【文档说明】浙江省衢州市2021-2022学年高二下学期6月教学质量检测数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.821 MB，由小赞的店铺上传

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衢州市2022年6月高二年级教学质量检测试卷数学一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1.已知集合12Axx=−，03Bxx=，则AB=（）A.)1,3−B.(1,2−C.(0,2D.(

)0,2【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为12Axx=−，03Bxx=，所以(0,2AB=；故选：C2.已知i为虚数单位，且复数21iz=+，则z=（）A.4B.22C.2D.2【答案】D【解析】【分析】根据

复数代数形式的除法运算化简复数z，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：因为()()()21i21i1i1i1iz−===−++−，所以()22112z=+−=；故选：D3.“2m=”是“直线yxm=+与圆222xy+=相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分

条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：若直线yxm=+与圆222xy+=相切，则圆心到直线的距离等于半径，即()22211m

d==+−，解得2m=，所以由2m=推得出直线yxm=+与圆222xy+=相切，故充分性成立，由直线yxm=+与圆222xy+=相切推不出2m=，故必要性不成立，故“2m=”是“直线yxm=+与圆222xy+=相切”的充分不必要条件；故选：A4.函数222xxxy−−=的

部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再对0x和0x时函数值的情况讨论，利用排除法即可判断；【详解】解：因为()222xxxyfx−−==定义域为R，又()

()()222222xxxxxxfxfx−−−−−−−===−，所以()222xxxyfx−−==为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；当0x时021x，21x->，21x，所以220xx−−，所以()0fx，故排除D；当0x时()1222121242xxxxxxxfx−

−−===−，因为1014x，所以10114x−，即()01fx，故排除C；故选：A5.已知π0,2，π3sin45α−=，则sin2=（）A.2425−B.725−C.2425D.725【答案】D【解析

】【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为π3sin45α−=，所以ππsin2cos2cos242=−=−22π3712sin124525=−−=−=；故选：D6.已知

向量a，b满足21aabab=+=+=，则b为（）A.1B.3C.2D.6【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算律得到方程组，解得即可；【详解】解：因为21aabab=+=+=，所以()()22121

abab+=+=，即222221441aabbaabb++=++=，即222221441aabbaabb++=++=，即22221214141abbabb++=++=，解得23b=，所以3b=；故选：B7.疫情期间，

某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴A，B，C三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去A检测点，则不同的安排方法有（）A.76B.88C.100D.124【答案】C【解析】【分析】先将护士安排好，再对4位医生分安排去两个检测点和三个检测点两种情况讨论，按

照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：首先将护士安排去B、C两个核酸检测点中的一个有12C2=种安排方法，再将4位医生安排去两个检测点或三个检测点，若安排去两个检测点，则有222124224222CCACA14A+=种安排方法，若安排去三个检测点，则有2343CA36=种安

排方法，综上一共有()21436100+=种安排方法；故选：C8.已知非零实数a，b满足2e2abb+=−，则（）AabB.2abC.22babD.232ab【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A、B，构造函

数，利用导数证明C、D；【详解】解：因为2e02abb+=−，所以22b−，令1b=−，ln3a=−，此时满足21e23abb+==−，但是1ln3−−，故A错误；令1b=，ln3a=，此时满足2e32abb+==

−，但是21ln3，故B错误；由2e2abb+=−两边取对数可得2ln2bab+=−，当02b，2ln02bab+=−，所以要比较22a与3b的大小，即比较2a与32b的大小，即2ln2bb+−与3222b的大小，令()()()3322222lnln2ln2222xhxxx

xxx+=−=+−−−−，()02x，则()()()21122221632411324322244444xxhxxxxxxx−−=−−=−=+−−−.令xt=，则()()()245163241632416324x

xtttt−−=+−=+−令()()516324ttt=+−，()0,2t，则()()43254tt=−，所以4405t时()0t，当4425t时()0t，即()44441643241632161055555t

=−=−，所以232ab，当20b−时220a，30b，所以232ab，综上可得232ab，故D正确；当02b，2ln02bab+=−，要比较22b与ab的大小，只需比较2b与a的大小，令()()()222ln2ln2ln22bmbb

abbbbb+=−=−=−++−−，()0,2b，则()()()222222114222244bbbmbbbbb+−−=−+==+−−−，所以当02b时()0mb，当22b时()0mb，所以()mb在()0,2单调递增，在()2,2上单调递减，当2b→时24b→，()ln2ln

4b+→，()ln2b−→−，所以()0mb，此时不满足2ba，即22bab不恒成立，故C错误；故选：D二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2

分，有选错的得0分）9.已知函数()2sin213fxx=+−，则下列关于函数()fx描述正确的是（）A.函数()fx图象关于直线12x=对称B.函数()fx图象关于点,13−

