【文档说明】专题09 二次函数-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（解析版）.docx，共(91)页，4.523 MB，由管理员店铺上传

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专题09二次函数一．选择题1．（2022·陕西）已知二次函数223yxx=−−的自变量123,,xxx对应的函数值分别为1y，2y，3y．当110x−，212x，33x>时，1y，2y，3y三者之间的大小关系是（）

A．123yyyB．231yyyC．312yyyD．213yyy【答案】D【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为1x=，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为(1,0)−和(3,0)，根据开口向上即可判断．【详解】解：抛物线2223(1)4yxxx=−−=−−，∴

对称轴1x=，顶点坐标为(1,4)−，当0y=时，2(1)40−−=x，解得1x=−或3x=，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：(1,0)−，(3,0)，∴当110x−，212x，33x>时，213yyy，故选：D．【点睛】本题考查抛物线的性质，熟

练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．2．（2022·山东潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．14−B．14C．4−D．4【答案】B【分析】根据抛物线与

x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，∴△=1-4c=0，解得：c=14．故选：B．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的

判别式的意义是解本题的关键．3．（2022·湖南郴州）关于二次函数()215yx=−+，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是()1,5−C．该函数有最大值，是大值是5D．当1x时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐

一求解即可．【详解】解：对于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，是小值是5，故C错误；当1x时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交

点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．4．（2022·山东青岛）已知二次函数2yaxbxc=++的图象开口向下，对称轴为直线1x=−，且经过点(30)−，，则下列结论正确

的是（）A．0bB．0cC．0abc++D．30ac+=【答案】D【分析】图象开口向下，得a<0，对称轴为直线12bxa=−=−，得b=2a，则b<0，图象经过(30)−，，根据对称性可知，图象经过点(1)0，，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．【详

解】解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线12bxa=−=−，∴b=2a，∴b<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过(30)−，，∴图象经过点(1)0，，∴c>0，故B不符合题意；当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；将将b=2a代入，可知3a+c

=0，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线22(9)3yx=+−的顶点坐标是（）A．(9,3)−B．(9,3)−−C．(9

,3)D．(9,3)−【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式2()yaxhk=−+可得顶点坐标为(,)hk即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为22(9)3yx=+−，∴顶点坐标为(9,3)−−；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函

数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是()A．y=2x-3B．y=2x+3C．y=2(3)x+D．y=2(3)x−【答案】B【分析】根据二次函数图像平

移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.【详解】∵抛物线y=x2向上平移3个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.故答案为：B.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.7．（

2022·湖北武汉）二次函数()2yxmn=++的图象如图所示，则一次函数ymxn=+的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【答案】D【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0

，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限，∴-m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次

函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数2yx=的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④

沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数2yx=向右平移2个单位长度得到：()22yx=−，把点(2,0)

代入得：()2220y=-=，所以该平移方式符合题意；②将二次函数2yx=向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：()211yx=−−，把点(2,0)代入得：()22110y=--=，所以该平移方式符合题意；③将二次函数2yx=向下平移4个单位长度得到：24yx=−，把点(2,0)代入得

：2240y=-=，所以该平移方式符合题意；④将二次函数2yx=沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：24yx=−+，把点(2,0)代入得：2240y=-+=，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D．【点睛】本题主要考查二次

函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．9．（2022·湖南岳阳）已知二次函数2243ymxmx=−−（m为常数，0m），点(),ppPxy是该函数图象上一点，当04px时，3py

−，则m的取值范围是（）A．m1或0mB．m1C．1m−或0mD．1m−【答案】A【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：0m或0m，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．【详解】解：∵二次函数224

3ymxmx=−−，∴对称轴为2xm=，抛物线与y轴的交点为()0,3−，∵点(),ppPxy是该函数图象上一点，当04px时，3py−，∴①当0m时，对称轴20xm=，此时，当4x=时，3y−，即2244433mm−−−

，解得m1；②当0m时，对称轴20xm=，当04x时，y随x增大而减小，则当04px时，3py−恒成立；综上，m的取值范围是：m1或0m．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．10

．（2022·四川宜宾）已知抛物线2yaxbxc=++的图象与x轴交于点()2,0A−、()4,0B，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（）A．13aB．13aC．103aD．103a【答案】A【分析】根据题意，设抛物线的解析式为()()

24yaxx=+−，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．【详解】解：抛物线2yaxbxc=++的图象与x轴交于点()2,0A−、()4,0B，设抛物线的解析式为()()24yaxx=+−()222819yaxaxaaxa=−−=−−顶点坐标

为()1,9a−，6AB=,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，93a−−解得13a故选：A【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．1

1．（2022·山东威海）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是()A．b＞0B．a+b＞0C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2

时，y2＜y1＜0【答案】D【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．【详解】解：根据图像知，当1x=时，0yab=+，故B选项结论正确，不符合题意，0a，0b，故A选项结论正确，不符合题意；由题可知二次函数对称轴为12bxa=−=，2ba=−，

20abaaa+=−=−，故B选项结论正确，不符合题意；根据图像可知2x=是关于x的方程()200++=axbxca的一个根，故C选项结论正确，不符合题意，若点()11,xy，()22,xy在二次函数的图像上，当

122xx时，120yy，故D选项结论不正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．12．（2022·广西）已知反比例函数(0)bybx=的图象如

图所示，则一次函数()0ycxac=−和二次函数2(0)yaxbxca=++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项

中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数(0)bybx=的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则-2ba>0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D

选项全不符合；当a>0，则-2ba<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项

符合题意．故选：D．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．13．（2022·山东潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→

C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解

】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=12x，由勾股定理得FG=32x，∴y=12AE×FG=34x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，D

F=x-1，∴AH=12，由勾股定理得DH=32，∴y=12(DF+AE)×DH=32x-34，图象是一条线段；当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=32(3-x)，∴y=AB×DH-12CF×EI=3-34

(3-x)2=-34x2+332x-534，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数

的图象．14．（2022·辽宁）如图，在RtABC中，90,24ABCABBC===，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQAB⊥交AC于点Q，将APQ沿直线PQ折叠得到APQ，设动

点P的运动时间为t秒，APQ与ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意易得APt=，1tan2A=，则有12PQt=，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的

右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵90,24ABCABBC===，∴1tan2A=，由题意知：APt=，∴1tan2PQAPAt==，由折叠的性质可得：,90APAPAPQAPQ===，当点P与AB中点重合时，则有2t=，当点P在AB中点的左侧时，即02t

，∴APQ与ABC重叠部分的面积为211112224APQSAPPQttt===；当点P在AB中点的右侧时，即24t，如图所示：由折叠性质可得：,90APAPtAPQAPQ====，1tantan2AA==，∴4BPt=−，

∴24ABt=−，∴tan2BDABAt==−，∴APQ与ABC重叠部分的面积为()()2111324442224PBDQSBDPQPBttttt=+=+−−=−+−梯形；综上所述：能反映APQ与ABC重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．【点睛

】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．15．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线2(0)yaxbxca=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OACOCB=．则ac的值为（）A．1−B．2−C．12−D．13−【答案】A【分析】观

察图象，先设11(,0)(<0)Axx，22(,0)(>0)Bxx，(0,)Cc(>0)c，根据已知条件OACOCB=及OCAB⊥证明OACOCB∽△△，得出21212xxcxx==−，利用根与系数的关系知12cxxa=，最后得出答案．【

详解】设11(,0)(<0)Axx，22(,0)(>0)Bxx，(0,)Cc(>0)c，∵二次函数2yaxbxc=++的图象过点(0,)Cc，∴OCc=，∵OACOCB=，OCAB⊥，∴OACOC

B∽△△，∴OAOCOCOB=，∴2OCOAOB=，即21212xxcxx==−，令20axbxc++=，根据根与系数的关系知12cxxa=，∴212cxxca−=−=，故1ac=−故选：A．【点睛】本题考查了二次函数2yaxbxc=++(0)a与关于方程2

