《精准解析》福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)

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以下为本文档部分文字说明:

2022-2023学年第一学期福州市高一期末质量抽测数学试卷(完卷吋间:120分钟;满分:150分)注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.

第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共

40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2540Axxx=−+,03Bxx=,则AB=()A.01xxB.01xxC.13xxD.{|3xx或4}x【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A,再利用交集的定义求解作

答.【详解】解不等式2540xx−+,得1x或>4x,则{|1Axx=或4}x,而03Bxx=,所以{|01}ABxx=.故选:B2.已知命题():0,px+,3xx,则命题p的否定是()A.()0,x+,3xxB.

()0,x+,3xxC.()0,x+,3xxD.()0,x+,3xx【答案】B【解析】【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题p的否定为:()0,x+,3xx.

故选:B.3.在平面直角坐标系中,角的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点()4,3P−,则cos=()A.45B.45−C.34−D.35-【答案】A【解析】【分析】根据给定条件,利用三角函数定义直接计算作答.【详解】依题意,22||4(3)5OP=+−=,所

以4cos5=.故选:A4.若函数()()sinfxx=+是奇函数,则可取的一个值为()A.−B.2−C.4D.3【答案】A【解析】【分析】sinx的图象左右平移π,kkZ仍为奇函数,即可求得.【详解】sinx的图象左右平移π,kZ

k仍为奇函数,则π,kkZ=.故选:A.5.函数()21xfxx=−的图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由()00f=可排除C,D,当0x时,()0fx可排除A,即可得正确答案.【详解】由()00f=可排

除C,D;当0x时,()201xfxx=−,排除A.故选:B.6.已知函数()22,1,1log,1xxfxxx=−,若()0fa=,则a的值为()A.12−B.0C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意,由()0fa=求

解对数方程,即可得到结果.【详解】由题意可得,当1x时,20x,且()0fa=,则21log0a−=,解得2a=故选:D7.设函数()()sincos0fxxx=+在[,]−的图象大致如下图所示,则函数()fx图象的对称中心为()A.()ππ,0

Z28kk−B.()ππ,0Z8kk−C.()2ππ,0Z36kk−D.()4ππ,0Z36kk−【答案】C【解析】【分析】化简()π2sin4fxx

=+,由题意可得312,Z25kk=+,由图可得:524322TT,解不等式即可求出32=,令3ππ,Z24xkk+=,即可求出()fx图象的对称中心.【详解】()πsincos2sin4fxxxx=+=+,因为()

fx的图象过点5π,26−,所以5ππ3π2π,Z642kk+=+,解得:312,Z25kk=+,因为由图可得:525225344332422222TT,所以32

=,()3πsincos2sin24fxxxx=+=+,令3ππ,Z24xkk+=,解得:2ππ,Z36xkk=−,则函数()fx图象的对称中心为()2ππ,0Z36kk−.故选:C.8.设2log3a=,3log4b=,5log8c=,则()A.bac

B.abcC.cbaD.b<c<a【答案】D【解析】【分析】利用对数的换底公式,得到2lg23lg2,lg3lg5bc==,化简lg2(lg25lg27)0lg3lg5bc−=−,得到

bc,再由对数函数的单调性,求得312c且32a,即可求解.【详解】因为35lg42lg2lg83lg2log4,log8lg3lg3lg5lg5bc======,则2lg23lg22lg2lg53lg2lg3lg2(2lg53lg3)lg2(

lg25lg27)0lg3lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg5bc−−−−=−===,所以bc,又因3255553log5log8log125log52==,所以312c,又由322223

log3log8log22a===,所以32a,所以b<c<a.故选:D.二、多项选择题:本题共4小题,毎小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知集合A,B是全集U的两个子集,AB,则()A.ABB=B

.ABB=C.B()UA=ðUD.B()UA=ð【答案】AC【解析】【分析】根据集合的包含关系,借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由AB,根据子集的定义,如图,为对于A,ABABB=,所以A正确;对于B,ABABA=,所以B不正确;对于C,由

韦恩图知,B()UA=ðU,所以C正确;对于D,由韦恩图知,B()UBAA=痧,所以D不正确;故选:AC.10.若()0,,1sincos5−=,则()A.4tan3=B.12sin225=C.sinco7s5+=D.7cos225=−【答案】ACD

【解析】【分析】由sincos与sincos的关系,结合角的范围,可求得sincos、,即可逐个判断.【详解】()()222sincossincos12sincos225+−−==,∵()0,,则sin0,cos0α>>,∴0,2.对C,()2s

incossincos4sincos57+=−+=,C对;对A,2sincossincos543sin,cos1sin25ααααααα-+=+==-=,sin4tancos3==,A对;对B,24sin22sincos25==,

