【文档说明】山西省晋中市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.633 MB，由小赞的店铺上传

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2023年1月山西省高二年级期末调研测试数学（时间：120分钟满分：150分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项符合题目要求）1.经过点()()0,2,1,0AB−的直线的斜率为（）A.2−B.12−C.12

D.2【答案】D【解析】【分析】利用斜率公式即可求得经过点()()0,2,1,0AB−的直线的斜率.【详解】由斜率公式可得：()20201−=−−，则经过点()()0,2,1,0AB−的直线的斜率为2故选：D2.已

知点N与点()1,2,3M−关于x轴对称，则点N的坐标为（）A.()1,2,3−B.()1,2,3−−C.()1,2,3−−−D.()1,2,3−【答案】A【解析】【分析】根据关于啥轴对称啥不变，其它坐标变相反的对称变换口诀，

结合点M的坐标即可求解.【详解】依题意，点()1,2,3M−关于x轴的对称点()1,2,3N−.故选：A.3.曲线221:3412Cxy+=和222:326Cxy+=，则1C和2C更接近圆的是（）A.1CB.2

CC.相同D.无法判断【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论.【详解】分别将曲线221:3412Cxy+=和222:326Cxy+=化为标准方程可得，22143xy+=，22123xy+

=，由椭圆的性质可得，曲线1C的离心率为12，曲线2C的离心率为13，显然1123，因此曲线1C更接近圆.故选：A.4.已知{}na为等比数列，且32a=，78a=，则5a=A.22B.22C.4D.4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义与性质运

算求解.【详解】设等比数列的公比为q，则4734aqa==，即22q=，所以253224aaq===.故选：C.5.已知函数()yfx=的图象是下列四个图象之一，且其导函数()yfx=的图象如图所示，则该函数的图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】

利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.【详解】由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且()00f=，在0x=处的切线的斜率为0，故BCD错误

，A正确.故选：A.6.与两圆224xy+=及228150xyx+−+=都外切的圆的圆心的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线的一支C.抛物线D.圆【答案】B【解析】【分析】设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.【详解】圆224xy+=

的圆心为()0,0O，半径为2；圆228150xyx+−+=的标准方程为()2241xy−+=，圆心为()4,0B，半径为1，设所求动圆圆心为P，圆P的半径为r，由于动圆P与圆O、圆B均外切，则21POrPBr=+=+，所以，14POPBOB−==，因此动圆的圆心P的

轨迹为双曲线的一支.故选：B.7.洛书（如图）是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五为中，形成如图所示的九宫格.将自然数1、2、L、2n填入

n行n列的方格内，使各行、各列、各条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”.洛书就是一个三阶幻方，若记n阶幻方的对角线上数的和为nN，例如315N=，434N=，565N=，L，那么12阶幻方的对角线上数的和为（

）A.671B.870C.7381D.10440【答案】B【解析】【分析】计算出n阶幻方中对角线的数字之和，然后令12n=即可得解.【详解】在n阶幻方中，共有2n个数，这些数的和为()2212nn+，每一条对角线上的数字和与每

一行的数字和相等，均为()212nn+，因此当12n=时，()212121218702N+==.故选：B.8.已知双曲线2222:1(02)4xyCbbb−=−的左､右焦点分别为12,,FFO为坐标原点，P为双曲线上一点，满足212,3OPPFPFPF==，则该双曲线的右焦点2F到

渐近线的距离的平方为（）A.1B.3C.2D.23【答案】D【解析】【分析】求出双曲线C的焦点，结合已知求出点P的坐标，进而求出2b，再求出2F到渐近线的距离作答.【详解】双曲线C的半焦距2c=，则焦点()()122,

0,2,0FF−，由2OPPF=，知点P在2OF的中垂线上，设点()1,Pp，由123PFPF=，得222233(1)pp+=+，解得3p=，即点(1,3)P或(1,3)P−，而点P在双曲线C上，于是221314bb−=−，解得223b=，双曲线C的渐近线为240bxby−=，点2F到渐近线

的距离为2222(4)bbbb=+−，所以该双曲线的右焦点2F到渐近线的距离的平方为223b=.故选：D二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对

得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.,,abc是空间的一个基底，与ab+、ac+构成基底的一个向量可以是（）A.bc+B.bc−C.bD.c【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量基本

定理判断即可.【详解】由于()bcabac−=+−+，故bc−与ab+、ac+共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；因为,,abc是空间的一个基底，由于不存在实数对x、y，使得()()bcxabyac+=+++，

若成立则011xyxy+===，显然方程组无解，故ab+、ac+与bc+可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；故选：ACD10.关于x、y的方程()()()()()221313mxmymmm−+−=−−Z表示的轨迹可以是（）A.椭圆B.双曲线C.

