【文档说明】【精准解析】东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试数学（理）试题.doc，共(24)页，1.984 MB，由小赞的店铺上传

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2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4,5,6,7U=，集合2,3,5,

7A=，1,2,4,6B=，则()UAB=ð（）A.2,5,7B.3,5,7C.3D.5,7【答案】B【解析】【分析】先由已知得到{3,5,7}UCB=，再与A求交集即可.【详解】由已知，{3

,5,7}UCB=，故(){3,5,7}UACB=.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.已知复数21izi=−，则z的虚部为（）A.－1B.i−C.1D.i【答案】A【解析】【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】2i

2i(i1)22i1ii1(i1)(i+1)2z+−+====−−−−，故z的虚部为1−.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.3.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分

的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则xy+=（）A.170B.10C.172D.12【答案】D【解析】【分析】中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中

间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知，甲的中位数为8086x+=，故6x=；乙的平均数为78828089919397887y+++++++=，解得6y=，所以12xy+=.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均

数的知识，是一道容易题.4.5(12)(1)xx++的展开式中2x的系数为（）A.5B.10C.20D.30【答案】C【解析】【分析】由5(12)(1)xx++=5(1)x+52(1)xx++知，展开式中2x项有两项，一项是5(1)x+中的2x项，另一项是2

x与5(1)x+中含x的项乘积构成.【详解】由已知，5(12)(1)xx++=5(1)x+52(1)xx++，因为5(1)x+展开式的通项为5rrCx，所以展开式中2x的系数为2155220CC+=.故选：

C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷

盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积2136VLh的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112VLh相当于将圆

锥体积公式中的圆周率近似取为（）A.227B.15750C.289D.337115【答案】C【解析】【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213Vrh==23(2)112rh，解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为

r，则213Vrh=，又2233(2)112112VLhrh=，故23(2)112rh213rh，所以，11228369=.故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.已知公差不为0的等差数列na的前n项的

和为nS，12a=，且139,,aaa成等比数列，则8S=（）A.56B.72C.88D.40【答案】B【解析】【分析】2319aaa=2111(2)(8)adaad+=+，将12a=代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算

即可.【详解】由已知，2319aaa=，12a=，故2111(2)(8)adaad+=+，解得2d=或0d=（舍），故2(1)22nann=+−=，1888()4(228)722aaS+==+=.故选：B.【点睛】本题考查等差数

列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.7.下列说法正确的是（）A.命题“00x，002sinxx”的否定形式是“0x，2sinxx”B.若平面，，，满足⊥，⊥则//C.

随机变量服从正态分布()21,N（0），若(01)0.4P=，则(0)0.8P=D.设x是实数，“0x”是“11x”的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；,可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；11x0x

或1x，利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】命题“00x，002sinxx”的否定形式是“0x，2sinxx”，故A错误；⊥，⊥，则,可能相交，故B错误；若(01)0.4P=，则(12)0.4P=，所以10.40.4(0)

0.12P−−==，故(0)0.9P=，所以C错误；由11x，得0x或1x，故“0x”是“11x”的充分不必要条件，D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的

命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8.已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的右焦点与圆M：22(2)5xy−+=的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心

率为（）A.2B.2C.3D.3【答案】A【解析】【分析】由已知，圆心M到渐近线的距离为3，可得2223bab=+，又222cab==+，解方程即可.【详解】由已知，2c=，渐近线方程为0bxay=，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，所以圆心M

到渐近线的距离为22(2)3r−=2222bbbcab===+，故221acb=−=，所以离心率为2cea==.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.9.已知(),AAAxy是圆心为坐标原点O，半径为1

的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转23到OB交圆于点(),BBBxy，则2AByy+的最大值为（）A.3B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】设射线OA与x轴正向所成的角为，由三角函数的定义得sinAy=，2sin()3B

y=+，2AByy+=33sincos22+，利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为，由已知，cos,sinAAxy==，22cos(),sin()33BBxy=+=+，所以2AByy+=2sin+2sin()3+=132sin

sincos22−+=33sincos3sin()3226+=+，当3=时，取得等号.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容

易题.10.从集合3,2,1,1,2,3,4−−−中随机选取一个数记为m，从集合2,1,2,3,4−−中随机选取一个数记为n，则在方程221xymn+=表示双曲线的条件下，方程221xymn+=表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A.917B.817C.1735D.935【答案】A【解

