【文档说明】北京市八一学校2024届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.035 MB，由小赞的店铺上传

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北京市八一学校2023—2024学年度第一学期10月月考高三数学试卷本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出

的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合3Axx=，2N2∣=Bxx，则AB=（）A.{0,1}B.{1,2}C.{1,1}−D.{1,0,1}−【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法

化简集合A，根据一元二次不等式的解法及自然数集化简集合B，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为集合333Axxxx==−，2N20,1Bxx==∣，所以AB={0,1}.故选：A.2.已知角终边经过点(

2,1)P，则sin=（）A.12B.55C.255D.2【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义即可求解.【详解】由三角函数的定义可知，角终边经过点(2,1)P，故2215sin521==+.故选：B3.已知命题(0,

)x+，1ln1xx−，则p为（）A.(0,)+x，1ln1xx−B.(0,)x+，1ln1xx−C.(0,)+x，1ln1xx−D.(0,)x+，1ln1xx−【答案】C【解析

】【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题(0,)x+，1ln1xx−，则p：(0,)+x，1ln1xx−.故选：C.4.已知1ln2a=，121log3b=，122

c−=，则（）A.bcaB.bacC.cabD.cba【答案】A【解析】【分析】根据对数函数单调性得1,0ba，由指数函数的性质得01c，即可比较.【详解】1lnln102a==，12221loglog3log213b===，又

1020221c−==，所以10bca，即bca.故选：A.5.已知sincos2+=，则cos2=（）A.0B.1C.1−D.2−【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式化简sincos2+=可得，进而

可得cos2.【详解】sincos2+=即π2sin24+=，则πsin14+=，故()ππ2π,Z42kk+=+，()π2π,Z4kk=+.故()Zcπosπ402cos,2kk==+.故选：A6.若

0ab+，且0b，则（）为的A.22ababB.22abab−C.22baba−D.22aabb−【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质可得22ab，排除ABD，再根据不等式性质判断C即

可.【详解】对ABD，因为0ab+，故ba−，又0b，故0ba−，故()2220baa−=，即22ba，故ABD错误；对C，()20babbab+=+，故2bab−，又()2aabaab

+=+，因为0ab+，且0b，故a<0，故()0aab+，即2aba−，则22baba−，故C正确；故选：C7.已知函数()tanfxx=和直线:lyxa=+，那么“直线l与曲线()yfx=相切”是“

0a=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据导数的几何意义求解a，再根据充分、必要条件的概念判断即可.【详解】设直线:lyxa=+与曲线()tanfxx=相切于点00(,)xy，由()tanfxx=可

得()()22coscossinsin1coscosxxxxfxxx−−==，于是有：20000011costanxyxayx==+=，所以20000cos1tan0xaxyx==−==，所以0π,Z

π,Zxkkakk==−，当0k=时，0a=，所以0a=时，直线l与曲线()yfx=相切，但是直线l与曲线()yfx=相切时，a不一定为0，即“直线l与曲线()yfx=相切”是“0a=”的必要不充分条件.故选：B8.已知函数()sinyAx=+的部分图象如图所

示，将该函数的图象向左平移t（0t）个单位长度，得到函数()yfx=的图象．若函数()yfx=的图象关于原点对称，则t的最小值（）A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B【解析】【分析】结合函数图像求出函数()sinyAx=+的图像

距离原点最近的点的坐标，即可确定t的值【详解】解：如图设函数()sinyAx=+的部分图像与x轴的交点为,,ABC，由图可知,62fafa−==−，所以62ff−=−，所以点,6a−与点

,2a−关于点A对称，设(,0)AAx，则262Ax−+=，解得6Ax=，因为将函数()sinyAx=+函数的图像向左平移t（0t）个单位长度，得到函数()yfx=的图像，且图像关于原点对称，所以平移后的函数()yfx=为奇函数，即(0)0f=相当于把()sinyAx

=+的图像与x轴最近的交点平移到坐标原点即，由图可知此点为,06A，所以6t=，故选：B9.某批救灾物资随41辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km，为安全起

见，两辆汽车的间距不得小于2km900v（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则=v（）A.70B.80C.90D.100【答案】C【解析】【分析】根据题意列式后由基本不等式求解【详解】第一辆汽车到达灾区所用的时间为360hv，由题意

