【文档说明】【精准解析】东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试数学（文）试题.doc，共(22)页，1.669 MB，由小赞的店铺上传

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2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,

4,5,6,7U=，集合2,3,5,7A=，1,2,4,6B=，则()UAB=ð（）A.2,5,7B.3,5,7C.3D.5,7【答案】B【解析】【分析】先由已知得到{3,5,7}UCB=，再与A求交集即可.【详解】由已知，

{3,5,7}UCB=，故(){3,5,7}UACB=.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.已知2(1)=1iiz+-，则复数z=()A.1i+B.1i−C.1i−−D.1i−+【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算，即可求得复数

z.【详解】因为2(1)=1iiz+-，故可得()()()()2121211111iiiiziiiii++====−+−−−+.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.3.nS为等差数列na的前n项和，若150S=，则8a=()

A.－1B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据15815Sa=，即可容易求得.【详解】因为数列na是等差数列，故可得15815Sa=，又150S=，故可得80a=.故选：B.【点睛】本题考

查等差数列前n项和的性质，属基础题.4.设x是实数，“0x”是“11x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解分式不等式，根据

充分性和必要性即可容易求得.【详解】因为11x，即可求得()(),01,x−+，故0x是11x的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记

载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积2136VLh的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V

Lh相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A.227B.15750C.289D.337115【答案】C【解析】【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213Vrh==23(2)112rh，解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则213Vrh=，又2233(2)112112VL

hrh=，故23(2)112rh213rh，所以，11228369=.故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三

类，分别记为a，b，c；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为A，B，C.为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500gk生活垃圾，数据

统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为()ABCa2001040b1512020c155030A.2350B.14C.950D.310【答案】D【解析】【分析】先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可.【详解】根据题意，投放正确的概率为20012030

?750010++=，故投放错误的概率为7311010−=.故选：D.【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题.7.已知曲线3211()532fxxx=+−在点(1,(1))f处的切线的倾斜角为，则2co

s2sin2cos=+()A.12B.35-C.2D.85【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得tan，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.【详解】因为3211()532fxxx=+−，故可得()2fxxx=+，则切线的斜率()12tanf

==；又因为2cos2sin2cos=+2222cossin1tan1432cos21415sincostan−−−===−+++.故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及已知正切值求齐次式的值，属综合

基础题.8.已知函数232,0()log,0xxfxxx+=，若函数|()|yfxm=−的零点恰有4个，则实数m的取值范围是()A.33,102B.(0,2C.20,3D.31,2【答案】B

【解析】【分析】画出函数()yfx=的图像，数形结合即可容易求得.【详解】因为232,0()log,0xxfxxx+=，故可得()yfx=的图像如下：若函数|()|yfxm=−的零点恰有4个，即(

)yfx=与ym=有4个交点，故(0,2m.故选：B.【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题.9.设等比数列na满足()211047220aaaa+=+，则56aa的最大值为()A.5B.4C.10D.5【答案】C【

解析】【分析】根据等比数列的下标和性质，即可容易求得2211020aa+=，再根据均值不等式即可容易求得.【详解】因为数列na是等比数列，又()211047220aaaa+=+，故可得22110110472220aaaaaa++=+，即2211020aa+=，

又56aa110aa=，又22110110102aaaa+=，当且仅当11010aa==时，取得最大值..故选：C.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.10.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O.剪

去AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA、OB重合，则以()AB、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为()A.86B.24C.6D.48【答案】A【解析】【分析】根据题意，还原出几何体，结合几何体的特点，即可容易求得.【详解】根据题意，为方便说明

问题，将几何体从正方体中截取出来如下所示：容易知三棱锥AODC−和棱长为22的正方体有相同的外接球.则外接球的半径32262r==，故其外接球体积34863Vr==.故选：A.【点睛】本题考查几何体的还原以及外接球的求解，本题中

从正方体中截取几何体是解决问题的关键.11.已知双曲线1C：22221xyab−=（0a，0b）的离心率为5，抛物线2C：22ypx=（0p）的准线经过1C的左焦点.若抛物线2C的焦点到1C的渐近线的距离为2，则2C的标准方程为()A.222yx=B.24yx=C.220yx=D.245y

x=【答案】D【解析】【分析】根据题意，双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得.【详解】根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，又因为抛物线2C的焦点到1C的渐近线的

距离为2，故可得2b=（根据点(),0c到直线byxa=的距离公式，即可容易求得）又因为5ca=，解得5c=，则52p=.则抛物线的方程为245yx=.故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解，涉及抛物线的渐近线，属综合基础题.12.已知函数211

()1||xfxex+=−+，则使(2)(1)fxfx+成立的x的取值范围是()A.1,(1,)3−−+B.(1,)−+C.1(,1),3−−+D.1,13【答案】A【解析】【分析】根据()f

x是偶函数，且当0x时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式.【详解】因为()()2111xfxfxex+−==−+，且其定义域为R，故()fx是偶函数；又当0x时，()211xxfxex+=−+是单调增函数，则x0时，(

)fx是单调减函数.故(2)(1)fxfx+等价于21xx+，整理得()()3110xx+−，解得()1,1,3x−−+.故选：A.【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的

性质.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.设向量()()2,2,,1abm==−，若a与b共线，则m=________.【答案】2−【解析】【分析】根据向量共线的坐标公式，即可容易求得参数.