0axbxc++=(0)a之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·黑龙江牡丹江）若二次函数2yax=的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（）A

．（2，4）B．（－2，－4）C．（－4，2）D．（4，－2）【答案】A【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入2yax=，得()2421aa=−=，∴二次函数解析式为2yx

=．∴所给四点中，只有（2，4）满足2yx=．故选A．17．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数()211yx=−+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．()2

21yx=−−B．()223yx=−+C．21yx=+D．21yx=−【答案】D【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数()211yx=−+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个

单位长度，所得函数的解析式为()2211121yxx=−++−=−故选D．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．18．（2022·四川遂宁）如图，D、E、F分别

是ABC三边上的点，其中8BC=，BC边上的高为6，且DE//BC，则DEF面积的最大值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】A【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设ANa=，根据∥DEBC，证明ADEABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到43DEa

=，列出DEF面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设ANa=，DEBC∥，,ADEBAEDC==，ADEABC，DEAN

BCAM=，86DEa=，∴43DEa=,2211422(6)4(3)622333DEFSDEMNaaaaa==−=−+=−−+，当3a=时，S有最大值，最大值为6，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点

是解题的关键．19．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最

小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②

；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．【详解】解：∵点A，B的

坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)，∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞

1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，

x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x22224()4bcbacaaa−=−−=，根据顶点坐标公式，2424acba−=−，∴248acb

a−=−，即248baca−=，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴8a=42=16，解得a=12，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．．【点睛】本题考查了二次函数的综合

题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．20．（2022·江苏泰州）已知点()()()1233,,1,,1,yy

y−−在下列某一函数图像上，且312yyy那么这个函数是()A．3yx=B．23yx=C．3yx=D．3yx=−【答案】D【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．【

详解】解：A．把点()()()1233,,1,,1,yyy−−代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件312yyy不符，故选项错误，不符合题意；B．把点()()()

1233,,1,,1,yyy−−代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件312yyy不符，故选项错误，不符合题意；C．把点()()()1233,,1,,1,yyy−−代入y=3x，解得y1

=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件312yyy不符，故选项错误，不符合题意；D．把点()()()1233,,1,,1,yyy−−代入y=-3x，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以312yyy，这与已知条件

312yyy相符，故选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．21．（2022·广西贺州）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3

D．4【答案】D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1

>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：

D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．22．（2022·内蒙古包头）已知实数a，b满足1ba−=，则代数式2267aba+−+的最小值等于（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【分析】由已知得b=a+1，

代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小

值，最小值为5，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．23．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数2yaxbxc=++(0)a的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为1x=−，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2ba

=；②32a−−；③24<0acb−；④若关于x的一元二次方程24axbxcm++=−(0)a有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】根据二次函数图象与性

质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：∵二次函数2yaxbxc=++(0)a的对称轴为1x=−，∴1,2bxa=−=−∴2,ba=故①正确；∵函数图象开口向下，对称轴为1x=−，函数最大值为4，∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x=-1时

，4−+=abc∴24aac−+=∴4ca=+，∵二次函数2yaxbxc=++(0)a的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，∴1<c<2∴1<4+a<2∴32a−−，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴240bac−

∴24<0acb−，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程24axbxcm++=−有两个不相等的实数根，∴044m−∴48m，故④错误；由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：

B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．24．（2022·湖北鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），

经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】①根据抛物线的开口方向

向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；②∵抛物

线的顶点为P（1，m）∴12ba−=，b=-2a∵a＜0∴b＞0∵抛物线与y轴的交点在正半轴∴c＞0∴abc＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A（2，1）∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正

确；④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；⑤∵a＜0∴at2+bt-（a+b）=at2-2at-a+2a=at2-2at+a=a（t2-2t+1）=a（t-1）2≤0∴at2+bt≤a+b，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为

C．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．25．（2022·四川雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（）①当x＝2

时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．A．②③④B．

①②④C．①③D．①②③④【答案】B【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解：y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x＝2时，y取得最小值﹣

9；故①符合题意；y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为2x=，而3242,-<-21,yy\>故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；当0y=时，则()

2290,x--=解得：125,1,xx==-而()516,--=故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．二．填空题26．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形ABCD中，,

90,45BCADDA==∥，动点P，Q同时从点A出发，点P以2cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线ADDC→向终点C运动，设点Q的运动时间为(s)x，APQ的面积为()2cmy，若y与x之间的函数关系的图

像如图2所示，当7(s)2x=时，则y=____________2cm．【答案】354【分析】根据题意以及函数图像可得出AEDAPQ∽，则点Q在AD上运动时，APQ为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式

得出当面积最大为9时，此时3x=，则26cmADx==，当34x时，过点P作PFAD⊥于点F，则此时APQAPFADQPQDFSSSS=+−四边形，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将7(s)2x=代入解析式求解即可．【详解】解：过

点D作DEAB⊥，垂足为E，在RtADE△中，∵90AED=，45EAD=，∴22AEAD=，∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴2,2APxAQx==，∴2222APtAQt==，在APQ和AED中，∵22AEAPADAQ=

=，45A=，∴AEDAPQ∽，∴点Q在AD上运动时，APQ为等腰直角三角形，∴2APPQx==，∴当点Q在AD上运动时，2112222yAPAQxxx===，由图像可知，当9y=此时面积最大，3x=或3

−（负值舍去），∴26cmADx==，当34x时，过点P作PFAD⊥于点F，如图：此时APQAPFADQPQDFSSSS=+−四边形，在RtAPQ中，2APx=，45A=，∴AFPFx==，6FDx=−，26QDx=−，∴2111(26)(6)6(26)2

22APQSxxxxx=++−−−−，即26yxx=−+，所以当7(s)2x=时，227735()6(cm)224y=−+=，故答案为：354．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关

键．27．（2022·江苏无锡）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．【答案】m>3【分析】先求得原抛物线的

顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右

平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，故答案为：m>3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的

关键是得到新抛物线的顶点坐标．28．（2022·福建）已知抛物线22yxxn=+−与x轴交于A，B两点，抛物线22yxxn=−−与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．【答案】8【分析】先求出抛物线22yxxn=+−与x轴的交点，抛物线22y

xxn=−−与x轴的交点，然后根据2ADBC=，得出224ADBC=，列出关于n的方程，解方程即可。【详解】解：把y=0代入22yxxn=+−得：220xxn+−=，解得：1244112nxn−−+==−−+，2244112nxn

−++==−++，把y=0代入22yxxn=−−得：220xxn−−=，解得：3244112nxn−+==−+，4244112nxn++==++，∵2ADBC=，∴224ADBC=，∴()()2214234xxxx−=

−，即()()22111141111nnnn−−+−−+=−++−++，()()2211411nn−−+=−++，令1nm+=，则()()22141mm−−=−，解得：113m=，23m=，当113m=时，113n+

=，解得：89n=−，∵0n＞，∴89n=−不符合题意舍去；当23m=时，13n+=，解得：8n=，∵08＞，∴8n=符合题意；综上分析可知，n的值为8．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表

示出224ADBC=，列出关于n的方程是解题的关键．29．（2022·湖北荆州）规定：两个函数1y，2y的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数122yx=+与222yx=−+的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数

()2213ykxkxk=+−+−（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．【答案】23yx=−或244yxx=−+−【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数()

2213ykxkxk=+−+−（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，函数()2213ykxkxk=+−+−（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k=0时，函数解析为23yx=−−，它的“Y函数”解析式为23yx=−，它们的图象与x轴只

有一个交点，当0k时，此函数是二次函数，它们的图象与x轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x轴上，()()2432104kkkk−−−=，得10kk+=，故k+1=0，解得k=-1，故原函数的解析式为244yxx=−−−，故它的“Y函数”解析式为244yxx=−+−，故答案为：2