B错;对D,227cos2cossin25=−=−,D对.故选:ACD.11.若33x是关于x的不等式210xaxa−−−成立的必要条件,则a的值可以是()A.1B.0C.2−D.12【答案】BC【解析】【分析】首先求出

这两个不等式的解集A、B,根据题意可得BA,即可求出a的取值范围.【详解】因为33x,解得:1x,设1Axx=,设不等式210xaxa−−−的解集为B,因为33x是关于x的不等式210xaxa−−−成立的必要条件,所以BA,因为210xaxa−−−,则()()1

10xxa+−+,当11a+=−即2a=−,B=,满足题意;当11a+−即2a−,则11ax+−,所以11Bxax=+−,所以BA符合题意;当11a+−即2a−,则11xa−+,所以11Bxxa=−+,因为BA

,所以11a+,解得:0a,所以20a−≤.综上所述,a的取值范围为:(,0−.故选:BC.12.在一个面积为4直角三角形ABC的内部作一个正方形,其中正方形的两个顶点落在斜边AB上,另外两个顶点分别落在AC,BC上,则()A.A

B的最小值为22B.AB边上的高的最大值为2C.正方形面积的最大值为2D.ABC周长的最小值为442+【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件,可得8ACBC=,利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD;建立角A的正余弦及正方形边

长的关系,再结合函数的单调性求解判断C作答.【详解】在RtABC△中,ACBC⊥,142ACBC=,即有8ACBC=,对于A,2224ABACBCACBC=+=,当且仅当22ACBC==时取等号,A错误;对于B,RtABC△斜边AB边上的高82ACBChABAB==,

当且仅当4AB=,即22ACBC==时取等号,B正确;对于D,ABC的周长2222442ABACBCACBCACBCACBCACBC++=++=+++,当且仅当22ACBC==时取等号,D正确;对于C,如图,正方形DEFG是符合题意的RtABC

△的内接正方形,令π(0,)2A=,的则BFEFGCA===,cos,sinsincosDEDEACAGGCDEBCBFFCDE=+=+=+=+,22111(cos)(sin)(2sincos)8sincossincosACBCDEDE=++=++

=,于是28162142sin24sin2sin22sin2DE==++++,令sin2(0,1]t=,则44sin2()sin2fttt+==+在(0,1]t上单调递减,1212,(0,1],ttt

t,1212121212444()()()()(1)ftfttttttttt−=+−+=−−,因为1201tt,则121240,10tttt−−,即有12()()0ftft−,12()()ftft,因此函数()

ft在(0,1]上单调递减,则当1t=,即π4=时,min()5ft=,正方形DEFG的面积2DE取得最大值169,C错误.故选:BD【点睛】思路点睛:涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题,若点的运动与某角的变化相关,可以

设此角为自变量,借助三角函数解决.第Ⅱ卷三、填空题:本大题井4小题,每小题5分,共20分.13.22293+=______.【答案】9【解析】【分析】由指数运算性质化简求值.【详解】()()()222222222222933393++−+−====

.故答案为:9.14.若点()cos,sinA与点ππ(cos(),sin())55B++关于y轴对称,写出一个符合题意的=______.【答案】2π5(答案不唯一)【解析】【分析】根据给定条件,利用诱导公式列式,即可求解作答.【

详解】因为点()cos,sinA与点ππ(cos(),sin())55B++关于y轴对称,则πcos()cos5πsin()sin5+=+=,因此π()π2π,Z5kk++=+,解得2ππ,Z5kk=

+,取2π5=.故答案为:2π515.中国折扇有着深厚的文化底蕴,这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧,显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示,其中外弧线的长为54cm,内弧线的长为18cm,连接外弧与内弧的两端的线段

的长均为16cm,则该扇环的面积为______2cm.【答案】576【解析】【分析】设该扇形內弧半径为r,根据弧长公式可得r,进一步求出外弧半径,最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为cmr,由弧长公式和已知可得:541618rr+=,解得

:8cmr=,则外弧半径为81624cm+=,所以该扇环的面积为2115424188576cm22−=,故答案为:576.16.记max,ab表示a,b中较大的数.若关于x的方程1max,xxtx−=−的

所有实数根的绝对值之和为6,则t的值为______.【答案】3【解析】【分析】由题意可将原方程化为()2100xtxx−+=,讨论0x和0x,可得所有实数根的绝对值之和为6,即26t=,即可求出t的值.【详解】由于1max,xxtx−=−,所以原方程化为1x

tx+=,即()2100xtxx−+=,当0x时,依题意可知,方程210xtx−+=有根,设其两根分别为12,xx,则1210xx=,所以方程210xtx−+=有两正根12,xx,且12xxt+=,当0x时,同理可得,方程210xtx++=有两负根34,xx,

