【文档说明】北京市第八十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，841.349 KB，由小赞的店铺上传

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北京市第八十中学2024～2025学年第一学期期中考试高一学科：数学2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共

36分）1.已知集合1,0,1,2,3U=−，13,NAxxx=−，则UA=ð（）A.1,3−B.1,2C.1,0,3−D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】首先求解集合A，再根据补集的定义即可

得出答案.【详解】因为13,N0,1,2Axxx=−=，1,0,1,2,3U=−，所以1,3UA=−ð.故选：A.2.下列函数中是偶函数的是（）A.4(0)yxx=B.221yx=+C.31yx=−D.1yx=+【答

案】B【解析】【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A，因为函数4(0)yxx=定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意；对于B，函数()221yfxx==+定义域为R，()(

)221fxfxx−==+，所以函数为偶函数，故B符合题意；的的对于C，函数()31yfxx==−的定义域为R，()()31fxxfx−=−−，所以函数不是偶函数，故C不符题意；对于D，函数()1yf

xx==+的定义域为R，因为()()1012ff−==，所以函数不是偶函数，故D不符题意.故选：B.3.已知,,abcR，且ab，则下列不等式正确的是（）A.acbcB.22abC.33abD.11ab【

答案】C【解析】【分析】根据特值法可排除A，B，D，根据3yx=在R上单调递增，可判断C项.【详解】当0c=时，acbc=，故A错误；当1a=−，2b=−时，22ab，故B错误；因为3yx=在R上单调递增，且ab，所以33ab

，故C正确；当1a=，1b=−时，11ab，故D错误.综上，正确的为C.故选：C.4.函数3xy=的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】0x，所以31x，排除AC，且3,033,0xxxxx−=

，排除D.故选：B5.若奇函数()fx在区间3,7上是增函数，且最小值为5，则它在区间7,3−−上是（）A.增函数且有最大值5−B.增函数且有最小值5−C.减函数且有最大值5−D.减函数且有最小值5−【答案】A【解析】【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】

因为函数()fx在区间[3,7]上是增函数，且有最小值5，所以(3)5f=，又()fx为奇函数，所以函数()fx在区间[7,3]−−上是增函数，且有最大值(3)(3)5ff−=−=−.故选：A6.随着我国经济的不断发展，

2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（）A.70001.067元B.770001.06元C.70001.068元D.870001.

06元【答案】B【解析】【分析】根据指数增长模型计算即可.【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得70001.06xy=，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以2030年年底该地区的农民人均年收入为770001.06元．故选：B.7.已知0a，则41aa+

+的最小值为（）A.1−B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为0a，根据基本不等式可得44411215aaaaaa++=+++=，当且仅当4aa=，即2a=时，等号成立；所以41aa++的最小值为5，

故选：D.8.如图，已知全集U=R，集合2340Axxx=−−，0Bxx=，则图中阴影部分表示的集合为（）A.0xxB.1xx−C.10xx−D.04xxx或【答案】C【解

析】【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.【详解】依题意，集合{|1Axx=−或4x，而0Bxx=，则|1{ABxx=−或0x，由韦恩图知，图中阴影部分表示集合为(){|10}UABxx=−ð.故选：C.9.“01a”是“关

于x的不等式2210axax−+对Rx恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求不等式恒成立时a的取值范围，再根据集合的关系，即可判断.的【详解】不等式2210axax−+对Rx恒成立,当0a=时，10恒

成立，当0a时，20Δ440aaa=−，得01a，所以01a，所以“01a”是“关于x的不等式2210axax−+对Rx恒成立”的充分不必要条件.故选：A10.已知函数()25,1,1xaxxfxaxx−+=满足对任意实数12xx，都有()()2

1210fxfxxx−−成立，则a的取值范围是（）A.(0,3B.)2,+C.()0,+D.2,3【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数()fx在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数()fx满足对任意实数12xx，都

有2121()()0fxfxxx−−成立，不妨假设12xx，则210xx−，可得()()210fxfx−，即()()12fxfx，可知函数()fx在R上递减，则1206aaaa−+，解得