中心对称C.函数()fx在,2单调递增D.函数()fx在0,3上的最大值是1【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的基本性质可判断D选项

.【详解】对于A选项，()max2sin11122ffx=−==，故函数()fx图象关于直线12x=对称，A对；对于B选项，2sin113f=−=−，故函数()fx图象关于点,13−中心对称，B对；对于C选项，当2x时，472333x

+，所以，函数()fx在,2上不单调，C错；对于D选项，当03x时，233x+，故当232x+=时，()max2sin112fx=−=，D对.故选：ABD.10.已知曲线C：22115xykk+=−−，则下列说法正确

的是（）A.若曲线C表示双曲线，则5kB.若曲线C表示椭圆，则15k且3kC.若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为233，则7k=D.若曲线C与椭圆22142xy+=有公共焦点，则4k=【答案】BCD【解析】【分析】根据双曲线，椭圆的特征一一计

算可得；【详解】解：对于A：若曲线C：22115xykk+=−−表示双曲线，则()()150kk−−，解得5k或1k，故A错误；对于B：若曲线C：22115xykk+=−−表示椭圆，则105015kkkk−−−−，解得15k且3k，故B正确；

对于C：若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为233，则2215akbk=−=−，所以22226cabk=+=−，则22226413ckeak−===−，解得7k=，故C正确；对于D：椭圆22142xy+=的焦点为()2,0，若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则2

21050akbk=−=−，则5k，则2262ck=−=，解得4k=（舍去）；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则22105015akbkkk=−=−−−，则35k，则2

262ck=−=，解得4k=，符合题意，故4k=，故D正确；故选：BCD11.甲乙两位同学纸牌游戏（纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲､乙手中的红

牌数分别为X､Y张，则（）A.()122PX==B.()134PX==C.()()EXEY=D.()()DXYD=【答案】AD【解析】【分析】依题意可得X的可能取值为1、2、3，且3YX=−，求出所对应的概率，即可

求出()EX，再根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：甲取出一张红牌为事件A，乙取出一张红牌为事件B，则()2142PA==，()14PB=，则X的可能取值为1、2、3，且3YX=−，则()1331248PX===，()13111224242PX==+=，()111324

8PX===所以()31171238284EX=++=，所以()()()7533344EYEXEX=−=−=−=，()()()()()231DYDXDXDX=−=−=，故正确的有A、D；故选：AD12.已知三棱锥PABC−底面ABC是正三

角形，则下列各选项正确的是（）A.BC与平面ACP所成角的最大值为3B.BC与平面ABP所成角的最小值为3C.若平面PBC⊥平面ABC，则二面角APBC−−的最小值为3D.若PAC、PAB都不小于

4，则二面角BPAC−−为锐二面角【答案】AC【解析】【分析】利用线面角的定义可判断AB选项；利用二面角的定义可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项.【详解】对于A选项，设点B在平面ACP内的射影点为O，取AC的中点E，连接BO、O

E、BE、OC，设等边ABC的边长为a，则32BEa=，BO⊥平面ACP，所以，直线BC与平面ACP所成角为BCO，的BO⊥平面ACP，AC平面ACP，则ACOB⊥，ABC为等边三角形，E为AC的中点，则BEAC⊥，OBBEB=，

AC⊥平面OBE，OE平面OBE，ACOE⊥，所以，二面角BACP−−的平面角为BEO，sinOBBEOBE=，所以，sinOBBEBEO=，则sin33sinsin22OBBEBEOBCOBEOBCBC===，即当平面ACP⊥平面ABC时，BCO取得最大值3

，A对；对于B选项，由A选项可知，BC与平面ABP所成角的最大值为3，B错；对于C选项，取BC的中点M，过点M在平面PBC内作MNPB⊥，垂足为点N，连接AM、AN，则32AMa=，ABC为等边三角形，M为BC

的中点，则AMBC⊥，因为平面ABC⊥平面PBC，平面ABC平面PBCBC=，AM平面ABC，AM⊥平面PBC，PB平面PBC，AMPB⊥，MNPB⊥，AMMNM=，PB⊥平面AMN，AN平面AMN，ANPB⊥，所以，二面角APB

C−−的平面角为ANM，AM⊥平面PBC，MN平面PBC，AMMN⊥，因为sinsin2aMNBMPBCPBC==，所以，3tan3sinAMANMMNPBC==，当且仅当PBBC⊥时，等号成立，故

当平面PBC⊥平面ABC时，则二面角APBC−−的最小值为3，C对；对于D选项，过点B在平面PAB内作BTPA⊥，垂足为点T，过点C在平面PAC内作CRPA⊥，垂足为点R，则二面角BPAC−−的平面角为,TBRC，设PAB=，PAC

