【文档说明】山西三晋卓越联盟2024-2025学年高三上学期12月质量检测卷 数学 Word版含解析.docx，共(13)页，857.173 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2024-2025学年高三12月质量检测卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请

将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一

､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若()1i43iz−=−，则z=（）A.24i−+B.24i−−C.24i+D.24i−2.已知集合()1122,5,3,1,2xxAxB−+==−−∣，则AB=（）A.1,2

B.5,3−−.5,3,1C−−D.3,1,2−3.612xx−的展开式中常数项为（）A.30−B.30C.15−D.154.()tan80tan55tan80tan55tan660+−=（）A.3B.3−C.33D.

33−5.已知()()123,0,3,0FF−，动点P满足124PFPF−=，动点Q满足22124QFQF−=，则PQ的最小值为（）A.73B.2C.53D.436.设函数()224,0,π2sinπ,024xaxaxfxaxx−++

=+在(),2−上单调递增，则实数a的取值范围（）A.10,4B.10,4C.10,8D.10,87.已知抛物线2:6Cxy=的焦点为,,FMN是C上不同的两点，O为坐标原点

，9OMON=−，则3MFNF+的最小值为（）A.663+B.66+C.363+D.98.同底的两个正三棱锥PABC−与QABC−的所有顶点都在球O的表面上，若1,PAQA==2，则二面角PABQ−−的余弦值为（）A.3343

4B.33434−C.31717D.31717−二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,mn是两条不同的直线,,是两个不同的平面，,mn，则（）A.,mn不平行是,

不平行的充分条件B.,mn不相交是,不相交的必要条件C.,mn垂直且相交是,垂直的充分条件D.,平行或相交是,mn异面的必要条件10.已知函数()fx的定义域()(),00,D=−+，对任意的12,xxD，恒有()()()33122112fxxxfx

xfx=+，则下列结论正确的是（）A.()10f−=B.()fx是奇函数C.若0mn，则()()33nfmmfnD.若()21f=，则()33*22,nnfnn−=N11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件

先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把5%的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的

合格率为611，则（）A.该零部件的合格率为109120B.从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为2526D.从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件

或6件合格品的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量,ab满足3,22abab+=−=，且()0aab−=，则a=__________.13.对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法，如后汉时期的赵爽､

三国时期的刘徽､清代的梅文鼎､华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，其中OAB为直角三角形，分别以,,OAOBAB为边长作3个正方形，通过出入相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若3

,4OAOB==，以AB中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为__________.14.若对任意()12,0,xx+，当12xx时恒有()1122122

1ln12lnln2lnxxaxxxxaxx+++，则a的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知ABC

中，内角,,ABC所对的边分别为(),,,coscos2cosabcbCcBaBC+=+.（1）若6a=，求ABC面积的最大值；（2）若2bc=，求tanB.16.（本小题满分15分）近年来，因使用手机过久､工作压力大等

因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表：90后非90后合计23：00前入睡308023：00后入睡合计100200（1）完成列联表，根据小概率值0.01=的独立

性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90后”有关联？（2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇，记20202024年的年份代码x依次为

1，2，3，4，5，下表为20202023年中国睡眠经济市场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测，年份代码x12345市场规模y3.84.24.55.05.3根据上表数据求y关于x的回归方程.参考公式：()()()()()22na

dbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.回归方程ˆˆxabx=+，其中()()()121ˆˆˆˆ,.niiiniixxyybaybxxx==−−==−−参考数据：()()50.0116.635,3.8iiixxxyy==−−=.17.（本小题满分15分）如

图，在体积为23的三棱柱111ABCABC−中，底面ABC是边长为2的正三角形，1ABAB=､D为AC的中点.（1）求证：平面11ACCA⊥平面1ABD；（2）求直线1AD与平面1ABC所成角的正弦值.18.

（本小题满分17分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=经过点21,,2PC的左､右焦点分别为12,FF，且1PF.212PF=.（1）求C的方程；（2）若过点11,2Q−的直线

与C交于点M､N，且线段MN的中点恰好为Q，求直线MN的方程；（3）若斜率为()0kk且不经过点1F的直线l与C交于不同两点,AB，直线11,,AFlBF的斜率成等差数列，求k的取值范围.19.（本小题满分17分）若()fx的定义域为D，数列,nn

ab满足()()()0nnfakfbk=，则称(),nnab为()fx的“k倍点列”.（1）若()()()22ln,25,0,,nnnnfxxanbab==−为()fx的“2倍点列”，求nb的前n项和nS

；（2）若()()ππ2ee2sin,,2xxnnxfxab+−−=++为()fx的“1倍点列”且nnab，求证：nnab+为定值；（3）若,2lnnnnankbkk=−=−，判断是否存在k，使得(),nnab为()1fxx=+的“l

nk倍点列”，并证明你的结论.2024~2025学年高三12月质量检测卷·数学参考答案､提示及评分细则1.A因为()1i43iz−=−，所以43i114i324iiz−=+=−−=−−，则24iz=−+