3yx=−或244yxx=−+−．【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．30．（202

2·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线221yxx=+−先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．【答案】()13−，【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐

标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵()222112yxxx=+−=+−，∴抛物线的顶点为（-1，-2），将抛物线221yxx=+−先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），旋转后的抛物线为()212yx=−−+，再向

下平移5个单位，()2125yx=−−+−即()213yx=−−−．∴新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．31．

（2022·黑龙江大庆）已知函数231ymxmxm=++−的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．【答案】1或45−【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种

情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可【详解】当函数图象过原点时，函数231ymxmxm=++−的图象与坐标轴恰有两个公共点，此时满足10m−=，解得1m=；当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，此时满足

()()23410mmm=−−=，解得0m=或45m=−，当0m=是，函数变为1y=−与y轴只有一个交点，不合题意；综上可得，1m=或45m=−时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．故答案为：1或45−【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的

图象和性质．32．（2022·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当1020x≤≤时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为

______________元（利润=总销售额-总成本）．【答案】121【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【详解】解：当1020x≤≤时，设ykxb=+，，把（10，20），（20

，10）代入可得：10202010kbkb+=+=，解得130kb=−=，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为30yx=−+，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，()()()()2288303824019121wxyxxxxx=

−=−−+=−+−=−−+，∵-1<0，∴当19x=时，w有最大值为121，故答案为：121．【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．33．（2022·广西贵港）已知二次函数2(0)yaxbxca=++，图象的一部分

如图所示，该函数图象经过点(2,0)−，对称轴为直线12x=−．对于下列结论：①0abc；②240bac−；③0abc++=；④21(2)4ambmab+−（其中12m−）；⑤若()11,Axy和()22,Bxy

均在该函数图象上，且121xx，则12yy．其中正确结论的个数共有_______个．【答案】3【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴12x=−，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：2baca==−

，再根据抛物线开口朝下，可得0a＜，进而可得0b＜，0c＞，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【详解】∵抛物线的对称轴为：12x=−，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)，∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,

0)，∴代入(-2,0)、(1,0)得：4200abcabc−+=++=，解得：2baca==−，故③正确；∵抛物线开口朝下，∴0a＜，∴0b＜，0c＞，∴0abc＞，故①错误；∵抛物线与x轴两个交点

，∴当y=0时，方程20yaxbxc=++=有两个不相等的实数根，∴方程的判别式240bac=−＞，故②正确；∵2baca==−，∴22211()24ambmamamama+=+=+−，()(111)22444aba

aa−==−−，∴2211[2])42()(ambmabam+−−=+，∵12m−，0a＜，∴2211[2]()04()2ambmabam+−−=+＜，即2124()ambmab+−＜，故④正确；∵抛物线的对称轴为：12x=−，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数2yaxbxc=++，

在12x−＞时，y随x的增大而减小，∵12112xx−＞，∴12yy＜，故⑤错误，故正确的有：②③④，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．34．（202

2·辽宁）如图，抛物线2(0)yaxbxca=++与x轴交于点()1,0−和点()2,0，以下结论：①0abc；②420abc−+；③0ab+=；④当12x时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填

写代表正确结论的序号）【答案】①②##②①【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2

b+c＜0，故正确；③与x轴交于点()1,0−和点()2,0，则对称轴121222bxa−+=−==−，故ab=，故③错误；④当12x时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．故答案为：①②．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交

点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．35．（2022·四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．【答案】149##519【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（

-3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=

ax2+2，把点A点坐标（-3，0）代入得，∴920a+=，∴29a=−，∴抛物线解析式为：2229yx=−+；当水面下降，水面宽为8米时，有把4x=代入解析式，得2221442162999y=−+=−+=−；∴水面下降149米；故答案为：149；【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据

已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．36．（2022·内蒙古呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为(1,1)−−和(4,)1−，抛物线222(0)ymxmxm=−+与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是______．【答案】3m=或38m−【分析】根据抛物线

求出对称轴1x=，y轴的交点坐标为(0,2)，顶点坐标为(1,2)m−，直线CD的表达式1y=−，分两种情况讨论：当0m时，当0m时，利用抛物线的性质可知，当a越大，则抛物线的开口越小，即可求解．【详解】解

：抛物线的对称轴为：212mxm−=−=，当0x=时，2y=，故抛物线与y轴的交点坐标为(0,2)，顶点坐标为(1,2)m−，直线CD的表达式1y=−，当0m时，且抛物线过点(4,1)D−时，16821mm−+=−，解得38m=−（舍去），当0m，抛

物线222(0)ymxmxm=−+与线段CD只有一个公共点时，即顶点在直线CD上，则21m−=−，解得3m=，当0m时，且抛物线过点(4,1)D−时，16821mm−+=−，解得38m=−，由抛物线的性质可知，当a越大，则抛物线的开口越小，

且抛物线与线段CD只有一个公共点，∴38m−，且0m，解得38m−，综上所述，m的取值范围为3m=或38m−，故答案为3m=或38m−．【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决

问题是解题的关键．37．（2022·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【答案】224yxx=+或22(1)2yx=+−（答出这两种形式中任意一种均得分）【分析】直接根据“上

加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单

位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+1）2﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．38．（2022·内蒙古赤峰）如图，抛物线265yxx=−−−交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点(),1Dmm+是抛物线上的

点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为_________．【答案】（0，1）【分析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥x轴即可求出点D关于直线AC的对称点坐标．【详解】∵抛物线265yxx=−−−交x轴于A、

B两点，交y轴于点C，∴当2650yxx=−−−=时，121,5xx=−=−；当0x=时，5y=−∴(5,0),(1,0),(0,5)ABC−−−∴OA=OC=5∴45ACOOAC==∵(),1Dmm+是抛物线上的点∴2165mmm+=−−

−，解得121,6mm=−=−当1m=−时，()1,0D−与A重合；当6m=−时，()6,5D−−；∴CD∥x轴，∴45ACDOAC==设点D关于直线AC的对称点M，则45,ACDACMDCCM===∴M在y轴上，且△D

CM是等腰直角三角形∴DC=CM=6∴M点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．39．（2022·吉林长春）已知二次函数223yxx=−−+，当12ax剟时

，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．【答案】13−−##31−−【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当1x−时，y随x的增大而增大，当1x−时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若1a−；若1a−，即可求

解．【详解】解：()222314yxxx=−−+=−++，∴当1x−时，y随x的增大而增大，当1x−时，y随x的增大而减小，若1a−，当12ax剟时，y随x的增大而减小，此时当12x=时，函数值y最小，最

小值为74，不合题意，若1a−，当xa=时，函数值y最小，最小值为1，∴2231aa−−+=，解得：13a=−−或13−+（舍去）；综上所述，a的值为13−−．故答案为：13−−【点睛】本题主要考查了二次函数

的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三．解答题40．（2022·山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标

系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．小亮认为，可以从y=kx+b(k>0)，y=mx(m>0)，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田

和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选(0)mymx=．你认同吗？请说明理由；(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据（2）中你选择的函数模型

，请预测①号田和②号田总年产量．．．．在哪一年最大？最大是多少？【答案】(1)认同，理由见解析(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；(3)在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．【分析】（1）根据年产量变

化情况，以及反比例函数的性质即可判断；（2）利用待定系数法求解即可；（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．(1)解：认同，理由如下：观察①号田的年

产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，∴不是反比例函数关系，小莹认为不能选(0)mymx=是正确的；(2

)解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，由题意得1.522kbkb+=+=，解得：0.51kb==，∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；②号田符合

y=−0.1x2+ax+c，由题意得0.11.90.422.6acac−++=−++=，解得：11ac==，∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；(3)解：设总年产量为w，依题意得：w=−0

.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2=−0.1(x2-15x+2154-2154)+2=−0.1(x-7.5)2+7.625，∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，∴在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6吨．【点睛】本题考