直线D.抛物线【答案】BC【解析】【分析】对实数m的取值进行分类讨论，化简原方程，结合圆的方程以及圆锥曲线方程可得出结论.【详解】当1m=时，该方程表示的轨迹是直线0y=；当3m=时，该方程表示的轨迹是直线0x=；当1m且3m时

，原方程可化为22131xymm+=−−.当1m或3m时，()()130mm−−，该方程表示的轨迹是双曲线；当13m，又mZ，则2m=，此时方程为221xy+=，该方程表示圆；综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.11.已知等比数列na的前n项积为1,0nT

a，公比1q，且202120221,1TT，则（）A.20221aB.当2021n=时，nT最小C.当1011n=时，nT最小D.存在1011n，使得12nnnaaa++=【答案】AC【解析】【分析】选项A，利用10,1aq，得到0na，再利用条件即可得得到结果；选项B和

C，利用等比数列的性质，结合条件即可判断出B和C的正误；选项D，结合条件，利用数列的单调性即可得出结果.【详解】对于选项A，10,1aq，所以110nnaaq−=，又1220211220221,1aaaa

aa，所以202212202111aaaa，故选项A正确；对于B和C，由等比数列的性质，21202122020101010121011aaaaaaa====，故202112202110111aaaa=，则10111a，120222202110111012aaaaaa=

==，于是()1011122022101110121aaaaa=，则101110121aa，故10121a，故当1011n=时，12naaa最小，故选项B错误，选项C正确；对于D，因为10,1aq，所以数列na是单调递增数列，所以当1011

n时，10111naa，故112nnnnaaaa+++，故D错误.故选：AC.12.设函数()()sin0exxfxx=，其中e2.71828=，则（）A.()01f=B.()fx在π0,2上单调递增C.()fx的最大值为π4f

，最小值为5π4fD.方程()1(0)fxxx=无解【答案】ACD【解析】【分析】求得()0f的值判断选项A；求得()fx在π0,2上单调性判断选项B；求得()fx的最大值和最小值判断选项C；求得方程()1(0)fxxx=解的个数判断选项D.【详解】因为(

)()2π2cosecosesincossin4eeexxxxxxxxxxfx+−−===，则()20212f==，A正确；由()0fx¢>，可得πππ2π2π,242kxkk−++Z，结合0x得，π04x或()3ππ2π2π,1,44k

xkkk−+N，由()0fx得，ππ3π2π2π,242kxkk+++Z，结合0x得，π5π2π2π,44kxkk++N，所以()fx在π0,4上单调递增，在ππ,42上单调递减，B错误；由()fx在在π0

,4上单调递增，区间π5π2π,2π,44kkk++N单调递减，在区间5π9π2π,2π,44kkk++N上单调递增，可得()fx在π2π,4xkk=+N时取

极大值，在5π2π,4xkk=+N时取极小值，当k增大时，sinx值不变，但ex值增大，又当0k=时，()π04ff，()5π425π21=04eff−=，所以()fx的最大值为π4f，最小值为5π4f.所以C

正确；令()e(0)xgxxx=，则()()2e1xxgxx−=，当01x时，()()0,gxgx单调递减，当1x时，()()0,gxgx单调递增，所以当1x=时，()gx取得最小值，()min()1egxg==，所以ee1sinxxx，所以sin1e

xxx，从而()1(0)fxxx=无解，所以D选项正确.故选：ACD三，填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填人答题卡中对应的位置）13.过点()2,1，且垂直于31xy+=的直线的一般式方程为__________.【答案】310xy−+=【解析】【分析】根据直线垂

直的条件，设所求直线方程为30xym−+=，将点()2,1代入即可求解.【详解】又题意可设所求直线方程30xym−+=，因为直线过点()2,1，所以230m−+=，解得1m=，为所以所求直线的一般式方程为310xy−+=，故答案为：310xy−+=.14.写出一个各项均小

于3的无穷递增数列的通项公式：na=__________()*nN.【答案】13n−（答案不唯一）【解析】【分析】根据数列的单调性以及题意可得出满足条件的一个数列的通项公式.【详解】对任意的nN，10n，则133n−，数列13n−为

单调递增数列，故满足条件的一个数列的通项公式为()13nann=−N.故答案为：13n−（答案不唯一）.15.函数()32fxxax=++的图象与x轴相切，则=a____.【答案】3−【解析】【分析】利用题给条件列出关于a的方程组，解之即可求得a的值.