，知最短每隔2900h900vvv=到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为36040h900vv+，要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.又3603602360240289004545vvvvvv+=+=，当且仅

当360245vv=，即90v=时等号成立.故选：C10.已知奇函数f(x)的定义域为(,),22−且()fx是f(x)的导函数.若对任意(,0),2x−都有()cos()sin0,fxxfxx+则满足()2cos()3

ff的θ的取值范围是（）A.(,)23−B.(,)(,)2332−−C.(,)33−D.(,)32【答案】D【解析】【分析】令()()cosfxgxx=，先判断函数()gx为奇函数，再判断函数()g

x在区间(2−，)2上单调递减，由()2cos()3ff，得()()3gg，即可求出．【详解】令()()cosfxgxx=，(2x−，)2，()fx为奇函数，cosyx=为偶函数，()

gx为奇函数．(2x−，0)，有()cos()sin0fxxfxx+，2()cos()sin()0fxxfxxgxcosx+=，()gx在区间(2−，0)上单调递减，又()gx为奇函数，()gx在区间(2−，)2上单调递减，当(2x−，)2，co

s0x，()2cos()3ff，()()3coscos3ff，()()3gg，32故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难

题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键

；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第二部分（非选择题共110分）二、

填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.在复平面内，复数12zi=−对应的点到原点的距离是_______．【答案】5【解析】【详解】因为复数12zi=−，所以()2125z=+−=，根据复数模的几何意义可知故选复数12zi=−对应的点到原点的距离是5，故答案为5.12.函数1,Q()0,Qx

fxx=，则()2f=______.【答案】0【解析】【分析】根据分段函数解析式求值即可.【详解】因为2Q，所以()20f=.故答案为：013.若函数()2cos()1fxx=++，其

中0对任意的x都有()(2)fxfx=−，写出一组符合条件的，的值______.【答案】1,-1（答案不唯一）【解析】【分析】根据余弦函数的对称性建立方程，然后赋值即可求解.【详解】由()(2)fxfx=−得直线1x=是()fx的一个对称轴，令π,Zxkk+=得

π,Zkxk=−，当0k=时，x=−，不妨取1−=，即=−，则符合题意的一组，的值为1,-1（答案不唯一）.故答案为：1,-1（答案不唯一）.14.设函数()()1xfxxeax=−−，其中1a，若存

在唯一整数0x，使得()0fxa，则a的取值范围是__________．【答案】211,ee【解析】【分析】令()xgxxe=，h（x）＝ax，求出()gx后画出()gx、()hx的图象，数形结合建立不等式组，即可得解.【

详解】存在唯一整数0x，使得()0fxa，即存在唯一整数0x，使得000xxeax令()xgxxe=，()hxax=，则()(1)xxxgxxeexe=+=+，∴当1x−时，()0gx，则函数()gx在(),1−−

上单调递减；当1x−时，()0gx，则函数()gx在()1,−+上单调递增；而21(1),(0)0,(2)2gggee−−=−=−=−；当x→−时，0xe→，所以0xxe→且当0x时，0xxe因为存在唯一的整数x0使得000xxeax．当直线()hxax=与()xgxxe

=相切时，设切点为000(,)xxxe，则切线的斜率为()001xkxe=+，又直线()hxax=过原点，所以此时()00()1xhxxex=+由切点再切线上，可得()000001xxxexex=+，解得00x=所以()0011ake==+=所以当直线()hx

ax=与()xgxxe=相切时，1a=因为0x时，1xe，0x时，1xe所以()10xxxexxe−=−，则()()hxgx，此时不满足条件.所以结合图形知：当0a时，有无数多个整数x0使得()0fxa，故不满足题意.又1a，由图可知当直线()h

xax=在1l与2l之间时，满足条件的整数x0只有1−110110leke−−==−−，22220120leke−−==−−所以满足条件的a的范围是：211aee故答案为：211,ee15.已知函数()2()ln1fxaxx=++

，则下列说法正确的是______.①函数()fx的定义域为R.②Ra，函数()fx奇函数.③[0)a+,，函数()fx在(0,)+为增函数.④Ra，函数()fx有极小值点.【答案】②③④【解析】【分析】举反例判断①，根据奇函数的性质