且34xxt+=−,所以34xxt+=,所以26t=,解得:3t=,检验符合.故答案为:3.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()2fxxbx

c=++,且()()130ff==.(1)求()fx的解析式;(2)求()fx在区间2,5−上的取值范围.【答案】(1)2()43fxxx=−+;(2)1,15−.【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用待定系数法求解作答.(

2)利用二次函数的单调性,求出函数()fx在给定区间上的最值作答.小问1详解】函数()2fxxbxc=++,且()()130ff==,则10390bcbc++=++=,解得43bc=−=,有2()43fxxx=−+,所以()fx的解析式是2()43fxxx=−+.【

小问2详解】由(1)知,2,5x−,函数2()(2)1fxx=--在[2,2]−上单调递减,在2,5上单调递增,【因此min()(2)1fxf==−,而()()215,58ff−==,则()()max215f

xf=−=,所以()fx在区间2,5−上的取值范围是1,15−.18.已知tan2=.(1)求()()πcos2sinπcos3π+−++的值;(2)若为钝角,且10si

n10=,求()tan−的值.【答案】(1)2−;(2)7.【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用诱导公式化简,再利用齐次式计算作答.(2)利用同角公式求出tan,再利用差角的正切公式求解作答.【小问1详解】因为tan2=,所以πcos(

)sintan22sin(π)cos(3π)sincos1tan+−===−−++−−.【小问2详解】因为为钝角,10sin10=,则2210310cos1sin1()1010=−−=−−=−,sin1t

ancos3==−,所以12()tantan3tan()711tanan12()3−−−−===++−.19.设0a,()eexxafxa=+为偶函数.(1)求a的值;(2)判断()fx在区间()0,+

上的单调性,并给予证明.【答案】(1)1a=(2)单调递增,证明见解析【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义得出()()fxfx−=,即可列式解出1a=;(2)根据函数单调性的定义证明,任取1x、)20,x+,当12xx时,得

出()()12fxfx,即可证明.【小问1详解】()fx为偶函数,()()fxfx−=,即()()e1eeeeexxxxxxaafxafxaaa−−−=+=+==+,即11eexxaaaa−−=−

,对任意xR恒成立,所以1a=;所以()ee1xxfx=+.【小问2详解】()fx在区间()0,+上单调递增.理由如下:任取1x、()20,x+,当12xx时,()()()2112121212121212eeeeeeeeeee111e1xxxxxxxxxxxxxxfxfx+

+−−=+−+=−+=−−.由于120xx,所以12ee0xx−,12110exx+−,所以()()120fxfx−,故()()12fxfx,所以()fx在区间()0,+上单调递增.20.

在①函数()fx的一个零点为0;②函数()fx图象上相邻两条对称轴的距离为π2;③函数()fx图象的一个最低点的坐标为2π,33−,这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,并给出问题的解答.问题:已知函数()()π2sin103,

02fxx=+−,满足______.(1)求()fx的解析式,并求()fx的单调递增区间;(2)求使()()πfxf成立的x的取值集合.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【答案】(1)()π2sin216fxx=+−;

()πππ,πZ36kkk−++(2)()πππZ3xkxkk+【解析】【分析】(1)选①②,由①可求出,由②可求出,即可求出()fx的解析式;令()πππ2π22πZ262kxkk−+++,解不等式

即可求出()fx的单调递增区间;选①③,由①可求出,由③可求出,即可求出()fx的解析式,下同选①②;选②③,由②可求出,由③可求出,即可求出()fx的解析式,下同选①②;(2)因为()()πfxf,所以π2sin2106x+−,解不等式即可求出答案.【小问

1详解】选①②,因为函数()fx的一个零点为0,所以()00f=,所以2sin10−=,所以1sin2=,又因为π02,所以π6=,因为函数()fx图象上相邻两条对称轴的距离为π2,所以π2π2T==,又因为03,所以2ππ=,解得:

2=,所以函数()fx的解析式为()π2sin216fxx=+−,令()πππ2π22πZ262kxkk−+++,解得:()ππππZ36kxkk−++,所以函数()fx的单调递增区间为:()πππ,πZ36kkk−++

.选①③,因为函数()fx的一个零点为0,所以()00f=,所以2sin10−=,所以1sin2=,又因为π02,所以π6=,因为函数()fx图象的一个最低点的坐标为2π,33−,所以2ππ2sin1336+−=−,所以2ππsin136