【详解】因为()()2,2,,1abm==−且a与b共线故可得22m=−，解得2m=−.故答案为：2−.【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属基础题.14.一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组

、第五组的频率都为15，则该样本第四组的频率为________.【答案】1135【解析】【分析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.【详解】因为样本容量为70，根据题意可得：第一组和第三组的频率为84126,

70357035==.根据频率之和为1，即可求得：第四组的频率为4621113535535−−−=.故答案为：1135.【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.15.若函数()sin23cos2fxxx=−的图像向左平移8个单位得到函数()gx的图像.则()gx在区

间3,88−上的最小值为________.【答案】3−【解析】【分析】注意平移是针对自变量x，所以()()8gxfx=+=2sin(2)12x−，再利用整体换元法求值域（最值）即可.【详解】由已知，()sin23cos22sin(2)3fxxx

x=−=−，()()8gxfx=+=2sin[2()]2sin(2)8312xx+−=−，又3,88x−，故22[,]1233x−−，2sin(2)[3,2]12x−−，所以()gx的最小值为3−.故答案为：3−.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上

的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.16.已知椭圆C：22162xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，如图AB是过1F且垂直于长轴的弦，则2ABF的内切圆方程是_____

___.【答案】224439xy++=【解析】【分析】利用公式212ABFSlr=计算出r，其中l为2ABF的周长，r为2ABF内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，6(2,)3A−，6(2,)3B−−，2(2,0)F

，设内切圆的圆心为(,0)(2)tt−，半径为r，则21222111()4222ABFSABFFABAFBFrar==++=，故有264463r=，解得23r=，由2|(2)|3t−−=，43t=−或83t=−（舍），所以2A

BF的内切圆方程为224439xy++=.故答案为：224439xy++=.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考

试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.组别分组频数频率频率组距1)60,702)70,803)80,90490,100（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员

工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）频率分布表和频率分布直方图见解析，82.【解析】【分析】（Ⅰ）列举出从四个人中抽取两

人的所有情况，找出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式即可求得；（Ⅱ）根据茎叶图中数据，先补全频率分布表和频率分布直方图，再估算平均值即可.【详解】（Ⅰ）设分数分别为95、96、96、98的四人为a、b、

c、d从成绩为优秀的员工中任取2人，包含(,)ab(,)ac(,)ad(,)bc(,)bd(,)cd6个基本事件设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件A.A包含(,)ab(,)ac(,)bd(,)cd4个基本事件∴42()63PA==（Ⅱ）组别分组频数频率频率组距1

)60,7021100.012)70,8063100.033)80,908250.04490,1004150.021342657585958210101010+++=，估计所有员工的平均分为

82.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及频率分布表和频率分布直方图的绘制，涉及平均数的求解，属综合基础题.18.在ABC中，M为BC边上一点，45BAM=，5cos5AMC=.（1）求sinB；（2）若12MCB

M=，4AC=，求MC.【答案】（1）1010；（2）4【解析】【分析】（1）BAMCBAM=−，利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设MCx=，在ABM中，用正弦定理将AM用x表示，在ACM中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1）∵5cos5AMC=，∴25sin5AMC=，

所以，sinsin()BAMCBAM=−sincoscossinAMCBAMAMCBAM=−2525210525210=−=.（2）∵12MCBM=，∴设MCx=，2BMx=，在ABM中，由正弦定理得，sin45sinBMAMB=，∴2210210xAM=，∴255AM

x=，∵2222cosACAMMCAMMCAMC=+−，∴222425542555xxxx=+−∴4MCx==.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19.点(1,)Pt（0t）是抛物线C：24yx=上一点，F为C的焦点.（Ⅰ）若

直线OP与抛物线的准线l交于点Q，求QFP的面积；（Ⅱ）过点P作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，证明：直线MN的斜率是定值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求得点,PQ的坐标，即可容易求得面积；（Ⅱ）设出点,MN

的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程，以及直线,PMPN的斜率之和为零，即可容易证明.【详解】（Ⅰ）将(1,)Pt代入24yx=得2t=则OPl：2yx=，准线l：1x=−，∴(1,2)Q−−∴122QFPPQSOFy

y=−=（Ⅱ）设()11,Mxy，()22,Nxy由题可知，0MPNPKK+=，∴121222011yyxx−−+=−−∴1222122201144yyyy−−+=−−∴1244022yy+=++∴124yy+=−∴1212MNyyK

xx−=−1241yy==−+即证.【点睛】本题考查抛物线上一点坐标的求解，抛物线中定值问题的简单证明，属中档题.20.如图，在直角AOB中，2OAOB==.AOC通过AOB以直线OA为轴顺时针旋转12

0得到（120BOC=）.点M为线段BC上一点，且433MB=.（Ⅰ）证明：MO⊥平面AOB；（Ⅱ）若D是线段AB的中点，求四棱锥OACMD−的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）439.【解析】【分析】（Ⅰ