查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．41．（2022·广西贺州）如图，抛物线2yxbxc=−++过点(1,0),(3,0)AB−，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(

2)点P为抛物线对称轴上一动点，当PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得BCMBCPSS=△△？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【

答案】(1)2yx2x3=−++；(2)点P坐标为(1,1)；(3)存在，123535,22mm+−==【分析】（1）把(1,0),(3,0)AB−代入2yxbxc=−++即可的得出抛物线解析式；（2）依题意可得出即P点在COB的平分

线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标；（2）利用铅垂线ME，即可表达出BCMS△，再由BCMBCPSS=△△即可列出方程求解．(1)根据题意，得()2201033bcbc=−−−+=−++，解得23bc==，抛物线解析式为：2yx2x3=−++

．(2)由（1）得2yx2x3=−++，点(0,3)C，且点(3,0)B，3OCOB==．∵当PCB是以BC为底边的等腰三角形∴PC=PB，∵OP=OP，∴COFBOFVV，∴190452COFBOF===，设抛物线的对称轴与x轴交于H点，则90OPH=，∴

45OPHPOH==，∴OHPH=，∵抛物线对称轴212(1)x=−=−，∴1OH=，∴1PH=，1y=∴．点P坐标为(1,1)．(3)存在．理由如下：过点M作MEy∥轴，交BC于点E，交x轴于点F．设()2,23Mmmm−++，则(,0)Fm，设直线BC的解析式为：ykx

b=+，依题意，得：033kbb=+=，解得13kb=−=，直线BC的解析式为：3yx=−+，当xm=时，3ym=−+，点E的坐标为(,3)mm−+，∵点M在第一象限内，且在BC的上方，223(3)MEmmm=−++−−+23mm=−+，1122BCMMECMEBSS

SMEOFMEFB=+=+△△△12MEOB=()2332mm=−+，1113331(13)122222BCPS=−+−=△．∵BCMBCPSS=△△，()233322mm−+=，解得123535,22

mm+−==．【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．42．（2022·广东）如图，抛物线2yxbxc=++（b，c

是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，()1,0A，4AB=，点P为线段AB上的动点，过P作PQBC∥交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．【答案】(1)223yxx=+−(2)2；P（-

1，0）【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由CPQCPAAPQSSS=−△△△列出函数式求解即可．(1)解：∵

点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：01093bcbc=++=−+，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为223yxx=+−；(2)解：由（1）得抛物线的解析式为223yxx=+−，顶点式为：2y(x1)4

=+−，则C点坐标为：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，∵PQ∥BC，设直

线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P,02n，由222yxnyx=−+=−解得：22,42nnQ+−，∵P在线段AB上，∴312n−，∴n的取值范围为-6＜n＜2，则CPQCPAAPQSSS=−△△△11214122222

nnn−=−−−()21228n=−++∴当n=-2时，即P（-1，0）时，CPQS△最大，最大值为2．【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象

与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．43．（2022·湖南永州）已知关于x的函数2yaxbxc=++．(1)若1a=，函数的图象经过点()1,4−和点()2,1，求

该函数的表达式和最小值；(2)若1a=，2b=−，1cm=+时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．(3)阅读下面材料：设0a，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数

的图象与x轴有两个不同的交点，所以2Δ40bac=−；②因为A，B两点在原点左侧，所以0x=对应图象上的点在x轴上方，即0c；③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：

即需02ba−．综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：20Δ40002abaccba=−−请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数223yaxx=−+的图象在直线1x=的右侧与x轴有且

只有一个交点，求a的取值范围．【答案】(1)221yxx=++或()21yx=+，0(2)0m„(3)10a−＜或13a=【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；（2）利用函数的图象与x轴有交点△≥0，即可得出

结论；（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．(1)根据题意，得144211bcbca++=−++==解之，得127abc===−，所以()222718yxxx=+−=+−函数的表达式227yxx=+−

或()218yx=+−，当1x=−时，y的最小值是-8．(2)根据题意，得221yxxm=−++而函数的图象与x轴有交点，所以()()22Δ42410bacm=−=−−+所以0m„．(3)函数223yaxx=−+的图象图

1：()202120212230aaaa−−−−−+即01311aaaa−，所以，a的值不存在．图2：()202120212230aaaa−−−−−+即01311aaaa−

的值10a−.图3：()202120212230aaaa−−=−−−+即01311aaaa=−所以a的值不存在图4：()202120212230aaaa−−−−−

+即01311aaaa−所以a的值不存在．图5：()202120212230aaaa−−=−−−+即01311aaaa=−所以a的值

为13图6：23yx=−+函数与x轴的交点为()1.5,0所以a的值为0成立．综上所述，a的取值范围是10a−＜或13a=．【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观

．44．（2022·北京）在平面直角坐标系xOy中，点(1,),(3,)mn在抛物线2(0)yaxbxca=++上，设抛物线的对称轴为.xt=(1)当2,cmn==时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点00(,)(1)xmx在抛物线上，

若,mnc求t的取值范围及0x的取值范围．【答案】(1)（0，2）；2(2)t的取值范围为322t，0x的取值范围为023x【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)mn关于对称轴

为xt=对称，可得t的值，即可求解；（2）抛物线与y轴交点关于对称轴xt=的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当xt时，y随x的增大而减小，当xt时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m，点(3,)n，（2t，c）均在对

称轴的右侧时；当点(1,)m在对称轴的左侧，点(3,)n，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．(1)解：当2c=时，22yaxbx=++，∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；∵mn=，∴点(1

,),(3,)mn关于对称轴为xt=对称，∴1322t+==；(2)解：当x=0时，y=c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），∴抛物线与y轴交点关于对称轴xt=的对称点坐标为（2t，c），∵0a，∴当xt时，y随x的增大而减小，当

xt时，y随x的增大而增大，当点(1,)m，点(3,)n，（2t，c）均在对称轴的右侧时，1t，∵,mnc1＜3，∴2t＞3，即32t（不合题意，舍去），当点(1,)m在对称轴的左侧，点(3,)n

，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点0(,)xm在对称轴的右侧，13t，此时点(3,)n到对称轴xt=的距离大于点(1,)m到对称轴xt=的距离，∴13tt−−，解得：2t，∵,mnc1＜3，∴2t＞3，即

32t，∴322t，∵0(,)xm，(1,)m，对称轴为xt=，∴012xt+=，∴013222x+，解得：023x，∴t的取值范围为322t，0x的取值范围为023x．【点睛】本题主要考查了二次函数

的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．45．（2022·贵州遵义）新定义：我们把抛物线2yaxbxc=++（其中0ab）与抛物线2ybxaxc=++称为“关联抛物线”．例如：抛物线2231yxx=++的“关联抛物线”为：2321yxx=++．已知抛物线()21:4430Cy

axaxaa=++−的“关联抛物线”为2C．(1)写出2C的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；(2)若0a，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线1C，2C于点M，N．①当6MNa=时，求点P的坐标；②当42axa

−−时，2C的最大值与最小值的差为2a，求a的值．【答案】(1)()24430yaxaxaa=++−，顶点为()23−−，(2)①()1,0P−或()2,0；②22a=−或2a=．【分析】（1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求

得顶点坐标；（2）①设(),0Pp，则()2,443Mpapapa++−，()2,443Npapapa++−，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．(1)解：抛物线()21:4430C

yaxaxaa=++−的“关联抛物线”为2C，根据题意可得，2C的解析式()24430yaxaxaa=++−()2244323yaxaxaax=++−=+−顶点为()23−−，(2)解：①设(),0Pp，则()2,443Mpapapa++−，()2,443Np

apapa++−()22443443MNapapaapapa=++−−++−233apap=−6MNa=2336apapa−=0a∴22pp−=当22pp−=时，解得11p=−，22p=当22pp−=−时，方程无解()1,0P−或(