+=−,所以()2πππ2π,Z362kk+=−+,解得:()31Zkk=−,又因为03,解得:2=,所以函数()fx的解析式为()π2sin216fxx=+−,下同选

①②.选②③,因为函数()fx图象上相邻两条对称轴的距离为2,所以π2π2T==,又因为03,所以2ππ=,解得:2=,因为函数()fx图象的一个最低点的坐标为2π,33−,所以2π2si

n2133+−=−,所以4πsin13+=−,所以()4ππ2π,Z32kk+=−+,解得:()11π2πZ6kk=−+,又因为π02,所以π6=,所以函数

()fx的解析式为()π2sin216fxx=+−,下同选①②.【小问2详解】由(1)知,()π2sin216fxx=+−,因为()()πfxf,所以π2sin2106x+−,所以π1sin262x+,所以()ππ5π2π22πZ666

kxkk+++,解得:()πππZ3kxkk+,所以使()0fx成立的x的取值集合为:()πππZ3xkxkk+21.人类已进入大数据时代.目前,数据量已经从()TB1TB102

4GB=级别跃升到PB()PB1024TB=乃至EB()1EB1024PB=乃至()ZB1ZB1024EB=级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明,2008年起全球每年产生的数据量如下表所示:年份20082009

20102011…2020数据量(ZB)0.50.81.21.5…80(1)设2008年为第一年,为较好地描述2008年起第x年全球产生的数据量(单位:ZB)与x的关系,根据上述信息,从函数()fxkxb=+和()xgxab=中

选择一个,应选择哪一个更合适?(不用说明理由)(2)根据(1)中所选的函数模型,若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数,预计到哪一年,全球产生的数据量将达到2020年的111210倍?(注:lg20.3)【答案】(1)选择()xgxab=(2)2025【解析】

【分析】(1)描点,根据图象选择;(2)由待定系数法求得参数,列指数不等式结合对数运算求解.【小问1详解】由题意得x1234…13y0.50.81.21.5…80画出散点图如下:由图易得,5个点在一条曲线上,应

选择()xgxab=【小问2详解】由题意得,()()11213112116010.521380160agabgabb−======,则()11211602xgx−=则()1113111212121111801016010131318lg1604

lg21xgxx−+=++,即20081812025+-=年.预计到2025年,全球产生的数据量将达到2020年的111210倍.22.已知函数()πcos2fxxx=−,xR.(1)求()()πfxfx−+;(2)如图所示,小杜同学画出了()fx在区间ππ,22

−上的图象,试通过图象变换,在图中画出()fx在区间π3π,22上的示意图;(3)证明:函数()()π4hxfxx=−+有且只有一个零点0x.【答案】(1)()()ππfxfx−+=(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】(1)求出()πfx−,即可得出()()πfxfx−

+的值;(2)由(1)知,函数()fx的图象关于点ππ22,对称,则函数()fx在区间π3π,22的图象由对称性即可得出;(3)()()ππcos024hxxxxx=−−+,设函数()()()()ππ0,cos042gxxxxuxxx=−=−,分别讨

论104x,1π4x和πx时,()(),gxux单调性,即可求出()hx的单调性和值域,结合零点存在性定理即可证明.【小问1详解】因为()πcos2fxxx=−,所以()()ππππcosππco

s22fxxxxx−=−−−=−+,所以()()ππππcoscosπ22fxfxxxxx−+=−++−=【小问2详解】由(1)知,函数()fx的图象关于点ππ22,对称,则函数()fx在区间π3π,22的图象如下图所示,【小问3详解】因为()()π4hxfxx=−+

,所以()()ππcos024hxxxxx=−−+,设函数()()()()ππ0,cos042gxxxxuxxx=−=−,的.①当104x时,因为函数()21124gxx=−−在10,4单调递减,所以()()00gxxxg=−

=,因为函数()ux在10,4单调递增,所以()ππππ1πππcoscoscos042424423uxx=−−−=,所以()0hx,所以函数()hx在区间10,4没有零点.②当1π4x时,因为函数()21124gxx=−−在1,π4

单调递增,函数()ux在1,π4单调递增,所以()hx在1,π4单调递增,又11π11ππ1π1πππ11coscoscos04424442442344h−−=−−+=−+−+=−,()ππ7πππππ0244h=+−

+=−,根据零点存在性定理,存在唯一0x1,π4,使得()00hx=.③当πx时,函数()21124gxx=−−在π,+单调递增,所以()()πππgxg=−,()πππππcos42424uxx=−−=−

,所以()π3ππππ044hx−−=−,所以函数()hx在区间)π,+没有零点.综上,函数()()π4hxfxx=−+有且只有一个零点0x.

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