析】【分析】设事件A为“方程221xymn+=表示双曲线”，事件B为“方程221xymn+=表示焦点在y轴上的双曲线”，分别计算出(),()PAPAB，再利用公式()(/)()PABPBAPA=计算即可.【详解】设事件A为“方程221xym

n+=表示双曲线”，事件B为“方程221xymn+=表示焦点在y轴上的双曲线”，由题意，334217()7535PA+==，339()7535PAB==，则所求的概率为()9(/)()17PABPBAPA==.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到

双曲线的定义，是一道容易题.11.已知函数1222,0,()log,0,xxfxxx++=若关于x的方程2()2()30fxafxa−+=有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A.163,5B.163,5

C.(3,4)D.(3,4【答案】B【解析】【分析】令()fxt=，则2230tata−+=，由图象分析可知2230tata−+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令()fxt=，则2230tata−+=，如图yt=与

()yfx=顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程2()2()30fxafxa−+=有六个不相等的实数根，则2230tata−+=有两个不同的根12,(2,4]tt，设2()23gttata=−+由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0aaagg=−

，解得1635a.故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.12.已知定义在)0,+上的函数()fx满足1()(2)2fxf

x=+，且当)0,2x时，2()2fxxx=−+.设()fx在)22,2nn−上的最大值为na（*nN），且数列na的前n项的和为nS.若对于任意正整数n不等式()129nkSn+−恒成立，则

实数k的取值范围为（）A.)0,+B.1,32+C.3,64+D.7,64+【答案】C【解析】【分析】由已知先求出1max()2nfx−=，即12nna-=，进一步可得21nnS=−，再将所

求问题转化为292nnk−对于任意正整数n恒成立，设nc=292nn−，只需找到数列{}nc的最大值即可.【详解】当222nxn−时，则0222xn+−，(22)(22)(2)fxnxnxn+−=−+−−，所以，11()2[2(1)]2nnfxfxn−−=−−=−(22)(2)

xnxn+−−，显然当21xn=−时，1max()2nfx−=，故12nna-=，1(12)2112nnnS−==−−，若对于任意正整数n不等式()129nkSn+−恒成立，即229nkn−对于任意正整数n恒成

立，即292nnk−对于任意正整数n恒成立，设nc=292nn−，111122nnnncc++−−=，令111202nn+−，解得112n，令111202nn+−，解得112n，考虑到*nN，故有当5n时，{}nc单调递增，当6n时，有{}nc单调递减

，故数列{}nc的最大值为6633264c==，所以364k.故选：C.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若曲线()

lnxfxaex=−（其中常数0a）在点(1,(1))f处的切线的斜率为1，则a=________.【答案】2e【解析】【分析】利用导数的几何意义，由'(1)1f=解方程即可.【详解】由已知，'1()exfxax=−，所以'1(1)e11fa=−=，解得2ea=.故答案为：2e.【点睛】本题

考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.14.若函数()sin23cos2fxxx=−的图像向左平移8个单位得到函数()gx的图像.则()gx在区间3,88−上的最小值为________.

【答案】3−【解析】【分析】注意平移是针对自变量x，所以()()8gxfx=+=2sin(2)12x−，再利用整体换元法求值域（最值）即可.【详解】由已知，()sin23cos22sin(2)3fxxxx=−=−，()()8gxfx

=+=2sin[2()]2sin(2)8312xx+−=−，又3,88x−，故22[,]1233x−−，2sin(2)[3,2]12x−−，所以()gx的最小值为3−.故答案为：3−.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平

移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.15.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O.剪去AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA、OB重合，则以()AB、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为________.【答案】86【解析】【分析】将三棱锥置入

正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示4CD=，22OAOCOD===，故正方体体对角线长为22226OAOCOD++=，所以外接球半径为6R=，其体积为34863R=.故答案为：86.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体

积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.16.已知椭圆C：22162xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，如图AB是过1F且垂直于长轴的弦，则2ABF的内切圆方程是__

______.【答案】224439xy++=【解析】【分析】利用公式212ABFSlr=计算出r，其中l为2ABF的周长，r为2ABF内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，6(2,)3A−，6(2

,)3B−−，2(2,0)F，设内切圆的圆心为(,0)(2)tt−，半径为r，则21222111()4222ABFSABFFABAFBFrar==++=，故有264463r=，解得23r=，由2|(2)|3t−−=

，43t=−或83t=−（舍），所以2ABF的内切圆方程为224439xy++=.故答案为：224439xy++=.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三

、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC中，M为BC边上一点，45BAM=，5cos5AMC=.（1）求sinB；（2）若12MCBM=，4AC=，求

MC.【答案】（1）1010；（2）4【解析】【分析】（1）BAMCBAM=−，利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设MCx=，在ABM中，用正弦定理将AM用x表示，在ACM中用一次余弦定理即可解决.【详解】（1）∵5cos5AMC