：23a，所以a的取值范围是2,3.故选：D.11.函数()221,21,2xxfxxx−−=−−的值域为（）A.31,4−−B.)1,−+C.(),−+D.31,4−−【答案】C【解析】【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到

函数的值域【详解】当2x−＜时，()21xfx=−因为函数2xy=在(),2−−上单调递增，所以函数21xy=+在(),2−−上单调递增，又20x所以()31,4fx−−；当2x−时，()()21,1,fxxfx=−−+，所以，()fx的值域为)1

,−+.故选：B.12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分

为两个非空的子集M与N，且满足MN=Q，MN=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(),MN为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割(),MN，下列选项中一定不成立的是（）AM没有最大元素，N有一个最小元素B.M没有最大元素，N也

没有最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M有一个最大元素，N没有最小元素【答案】C【解析】【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若

,0MxQx=，,0NxQx=；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若,2MxQx=，,2NxQx=；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；.若,0MxQx=，,0NxQx=；M有一个最大元素，

N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：C二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13.函数()()0212xfxx−=−的定义域为______.【答案】11,,222−【解析】【

分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足{2𝑥−1≠02−𝑥>0，得2x且12x，所以函数的定义域为11,,222−.故答案为：11,,222−14.关于a的不等式的220a−解集是______

.【答案】22aa−【解析】【分析】因式分解后，即可求解不等式.【详解】()()220220aaa−+−，得22a−，所以不等式的解集为22aa−.故答案为：22aa−

15.计算：()33log927+−=______.【答案】19681−【解析】【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解.【详解】()33log92721968319681+−=−=−.故答案为：19681−16.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是_

_____．【答案】∃x0＞0，x02+2x0-3≤0【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0，故答案为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有

量词的命题的否定，比较基础．17.已知()21gxx=−，当2,6x时，函数()gx的最小值是______，最大值是______.【答案】①.25##0.4②.2【解析】【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.【详解】12,2,6xx，且12xx

，()()()()()211212122221111xxgxgxxxxx−−=−=−−−−，因为2,6x，12xx，所以21120,10,10xxxx−−−，所以()()120gxgx−，即()()12gxgx，所以()gx在2,6上为减函数，则()()()()minm

ax26,225gxggxg====，故答案为：25，2.18.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白.若2cma=，2800cm

P=，则当AB=______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.【答案】①.20cm②.21152cm【解析】【分析】首先设cmABx=，再根据条件，用x表示用纸的用量，列式后再用基本不等

式，即可求解.【详解】设cmABx=，纸的用量为S，则800cmADx=，所以()()8008002448Sxaaxxx=++=++，2320032008328832281152cmxxxx=+++=，当32008xx=时，即20cmx=，所以当20cmAB=时

，最少的纸的用量为21152cm.故答案为：20cm；21152cm19.函数()2fxxx=−+的单调递增区间是______.【答案】1,2−−和10,2【解析】【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函

数的单调性，即可求解.【详解】()22,0,0xxxfxxxx−+=−−，当0x时，221124yxxx=−+=−−+，10,2是函数的单调递增区间，当0x时，22112

4yxxx=−−=−++，1,2−−是函数的单调递增区间，所以函数的单调递增区间是1,2−−和10,2.故答案为：1,2−−和10,220.函数10.52xy=+的值域是

______.【答案】10,2【解析】【分析】利用指数函数的值域可得0.522x+，再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为函数10.52xy=+定义域为R，又0.50x，所以0.522x+，所以1100.522x+，即10,2y，故答案为

：10,2.21.已知函数()243fxxx=−+，()32gxmxm=+−，若对任意10,4x，总存在20,4x，使()()11220fxxgx+−=成立，则实数m的取值范围为______.【答案】(),44,−−+【解析】【分析】由题意可得两

个函数的值域的包含关系，进而可列关于m的不等式，求解即可.【详解】因为对任意10,4x，总存在20,4x，使()()11220fxxgx+−=成立，即()()2112gxfxx=+成立，设()()()2222312hxfxxxxx−+=−+=+=，因为0,4x，所

