【文档说明】《精准解析》福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）.docx，共(19)页，903.377 KB，由管理员店铺上传

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2022－2023学年第一学期福州市高一期末质量抽测数学试卷（完卷吋间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答

案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.1.已知集合2540Axxx=−+，03Bxx=，则AB=（）A.01xxB.01xxC.13xxD.{|3xx或4}x【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.【详解】

解不等式2540xx−+，得1x或>4x，则{|1Axx=或4}x，而03Bxx=，所以{|01}ABxx=.故选：B2.已知命题():0,px+，3xx，则命题p的否定是（）A.()0,x+，3xxB.()0,x+，3xx

C.()0,x+，3xxD.()0,x+，3xx【答案】B【解析】【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题p的否

定为：()0,x+，3xx.故选：B.3.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3P−，则cos=（）A.45B.45−C.34−D.35-【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定

义直接计算作答.【详解】依题意，22||4(3)5OP=+−=，所以4cos5=.故选：A4.若函数()()sinfxx=+是奇函数，则可取的一个值为（）A.−B.2−C.4D.3【答案】A【解析】【分析】sinx的图象左右平移π,kkZ仍为奇函数，

即可求得.【详解】sinx的图象左右平移π,kZk仍为奇函数，则π,kkZ=.故选：A.5.函数()21xfxx=−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由()00f=可排

除C，D，当0x时，()0fx可排除A，即可得正确答案.【详解】由()00f=可排除C，D；当0x时，()201xfxx=−，排除A.故选：B.6.已知函数()22,1,1log,1xxfxxx=−

，若()0fa=，则a的值为（）A.12−B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意，由()0fa=求解对数方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，当1x时，20x，且()0fa=，则21log0a−=，解得2a=故选:D7.设函数()()

sincos0fxxx=+在[,]−的图象大致如下图所示，则函数()fx图象的对称中心为（）A.()ππ,0Z28kk−B.()ππ,0Z8kk−C.()2ππ,0Z36kk−

D.()4ππ,0Z36kk−【答案】C【解析】【分析】化简()π2sin4fxx=+，由题意可得312,Z25kk=+，由图可得：524322TT，解不等式即可求出32=，令3ππ,Z24xkk+=，即可求出()fx图象的对

称中心.【详解】()πsincos2sin4fxxxx=+=+，因为()fx的图象过点5π,26−，所以5ππ3π2π,Z642kk+=+，解得：312,Z25kk=+，因为由图可得：525225

344332422222TT，所以32=，()3πsincos2sin24fxxxx=+=+，令3ππ,Z24xkk+=，解得：2ππ,Z36xkk=−，则函数

()fx图象的对称中心为()2ππ,0Z36kk−.故选：C.8.设2log3a=，3log4b=，5log8c=，则（）A.bacB.abcC.cbaD.b<c<a【答案】D【解析】【分析】利用对数的换底公式，得

到2lg23lg2,lg3lg5bc==，化简lg2(lg25lg27)0lg3lg5bc−=−，得到bc，再由对数函数的单调性，求得312c且32a，即可求解.【详解】因为35lg42lg2lg83lg2log4,log8lg3l

g3lg5lg5bc======，则2lg23lg22lg2lg53lg2lg3lg2(2lg53lg3)lg2(lg25lg27)0lg3lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg5bc−−−−=−===，所以bc，又因3255553log5log8log12

5log52==，所以312c，又由322223log3log8log22a===，所以32a，所以b<c<a.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知

集合A，B是全集U的两个子集，AB，则（）A.ABB=B.ABB=C.B()UA=ðUD.B()UA=ð【答案】AC【解析】【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由AB，根据子集的定义，如图，为

对于A，ABABB=，所以A正确；对于B，ABABA=，所以B不正确；对于C，由韦恩图知，B()UA=ðU，所以C正确；对于D，由韦恩图知，B()UBAA=痧，所以D不正确；故选：AC.10.若()0,，1sincos5−=，则（

）A.4tan3=B.12sin225=C.sinco7s5+=D.7cos225=−【答案】ACD【解析】【分析】由sincos与sincos的关系，结合角的范围，可求得sincos、，即可逐个判断.【详解】()()222sin

cossincos12sincos225+−−==，∵()0,，则sin0,cos0α>>，∴0,2.对C，()2sincossincos4sincos57+=−+=，C对；对A，2sinco

ssincos543sin,cos1sin25ααααααα-+=+==-=，sin4tancos3==，A对；对B，24sin22sincos25==，B错；对D，227cos2cossin25=−=−，D对.故选：ACD.11.若33x是关于x的不等式2