.故选A.2.D因为1111212(2)2213,5,3,1,22xxxxxAxxxxxxB−+−+−===+=−=−−∣∣厖厖，所以3,1,2AB=−.故选D.3.B612xx−

的展开式中常数项为4246C(2)(1)30−=.故选B.4.A原式()()1tan80tan55tan8055tan80tan55tan660tan660tan603=−+−=−==.故选A.5.CP点的轨迹是双曲线221

45xy−=的右支，设(),Qxy，由22124QFQF−=可得2222(3)(3)4xyxy++−−−=，整理得Q点轨迹方程为13x=，所以min15||233PQ=−=.故选C.6.C因为函数()fx在

(),2−上单调递增，则需满足0,41,0,ππ2π,42aaaa+…„„解得108a„.故选C.7.A设221212,,,66xxMxNx，则221212936xxOMONxx=+=−，所以2

22222121212123318,3362666362626262xxxxxxxxMFNF=−+=+++=+++=+…，当且仅当221262xx=，即123xx=−时等号成立.故选A.8.B由题意可得PQ为球O的直

径，PAQA⊥，因为1,2PAQA==，所以225PQPAQA=+=，作ADPQ⊥，垂足为D，则AD为ABC外接圆半径，且255PAQAADPQ==，所以在正ABC中，21535ABAD==，取AB中点E

，连接,PEQE，则PEQ就是二面角PABQ−−的平面角.22223103851,45555PEPAAEQEQAAE=−=−==−=−=，所以222334cos234PEQEPQPEQPEQE+−==−.故选B.9.BD,mn不平行，,有可能平行，故A错误；若,不

相交，则,mn不相交，故B正确；若,mn垂直相交，，可能不垂直，故C错误；若,mn异面，则,平行或相交，故D正确.故选BD.10.ABD()()()33122112fxxxfxxfx=+中取121xx==得()10f=，取121xx==−，得()()1

1102ff−=−=，故A正确；取121,xxx=−=得()()fxfx−=−，故B正确；由题意构造函数()30.1logfxxx=，取1.1,0.1mn==，满足0mn，此时()()0fmfn，所以()()33f

mfnmn，即()()33nfmmfn，故C错误；取122,2nxx==，得()()()()1333322222222nnnnnffff+=+=+，所以()()133322122nnnnff+−−=，又()33212f−=，所以()()33332,222nnnnfnfn−−==，故D正

确.故选ABD.11.BCD设零部件的合格率为x，由题意可得5%615%11xxx=−+，解得240.9625x==，故A错误；从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为X，则()()100,0.96,100

0.9696XBEX==，故B正确；从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，至少有1个为合格品的概率为1162412525625−=，所以所求概率为24252562426625=，故C正确；从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，

记取到Y件合格品，则()()()1911010k1065C16606111110,,,606555511115565C1111kkkkkPYkkYBkkkPYkk+−+−=+−==−−+=−=+，所

以当4k„时，()()11PYkPYk=+=，当5k=时，()()11PYkPYk=+==，当6k…时，()()11PYkPYk=+=，所以()5PY=或()6PY=最大，故D正确.故选BCD.12.43015由()0aab−=得2aba=；由3ab+=得2222239aa

bbab++=+=；由22ab−=得222244344aabbab−+=−+=，所以24301532,15aa==.13.223(2)322xy−+−=（答案不唯一，形如222355137(2),222xyrr−+−=

„的方程都可以）AB的中点3,22C，点C到三个正方形顶点的距离最大为1372，其次为552，所以该圆的一个标准方程为223(2)322xy−+−=.14.)0,e由()11221221ln12lnln2lnxxaxxxxaxx+++得1112222ln2ln

0xxxaxaxxx−+，即111222ln2ln0xxxaaxxx−+，设12xtx=，则1t，所以问题转化为()ln2lnftttata=−+在()1,+上没有零点.当a=0时，()lnfttt=没有零点，满足题意；当0a时，

由()0ft得12ln1lntatt−，设()()2ln11lntgtttt−=，则()()()212ln1ln(ln)ttgttt+−=，因为1t，所以()gt在()1,e上单调递增，在()e,+上单调递减

，因为()1eeg=，所以()1,egt−，所以11,0eeaa.综上，a的取值范围是)0,e.15.解：因为πABC++=，所以()coscos2cos2cosbCcBaBCaA+=+=−.由正弦定理得sincossincos2sincosBCCBAA

+=−，因为()sincossincossinsinBCCBBCA+=+=，且()0,πA，所以12πcos,23AA=−=.（1）由6a=及余弦定理得222262cos3bcbcAbcbcbc=+−=++…，所以

2bc„，当且仅当bc=时取等号，所以ABC的面积112π33sinsin22342SbcAbcbc===„，即ABC面积的最大值为32.（2）由2bc=及正弦定理得2sinsinBC=，因为2π3A=，所以()π31sinsinπsincossin322CABBBB=−

−=−=−，所以312sincossin22BBB=−，即53sincos22BB=，所以3tan5B=.16.解：（1）22列联表如下：90后非90后合计23:00前入睡30508023:00后入睡7050120合计100100200

零假设0H：“23：00前入睡”与“是90后”无关联，因为220.01200(70503050)8.3336.63510010080120x−==，根据小概率值0.01=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为“

23:00前入睡”与“是90后”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01.（2）由x的取值依次为1,2,3,4,5，得()5213,10iixxx==−=，所以()()()515213.8ˆ0.3810iiiiixxyybxx=−−−===−，()13.84.24.