以()2,11hx，当0m=时，()3gx=，不符合题意；当0m时，可得()32,23gxmm−+，则3222311mm−+，解得4m；当0m时，可得()23,32gxmm+−

，则2323211mm+−，解得4m−；综上所述，实数m的取值范围为(),44,−−+.故答案为：(),44,−−+.22.已知函数()()fxxR满足()()2fxfx−=−，若函数1xyx+=与()yfx=图

象的m个交点为()()()1122,,,,,,mmxyxyxy，则()()()1122mmxyxyxy++++++的值是______.【答案】m【解析】【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.【详解】由条件()()2fxfx−=−

得，()()2fxfx−+=，所以()yfx=关于点()0,1对称，111xyxx+==+关于点()0,1对称，所以函数1xyx+=与()yfx=图象的m个交点有2m对关于点()0,1对称，所以123...0mxxxx++++=，12...22mmyyym+++==，所以()()

()1122mmxyxyxym++++++=.故答案为：m三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.记全集U=R，集合221,Axaxaa=−+R，37Bxxx=或.（1）若2a=，求AB，UBð；（

2）若AB=R，求a的取值范围；（3）若ABA=，求a的取值范围.【答案】（1）|03ABxx=，|37UBxx=ð（2）|35aa（3）|1aa或9a【解析】【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；（2）根据题意可得到有关a的一个方程组，求解

即可；（3）分A=和A两种情况求解即可.【小问1详解】若2a=，则05Axx=，又{3Bxx=或7}x，则|03ABxx=，|37UBxx=ð；【小问2详解】集合221,Axaxaa=−+R，{3Bxx=或7}x，

AB=R，所以23217aa−+，解得35a，所以a的取值范围为|35aa；【小问3详解】因为ABA=，则AB，221,Axaxaa=−+R，{3Bxx=或7}x，当A=时，221aa−+，解得3a−；当A时，221213aaa−++或2

2127aaa−+−，解得31a−或9a，综上,若ABA=，求a的取值范围为|1aa或9a.24.已知函数()22fxxmx=−（1）当0,1x，()fx的最大值为3，求实数m的

值.（2）当11t−时，若不等式()22ftt−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1m=−（2）51|22mm−【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；（2）先根据不等式得到()

22220tmt−++在1,1t−上恒成立，令()()2222httmt=−++，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.【小问1详解】已知()()2222fxxmxxmm=−=−−，当0m时，函数()fx在0

,1x上递增，所以()()max1123fxfm==−=，解得1m=−；当1m时，函数()fx在0,1x上递减，所以()()max003fxf==，矛盾；当01m时，函数()fx在)0,x

m上递减，在,1m上递增，所以()()max003fxf==或()()max1123fxfm==−=，解得1m=−，均不符合题意；综上1m=−；【小问2详解】当11t−时，若不等式()22ftt−恒成立

，即2222tmtt−−在1,1t−上恒成立，即()22220tmt−++在1,1t−上恒成立，令()()2222httmt=−++，该函数对称轴为1tm=+，①当11m+，即0m时，函数()ht在1,1t−上递减，只需让()()min10hth=即可，则(

)()112220hm=−++，解得12m，即102m；②当111m−+，即20m−时，此时()()()()()2min1122120hthmmmm=+=+−+++，解得1212m−−−+，即

20m−；③当11m+−，即2m−时，函数()ht在1,1t−上递增，此时()()112220hm−=+++，解得52m−，即522m−−；综上m的取值范围为51|22mm−.25.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实

行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过123m的部分3元/3m超过123m但不超过183m的部分6元/3m超过183m的部分9元/3m（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元

，则此月此户居民的用水量为多少？【答案】（1）3,012636,1218990,18xxyxxxx=−−剟„（2）153m【解析】【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分012x剟，1218x„，18x三种情况