10xaxa−−−成立的必要条件，则a的值可以是（）A.1B.0C.2−D.12【答案】BC【解析】【分析】首先求出这两个不等式的解集A、B，根据题意可得BA，即可求出a的取值范围.【详解】因为33x，解得：1x，设1Axx=，设不等式210xaxa−−−

的解集为B，因为33x是关于x的不等式210xaxa−−−成立的必要条件，所以BA，因为210xaxa−−−，则()()110xxa+−+，当11a+=−即2a=−，B=，满足题意；当11a

+−即2a−，则11ax+−，所以11Bxax=+−，所以BA符合题意；当11a+−即2a−，则11xa−+，所以11Bxxa=−+，因为BA，所以11a+，解得：0a，所以20a−≤.综上所述，a的取值范围为：(,0−.故选：BC.

12.在一个面积为4直角三角形ABC的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边AB上，另外两个顶点分别落在AC，BC上，则（）A.AB的最小值为22B.AB边上的高的最大值为2C.正方形面积的最大值为2D.ABC周长的最小值为442+【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，可得8ACBC

=，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD；建立角A的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C作答.【详解】在RtABC△中，ACBC⊥，142ACBC=，即有8ACBC=，对于A，2224ABACBCACBC=+=，当且仅当22ACBC==时取等号，A错误；对于B，Rt

ABC△斜边AB边上的高82ACBChABAB==，当且仅当4AB=，即22ACBC==时取等号，B正确；对于D，ABC的周长2222442ABACBCACBCACBCACBCACBC++=++=+++，当且仅当22ACBC==时取等号，D正确；对

于C，如图，正方形DEFG是符合题意的RtABC△的内接正方形，令π(0,)2A=，的则BFEFGCA===，cos,sinsincosDEDEACAGGCDEBCBFFCDE=+

=+=+=+，22111(cos)(sin)(2sincos)8sincossincosACBCDEDE=++=++=，于是28162142sin24sin2sin22sin2DE==++++，令sin2(0,1]t=，则44sin2()sin2fttt+==+

在(0,1]t上单调递减，1212,(0,1],tttt，1212121212444()()()()(1)ftfttttttttt−=+−+=−−，因为1201tt，则121240,10tttt−−，即有12()()0ft

ft−，12()()ftft，因此函数()ft在(0,1]上单调递减，则当1t=，即π4=时，min()5ft=，正方形DEFG的面积2DE取得最大值169，C错误.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角

为自变量，借助三角函数解决.第Ⅱ卷三、填空题：本大题井4小题，每小题5分，共20分.13.22293+=______.【答案】9【解析】【分析】由指数运算性质化简求值.【详解】()()()2222

22222222933393++−+−====.故答案为：9.14.若点()cos,sinA与点ππ(cos(),sin())55B++关于y轴对称，写出一个符合题意的=____

__.【答案】2π5（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式列式，即可求解作答.【详解】因为点()cos,sinA与点ππ(cos(),sin())55B++关于y轴对称，则πcos()cos5πsin()sin5+=

+=，因此π()π2π,Z5kk++=+，解得2ππ,Z5kk=+，取2π5=.故答案为：2π515.中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为54cm，内弧线的长为18cm，连接外弧与内弧的两端

的线段的长均为16cm，则该扇环的面积为______2cm.【答案】576【解析】【分析】设该扇形內弧半径为r，根据弧长公式可得r，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为cmr，由弧长公式和已知可得：541618rr+=，解得：8cmr=，则外弧

半径为81624cm+=，所以该扇环的面积为2115424188576cm22−=，故答案为：576.16.记max,ab表示a，b中较大的数.若关于x的方程1max,xxtx−=−的所有实数根的绝对值之和为6，则t的值为

______.【答案】3【解析】【分析】由题意可将原方程化为()2100xtxx−+=，讨论0x和0x，可得所有实数根的绝对值之和为6，即26t=，即可求出t的值.【详解】由于1max,xxtx−=−，所以原方程化为1xt

x+=，即()2100xtxx−+=，当0x时，依题意可知，方程210xtx−+=有根，设其两根分别为12,xx，则1210xx=，所以方程210xtx−+=有两正根12,xx，且12xxt+=，当0x时，同理可得，方程210xtx++=有两负根