和对数运算法则判断②，利用导数法判断函数单调性判断③，举例说明判断④.【详解】对于①，当2a=−时，()2()ln21fxxx=−++，令2210xx−++，解得33x，其定义域为3,3−，不是R，错误；对于②，因为函数()2()ln1fxaxx=++是奇函

数，所以()()()()22ln1ln10fxfxaxxaxx+−=+++−++=，即()222ln10axx−++=，所以22211axx−++=，即()2210ax−=，所以210a−=，解得1a=，经检验符合题意，即Ra，函数()fx为奇函数，正确；

对于③，()2()ln1fxaxx=++，则221()1xaxfxaxx++=++，因为0a，0x，所以()0fx，所以[0)a+,，函数()fx在(0,)+为增函数，（利用增函数的性质判断

增函数也可以），正确；为对于④，当0a=时，()()221()ln1ln12fxxx=+=+，则2()1xfxx=+，令()0fx=，得0x=，令()0fx¢>，得0x，令()0fx，得0x，所以

函数()fx在(0,)+上单调递增，在(,0)−上单调递减，所以函数()fx有极小值点0，故Ra，函数()fx有极小值点，正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：利用导数判断函数的单调性是解题的关键点，另外举反例判定全称量词命题为假命题，利用特例

法判断存在量词命题为真命题也是解决难题的方法之一.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()23sincoscos2(R)fxxxxx=−.（1）求()fx的单调递增区间；（2）求()fx的最小正周期，对称轴，

对称中心；（3）设π0,3x，求()fx的值域.【答案】（1）πππ,π63kk轾犏-+犏臌，Zk（2）()fx的最小正周期为π；()fx的对称轴为ππ23kx=+，Zk.()fx的对称中心为()ππ,0Z212kk+.（3）

1,2−【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.（2）根据三角函数基本性质求得最小正周期、对称轴和对称中心.（3）根据正弦函数图象性质求得区间内的值

域.小问1详解】π()23sincoscos23sin2cos22sin26fxxxxxxx=−=−=−，令πππ2π22π262kxk−−+，Zk，解得ππππ63kxk−+，Zk，所

以函数的单调递增区间为πππ,π63kk轾犏-+犏臌，Zk.【小问2详解】【()fx的最小正周期为2ππ2=.令ππ2π62xk−=+，Zk得ππ23kx=+，Zk，故()fx的对称轴为ππ23kx

=+，Zk.令π2π6xk−=，Zk得ππ212kx=+，Zk，故()fx的对称中心为()ππ,0Z212kk+.【小问3详解】因为π03x，所以πππ2662x−−，所以1

πsin2126x−−，所以π12sin226x−−，即()12fx−，所以()fx在π0,3上的值域为1,2−.17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足()()()sinsin3s

insinbaBAcBC−+=−（1）求角A的大小；（2）已知①2a=，②π4B=，③23cb=在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知____________，____________，若ABC存在，求ABC的面积；若不存在，说明理由.【

答案】（1）π6A=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可；（2）若选择①②：根据正弦定理、两角和正弦公式、三角形面积公式进行求解即可；若选择②③：根据正弦定理进行求解判断即可；若选择①③：根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】

根据正弦定理由()()()()()()sinsin3sinsin3baBAcBCbabacbc−+=−−+=−22222233babccabcbc−=−=+−，由余弦定理可知：2222cosabcbcA=+−，因此32cos3cos2AA==，因

为()0,πA，所以π6A=；【小问2详解】选择①②：①2a=，②π4B=，由正弦定理可得222222ππ1sinsin642bb===，ππππππππ23262sinsinπsinsincoscossin,4646464644C++=−−=+=+

==所以ABC的面积为1622223124+=+；选择②③：②π4B=，③23cb=，由（1）知π6A=，所以ππππππππ23262sinsinπsinsincoscossin,4646464644C++=−−

=+=+==因为62sin31423sin222cCbB++===，所以不存在ABC；选择①③：①2a=，③23cb=，由（1）知π6A=，由余弦定理定理可知：222223272cos41222327abcbcAbbbbb=+−=+−=