讨论即可的解．【小问1详解】解：当012x剟时，3yx=，当1218x„时，3126(12)636yxx=+−=−，当18x时，312669(18)990yxx=++−=−，y关于x的函数解析式为：3,012636,1218990,18xxyxxxx=−−剟„；【小

问2详解】解：当012x剟时，354yx==，解得18x=舍去，当1218x„时，63654yx=−=，解得15x=，当18x时，99054yx=−=，解得16x=舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为153m.26.已知函数()21axbfxx+=+是

定义在𝑅上奇函数，且1225f=−.的（1）求函数()fx的解析式以及零点.（2）判断并用函数单调性的定义证明()fx在[−1,0]的单调性.（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()fx在定义域𝑅上的准确示意图.【答案】（1）()2

1xfxx=−+，零点为0（2）函数()21xfxx=−+在1,0x−上单调递减，证明见详解；（3）图象见详解.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和1225f=−可解得a，b的值，即可得函数的解析式；令()0fx=可解

得函数的零点；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.【小问1详解】因为函数()21axbfxx+=+是定义在𝑅上的奇函数，所以()00f=，解得0b=，又1225f=−，即21225112a=−+，解得1a=−，所以

()21xfxx=−+，令()0fx=得201xx−=+，解得0x=，即函数的零点为0；【小问2详解】函数()21xfxx=−+在1,0x−上单调递减；证明：设1210xx−，则()()()()

()()121212122222121211111xxxxxxfxfxxxxx−−−=−+=++++，因为1210xx−，所以120xx−，1210xx−，(𝑥12+1)(𝑥22+1)>0，所以𝑓(𝑥1)−𝑓

(𝑥2)=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1𝑥2−1)(𝑥12+1)(𝑥22+1)>0，即()()12fxfx，所以函数()21xfxx=−+在1,0x−上单调递减；【小问3详解】函数()fx的图像如下：27.设集合A

为非空数集，定义|,,AxxababA+==+，|,,AxxababA−==−．（1）若1,1A=−，写出集合A+、A−；（2）若1234,,,Axxxx=，1234xxxx，且AA−=，求证：1423xxxx+=+；（3）若|02021,NAxx

x，且AA+−=，求集合A元素个数的最大值．【答案】（1）2,0,2A+=−，0,2A=（2）证明见解析（3）1348【解析】【分析】（1）根据定义|,,AxxababA+==+，|,,AxxababA−==−，直接求解即可，（2

）由题意利用集合A中的元素间的关系及可证明，（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求k的范围，即可求出最大值．【小问1详解】由题意，得2,0,2A+=−，0,2A=，【小问2详解】证明：因为1

234,,,Axxxx=，1234xxxx，且AA−=，所以集合A−也有四个元素，且都为非负数，因为12||0xxA−−=，又因为AA−=，所以0A且10x=，所以集合A−中其他元素为220xx−=，

330xx−=，440xx−=，即2131410,,,}Axxxxxx−=−−−，剩下的324321xxxxxx−=−=−，因为1324240xxxxxx=−−，所以322xxx−=，423xxx−=即4231xxxx−=−，即1423xxxx+=+，所以1423xxxx+=

+【小问3详解】设123,,,,kAaaaa=，满足题意，其中123kaaaa，因为11213123122kkkkkkaaaaaaaaaaaaaa−++++++，所以21Ak+−，因为1121311kaaaaaaaa−−−

−，所以||Ak−，因为AA+−=，所以31AAAAk+−+−=+−，AA+−中最小的元素为0，最大的元素为2ka，所以*21,31214043(N),1348kkAAakakk+−+−+，实际当674,675,676,,2020A=，时

满足题意，证明如下：设,1,2,2021Ammm=++，Nm，则2,21,22,4040Ammm+=++，0,1,2,2020Am−=−，由题意得20202mm−，即16733m，故m的最小值为674．即674,675,676,,2021A=时，满足题意，综上所述

，集合A中元素的个数为202167411348−+=（个)．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到*21,31214043(N),1348kkAAakakk+−+−+，进而证明67

4,675,676,,2021A=符合题意.