34,xx，且34xxt+=−，所以34xxt+=，所以26t=，解得：3t=，检验符合.故答案为：3.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()2fxxbxc=++，且()()1

30ff==.（1）求()fx的解析式；（2）求()fx在区间2,5−上的取值范围.【答案】（1）2()43fxxx=−+；（2）1,15−.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.（2）利用二次函数的单调性，求出函数()fx在给定区间上的最值作答.小问1详解】

函数()2fxxbxc=++，且()()130ff==，则10390bcbc++=++=，解得43bc=−=，有2()43fxxx=−+，所以()fx的解析式是2()43fxxx=−+.【小问2详解】由（1）知，2,5x−，函数2()(2)1fxx=--在[2,2]−上单调递减，

在2,5上单调递增，【因此min()(2)1fxf==−，而()()215,58ff−==，则()()max215fxf=−=，所以()fx在区间2,5−上的取值范围是1,15−.18.已知tan2=.（1）求

()()πcos2sinπcos3π+−++的值；（2）若为钝角，且10sin10=，求()tan−的值.【答案】（1）2−；（2）7.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简，再利用齐次式计算作答.（2）利用同角公式求出tan

，再利用差角的正切公式求解作答.【小问1详解】因为tan2=，所以πcos()sintan22sin(π)cos(3π)sincos1tan+−===−−++−−.【小问2详解】因为为钝角，10sin10=，则2210310cos1

sin1()1010=−−=−−=−，sin1tancos3==−，所以12()tantan3tan()711tanan12()3−−−−===++−.19.设0a，()eexxafxa=+为偶函

数.（1）求a的值；（2）判断()fx在区间()0,+上的单调性，并给予证明.【答案】（1）1a=（2）单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义得出()()fxfx−=，即可列式解出1a=；（2）根据函数单调性的定义证明，任取1x、)20,x+，当1

2xx时，得出()()12fxfx，即可证明.【小问1详解】()fx为偶函数，()()fxfx−=，即()()e1eeeeexxxxxxaafxafxaaa−−−=+=+==+，即11eexxaaaa−

−=−，对任意xR恒成立，所以1a=；所以()ee1xxfx=+.【小问2详解】()fx在区间()0,+上单调递增．理由如下：任取1x、()20,x+，当12xx时，()()()2112121212121212eeeeeeeeeee11

1e1xxxxxxxxxxxxxxfxfx++−−=+−+=−+=−−．由于120xx，所以12ee0xx−，12110exx+−，所以()()120fxfx−，故()()12fxfx，所以()fx在区间()0,+上单调递增．20.在①函数()fx的一个零点

为0；②函数()fx图象上相邻两条对称轴的距离为π2；③函数()fx图象的一个最低点的坐标为2π,33−，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并给出问题的解答.问题：已知函数()()π2sin103,02f

xx=+−，满足______.（1）求()fx的解析式，并求()fx的单调递增区间；（2）求使()()πfxf成立的x的取值集合.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【

答案】（1）()π2sin216fxx=+−；()πππ,πZ36kkk−++（2）()πππZ3xkxkk+【解析】【分析】（1）选①②，由①可求出，由②可求出，即可求出()fx的解析式；令()πππ2π22πZ262kxkk−++

+，解不等式即可求出()fx的单调递增区间；选①③，由①可求出，由③可求出，即可求出()fx的解析式，下同选①②；选②③，由②可求出，由③可求出，即可求出()fx的解析式，下同选①②；（2）因为()()πfxf，所以π2sin210

6x+−，解不等式即可求出答案.【小问1详解】选①②，因为函数()fx的一个零点为0，所以()00f=，所以2sin10−=，所以1sin2=，又因为π02，所以π6=，因为函数()fx图象上相邻两条对称轴的距

离为π2，所以π2π2T==，又因为03，所以2ππ=，解得：2=，所以函数()fx的解析式为()π2sin216fxx=+−，令()πππ2π22πZ262kxkk−+++，解得：()ππππZ36kxkk−++，所以函数()fx的单调

递增区间为：()πππ,πZ36kkk−++.选①③，因为函数()fx的一个零点为0，所以()00f=，所以2sin10−=，所以1sin2=，又因为π02，所以π6=，因为函数()fx图象的一个最低点的坐标为2

