【文档说明】安徽省池州市东至二中2020-2021学年高二下学期期末考试文科数学试题 含答案.docx，共(13)页，707.950 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第二学期期末考试卷高二文科数学满分：150分考试时间；120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑

色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效。4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：共12小题，每

小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=Z，集合2,Ayyy=−Z，则UA=ðA.2yyB.2,yyyZC.2yy−D.2,

yyy−Z2.已知i为虚数单位，复数z满足()23i32iz+=−+，则z为A.iB.-iC.1+iD.1-i3.函数()22xxfx=的图象大致是A.B.C.D.4.某人在网上购买了100只青岛产的虾，

开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：中小虾大虾白色4015灰色2025则可以认为大虾与其颜色有关的概率参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabc

d=+++.()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.至多为99.9%B.至少为99.5%C.至多为0.5%D.至少为0.1%5.执行如图所

示的程序框图，输出的结果为A.4B.8C.16D.646.若点()1,2P在双曲线()22210xyaa−=的一条渐近线上，则它的离心率为A.52B.2C.5D.257.在平行四边形ABCD中，设CBa=，CDb=，E为A

D的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则AF=A.3144ab−−B.3144ab−+C.1344ab−−D.1344ab−8.如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧ODC相切于D，已知矩形的长和宽分别为23和1

，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为A.4B.57C.31182+D.23192−9.小张于2020年1月5号申请到了10万的无息创业贷款，约定：2021年的1月5号开始还贷，每月还贷额比

上一次多10%，于2022年的12月5号还清，则小张第一次应该还贷约为注意：231.18.9543，241.19.8497，251.110.8347A.1017元B.1130元C.1257元D.4

167元10.若连续函数()fx，()gx的定义域为同一闭区间，则xR，满足：()(),fxmgxm是()()fxgx成立的A.充分必要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D.不充分不必要条件11.动点P，Q分别在函数()exfxx

=+，()22gxx=−的图象上运动，则PQ的最小值为A.2B.524C.355D.512.定义()1,0,sgn0,0,1,0,xxxx==−，()intx为不超过x的最大整数，例如()int3.13=，()

int11=，()int1.62−=−，若区间,mn（nm−为正整数）在数轴上任意滑动，则区间,mn覆盖数轴上整数的个数为A.()()()1intsgnnmnn−+−−B.()()()intsgnnmnn

−+−C.()()()1sgnintnmnn−+−−D.()()()1sgnintnmnn−++−二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。13.sin117sin243+的值为____________

__.14.已知实数x，y满足不等式组1,1,21,yxyxyx+−−−，若13zxy=+，则z的最大值为_______________.15.直线l过定点()2,1，且与双曲线2214xy−=有且只有一个公共点，则这样的不同直

线的条数为_______________.16.在四棱锥PABCD−中，若2PAABAD===，22223BCDPABPADBAD====，则四棱锥PABCD−外接球表面积为________________.三.解答题：共6小题，共70

分。解答应写出文字说明、证明过程和解题步骤。17.在等差数列na中，已知1a，3a分别为复数28zi=+的实部与虚部.（1）求na的通项公式；（2）令13nnnbaa+=，求数列nb的前n项和

nS.18.在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，23A=.（1）若2c=，4B=，AD平分角A交BC于D，求AD的长；（2）若b，c为函数()2101fxxx=−+的两个不同的零点，求BC边上的高.

19.小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：项目A利润占投入的百分比10%5%-5%频率50%40%10%项目B利润占投入的百分比10%5%-5%频率40%xy项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替，但调研时发现：投资A，B

这两个项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响.（1）求x，y的值，并分别求投资A，B项目不亏损的概率；（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资.现在小张与投资方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请

你从统计学的角度给出一个建议，并阐述你的理由.20.如图所示，在四棱锥PABCD−中；底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD，ADBC∥，22222BCADABDCPA=====，对角线AC与BD交于O点，连接PO.（1）

求证：ACPB⊥；（2）求三棱锥CPOB−的体积.21.函数()gx的图象为曲线xye=关于直线yx=的对称曲线，()()1xaefxgxe−−，设()fx为函数()fx的导函数.（1）当1a=时，求()fx

的零点；（2）1a时，设()fx的最小值为()ha，求证：()0ha.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线2214xy−=的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P，M，N的