，即274212377c==，所以ABC的面积为14212712327727=.18.已知函数π()sin()0,0,2fxAxA=+在一个周期内的图象如图所示，其中，点P的坐标为(6,0)−，点Q是()fx图象上的最低点且坐标为(2,3)−

−，点R是()fx图象上的最高点.（1）求函数()fx的解析式；（2）记RPO=，QPO=（α，β均为锐角），求()tan2+的值.【答案】（1）()ππ3sin84fxx=−（

2）7736【解析】【分析】（1）由图象可得A，由函数()yfx=的最小正周期求得的值，利用正弦函数的对称中心结合的取值范围可求得的值，即可求得函数()fx的解析式；（2）利用函数周期求得(6,3)R，由两点式斜率公式及诱导公式求得1tan4=，3tan4=，进而利用二倍角正切公式和两角

和的正切公式求解即可.【小问1详解】由图象及(6,0)P−，(2,3)Q−−可知，3A=，又函数()fx的最小正周期()42616T=−−−=，所以2ππ8T==，因为点(6,0)P−为函数()fx的一个对称中心，所以

()π6π,Z8kk−+=，即3ππ,Z4kk=+，又π2，所以π0,4k==−，所以()ππ3sin84fxx=−.【小问2详解】由（1）函数周期及最值知(6,3)R，因为RPO=，QPO=，(6,0)P−，(2,3)Q−−，所以()30

1tan664PRk−===−−，()()303tanπtan264PQk−−−=−===−−−−，即3tan4=，所以22122tan84tan21tan15114===−−，所以()83tan2tan77154tan2831

tan2tan361154+++===−−.19.已知函数()21exaxxfx+−=.（1）求曲线()yfx=在点()0,1−处的切线方程；（2）若函数()fx的极大值点为2，求a的取值范围；（3）证明：当1a时，()e0fx+.【答案】（1）210xy

−−=（2）1,2−+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导函数的函数值等于原函数的图象在该点处的切线的斜率得到该点切线斜率，进而得到切线方程；（2）求导可得()()()21exxaxfx−−−=，再分情况讨论导数的

根与函数单调性，进而分析是否满足极大值点为2即可；（3）分析可得()2211eexxaxxxxfx+−+−=，再利用导数研究函数的单调性、最值，从而证明21e0exxx+−+即可.【小问1详解】由题意得()()2212exaxaxfx−+−+=，则(

)02f=，因此曲线()yfx=在点()0,1−处的切线方程是21yx=−，即210xy−−=；【小问2详解】由题意()()()()221221eexxaxaxxaxfx−+−+−−−==，设()()()21gxxax=−−−，①当0a=时，()2gxx=−，令()0gx有2x，令()

0gx有2x，故()fx在(),2−上单调递增，在()2,+上单调递减，满足()fx的极大值点为2；②当0a时，令()()()210gxxax=−−−=有12x=，21xa=−，()gx开口向下；令()0gx有12xa−，令()0gx有1xa−或2x，故()fx在1,a−

−上单调递减，在1,2a−上单调递增，在()2,+上单调递减，满足()fx的极大值点为2；③当a<0时，令()()()210gxxax=−−−=有12x=，21xa=−，()gx开口向上；

i.当12a−=，即12a=−时，()()()210gxxax=−−−，()fx在R上单调递增，无极大值点；ii.当12a−，即102a−时，令()0gx有12xa−，令()0gx有1xa−或2x，故()fx在(),

2−上单调递增，在12,a−上单调递减，在1,a−+上单调递增，满足()fx的极大值点为2；iii.当12a−，即12a−时，令()0gx有12xa−，令()0g

x有1xa−或2x，故()fx在1,a−−上单调递增，在1,2a−上单调递减，在()2,+上单调递增，不满足()fx的极大值点为2；综上有当()fx的极大值点为2时，a的取值范围为1,2−+【小问3详解】证明：当1a时，()2211eexx

axxxxfx+−+−=，则()()21e1eexxfxxx+−++−+，令()211exgxxx+=+−+，则()121exgxx+=++，易得()gx在R上单调递增，且()00121eg−=−+

