【文档说明】高中数学人教版选修2-2教案：1.3.2函数的极值与导数 （二）含答案【高考】.doc，共(5)页，388.500 KB，由小赞的店铺上传

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11.3.2函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解

及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一．创设情景观察图3.3-8，我们发现，ta=时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()ht在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta=附近函数()ht的图像，如图3.3-

9．可以看出()ha；在ta=，当ta时，函数()ht单调递增，()0ht；当ta时，函数()ht单调递减，()0ht；这就说明，在ta=附近，函数值先增（ta，()0ht）后减（ta，()0ht）．这样

，当t在a的附近从小到大经过a时，()ht先正后负，且()ht连续变化，于是有()0ha=．对于一般的函数()yfx=，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而

言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数22()4.96.510httt=−++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()(

)9.86.5vthtt==−+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()ht是增函数．相应地，'()()0vtht=．[学

.科.网Z.X.X.K]（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即()ht是减函数．相应地，'()()0vtht=．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f

x表示函数()fx在点00(,)xy处的切线的斜率．在0xx=处，'0()0fx，切线是“左下右上”式的，这时，函数()fx在0x附近单调递增；在1xx=处，'0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时

，函数()fx在1x附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx=在这个区间内单调递减．说明

：（1）特别的，如果'()0fx=，那么函数()yfx=在这个区间内是常函数．3．求解函数()yfx=单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx=的定义域；（2）求导数''()yfx=；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解

不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()fx的下列信息：[]3当14x时，'()0fx；当4x，或1x时，'()0fx；当4x=，或1x=时，'()0fx=试画出函数()yfx=图像的大致形状．

解：当14x时，'()0fx，可知()yfx=在此区间内单调递增；当4x，或1x时，'()0fx；可知()yfx=在此区间内单调递减；当4x=，或1x=时，'()0fx=，这两点比较特殊，我们把它

称为“临界点”．综上，函数()yfx=图像的大致形状如图3.3-4所示．[]例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3fxxx=+；（2）2()23fxxx=−−（3）()sin(0,)fxxxx=−；（4）

32()23241fxxxx=+−+[学+科+网]解：（1）因为3()3fxxx=+，所以，'22()333(1)0fxxx=+=+因此，3()3fxxx=+在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23fxxx=−−，所以，()'()2221fx

xx=−=−当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx=−−单调递增；当'()0fx，即1x时，函数2()23fxxx=−−单调递减；函数2()23fxxx=−−的图像如图3.3-5（2

）所示．（3）因为()sin(0,)fxxxx=−，所以，'()cos10fxx=−因此，函数()sinfxxx=−在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241fxxxx=+−+，所以．当'()0f

x，即时，函数2()23fxxx=−−；当'()0fx，即时，函数2()23fxxx=−−；4函数32()23241fxxxx=+−+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3如图3.3-6，水以常速（即单

位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器

的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4BADC→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这

时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()yfx=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+或(),a−内的图像“平缓”．例4求证：函数3223121yxxx=+−+在区间()2,1−内是减

函数．证明：因为()()()'22661262612yxxxxxx=+−=+−=−+当()2,1x−即21x−时，'0y，所以函数3223121yxxx=+−+在区间()2,1−内是减函数．说明：证明可导函数()fx在(),ab内的单调性步骤：（1）求导函数

()'fx；（2）判断()'fx在(),ab内的符号；（3）做出结论：()'0fx为增函数，()'0fx为减函数．例5已知函数232()4()3fxxaxxxR=+−在区间1,1−上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422fxaxx=

+−，因为()fx在区间1,1−上是增函数，所以'()0fx对51,1x−恒成立，即220xax−−对1,1x−恒成立，解之得：11a−所以实数a的取值范围为1,1−．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见

的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0fx；若函数单调递减，则'()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．[学。科。网]四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=x1+2x3.f(x)

=sinx,x]2,0[4.y=xlnx2．课本P101练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()yfx=单调区间（3）证明可导函数()fx在(),ab内的单调性六．布置作业