=，∴25sin5AMC=，所以，sinsin()BAMCBAM=−sincoscossinAMCBAMAMCBAM=−2525210525210=−=.（2）∵12MCBM=，∴设MCx=，2BMx=，在ABM中，由正弦定理得，sin45

sinBMAMB=，∴2210210xAM=，∴255AMx=，∵2222cosACAMMCAMMCAMC=+−，∴222425542555xxxx=+−∴4MCx==.【点睛】本题考查两角差

的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.（1）从这

20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率频率组距1)60,702)70,803)80,90490,100①估计所有员工的平

均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；②若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）819；（2）①82，②分布列见解析，3()5EX=【解析】【分析】（1）从20人中任取3人共有320C种结果，恰有1人成

绩“优秀”共有13416CC种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；（2）①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意X服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】（1）设从20人中任取3人

恰有1人成绩“优秀”为事件A，则124163208()19CCPAC==，所以，恰有1人“优秀”的概率为819.（2）组别分组频数频率频率组距1)60,7021100.012)70,8063100.033)80,908250

.04490,1004150.02①1342657585958210101010+++=，估计所有员工的平均分为82②X的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“优秀”的概率为41205P==，∴3464(0)5125PX===；2131448(1)55125P

XC===；2231412(2)55125PXC===；311(3)5125PX===；∴X的分布列为X0123P6412548125121251125∵1~3,5XB

，∴数学期望13()355EX==.【点睛】本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容易题.19.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，过C上一点(1,)Pt（0t）作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M

，N两点，（1）证明：直线MN的斜率是－1；（2）若8||MF，||MN，||NF成等比数列，求直线MN的方程.【答案】（1）见解析；（2）1yx=−+【解析】【分析】（1）设()11,Mxy，()22,Nxy，由已知0MPNPkk+=，得124yy+=

−，代入1212MNyykxx−=−124yy=+中即可；（2）利用抛物线的定义将2||8||||MNMFNF=转化为()()21212128440xxxxxx+−−+−=，再利用韦达定理计算.【详解】（1）P在抛物线24yx=上，∴2t=，(1,2)P设()11,

Mxy，()22,Nxy，由题可知，0MPNPkk+=，∴121222011yyxx−−+=−−，∴1222122201144yyyy−−+=−−，∴1244022yy+=++，∴124yy+=−，∴1212MNyykxx−=

−1241yy==−+（2）由（1）问可设：l：yxm=−+，则12||2MNxx=−，1||1MFx=+，2||1NFx=+，∴2||8||||MNMFNF=，∴()()()212122811xxxx−=++，即()()21212128440xxxxxx+

−−+−=（*），将直线l与抛物线C联立，24yxmyx=−+=可得：22(24)0xmxm-++=，所以122121616024mxxmxxm=++=+=，代入（*）式，可得1m=满足

，∴l：1yx=−+.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.20.如图，在直角AOB中，2OAOB==，AOC通

过AOB以直线OA为轴顺时针旋转120得到（120BOC=）.点D为斜边AB上一点.点M为线段BC上一点，且433MB=.（1）证明：MO⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角

BCDO−−的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）47035【解析】【分析】（1）先算出OM的长度，利用勾股定理证明OMOB⊥，再由已知可得OAOM⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1）可得MDO为直线MD

与平面AOB所成的角，要使其最大，则OD应最小，可得D为AB中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.【详解】（1）在MOB中，30OBC=，由余弦定理得22232cos303OMOBBMOBBM=+−=，∴222O

MOBMB+=，∴OMOB⊥，由题意可知：∴OAOB⊥，OAOC⊥，OBOCO=，∴OA⊥平面COB，OM平面COB，∴OAOM⊥，又OAOBO=，∴OM⊥平面AOB.（2）以O为坐标原点，以OM，OB，OA的方向为x，y，

z轴的正方向，建立空间直角坐标系.∵OM⊥平面AOB，∴MD在平面AOB上的射影是OD，∴MD与平面AOB所成的角是MDO，∴MDO最大时，即⊥ODAB，点D为AB中点.(0,2,0)B，(3,1,0)C−，(0,0,2)A，(0,1,1)D，(3

,2,1)CD=−，(0,1,1)DB=−，(0,1,1)OD=，设平面CDB的法向量(,,)nxyz=，由00nCDnDB==，得3200xyzyz−++=−=，令1z=，得1,3yx==，所以平面CDB的法向量(3,1,1)n=，同理，设