)2,0②2C的解析式()24430yaxaxaa=++−()2244323yaxaxaax=++−=+−顶点为()23−−，，对称轴为2x=−0a，22a−−当()()()2422aa−−−−−−时，即1a

时，函数的最大值为()2423aa−+−，最小值为3−2C的最大值与最小值的差为2a()222aaa−=0a22a−=解得1222,22aa=−=+（1a，舍去）22a=−当()()()2422aa−−−−−−时，

且42a−−即12a时，函数的最大值为()2223aa−+−，最小值为3−2C的最大值与最小值的差为2a32aa=0a2a=解得122,2aa==−（12a，舍去）2a=当42a−−时

，即2a时，抛物线开向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，函数的最大值为()2223aa−+−33a=−，最小值为()()2242323aaaa−+−=−−2C的最大值与最小值的差为2a()233232aaaa−−−+=即()23220aaaa−−−=0a即()22220aa−−

−=解得32a=（2a舍去）综上所述，22a=−或2a=．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．46．（2022·湖北十堰）已知抛物线294yaxxc=++与x轴交于点()1

,0A和点B两点，与y轴交于点()0,3C−．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PDx⊥轴，垂足为D，连接PC．①如图1，若点P在第三象限，且45CPD=，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，

当点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，求四边形PECE的周长．【答案】(1)239344yxx=+−(2)①514,33P−−；②853或353【分析】（1）把点()1,0A，()0,3C−代入，即可求解；

（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，可得△CPQ为等腰直角三角形，从而得到PQ=CQ，设点239,344Pmmm+−，则OD=-m，239344PDmm=−−+，再由四边形OCQD为矩形，可得QC=OD

=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得到23944mPmQ−−=，即可求解；②过点E作EM∥x轴于点M，先求出直线BC的解析式为334yx=−−，证得四边形PECE为菱形，可得2334tCPtEE==+，然后根据△CEM∽△CBO，设点239,3

44Pttt+−，则点3,34Ett−−，然后分三种情况讨论，即可求解．(1)解：把点()1,0A，()0,3C−代入得：9043acc++==−，解得：343ac==−，∴抛物线解析式为239344yxx=+−；(2)解：①如图，过

点C作CQ⊥DP于点Q，∵点C（0，-3），∴OC=3，∵45CPD=，∴△CPQ为等腰直角三角形，∴CQ=PQ，设点239,344Pmmm+−，则OD=-m，239344PDmm=−−+，∵PDx⊥轴，∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，∴四边形OC

QD为矩形，∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，∴223939334444PQDPDmmmmQ−−−=−=−−=+，∴23944mmm−=−−，解得：53m=−或0（舍去），∴点514,33P−−；②如图，过点E作EM∥x轴于点M，令y=0，239304

4xx+−=，解得：124,1xx=−=（舍去），∴点B（-4，0），∴OB=4，∴225BCOBOC=+=，设直线BC的解析式为()0ykxnk=+，把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：403knn−+==−，解得：343kn=−=−，∴直线BC的解析式为334yx=

−−，∵点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，∴CECE=，PEPE=，PCEPCE=，∵DP⊥x轴，∴PD∥CE′，∴CPEPCE=，∴CPEPCE=，∴CE=PE，∴PEPECECE===，∴四边形P

ECE为菱形，∵EM∥x轴，∴△CEM∽△CBO，∴EMCEOBBC=，设点239,344Pttt+−，则点3,34Ett−−，当点P在y轴左侧时，EM=-t，当-4＜t＜0时，2233394333444ttt

PttE−+−=−−−=−，∴2334tCEPEt==−−，∴233445ttt−=−−，解得：73t=−或0（舍去），∴23353412PEtt=−−=，∴四边形PECE的周长为353512443PE==；当点P在y轴右侧时

，EM=-t，当t≤-4时，2239333443344ttttPEt=−+−−=+−，∴245334ttt−+=，解得：173t=−或0（舍去），此时23853412tPEt+==，∴四边形PECE

的周长为858512443PE==；当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t，2239333443344ttttPEt=−+−−=+−，∴245334ttt+=，解得：73t=−或0，不符合题意，舍去；综上所述，四边

形PECE的周长为853或353．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键

．47．（2022·河南）红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐

标系，并设抛物线的表达式为()2yaxhk=−+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答

案】(1)()20.153.2yx=−−+(2)2或6m【分析】（1）根据顶点()5,3.2，设抛物线的表达式为()253.2yax=−+，将点()0,0.7P，代入即可求解；（2）将1.6y=代入（1）的解析式，求得x的值，进而求与点()3,0的距离即可求解．(1)解：根据题意可知抛物线

的顶点为()5,3.2，设抛物线的解析式为()253.2yax=−+，将点()0,0.7代入，得0.7253.2a=+，解得0.1a=−，抛物线的解析式为()20.153.2yx=−−+，(2)由()20.153.2

yx=−−+，令1.6y=，得()21.60.153.2x=−−+，解得121,9xx==，爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为312−=(m)，或936−=(m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用

，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．48．（2022·浙江台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽

度3mDE=，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若1.5h=，0.5mEF=；①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的

最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．【答案】(1)①6m；②(2,0

)；③2231d−(2)6532【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物

线OBd，计算即可；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．(1)（1）①如图1，由题意得(2,2)A是上边缘抛物线的顶点，设2(2)2yax=−+．又∵抛物线经过点

(0,1)5.，∴1.542a=+，∴18a=−．∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28yx=−−+．当0y=时，21(2)208x−−+=，∴16x=，22x=−（舍去）．∴喷出水的最大射程OC为6m．图1②∵对称轴为直线2x=，∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)．∴

下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为(2,0)．③如图2，先看上边缘抛物线，∵0.5EF=，∴点F的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F时，21

(2)20.58x−−+=．解得223x=，∵0x，∴223x=+．当0x时，y随着x的增大而减小，∴当26x时，要使0.5y，则223x+．∵当02x时，y随x的增大而增大，且0x=时，1.50.5y=，∴当06x时，要使0.5y，则0223x+．∵3DE=，灌溉

车喷出的水要浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为(223)3231+−=−．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OBd，∴d的最小值为2．综上所述，d的取值范围是2231d−．(2)h的最小值为6532．由题意得(2,0.5)Ah+是上边缘

抛物线的顶点，∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5yaxh=−++．∵上边缘抛物线过出水口（0，h）∴40.5yahh=++=解得18a=−∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58yxh=−−++∵对称轴为直线2x=，∴点(0,)h的对称点的坐标为(4,)h．∴下边缘抛物线是

由上边缘抛物线向左平移4m得到的，∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58yxh=−+++．当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，∵DE=3∴设点(),0Dm，()3,

0Em+，213,(32)0.58Fmmh+−+−++，∵D在下边缘抛物线上，∴21(2)0.508mh−+++=∵EF=1∴21(32)0.518mh−+−++=∴21(32)0.58mh−+−++−21(2)0.518mh−+++=，解得2.5m=

，代入21(2)0.508mh−+++=，得6532h=．所以h的最小值为6532．【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．49．（2022

·河北）如图，点(),3Pa在抛物线C：()246yx=−−上，且在C的对称轴右侧．(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P，C．平移该胶片，使C所在抛物线对应的函数恰为269yxx=−+−．求点P移动

的最短路程．【答案】(1)对称轴为直线6x=，y的最大值为4，7a=(2)5【分析】（1）由2()yaxhk=−+的性质得开口方向，对称轴和最值，把(),3Pa代入()246yx=−−中即可得出a的值；（2）由2269(3)yxxx=−+−=−−，

得出抛物线269yxx=−+−是由抛物线C：()246yx=−+−向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点P移动的最短路程．(1)()2244)6(6yxx−=−−=−+，∴对称轴为直线6x=，∵10−，∴抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4，把(),3Pa代