【详解】由()32fxxax=++，可得()23fxxa=+，又函数()32fxxax=++的图象与x轴相切，设切点为()0,0x，则()()30002002030fxxaxfxxa=++==+=，解得01,3.xa==−

故答案为：3−16.以抛物线2:4Cyx=上的动点P为圆心，半径为2的圆与直线:3lyx=+相交于,AB两个不同的点，则线段AB长度的最大值为___.【答案】22【解析】【分析】先求得点P到直线l的距离的最小值，进而利用垂径定理求得线段A

B长度的最大值.【详解】设点200,4yPy，则点P到直线l的距离()202003284242yyyd−+−+==，故当02y=时，d取到最小值为2，此时AB有最大值222242ABrd=

−=−22=.故答案为：22四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为8m、4m）和圆弧构成，截面总高度为6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有0

.5米，已知行车道总宽度6mAB=.（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？【答案】（1）答案见解析（2）4.5米【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点O为坐标原点，AB的方向为x

轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点()4,2−在圆上，求出p的等式，解之即可；（2）将3x=的方程代入圆的方程，求出y值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.【小问1详解】解：以抛物线的顶点O为坐标原点，AB的方向为x轴的

正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，故圆心在y轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为220,xyEy++=易知，点()4,2−在圆上，将()4,2−的坐标代入圆的一般方程得16420,10EE+−==，则该圆弧所在圆的一般方程为22100xyy

++=.【小问2详解】解：令3x=代入圆的方程得21090yy++=，得1y=−或9y=−（舍），由于隧道的总高度为6米，且610.54.5−−=（米），因此，车辆通过隧道的限制高度为4.5米.18.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体

如下：甲同学记得缺少的条件是首项1a的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是1S，3S，2S成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题等比数列na前n项和为nS，

已知______．（1）判断1S，2S，3S的关系；（2）若133aa−=，设12nnnba=，记nb的前项和为nT，证明：43nT．【答案】（1）1S，3S，2S成等差数列（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据1S，3S，2S成等差数列，结合等比数

列的基本量关系求解可得12q=−，再代入1S，2S，3S判断即可；（2）由133aa−=可得14a=，代入可得2132nnbn=，再根据错位相减求和求得nT即可证明.【小问1详解】由1S，3S，2S成等差数列，得1232SSS+=，即()21111112aaaqaa

qaq++=++，由题意知10a，所以220qq+=．又0q，所以12q=−．综上可知缺少的条件是12q=−．的因为12q=−，所以2121111122Saaaaa=+=−=，31231111113244Saaaaaaa=+

+=−+=，所以1232SSS+=，即1S，3S，2S成等差数列．【小问2详解】由133aa−=，可得11134aa−=，解得14a=，所以112141212232nnnnnnban−==−=，

则2111112332482nnTn=++++，11211111232348162nnTn+=++++，上面两式相减可得1111112111111212

212324816223212nnnnnTnn++−=+++++−=−−，化简可得142132nnnT++=−，由12112nn++−，可

得43nT．19.如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD−中，E为等边三角形ACD的中心，,FG分别满足1,2BFFCBGGA==.（1）用,,BABCBD表示BE，并求出BE；（2）求直线FG与平面ACD所成角的正弦值.【答案】（

1）()13BEBABCBD=++，263（2）4221【解析】【分析】（1）先利用正四面体几何性质用,,BABCBD表示BE，进而求得BE；（2）先求得直线FG与直线BE所成角的余弦值，进而得到直线F

G与平面ACD所成角的正弦值.【小问1详解】连接AE并延长交CD于M，则MCD中点，则()()22113323AEAMACADACAD==+=+，()13BEBAAEBAACAD=+=++()()1133BA

BCBABDBABABCBD=+−+−=++，则()21133BEBABCBDBABCBD=++=++22212223BABCBDBABCBABDBCBD=+++++12644444433=+++++=【小问2详解】根据题意，BE

⊥平面ACD，因此，直线FG与平面ACD所成角的正弦值即为直线FG与直线BE所成角的余弦值的绝对值.1123FGBABC=−，且211112323FGBABCBABC=−=−2211111174424934933BABCBABC=+−=+−=