三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且2POOQ=，试判断PMN△的面积是否为定值，并说明理由.2020-2021学年第二学期期末考试高二文科数学参考答案1.【答案】D【解析】由题意可知，2,UAyyy=−Zð，所以选D.2.【答案】A【解析】因为()23i32iz+=−+，所以()

i23i32ii23i23iz+−+===++.3.【答案】A【解析】()22xxfx=为偶函数，图像关于y轴对称，所以排除D，又()21f=，排除B，C，所以选A.4.【答案】B【解析】补成如下的2×2列

联表：中小虾大虾合计白色401555灰色202545合计6040100所以()22100402520158.2497.87960404555K−=，所以我们认为大虾与其颜色有关的概率至少为99.5％。5.【答案】B【解析】最后输出的结果为211228=.6.【答案】C【

解析】双曲线2221xya−=的渐近线方程为xya=，因为点()1,2P在双曲线2221xya−=的一条渐近线上，所以12a=，所以12a=，所以它的离心率为2112512ca+==.7.【答案】A【解

析】如图，在AD上取G点，使得AGGEED==，在BC上由左到右取K，H，使得BKKHHC==，连接AK，GH，则AKGHEC∥∥，因为DEBC∥且13DEBC=，所以14DFDB=（相似比），所以4DBDF=，所以()131444AFADDFaabab=+=−+−

=−−.8.【答案】D【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为23和1，所以23OC=，拱高为1，所以23OEC=，2EO=，所以图中阴影部分的面积2243333S=−=−阴影，

又矩形OABC的面积为23，所以质点落在图中阴影部分的概率为432313922323−=−.9.【答案】B【解析】设小张第一次应该还贷a万元，则()2411.11011.1a−=−，所以24100.110.1130

1.119.84971a==−−.10.【答案】B【解析】若mR，满足：()(),fxmgxm，则mR，()()fxmgx，所以()()fxgx，所以是充分的；若1,ex，

则()lnfxx=，()ln1gxx=+，显然()()fxgx，但不存在m，满足：()(),fxmgxm，所以不是必要的.11.【答案】C【解析】()exfxx=+，∴()e1xfx=+，设动点()00,Pxy，当()

yfx=在P点处切线与()22gxx=−平行，过点P作直线垂线，垂足为点Q时，PQ取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线220xy−−=的距离是PQ的最小值.令()00e12xfx=+=，解得00x=，故()0,1P，所以min123555

PQd−−===.12.【答案】C【解析】因为nm−为整数，所以当n为整数时，m也为整数，所以此时,mn覆盖数轴上1nm−+个整数，当n不是整数时，m也不是整数，所以此时,mn数轴上覆盖nm−个整数，可以验证：区间,mn覆盖数轴上整数的个数为()()()1sgnintnmnn−+−−，

所以选C.13.【答案】0【解析】()sin117sin243cos27cos270+=+−=.14.【答案】113【解析】作出不等式组1,1,21,yxyxyx+−−−1133zxyyx

z=+=−+所对应的可行域如图，其中()2,3C，当且仅当动直线过点()2,3C时，则z的最大值为113.15.【答案】2【解析】因为点()2,1在渐近线上，所以这样的不同直线ｌ的条数为2，一条与渐

近线平行，另外一条（此时斜率不存在）与双曲线相切.16.【答案】3【解析】因为3BAD=，23BCD=，所以AC+=，即四边形ABCD四点共圆，四棱锥PABCD−的外接球与三棱锥PABD−的外接球

为同一个，又2PAABAD===，3PABPADBAD===，所以三棱锥PABD−为正四面体，如图，构造棱长为1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外接球半径32R=，所以外接球表面积3

S=.17.【解析】（1）设公差为d，因为1a，3a分别为复数28iz=+的实部与虚部，所以12a=，38a=.所以282d=−，所以3d=，所以()()1123131naandnn=+−=+−=−，即na的通项公式为31nan=−；（2

）11311nnnnnbaaaa++==−所以12nnSbbb=+++12231111111111111323264nnnnaaaaaaaann++=−+−++−=−=−=++

.18.【解析】（1）因为62sinsinsinsincoscossin23434344ABDAB+=−−=+=+=，在三角形ABD中，由正弦定理得，sinsinADcBBDA=，因为2c=，4B=，所

以()22sin2231sin624cBADBDA===−+；（2）因为b，c为函数2101yxx=−+的两个不同的零点，所以10bc+=，1bc=，在三角形ABC中，由余弦定理得，()()222

2cos21cos3abcbcAbcbcA=+−=+−+=，设BC边上的高为h，因为12ABCSah=△，1sin2ABCSbcA=△，所以11sin22ahbcA=，所以3sin3236bcAha===.19.【解析】（1）投资项目A的平均利润率

为10%50%5%40%5%10%0.065+−=，投资项目B的平均利润率为()()10%40%5%5%10%40%5%60%10%40%5%260%xyxxx+−=+−−=+−，因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同，所以()10%40%5%260%0.