入()246yx=−−中得：24(6)3a−−=，解得：5a=或7a=，∵点(),3Pa在C的对称轴右侧，∴7a=；(2)∵2269(3)yxxx=−+−=−−，∴2(3)yx=−−是由()246yx=−+−向左平移3个单位，再向下平移4个

单位得到，平移距离为22345+=，∴P移动的最短路程为5．【点睛】本题考查二次函数2()yaxhk=−+的图像与性质，掌握二次函数2()yaxhk=−+的性质以及平移的方法是解题的关键．50．（2022·四川雅安）已知二次函数y＝ax2+b

x+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请

说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．【答案】(1)()223,1,4yxxD=---(2)E的坐标为：21,3或81,3−或()1,1−或()1,2.-(3)BP的最小值为：135.-【分析】（

1）根据题意可设抛物线为()()13,yaxx=+-再代入C的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由()()()22132314,yxxxxx=+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x=设()1,,En而A（﹣1，0），C（0，

-3），再利用勾股定理分别表示210,AC=224,AEn=+22610,CEnn=++再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD，记AD的中点为H，由,PAPD⊥则P在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D

重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，再求解H的坐标，结合勾股定理可得答案．(1)解：二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），∴设二次函数为：()()13,yaxx=+-把C（0，﹣3）代入抛

物线可得：33,a−=−解得：1,a=∴抛物线为：()()()22132314.yxxxxx=+-=--=--()1,4.D\-(2)如图，由()()()22132314,yxxxxx=+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x=设()1,,En而A（﹣1，0），C（0，-3

），()()222100310,AC\=--++=()2222114,AEnn=++=+()()2222103610,CEnnn=-++=++当90EAC=时，22610410nnn++=++，解得2,3n=即21,,3E骣琪琪桫当90A

CE=时，22410610,nnn+=+++解得：8,3n=-即81,,3E骣琪-琪桫当90AEC=时，22461010,nnn++++=整理得：2320,nn++=解得：121,2,nn=-=-()()1,1,1,2,EE\--综上：E的坐标为：21,3或81,

3−或()1,1−或()1,2.-(3)如图，连结AD，记AD的中点为H，由,PAPD⊥则P在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，连结BH，交圆H于P，则PB最短，()()1,0,1,4,AD--Q()()()220,2,110425,5,HADHP\-=--++

==()3,0,B()()22032013,BH\=-+--=135,BP\=-即BP的最小值为：135.-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时

，P的位置是解本题的关键．51．（2022·江苏泰州）如图，二次函数211yxmx=++的图像与y轴相交于点A，与反比例函数2(0)kyxx=的图像相交于点B(3，1).(1)求这两个函数的表达式；(2)当1y随x的增大而增大且12<yy时，直接写出x的取值范围；(

3)平行于x轴的直线l与函数1y的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数2y的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.【答案】(1)2131yxx=−+；()230yxx=(2)332x(3)3,22E【分析】（1）用待定系

数法求出解析式即可；（2）由图像直接得出结论即可；（3）根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CEDE=，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可．(1)解：二次函数211yxmx=++的图像

与y轴相交于点A，与反比例函数()20kyxx=的图像相交于点()3,1B，23311m++=，13=k，解得3m=−，3k=，二次函数的解析式为2131yxx=−+，反比例函数的解析式为()230yxx=；(2)解：二次函数的解析式为2131yx

x=−+，对称轴为直线32x=，由图像知，当1y随x的增大而增大且12yy时，332x；(3)解：由题意作图如下：当0x=时，11y=，()0,1A，()3,1B，ACE的CE边上的高与B

DE的DE边上的高相等，ACE与BDE的面积相等，CEDE=，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当32x=时，22y=，3,22E．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函

数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．53．（2022·浙江丽水）如图，已知点()()1122,,,MxyNxy在二次函数2(2)1(0)yaxa=−−的图像上，且213xx−=．(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．①求这个二

次函数的表达式；②若12yy=，求顶点到MN的距离；(2)当12xxx时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．【答案】(1)①2287yxx=−+；②92(2)1994a【分析】（1）①将点(3,1)代入2(2)1(0)yaxa=

−−中即可求出二次函数表达式；②当12yy=时，此时MN为平行x轴的直线，将()()1122,,,MxyNxy代入二次函数解析式中求出214xx+=，再由213xx−=求出直线MN为72y=，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；（2）分两种情形

：若M，N在对称轴的异侧，12yy；若M、N在对称轴的异侧，12yy，x1<2，分别求解即可．(1)解：①将点(3,1)代入2(2)1(0)yaxa=−−中，∴21(32)1a=--，解得2a=，∴二次函数的表达式为：222(2)1287yxxx=-=-+-；②当1

2yy=时，此时MN为平行x轴的直线，将()11,Mxy代入二次函数中得到：2111287yxx=-+，将()22,Nxy代入二次函数中得到：2222287yxx=-+，∵12yy=，∴211287xx-+=222287xx

-+，整理得到：121212()()4()0xxxxxx+---=，又∵213xx−=，代入上式得到：214xx+=，解出1217,22xx==，∴2211172()87222yy==??=，即直线MN为：72y=，又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，∴顶点(2,-1)到MN的距离为

79122+=；(2)解：若M，N在对称轴的异侧，12yy，∴x1+3>2，∴x1>-1，∵213xx−=∴112x，∴-1<112x，∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1，∴y-（-1）=1，∴a=()2112x−，∴()219294x−，∴

1994a；若M、N在对称轴的异侧，12yy，x1<2，∵112x，∴1122x，∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1，∴y-（-1）=1，∴a=()2111x+，∴()219194x+，∴1994a，综上所述，a的取值范围为19

94a．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小)．54．（2022·山东临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中

夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平

线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，65mOA=．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，100mAB=．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离()

my与水平方向移动的距离()mx具备二次函数关系，其解析式为2160yxbxc=−++．(1)求b、c的值；(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离()mx与飞行时间()st具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，0=t，0x=；空中飞行5s后着陆

．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡．．．．的竖直距离h最大，最大值是多少？【答案】(1)32b=，65c=(2)①()10305xtt=②5s2t=时，h最大，为125m4【分析】（1）根据题中所给信息，得出()503,15B，()0,65A，利用待定系数法列

出关于,bc的二元一次方程组求解即可得出结论；（2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时0=t，0x=；空中飞行5s后着陆，503xBF==，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作⊥GHx轴交抛物线于G，交AB于H，利用

待定系数法确定直线AB的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出2313,65,,653602HttGttt−+−++，表示出运动员离着陆坡．．．．的竖直距离2151256024

hGHt==−−+，根据抛物线的性质得出当5s2t=时，h有最大值为125m4．(1)解：过B作BEOC⊥于E，BFOA⊥于F，如图所示：BFOD∥，着陆坡AC的坡角为30°，即30BCE=，30ABFBCE==，在ABF中，90,30,100mAFBABFAB

===，则50m,503mAFBF==，65mOA=，655015(m)OFOAAF=−=−=，即()503,15B，()0,65A，将()503,15B，()0,65A代入2160yxbxc=−++得()211550350360

65bcc=−++=，解得3265bc==；(2)解：①由（1）知503mBF=，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离()mx与飞行时间()st具备一次函数关系，设一次函数关系式为xmtn=+，当运动员在起跳点腾空时0=t，0x=

；空中飞行5s后着陆，503xBF==，05503nmn=+=，解得1030mn==，水平方向移动距离()mx与飞行时间()st的一次函数关系式为()10305xtt=；②作⊥GHx轴交抛物线于G，

交AB于H，如图所示：设直线AB的表达式为ykxa=+，将()503,15B，()0,65A代入得1550365kaa=+=，解得3365ka=−=，即直线AB的表达式为3653yx=−+，由（1）知抛物线表达式为21365602yxx

=−++，2313,65,,653602HttGttt−+−++，运动员离着陆坡．．．．的竖直距离22213315315125656560236066024hGHtttttt==−++−−+=−+