）通过证明,AOMOMOOB⊥⊥，即可证明线面垂直；（Ⅱ）根据OACMDABOCMODBVVV−−−=−即可容易求得.【详解】（Ⅰ）在MOB中，由余弦定理得，233OM=，∴222OMOBMB+=∴O

MOB⊥由题意可知：∴OAOB⊥，OAOC⊥，OBOCO=∴OA⊥平面COB，OM平面COB，∴OAOM⊥OAOBO=，∴OM⊥平面AOB，（Ⅱ）113232223223ABOCV−==112323213239MODBDOMBVV−−===439OACMDAB

OCMODBVVV−−−=−=.故四棱锥OACMD−的体积为439.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及棱锥体积的求解，属中档题.21.已知函数2()()ln2axfxx+=+（aR）.（Ⅰ）若

函数()()(1)lnhxfxxax=−−+，讨论()hx的单调性；（Ⅱ）若函数()fx的导数()fx的两个零点从小到大依次为1x，2x，证明：()1222xxfx+.【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求得()hx，对参数a进行分类讨论即可容易

求得；（Ⅱ）根据12,xx是()fx的两根，求得12,xx之间的关系式，构造函数21()ln222xxgxxx=−−−，根据其单调性即可证明.【详解】（Ⅰ）∵2()()ln2axhxaxx+=−−+∴(1)()()xxahxx−+=（0x）.当0a时，()01hxx，()001h

xx∴()hx在(1,)+上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a−时，()01hxx或0xa−，()01hxax−∴()hx在(1,)+，(0,)a−上单调递增

，在(,1)a−上单调递减；当1a−时，()0hxxa−或01x，()01hxxa−∴()hx在(,)a−+，(0,1)上单调递增，在(1,)a−上单调递减；当1a=−时，()0hx在(0,)+上恒成立，所以()hx在(

0,)+上单调递增；综上所述：当0a时，()hx在(1,)+上单调递增，在(0,1)上单调递减；当10a−时，()hx在(1,)+，(0,)a−上单调递增，在(,1)a−上单调递减；当1a−时，()hx在(,)a−+，(0,1)上单调递增，在(1,)a−上单调递

减；当1a=−时，()hx在(0,)+上单调递增.（Ⅱ）∵21()xaxfxx++=（0x）.且()fx的两个零点从小到大依次为1x，2x∴1x，2x是方程210xax++=的两个根，∴12121xxaxx+=−=又1>0x，20x且12xx所以1

201xx欲证()1222xxfx+，即证()22122ln22xaxxx+++只需证1211111ln22xxxx++令21()ln222xxgxxx=−−−（01x），()221(21)()2xxgxx−−=∴()gx在10,2

上单调递增，1,12上单调递减，∴1()02gxg，即()1222xxfx+成立.【点睛】本题考查分类讨论求函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及构造函数法，属综合困难题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题

计分.选修4-4坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221121txttyt−=+=+（t为参数）.点()00,pxy在曲线C上，点(,)Qmn满足0023mxny==.（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q的轨迹1

C的极坐标方程；（2）点A，B分别是曲线1C上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB=，求2211||||OAOB+的值.【答案】（1）22223cos4sin12p+=（−）；（2）712【解析】【分析】（1）由已知，曲线

C的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设()11,A，21,2B+，由（1）可得2211213cos4sin112+=，2211223cos4sin12212+++

=，相加即可得到证明.【详解】（1）222222212111ttxytt−+=+=++，∵(2211,11tt−−+，∴1x−，∴221(1)xyx+=−，由题可知

：0023mxny==022021(2)433mxmnmny=+=−=，1C：22223cos4sin12+=（−）.（2）因为222123cos4sin=+，设()11,A，21,2B+，则22112

13cos4sin112+=，2211223cos4sin12212+++=22113sin4cos12+=，22221211117||||12OAOB+=+=.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道

容易题.选修4-5不等式选讲23.已知关于x的不等式|1||3||2|xxmm+−−−+有解.（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足abct++=.证明：3333abbccaa

bc++.【答案】（1）3t=；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，只需找到()|1||3|fxxx=+−−的最大值即可；（2）22233333bcaabbccaabcabc++++，构造并利用基本不等式可得222()2()bcaabcabcabc+++++++，即2

223bcaabcabc++++=.【详解】（1）()|1||3|fxxx=+−−4,322,134,1xxxx=−−−−，∴()fx的最大值为4.关于x的不等式|1||3||2|xxmm+−−−+有解等价于max()4|2|fxmm=−+，（ⅰ）当2m时，上述不等式

转化为42mm−+，解得23m，（ⅱ）当2m时，上述不等式转化为42mm−++，解得2m，综上所述，实数m的取值范围为3m，则实数m的最大值为3，即3t=.（2）证明：根据（1）求解知3t=，所以3

abct++==，又∵0a，0b，0c，22233333bcaabbccaabcabc++++，222222()bcabcaabcabcabcabc+++++=+++++2222222()bcaabcabcabc++

=++，当且仅当abc==时，等号成立，即222bcaabcabc++++，∴2223bcaabc++，所以，3333abbccaabc++.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.