=，TBABAT=−，RCACAR=−，21cos32ABACABACa==，()()TBRCABATACARABACABARACATARAT=−−=−−+()()ABACATTBARARRCA

TARAT=−+−++2222111coscoscoscos222aARATaaa=−=−=−，取56==，则21coscos02TBRCa=−，此时,TBRC钝角，即二面角BPAC−−为钝二面角，D错.故选：AC.【点睛】方

法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二

面角是锐角还是钝角.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.随机变量X服从正态分布()22,N，若()040.8PX=，则()0PX=___________.为的【答案】0.1##110【解析】【分析】根据正态曲线的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X服从正态分布()2

2,N且()040.8PX=，所以()()10400.12PXPX−==；故答案为：0.114.已知()10210012101xaaxaxax−=++++，则13579aaaaa++++=___

________.【答案】512−【解析】【分析】令()()10210012101fxxaaxaxax=−=++++，利用赋值法可得出()()13579112afaaaaf+−+−=++，即可得解.【详

解】令()()10210012101fxxaaxaxax=−=++++，则()()012345678910100123456789101012faaaaaaaaaaafaaaaaaaaaaa=++++++++++=

−=−+−+−+−+−+=，因此，9135792512aaaaa++++=−=−.故答案为：512−.15.设数列mA：1a，2a，…，ma（2m），若存在公比为q的等比数列1mB+：1b，2b，…，

1mb+，使得1kkkbab+，其中1k=，2，…，m，则称数列1mB+为数列mA的“等比分割数列”.若数列5A的通项公式为3nna=（1n=，2，…，5），其“等比分割数列”6B的首项为1，则数列6B的公比q的取值范围是___________.【答案】543,3【解

析】【分析】根据所给定义得到13(1nnnqqn−=，2，3，，5)，再根据指数函数的性质计算可得；【详解】解：由题意可得，13(1nnnqqn−=，2，3，，5)，所以3q，且13(1nnqn−=，2，3，，5)，当1n=时，13成立；当2n=，3，，5时，应有

13nnq−成立，因为3xy=在R上单调递增，所以111133nnn+−−=随着n的增大而减小，故543q，综上q的取值范围是543,3．故答案为：543,316.若不等式()21e1axxaxax+++对任意xR均成立，则实数a的取值范围是_

__________.【答案】(,0]−【解析】【分析】易知0,ax→−不成立，0a=时，成立，当0a时，由()21gxaxax=++图象开口向下，过点()0,1，求得()gx在()0,1处的切线方程1yax=+

，得到211axaxax+++，再利用导数法证明()21e1axxax++即可.【详解】解：当0,ax→−时，()21e0,1axxaxax+→++→+，不成立；当0a时，()21gxaxa

x=++图象开口向下，过点()0,1，又()2gxaxa=+，则()0ga=，所以()gx在()0,1处的切线方程为：1yax=+，则211axaxax+++，下证()21e1axxax++，令()()21e1axmxaxx−=+−−，则()()(

)2e1e22eaxaxaxmxaaaxxxa−−−=−+−=−+，当0x时，()0mx，()mx递增，当0x时，()0mx，()mx递减，则()()00mxm=，所以()21e11axxaxaxax++++，当0a=时，

211x+，成立，故实数a的取值范围是(,0]−.故答案为：(,0]−四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscos3cosaCcAbB+=.（1）求sinB的值；（2）若3a

=，23b=，求ABC的面积.【答案】（1）223（2）32【解析】【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cosB，再根据平方关系计算可得；（2）首先由余弦定理求出c，再根据面积公式计算可

得；【小问1详解】解：因为coscos3cosaCcAbB+=，由正弦定理可得sincossincos3sincosACCABB+=，即()sin3sincosACBB+=，所以sin3sincos

BBB=，因为sin0B，所以13cosB=，即1cos3B=，所以222sin1cos3BB=−=【小问2详解】解：由余弦定理2222cosbacacB=+−，即21292cc=+−，解得3c=或1c=−（舍去），所以1122sin3332223ABCSacB===；18.

某学校为了解高二年级学生数学核心素养，从中抽取a名学生参加数学素养大赛，成绩（单位：分）的分组及根据各组数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间)40,100，且成绩在区间)60,90的学生人数是37人.（1）求x，a的值；（

2）估计这次数学竞赛成绩的75%百分位数和平均分.【答案】（1）0.024x=，50a=（2）75%分位数为86.25，平均数为76.2．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1得到方程，即可求出x，

从而求出样本容量；（2）首先判断75%分位数位于)80,90，设75%分位数为m，即可得到方程，解得m，再根据平均数公式计算可得；【小问1详解】解：由题意可得：()0.0040.0060.020.030.0

16101x+++++=，解得0.024x=，所以3750(0.020.030.024)10a==++，所以0.024x=，50a=；【小问2详解】解：成绩位于[40,80)的频率为()0.0040.0060.020.03100.60.75+++=，成绩位

