF|

，则|CD|＝．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出过程）17.（本小题满分10分）如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥底面ABCD，ABAC⊥，1AB=，12ACAA==，5ADCD==，且点M和N分别为1BC和1DD的中点.（1）求证：//MN平

面ABCD（2）求二面角11DACB−−的正弦值.18.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2222sinsinsinbcaBAbcC+−−=.（1）求角C的值；（2）若6ab+=，当边c取最小值时，求△ABC的面积．19

.（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，且12nnaS+=+对一切正整数n恒成立.（1）求当1a为何值时，数列na是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，若数列nb满足1

(1)(1)nnnnabaa+=++，求数列nb的前n项和nT.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线4:2xyC=与直线()0:+=aakxyl交于NM,两点.（1）当0=k时，分别求曲线C在点M和点N处的切线方程；（2）

y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有OPNOPM=？说明理由.21.（本小题满分12分）已知mR，函数2()2xfxmxe=−．（Ⅰ）当2m=时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若()fx有两极值点,()abab，（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：()2efa−−．2

2.（本小题满分12分）已知直线1C:1cossin,，xtyt=+=（t为参数），圆2C:cos,sin,xy==(为参数)，（1)当=3时，求1C与2C的交点坐标；（2）过坐标

原点O作1C的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．大庆四中2019～2020学年度高三年级第二次校内检测数学（理科）试题答案123456789101112ACBDBBACBCDA13.3214.115.3616.517.解：Ⅰ

证明：如图,以A为坐标原点,以AC、AB、所在直线分别为x、y、z轴建系,则0,,1,,0,,,0,,1,,0,,,又、N分别为C、的中点,,．由题可知：0,是平面ABCD的一个法向量,,,平面ABCD,平面ABCD；Ⅱ解：由可知：,0,,1,,设y,是平面的法向量,由,得,取,得1,,设y,是平

面的法向量,由,得,取,得,,,,,二面角的正弦值为.…………（10分）18.解：18.解：………（12分）19.解：………（12分）20.解：Ⅰ由题设可得,,或,．又2xy=,故在处的导数值为,C在点处的切线

方程为,即．在处的导数值为,C在点处的切线方程为,即．故所求切线方程为和．Ⅱ存在符合题意的点,证明如下：设为符合题意的点,,,直线PM,PN的斜率分别为,．将代入C的方程得．故,．从而．当时,有,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPMOPN=.所以点

符合题意．--------12分21.解：（Ⅰ）2m=时，2()22xfxxe=−，()422(2)xxfxxexe=−=−．令()2xgxxe=−，()2xgxe=−，····························································

························2分当(,ln2)x−时，()0gx，(ln2,)x+时，()0gx∴()(ln2)2ln220gxg=−≤．∴()0fx．∴()fx在(,)−+上是单调递

减函数．···········4分（Ⅱ）若()fx有两个极值点,()abab，则,ab是方程()220xfxmxe=−=的两不等实根．解法一：∵0x=显然不是方程的根，∴xemx=有两不等实根．···································6分令()xehxx=，

则2(1)()xexhxx−=当(,0)x−时，()0hx，()hx单调递减，()(,0)hx−(0,1)x时，()0hx，()hx单调递减，(1,)x+时，()0hx，()hx单调递增，要使xemx=有两不等实根，应满足(1)mhe=，∴m的取值范围是(,

)e+．（注意：直接得()hx在(,1)−上单调递减，(1,)+上单调递增扣2分）．·····················8分∵2()2afamae=−，且()220afamae=−=2()22(2)aaaaaefaaea

eeeaa=−=−=−，∵(0)20h=−，()hx在区间(0,ln)m上单调递增，(1)2()0hme=−，∴(0,1)a设()(2)(01)xxexx=−，则()(1)0xxex=−，()x在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)ffaf即()2efa−−

．······································································12分解法二：()()22xhxfxmxe==−，则,ab是方程()0hx=的两不等实根．∵()2()xhxme=−，当0m≤时，()0h

x，()hx在(,)−+上单调递减，()0hx=不可能有两不等实根当0m时，由()0hx=得lnxm=，当(,ln)xm−时，()0hx，(ln,)xm+时，()0hx∴当max()(ln)2(ln)0hxhmmmm==−，即me时，()0hx

=有两不等实根∴m的取值范围是(,)e+．·······················8分∵2()2afamae=−，且()220afamae=−=2()22(2)aaaaaefaaeaeeeaa=−=−=−，∵(0)20h=−，()

hx在区间(0,ln)m上单调递增，(1)2()0hme=−，∴(0,1)a设()(2)(01)xxexx=−，则()(1)0xxex=−，()x在(0,1)上单调递减∴(1)()(0)ffaf即()2efa−

−．······································································12分22.解：（Ⅰ）当3=时，1C的普通方程为3(1)yx=−，2C的普通方程为221xy+=。联立方程组223(1)1yxxy=

−+=，解得1C与2C的交点为（1,0）1322−，。（Ⅱ）1C的普通方程为sincossin0xy−−=。A点坐标为()2sincossin−，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：()21sin21sinco

s2xy==−为参数P点轨迹的普通方程为。故P点轨迹是圆心为104，，半径为14的圆。………（12分）2211416xy−+=