=+，故当1x−时，()()0,gxgx单调递减；当1x−时，()()0,gxgx单调递增，所以()gx在=1x−处取到极小值，也即最小值，所以()()10gxg−=，因此()e0fx+.20.已知函数()cosfxxxaxa=−+，π0,2x

，(0)a.（1）当1a时，求()fx的单调区间；（2）求证：()fx有且仅有一个零点.【答案】（1）()fx的单调递减区间是π0,2，没有单调递增区间.（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数()fx的导数，设其导数为()gx，求出(

)gx，分析可得()gx的最值，分子可得()0gx，即()0fx，即可求出答案；（2）分类讨论a的范围，讨论()0f，π2f的值，由函数的零点存在性定理求解即可.【小问1详解】因为函

数()cosfxxxaxa=−+，()cossinfxxxxa−=−，令()cossingxxxxa=−−，π0,2x，则()2sincos0gxxxx−−=，所以()gx在区间π0,2上单调递减，当1a时，()010ga=−，所以()0gx，即()0

fx，所以()fx的单调递减区间是π0,2，没有单调递增区间.【小问2详解】由（1）知，()gx在区间π0,2上单调递减，且()01ga=−，ππ22ga=−−，当1a时，()fx在区间π0,2上单调递减，因为()00fa=，ππ1022f

a=−，所以()fx有且仅有一个零点.当π02a−−，即π2a−时，()0gx，即()0fx，()fx在区间π0,2上单调递增，因为()00fa=，ππ1022fa=−，所以()fx

有且仅有一个零点当π12a−，()010=−ga，ππ022ga=−−，所以存在0π0,2x，使得()00gx=，当00xx时，()0fx；当0π2xx时，()0fx，所以(

)fx在()00,x上单调递增，在0π,2x上单调递减，因为()0fa=，ππ122fa=−，且0a，所以()2ππ01022ffa=−，所以()fx有且仅

有一个零点.综上所述，()fx有且仅有一个零点.【点睛】方法点睛：函数的零点问题的求解，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（画出函数()fx的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令

()0fx=得到()()gxhx=，再分析(),()gxhx的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.21.已知x为实数，用x表示不超过x的最大整数，例如1.21=，1.22−=−，

11=.对于函数()fx，若存在mR且mZ，使得()()fmfm=，则称函数()fx是“和谐”函数..（1）判断函数()213fxxx=−，()singxx=是否是“和谐”函数；（只需写出结论）（2）设函数()fx是

定义在R上的周期函数，其最小周期为T，若()fx不是“和谐”函数，求T的最小值.（3）若函数()afxxx=+是“和谐”函数，求a的取值范围.【答案】（1）()213fxxx=−是“和谐”函数，()singxx=不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）0a

且*kN，2ak且()1akk+【解析】【分析】（1）根据“和谐”函数的定义即可判断()213fxxx=−，()singxx=是否是“和谐”函数.（2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可.（3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论0a=，

a<0和0a时，满足的条件即可.【详解】（1）由题知：()213fxxx=−是“和谐”函数，()singxx=不是“和谐”函数.（2）T的最小值为1.因为()fx是以T为最小正周期的周期函数，所以()()0fTf=.假设1T，则0T=，所以()()0f

Tf=，矛盾.所以必有1T，而函数()lxxx=−的周期为1，且显然不是“和谐”函数，综上，T的最小值为1.（3）当函数()afxxx=+是“和谐”函数时，若0a=，则()fxx=显然不是“和谐”函数，矛盾.若a<0，则()2'10afxx=−，所以()fx在(),0−，

()0,+上单调递增，此时不存在(),0m−，使得()()fmfm=，同理不存在()0,m+，使得()()fmfm=，又注意到0mm，即不会出现0mm的情形，所以此时()afxxx=+不是“和谐”函数.当0a时，设()()fmfm=，所以

aammmm+=+，所以有amm=，其中0m，当0m时，因为1mmm+，所以()21mmmmm+，所以()21mamm+.当0m时，0m，因为1mmm+，所以()21mm

mmm+，所以()21mamm+.记km=，综上，我们可以得到“0a且*kN，2ak且()1akk+”.【点睛】本题主要考查函数的新定义和函数的周期性，同时考查了学生的运算和推理能了，综合性较强，属于难题.