平面CDO的法向量(),,mxyz=，由00mCDmOD==，得3200xyzyz−++=+=，令1y=，得31,3zx=−=，所以平面CDO的法向量3,1,13m=−，∴105cos,35mn=，3sin,135mn=−=47035，故二面角B

CDO−−的正弦值为47035.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.21.已知函数2()cos2afxxx=+（aR），()fx是()fx的导数.（1）

当1a=时，令()()lnhxfxxx=−+，()hx为()hx的导数.证明：()hx在区间0,2存在唯一的极小值点；（2）已知函数42(2)3yfxx=−在0,2上单调递减，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1a【解析】【分析】（1）设1()(

)cosgxhxxx==−，'21()singxxx−=+，注意到'()gx在0,2上单增，再利用零点存在性定理即可解决；（2）函数42(2)3yfxx=−在0,2上单调递减，则'0y在0,2恒成立，即342sin2

03axxx−−在0,2上恒成立，构造函数34()2sin23mxaxxx=−−，求导讨论()mx的最值即可.【详解】（1）由已知，'()sinfxxx=−，所以()lnsinhxxx=−，设'1()()cosgxh

xxx==−，'21()singxxx−=+，当0,2x时，'()gx单调递增，而(1)0g，'02g，且'()gx在0,2上图象连续不断.所以'()gx在0,2上有唯一零点，当(0,)x时，'()0g

x；当,2x时，'()0gx；∴()gx在(0,)单调递减，在,2单调递增，故()gx在区间0,2上存在唯一的极小值点，即()hx在区间0,2上存在唯一的极小值点；（2）设()sinkxxx=−

，)0,x+，()1cos0kxx=−，∴()kx在)0,+单调递增，()(0)0kxk=，即sinxx，从而sin22xx，因为函数42(2)3yfxx=−在0,2上单调递减，∴

34()2sin203mxaxxx=−−在0,2上恒成立，令'2()22cos24()mxaxxpx=−−=，∵sin22xx，∴'()4sin280pxxx=−，'()mx在0,

2上单调递减，''max()(0)22mxma==−，当1a时，'()0mx，则()mx在0,2上单调递减，()(0)0mxm=，符合题意.当1a时，'()mx在0,2上单调递减，'(0)220ma=−所以一定存在00,2x

，当00xx时，()0mx，()mx在)00,x上单调递增，()0(0)0mxm=与题意不符，舍去.综上，a的取值范围是1a【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的

最值来处理，本题是一道较难的题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221121txttyt−=+=+（t为参数）.点()00,pxy在曲线C上，点(,)Qmn满足0023mxny==.（1）以坐标原点O为极

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q的轨迹1C的极坐标方程；（2）点A，B分别是曲线1C上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB=，求2211||||OAOB+的值.【答案】（1）22223cos4sin12p

+=（−）；（2）712【解析】【分析】（1）由已知，曲线C的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设()11,A，21,2B+，由（1）可得22112

13cos4sin112+=，2211223cos4sin12212+++=，相加即可得到证明.【详解】（1）222222212111ttxytt−+=+=

++，∵(2211,11tt−−+，∴1x−，∴221(1)xyx+=−，由题可知：0023mxny==022021(2)433mxmnmny=+=−=，1C：22223cos4sin12+=（−）.（2

）因为222123cos4sin=+，设()11,A，21,2B+，则2211213cos4sin112+=，2211223cos4sin12212+++=22113sin4cos12+=，2

2221211117||||12OAOB+=+=.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.23.已知关于x的不等式|1||3||2|xxmm+−−−+有解.（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数

，且满足abct++=.证明：3333abbccaabc++.【答案】（1）3t=；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意，只需找到()|1||3|fxxx=+−−的最大值即可；（2）22233333bc

aabbccaabcabc++++，构造并利用基本不等式可得222()2()bcaabcabcabc+++++++，即2223bcaabcabc++++=.【详解】（1）()|1||3|fxxx=+−−4,322,134,1

xxxx=−−−−，∴()fx的最大值为4.关于x的不等式|1||3||2|xxmm+−−−+有解等价于max()4|2|fxmm=−+，（ⅰ）当2m时，上述不等式转化为42mm

−+，解得23m，（ⅱ）当2m时，上述不等式转化为42mm−++，解得2m，综上所述，实数m的取值范围为3m，则实数m的最大值为3，即3t=.（2）证明：根据（1）求解知3t=，所以3abct++==，又∵0a，0b

，0c，22233333bcaabbccaabcabc++++，222222()bcabcaabcabcabcabc+++++=+++++2222222()bcaabcabcabc++=++，当且仅当a

bc==时，等号成立，即222bcaabcabc++++，∴2223bcaabc++，所以，3333abbccaabc++.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.