π,33−，所以2ππ2sin1336+−=−，所以2ππsin136+=−，所以()2πππ2π,Z362kk+=−+，解得：()31Zkk=−，又因为03，解得：2=，所以函数()fx的解析

式为()π2sin216fxx=+−，下同选①②.选②③，因为函数()fx图象上相邻两条对称轴的距离为2，所以π2π2T==，又因为03，所以2ππ=，解得：2=，因为函数()fx图象的一个最低点的坐标为2π,33−，所以

2π2sin2133+−=−，所以4πsin13+=−，所以()4ππ2π,Z32kk+=−+，解得：()11π2πZ6kk=−+，又因为π02，所以π6=，所以函数()fx的解析式为()π2sin216fxx

=+−，下同选①②.【小问2详解】由（1）知，()π2sin216fxx=+−，因为()()πfxf，所以π2sin2106x+−，所以π1sin262x+，所以()ππ5π2π22πZ666kxkk+

++，解得：()πππZ3kxkk+，所以使()0fx成立的x的取值集合为：()πππZ3xkxkk+21.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从()TB1TB1024GB=级别跃升到PB()PB1024TB=乃至EB(

)1EB1024PB=乃至()ZB1ZB1024EB=级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：年份2008200920102011…2020数据量（ZB）0.50.81.21.5…80（1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年

起第x年全球产生的数据量（单位：ZB）与x的关系，根据上述信息，从函数()fxkxb=+和()xgxab=中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）（2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和20

20年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍?（注：lg20.3）【答案】（1）选择()xgxab=（2）2025【解析】【分析】（1）描点，根据图象选择；（2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算

求解.【小问1详解】由题意得x1234…13y0.50.81.21.5…80画出散点图如下：由图易得，5个点在一条曲线上，应选择()xgxab=【小问2详解】由题意得，()()11213112116010.521380160agabgabb−==

====，则()11211602xgx−=则()1113111212121111801016010131318lg1604lg21xgxx−+=++，即20081812025+-=年.预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍.22.已知函

数()πcos2fxxx=−，xR.（1）求()()πfxfx−+；（2）如图所示，小杜同学画出了()fx在区间ππ,22−上的图象，试通过图象变换，在图中画出()fx在区间π3π,22上的示意图；（3）证明：函数()()π4hxf

xx=−+有且只有一个零点0x.【答案】（1）()()ππfxfx−+=（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）求出()πfx−，即可得出()()πfxfx−+的值；（2）由（1）知，函数()fx的图象关于点ππ22，对称，则函数()fx在区间π3π,22的图象由对

称性即可得出；（3）()()ππcos024hxxxxx=−−+，设函数()()()()ππ0,cos042gxxxxuxxx=−=−，分别讨论104x，1π4x和πx时，()(),gxux单调性，即可求出()hx的单调性和值域，结合零点存在性定理即可证明.【小

问1详解】因为()πcos2fxxx=−，所以()()ππππcosππcos22fxxxxx−=−−−=−+，所以()()ππππcoscosπ22fxfxxxxx−+=−++−=【小问2详解】由（1）知，函数()fx的图象关于点ππ22

，对称，则函数()fx在区间π3π,22的图象如下图所示，【小问3详解】因为()()π4hxfxx=−+，所以()()ππcos024hxxxxx=−−+，设函数()()()()ππ0,cos042gxxxxuxxx=−=−，的.①当104x时，因为函数()

21124gxx=−−在10,4单调递减，所以()()00gxxxg=−=，因为函数()ux在10,4单调递增，所以()ππππ1πππcoscoscos042424423uxx=−−−=，所以()

0hx，所以函数()hx在区间10,4没有零点.②当1π4x时，因为函数()21124gxx=−−在1,π4单调递增，函数()ux在1,π4单调递增，所以()hx在1,π

4单调递增，又11π11ππ1π1πππ11coscoscos04424442442344h−−=−−+=−+−+=−，()ππ7πππππ0244h=+−+=−，根据零点存在性定理，存在唯一0x

1,π4，使得()00hx=.③当πx时，函数()21124gxx=−−在π,+单调递增，所以()()πππgxg=−，()πππππcos42424uxx=−−=−，所

以()π3ππππ044hx−−=−，所以函数()hx在区间)π,+没有零点.综上，函数()()π4hxfxx=−+有且只有一个零点0x.