065x+−=，解得0.55x=，0.05y=，所以投资A项目不亏损的概率为50%40%90%+=，投资B项目不亏损的概率为40%55%95%+=；（2）考察角度一：由（1）得，投资B项目不亏损的概率比较大，故建议投资B项目.考察角度二：投资A项目利润率的方差为(

)()()22310%6.5%50%5%6.5%40%56.5%210%202510−−+−+−−=％.，投资B项目利润率的方差为()()()222310%6.5%40%%6.5%55%5%65%5%127510−−

+−+−−=5..，所以投资A项目利润率的方差大于投资B项目利润率的方差，即投资B项目的利润比较稳定，为此建议投资B项目.20.【解析】（1）延长BA、CD交于一点Ｒ，因为ADBC∥，2222BCADABDCA====，所以RBC△为正三角形，且AD为三角形RBC的中位线，即A为BR边

的中点，所以CABA⊥，因为PA⊥底面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC⊥，因为ABPAA=，所以AC⊥平面PAB，PB平面PAB，所以ACPB⊥；（2）三棱锥CPOB−即三棱锥POBC−.因为ADBC∥，所以12DOADOBBC==，由（1）得，123322323BOCS=

=△，因为PA⊥底面ABCD，1PA=，所以三棱锥CPOB−的体积即三棱锥POBC−的体积1331339POBCV−==.21.【解析】函数()()eln1exafxxa=−−R的定义域为()0,+，()e11eexxaafxxx−

=−=−为()0,+上的增函数.（1）当1a=时，()1e11eexxfxxx−=−=−，()1111e01f−=−=因为()11exfxx−=−为()0,+上的增函数，所以()fx在()0,+上有唯一的零点1；（2）当1a时，()110faa=−，()1011ee1

01af−=−−=，因为()1exafxx−=−为()0,+上的增函数，所以()1exafxx−=−在()1,a上有唯一的零点0x，且0x为函数()fx的极小值点，所以()()000001eln

1ln1xahafxxxx−==−−=−−，因为()01,xa，()0001ln1txxx=−−为()1,a上的减函数，所以()()010txt=，即()0ha.22.【解析】（1）因为椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，所以2ac=，其中22cab=+双曲线221

4xy−=的两条渐近线的方程为2xy=，设FGt=，则2OFt=，因为三角形OEG的面积为1，所以12212tt=，所以22t=.22cOFt===，22ac==所以椭圆C的方程为22142xy+=；

（2）①当直线MN的斜率不存在时，因为2POOQ=，所以()1,0Q−，此时MN的方程为1x=−；或()1,0Q，此时MN的方程为1x=.将1x=−，代入椭圆方程22142xy+=得，61,2M−，61,2N−−所以PMN△

的面积为113663222MNPQ==，由椭圆轴对称性得：当MN的方程为1x=时，PMN△的面积也为362；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为ykxm=+，设()11,Mxy，()22,Nxy，()33,Pxy，因为MN的中点为Ｑ，且2POOQ=，所以PMN

△的重心是坐标原点Ｏ，所以1231230,0,xxxyyy++=++=联立ykxm=+和22142xy+=，得()222214240kxkmxm+++−=，()22824km=+−△当0△时，122421kmxxk−+=+，21222421mxxk−=+所以3242

1kmxk=+，()()3121222221myyykxxmk=−+=−+−=−+，故2242,2121kmmPkk−++，因此点P的椭圆上，所以代入椭圆整理得22212km+=，满足0△，因而m与k满足的等式关系为22212km+

=①，当时0△时，()2212228242121kmxxkk+−−==++△，因为PMN△的重心是坐标原点Ｏ，所以PMN△的面积为OMN△的面积的3倍，设直线l与y轴交与点D，则()0,Dm.那么PMN△的面积为()()2221223824132221mkmODxxk+−−

=+关系式①代入得362S=，综合①②得，PMN△的面积为定值362.