55.05.34.565y=++++=，所以ˆˆ4.560.3833.42aybx=−=−=，所以y关于x的回归方程为0.383.42ˆyx=+.17.（1）证明：因为ABC是边长为2的正三角形，设点1A到平面ABC的距离为h，则三棱柱111ABCABC−的体积232234Vh=

=，所以2h=，因为12ABAB==，所以1AB就是点1A到平面ABC的距离，故1AB⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以1ABAC⊥，因为,ABBCD=为AC中点，所以BDAC⊥，因为11,,ABBD

BABBD=平面1ABD，所以AC⊥平面1ABD，因为AC平面11ACCA，所以平面11ACCA⊥平面1ABD.（2）解：以B为原点，直线BA为x轴，在平面ABC内过点B与AB垂直的直线为y轴，直线

1BA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()1330,0,0,2,0,0,0,0,2,1,3,0,,,022BAACD，所以()()()12,0,0,0,0,2,1,3,0BABAAC===−，133,,222AD=−，所以()11111

1,3,2BCBAACBAAC=+=+=−.设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=，则有10,0,nBAnBC==得20,320,xxyz=−++=取3z=，得()0,2,3n=−.设直

线1AD与平面1ABC所成角为，则()1122122223302322233sincos,7330(2)(3)(2)22nADnADnAD−+−====+−+++−，所以直线1AD与平面1ABC所成角的正弦值为337.18.解：（1）设22

cab=−，则()()12,0,,0FcFc−，()()2122231112222PFPFccc=−−−+−−=−=，所以1c=，即221ab−=，因为点P在C上，所以221112ab+=，由22221,

111,2abab−=+=解得222,1ab==，所以C的方程为2212xy+=.（2）设()()1122,,,MxyNxy，则2212xx，且222212121,122xxyy+=+=，两式相减得()222212122xxyy−=−−，即121212

1212yyyyxxxx−+=−−+，因为线段MN的中点为Q，所以12122,1xxyy+=+=−，所以12121yyxx−=−，即直线MN的斜率为1，所以直线MN的方程为112yx+=−，即302xy−−=.（3）设(

)()3344,,,AxyBxy，直线l的方程为ykxm=+，联立22,12ykxmxy=++=消去y得()222214220kxkmxm+++−=，由()()2222Δ16421220kmkm=−+

−，整理得22210km+−，所以342421kmxxk+=−+.因为直线11,,AFlBF的斜率成等差数列，所以3434211yykxx+=++，即3434211kxmkxmkxx+++=++，整理得()()3420mkxx−++=，因为l不经过点1F，所以34240,22021k

mmkxxk−++=−+=+，所以12mkk=+，代入22210km+−得22k，所以k的取值范围是2,2+.19.（1）解：因为()()2ln,,nnfxxab=为()fx的“2倍点列”，

所以()()2nnfafb=，即4ln254lnnnb−=，所以52,2,2525,3,nnnbnnn−=−=−„…所以123,314SS==+=，当3n…时，344nnSbbb=++++()212542482nnnn+−=+−=−+，综上，23,1,48,2

.nnSnnn==−+…（2）证明：因为()ππ2ππee2sinee1cos2xxxxxfxx+−−+−−=++=++−，所以()ππeesinxxfxx+−=−+.设()()gxfx=，则

()ππeecos2110xxgxx+−−=++−=…，所以()fx单调递增，且()π0f−=，所以()fx在(),π−−上单调递减，在()π,−+上单调递增，因为(),nnab为()fx的“1倍点列”，则()()nnfafb=，不妨设()(),nnnn

abfafbt==，()()()ππππ2πee1cos2πee1cosxxxxfxxxfx−−++−−−−=++−−−=++−=，所以()fx的图象关于直线πx=−对称，当()πtf−时，()fxt=有2个不同实根，所以2πnnab+

=−.（3）解：因为,2lnnnnankbkk=−=−，且(),nnab为()fx的“lnk倍点列”，可得121lnlnnnkkkk−+=−+，即()21ln10,0kkkk−−+=且1k，设()()21ln1gxxxx=−−+，则()2112ln12l

n1xgxxxxx−=+−=−+，()gx在()0,+上单调递增，且()10g=，所以()0,1x时，()()0,1,gxx+时，()0gx，所以()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，因为()10g=，所以0x且1x时()

0gx，所以不存在k，使得()21ln10kkk−−+=，即不存在k，使得(),nnab为()1fxx=+的“lnk倍点列”.