=−−+，由1060−可知抛物线开口向下，当5s2t=时，h有最大值为125m4．【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最

值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．55．（2022·山东威海）探索发现(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴

交于点C，顶点为点D，连接AD．①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；(2)通过上述两种特殊情况的证明，你

是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______．【答案】(1)①见解析；②见解析(

2)猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析【分析】（1）①将点A和B点的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，b的值，从而得出抛物线的解析式，从而得出点D和点C坐标，进而求得E点坐标和AD的解析式，再求出OE的解析式，从而得出结论；②方法①求得G

H的解析式，进而得出结论；（2）作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，方法同①相同可推出结论．(1)解：（1）①由题意得，()2333030abab−−+=++=，∴12ab=−=−，∴

y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴D（-1，4），C（0，3），设直线CD的解析式为：y=mx+n，∴34nmn=−+=，∴31nm==−，∴y=-x+3，∴当x=1时，y=-1+3=

2，∴E（1，2），∴直线OE的解析式为：y=2x，设直线AD的解析式为y=cx+d，∴304cdcd−+=−+=，∴26cd==，∴y=2x+6，∴OE∥AD；②设直线PD的解析式为：y=ex+f，∴425efef−

+=+=−，∴31ef=−=，∴y=-3x+1，∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，∴H（1，-2），设直线GH的解析式为：y=gx+h，∴202ghgh+=+=−，∴24gh==−，∴y=2x-4，∴AD∥HG；(2)猜

想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，连接NQ，则QN∥AD，如图，证明如下：设M（m，-m2-2m+3），设直线DM的解析式为y=px+q，∴4223pqmpqmm−+=+=−−+，∴13pmqm=−−=−+，∴y=-（m+1

）x+（-m+3），∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，∴Q（1，-2m+2），设直线NQ的解析式为：y=ix+j，∴220ijmmij+=−++=，∴22ijm==−，∴y=2x-2m，∴QN∥AD．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次

函数解析式，一次函数图象性质等知识，解决问题的关键是掌握一次函数平移的性质．56．（2022·内蒙古赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长4mAD=，宽1m=AB的长方形水池ABCD进行加长改造（如图

①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为()()m0xx，加长后水池1的总

面积为()21my，则1y关于x的函数解析式为：()140yxx=+；设水池2的边EF的长为()()m06xx，面积为()22my，则2y关于x的函数解析式为：()22606yxxx=−+，上述两个

函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________2m；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的

()mx值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，()mx的取值范围是_________；(4)在14x范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；(5)假设水池ABCD的边AD的长度为()mb，其他条件

不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积()23my关于()()m0xx的函数解析式为：()30yxbx=+．若水池3与水池2的面积相等时，()mx有唯一值，求b的值．【答案】(1)36x；9(2)C，E；1，4；(3)01x或46x(4)94，5

2(5)254【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；（5）根据面积相等列出一

元二次方程，依据=0，求出b的值即可．(1)∵()222639yxxx=−+=−−+∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，∵水池2的面积随EF长度的增加而减小，∴EF长度的取值范围是36x；水池2面

积的最大值是92m；故答案为：36x；9；(2)由图象得，两函数交于点C，E，所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；联立方程组246yxyxx=+=−+解得，121214,58xxyy====∴x的值为1或4，故答案为：C，E；1或4(3)

由（3）知，C（1，5），E（4，8），又直线在抛物线上方时，01x或46x，所以，水池1的面积大于水池2的面积时，()mx的取值范围是01x或46x，故答案为01x或46x；(4)在14x范围内，两个水池面积差22259(6)(4)54()

24Mxxxxxx=−+−+=−+−=−−+，∵10,-<∴函数有最大值，∵06x∴当52x=时，函数有最大值，为94，即，当52x=时，面积最大值为94，(5)∵水池3与水池2的面积相等，∴26xbxx+=−+，整理得，250xxb−+=∵()mx有唯一值，∴2(

5)40b=−−=解得，254b=【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．57．（2022·黑龙江）如图，抛物线2yxbxc=++经过点()1,0A−，点()2,3B−，与y轴交于点C，抛物线的

顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使PBC的面积是BCD△面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)223yxx=−−(2)存在，()115,1P+，()215,1P−【分析】（1）将点()1,0A−，点()2,3B−

，代入抛物线得10423bcbc−+=++=−，求出bc，的值，进而可得抛物线的解析式．（2）将解析式化成顶点式得()222314yxxx=−−=−−，可得D点坐标，将0x=代入得，3y=−，可

得C点坐标，求出1BCDS=△的值，根据4PBCBCDSS=可得4PBCS=，设()2,23Pmmm−−，则()21223342PBCSmm=−−+=，求出m的值，进而可得P点坐标．(1)解：∵抛物线2yxbxc

=++过点()1,0A−，点()2,3B−，∴10423bcbc−+=++=−，解得23bc=−=−，∴抛物线的解析式为：223yxx=−−．(2)解：存在．∵()222314yxxx=−−=−−，∴()1,4D−，将0x=代入得，3y=−，∴(

)0,3C−，∴D到线段BC的距离为1，2BC=，∴12112BCDS==V，∴44PBCBCDSS==，设()2,23Pmmm−−，则()21223342PBCSmm=−−+=，整理得，224mm−=，解得115m=+

，或215m=−，∴()115,1P+，()215,1P−，∴存在点P，使PBC的面积是BCD△面积的4倍，点P的坐标为()115,1P+，()215,1P−．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵

活运用．58．（2022·贵州贵阳）已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3

，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；(2)当a<0时，e=f>c>d；当a>0时，e=f<c<d；理由见

解析(3)二次函数的表达式为y=29x289+x-19或y=29−x289−x+19．【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用

数形结合求解即可；（3）分两种情况，利用数形结合求解即可．(1)解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b=a(x+2)2+b-4a，∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；(2)

解：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2，又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，当a<0时，画出草图如图：∴e=f>c>d；当a>0时，画出草图如图：∴e=f<c<d；(3)解：∵点M(m，n

)是二次函数图象上的一个动点，当a<0时，根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1，即4141baaab−=++=−，解得：2919ab=−=，∴二次函数的表达式为y=29−

x289−x+19．当a>0时，根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1，即4141baaab−=−++=，解得：2919ab==−，∴二次函数的表达式为y=29x289+x-19．综上，二次函数的表达式为y=29

x289+x-19或y=29−x289−x+19．【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果．59．（2022·山东青岛）已知二

次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【答案】(1)m=1(2)二次函数22yxx=+−的图

象与x轴有两个交点，理由见解析．【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．(1)解：∵二次函数y=x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4)，∴4=4+2m+m2−3，即m2+2

m−3=0，解得：m1=1，m2=−3，又∵m>0，∴m=1；(2)解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出

△的值是解题关键．60．（2022·四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的

距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【答案】(1)211242yxx=−−+(2)255，点D的坐标为（﹣2，2）；(3)

点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可

以用m的代数式表示出DG，然后利用coscosEDGCAO=得到255DEDG=，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；（3）根据S△PCB：S△PCA=11():():,22CPCPE

ByyAEyyBEAE−−=即可求解．(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴16404202abcabcc−+=++==，解得：14122abc=−=−=，∴抛

物线的解析式为211242yxx=−−+；(2)（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．设直线AC的解析式为y＝kx+t，则402ktt−+==，解得：122kt==，∴直线AC的解析式为122yx=+．设点D的横坐标为m，则

点G的横坐标也为m，∴21112,2422DHmmGHm=−−+=+∴221111224224DGmmmmm=−−+−−=−−，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴coscosEDGCAO＝＝22442O

AAC=+＝255，∴255DEDG=，∴222252515525()(4)(2)55410105DEDGmmmmm==−−=−+=−++，∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值255．此时()()211222242Dy=−−−−+=，即点D的坐标为

（﹣2，2）；(3)如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝()()11::22CPCPEByyAEyyEBAE−−=，则EB：AE＝1：5或5：1则

AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或23，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝23x+2，联立方程组22211242yxyxx=−+=−−+或222311242yxyxx=+=−−+，

解得：x＝6或﹣143（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣109）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比

转化为线段比．61．（2022·湖北武汉）抛物线223yxx=−−交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图（1），当OPOA=时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求

出所有满足条件的点D的横坐标；(3)如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求FPOP的值（用含m的式子表示）．【答案】(1)()1,0A−，()3,0B；(2)0，3412−或3412+；(3)13m．【分析】（1）

令223=0xx−−求出x的值即可知道A，B两点的坐标；（2）求出直线AC的解析式为1yx=+，分情况讨论：①若点D在AC下方时，②若点D在AC上方时；（3）设点E的横坐标为n．过点P的直线解析式为ykxb=+．联立223ykxbyxx=

+=−−，得2(2)30xkxb−+−−=．利用A，B点的横坐标求出3mb=+，13bn=−−，设直线CE的解析式为ypxq=+，求出3mnq=−−，进一步求出OPb=，213FPbb=+即可求出答案．(1)解：令223=0xx−−，解得：1

1x=−，2=3x，∴()1,0A−，()3,0B．(2)解：∵1OPOA==，∴()0,1P，∴直线AC的解析式为1yx=+．①若点D在AC下方时，过点B作AC的平行线与抛物线的交点即为1D．∵()3,0B，1BDAC∥，∴1BD的解析式为3yx=−．联立2323yx

yxx=−=−−，解得，10x=，23x=（舍）．∴点1D的横坐标为0．②若点D在AC上方时，点()10,3D−关于点P的对称点为()0,5G．过点G作AC的平行线l，则l与抛物线的交点即为符合条件的点D．直线l的解析式为5yx=+．联立2523yxyxx=+=−−，得2380

xx−−=，解得，13412x−=，23412x+=．∴点2D，3D的横坐标分别为3412−，3412+．∴符合条件的点D的横坐标为：0，3412−或3412+．(3)解：设点E的横坐标为n．过点P的直线解析式为ykxb=+．联立223ykxbyxx=+=−−

，得2(2)30xkxb−+−−=．设1x，2x是方程2(2)30xkxb−+−−=两根，则123xxb=−−．（*）∴3ACBExxxxb==−−．∵1Ax=−，∴3Cxb=+，∴3mb=+．∵3Bx=，∴13Ebx=−−，∴13bn=−−．设直线CE的解析式

为ypxq=+，同（*）得3mnq=−−，∴3qmn=−−．∴21(3)13233bqbbb=−+−−−=+．∴2123OFbb=+．∵OPb=，∴213FPbb=+．∴1111(3)1333FPbmmOP=+=−+=．【点睛】本题

考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与x轴交点坐标，（1）的关键是令223=0xx−−进行求解；（2）的关键是分点D在AC下方和在AC上方时两种情况讨论：（3）的关键是求出OP，FP．6

2．（2022·湖南常德）如图，已经抛物线经过点(0,0)O，(5,5)A，且它的对称轴为2x=．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PAPB−的值最大时，求P的坐标以

及PAPB−的最大值【答案】(1)24.yxx=-(2)()2,8B(3)()2,12,P-PAPB−的最大值为32.【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,yaxbx=+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,By且0,y记OA与对称轴的交点为Q，设直线OA为：,

ykx=解得：1,k=可得直线OA为：,yx=则()2,2,Q利用()12OABBOQABQAOSSSBQxx=+=创-VVV列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PAPB

AB−=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．(1)解：抛物线经过点(0,0)O，∴设抛物线为：2,yaxbx=+抛物线过(5,5)A，且它的对称轴为2x=．2555,2

2abba+=−=解得：1,4ab==−∴抛物线为：24.yxx=-(2)解：如图，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，设()2,,By且0,y记OA与对称轴的交点为Q，设直线OA为：,ykx=55,k\=解得：1

,k=直线OA为：,yx=()2,2,Q\()12OABBOQABQAOSSSBQxx\=+=创-VVV12515,2y=-?解得：8y=或4,y=−∵0,y则8,y=()2,8.B\(3)如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，

则此时PAPBAB−=最大，()()5,5,2,8,ABQ()()22525832,AB\=-+-=设AB为：,ykxb=+代入A、B两点坐标，55,28kbkb+=+=解得：1,10kb=−=∴AB为：10,

yx=-+210,4yxyxx=−+=−解得：52,,512xxyy==−==()2,12.P−【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关

系的应用，勾股定理的应用，确定PAPB−最大时P的位置是解本题的关键．63．（2022·湖南娄底）如图，抛物线21262yxx=−−与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点()(

),06Pmnm在抛物线上，当m取何值时，PBC的面积最大？并求出PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件

的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()2,0A−，()6,0B，()0,6C−；(2)3m=，PBC面积的最大值272；(3)存在，()227,6+或()227,6−或()4,6−．【分析】（1）令0y=得到212602xx−−=，求出x即可求得点A和点B

的坐标，令0x=，则6y=−即可求点C的坐标；（2）过P作PQy∥轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，PBC的面积最大，利用三角形面积公式求解；（3）根

据点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E得到AECF，设21,262Faaa−−，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点6OC=，利用平行四边形的性质来列出方程求解．(1)解：令0y=，

则212602xx−−=，解得12x=−，26x=，∴()2,0A−，()6,0B，令0x=，则6y=−，∴()0,6C−；(2)解：过P作PQy∥轴交BC于Q，如下图．设直线BC为()0ykxbk=+，将()6,0B、()0,6C−代入得066kbb=+=−，解得16kb==−，

∴直线BC为6yx=−，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，PBC的面积最大，∵()(),06Pmnm，∴21262Pmmm−−，，()6Qmm−，，∴()()221196

263222PQmmmm=−−−−=−−+，∵102−，∴3m=时，PQ最大为92，而1192762222PBCCBSPQxx=−==，∴PBC的面积最大为272；(3)解：存在．∵点

F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，如下图．∴AECF，设21,262Faaa−−．当点F在x轴下方时，∵()0,6C−，即6OC=，∴212662aa−−=−，解得10a=（舍去），24a=，∴()4,6F−．当点F在x轴的上方时，令6y=，则212662aa−−=，

解得3227a=+，4227a=−，∴()227,6F+或()227,6−．综上所述，满足条件的点F的坐标为()227,6+或()4,6−或()227,6−．【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质

，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．64．（2022·广东深圳）二次函数21,2yx=先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．22yx=()2236yx=−+()0,0()3,m()1,2()4,8()2,8()5,14()1

,2−()2,8()2,8−()1,14(1)m的值为；(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出2152yx=−+与212yx=的交点坐标；(3)点()()1122,,,PxyQxy在新的函数图象上，且,PQ两点均在对称轴的同一侧，若12,yy则1x2x（填“

”或“”或“=”）【答案】(1)6m=(2)图见解析，(5,0)和(5,0)−(3)或【分析】（1）把点()3,m代入()2236yx=−+即可求解．（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．

（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若12yy，则12xx，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若12yy，则12xx，进而可求解．【解析】(1)解：当3x=时，()223366m=−+=，∴6m=．(2)平移后的图象如图所示：由题意得：2211522xx−+=

，解得5x=，当5x=时，0y=，则交点坐标为：(5,0)，当5x=−时，0y=，则交点坐标为：(5,0)−，综上所述：2152yx=−+与12yx=的交点坐标分别为(5,0)和(5,0)−．(3)由平移后的二次函数可得：对称轴3x=，20a=，∴当3x时，y

随x的增大而减小，当3x时，y随x的增大而增大，∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若12yy，则12xx，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若12yy，则12xx，综上所述：点()()1122,,,PxyQxy在新函数图象上，且P，Q两点均

在对称轴同一侧，若12yy，则12xx或12xx，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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