故cos,FGBEFGBEFGBE=.()11132326733BABCBDBABC++−=为2211113113623267332BABABCBABDBCBCBD+−−=+11424214233339212672673333+−−==

+=则直线FG与平面ACD所成角的正弦值为4221.20.抛物线C的焦点F到准线l的距离为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F的直线（斜率存在且不为0）交抛物线C于,AB两点，线段AB的中垂线交抛物线的对称轴于点P，求FPAB.【答案】（1）22224,4,4,4yxyxxyxy==

−==−（2）12FPAB=【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）不妨取抛物线的方程为24yx=，设直线AB的方程为1xmy=+，()11,Axy、()22,Bxy，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出AB，再求出AB中垂线方程，即可求出P点坐标，即

可求出FP，从而得解.【小问1详解】因为抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，所以2p=，根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，分别是24yx=，24yx=−，24xy=，24xy=−.【小问2详解】在平面直角坐标系中，抛物线的

位置并不影响FPAB的取值，因此不妨取抛物线的方程为24yx=，此时焦点()1,0F，根据题意，直线AB的斜率存在且不为0，因此设直线AB的方程为1xmy=+，与抛物线24yx=联立，得关于y的一元二次方程2440ymy−−=，则216160m=+，设()11,Axy、(

)22,Bxy，则124yym+=，124yy=−，2121616yym−=+，()21212242xxmyym+=++=+，则()2212141ABmyym=+−=+，线段AB的中点坐标为()221,2mm+，中

垂线方程为()2221ymmxm−=−−−，令0y=，解得232xm=+，即中垂线与x轴交于()232,0Pm+，所以222FPm=+，则12FPAB=.21.在正方体1111ABCDABCD−中，E为11AD的中点，过

1ABE的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为直线1CC上的动点.（1）点H在棱BC上，当14CHCB=时，//FH平面1AEB，试确定动点F在直线1CC上的位置，并说明理由；（2）若2,ABP=为底面ABCD的中心，求点P到平

面AEF的最大距离.【答案】（1）F为1CC的中点，理由见解析；（2）355.【解析】【分析】（1）利用线面平行性质定理和面面平行性质定理即可确定动点F在直线1CC上的位置；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得点P到平面AEF的最大距离.【小问1详解】设平面1

1BCCB与平面1AEB的交线为l，因为//FH平面1,AEBFH平面11BCCB，平面11BCCB平面1AEBl=，所以FHl∥.由正方体1111ABCDABCD−知，平面1//ADDE平面11BCCB，又因为平面1ADDE平面1AEBAE=，平面

11BCCB平面1AEBl=，所以AEl∥，所以AEFH∥，取BC的中点G，连接1CG，易知1AECG∥，所以1FHCG∥，又因为H为CG的中点，所以F为1CC的中点.【小问2详解】法一：以点D为原点，1,,DADCDD分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间

直角坐标系，则有()()()()1,1,0,2,0,0,1,0,2,0,2,PAEFt，其中tR，()()()1,0,2,2,2,,1,1,0AEAFtAP=−=−=−设平面AEF的法向量为(),,nxyz=，则有00nAEnAF==即20220xzxytz−+=−++=，

不妨取2x=，，则2,2,12tn=−，所以点P到平面AEF的距离22224212tAPndnt−+−==+−+2836ttt=−+当0=t时，0d=；当0t时，222218368368361ttdtttttt===−+−+−+当119t=，即9t=时，d取到最大值

为355.综上，点P到平面AEF的最大距离为35522.已知函数()21ln2fxxxa=−+.（1）求函数()fx极值；（2）若()()2224ln2gxfxx=+−有零点，求实数a的取值范围.的【答案】（1）极小值()112fa=+，无极大值（2）1,

2−−.【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值；（2）首先求出()gx解析式，即可求出函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可得到最小值小于等于0，解得即可.【小问1详解】因为(

)()21ln,0,2fxxxax=−++，所以()1fxxx=−，令()0fx=，得=1x−（舍去）或1x=，所以当()0,1x时，()()0,fxfx单调递减，当()1,x+时，()()0,fxfx单调递增，故函数()fx有极小值()112fa=+，无极大值.【小问2

详解】因为()()2224ln2gxfxx=+−，即()()()22222ln24ln282ln22ln2gxxxaxxxa=−++−=−+−，()0,x+，则()216gxxx=−，令()0gx=得24x=或24x=−（舍去），所以当20,4x时，()()0

,gxgx单调递减，当2,4x+时，()()0,gxgx单调递增，所以min2()124gxga==+，当x趋向正无穷时，()gx趋向正无穷.所以()gx的值域为)12,a++.

根据题意知，120a+，解得12a−.故实数a的取值范围是1,2−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com