于[40,90)的频率为0.60.024100.840.75+=，所以75%分位数位于)80,90，设75%分位数为m，则(80)0.0240.60.75m−+=，解得86.25m=，平均数为450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2+++

++=．19.在矩形ABCD中，4AB=，2AD=，点M为线段CD上的中点，沿AM将AMD翻折，使得π3PMD=，点E在线段PB上且满足2PEEB=.（1）证明：平面APM⊥平面ABCD；（2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值.【答

案】（1）见解析；（2）63.【解析】【分析】(1)取AM中点O，连接,DOPO,证明OP⊥平面ABCD即可；(2)建立坐标系，用空间向量求解.【小问1详解】解：如图的示，取AM中点O，连接,DOPO，因为M为线段CD上的中点，所以

2ADDM==，所以DOAM⊥，又因为2,PADA==2PMDM==,所以2PAPM==，所以POAM⊥①，由题意可得22AM=，90APMADM==,122OPODAM===,又因为π3PMD=，所以DPM△为等边三角形，所以2DP=，所

以222OPODPD+=，所以OPOD⊥②，又因ODAMO=③,由①②③可得OP⊥平面ABCD，又因为OP平面PAM，所以平面APM⊥平面ABCD；【小问2详解】建立如图所示的坐标系：则(2,0,0)A，(2,22,0)B−，(22,2,0)C−，(0,0,2)P

.又因2PEEB=.所以22422(,,)333E−.所以(2,0,2)PA=−，(2,22,2)PB=−−,(22,22,0)AB=−,4222(,,)333CE=,设平面PAB的法向量(,,)nxyz=，为则22022220

22220xzxyzxy−=−+−=−+=，所以xyz==，故取(1,1,1)n=，设直线CE与平面PAB所成角为（π(0,]2），则有sin|cos,|nCE=＝||||||nCEnCE＝63.20.已知函数()()21fxxxa=−−+.（1）当4a=

时，写出()fx的单调区间（不需要说明理由）；（2）若存在3,5x，使得()5fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）增区间为(),3−、()4,+，减区间为()3,4（2）113a或6a【解析】【分析】（1）当4a=时，化简函数

()fx的解析式，利用二次函数的单调性可得出函数()fx的增区间和减区间；（2）由参变量分离法可知，42axx−−或42axx+−在3,5x上有解，利用函数单调性或基本不等式可求得实数a的取值范围.【小问1详解】解：当4a=时，()()2269,424167,4xxxfxxxxxx−

+=−−+=−+−，所以，函数()fx的增区间为(),3−、()4,+，减区间为()3,4.【小问2详解】解：因为存在3,5x，使得()5fx，等价于存在3,5x，使得()24xxa−−成立，即42xax−−，所以，42xax−−或42

xax−−−在3,5x上有解，即42axx−−或42axx+−在3,5x上有解，所以，42maxaxx−−或min42axx+−，3,5x.因为yx=、42yx=−−在3,5上均为增函数，则42yxx=−−在3,5上为

增函数，所以，41123maxaxx−=−，当3,5x时，21,3x−，由基本不等式可得()442222xxxx+=−++−−()422262xx−+=−，当且仅当4x=时，等号成立，则6a.综上

所述，113a或6a.21.自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断

.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为()01pp.（1）若13p=，现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数的分布列及

期望；（2）若1412p−=−，现有()2N,2kkk份样本等待检验，并提供“k合1”检验方案：将()N,2kkk份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组

中各个样本必须再逐个检验.试比较用“k合1”检验方案所需的检验次数X的期望()EX与2k的大小.【答案】（1）分布列答案见解析，()43E=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分析可知1~4,3B，利用二项分

布可得出随机变量的分布，利用二项分布的期望公式可求得()E的值；（2）计算出()EX，令()20kEX−可得出2log04kk−，构造函数()()2log24kfkkk=−，利用导数研究函数()fk的单调性，比较()fk与0的大小关系，即可得出()EX与2k的大小.【小问1详解】解：

记阳性人数为，则1~4,3B，()42160381P===，()31412321C3381P===，()22241282C3327P===，()3341

283C3381P===，()4114381P===，所以，随机变量的分布列如下表所示：01234P16813281827881181所以，()14433E==.【小问2详解

】解：记所需化验次数为X，则X的可能取值为2、2k+、22k+，1412p−=−，则1412p−−=，所以，()2422kPX−==，()14422C212kkPXk−−=+=−，()24221

2kPXk−=+=−，()()()224444222221222122212kkkkkEXkkk−−−−−=++−++−=+−，令()422220kkEXk−−=−，可得42kk，则41

2kk−，所以，21log4kk−，即2log04kk−，令()()2log24kfkkk=−，则()114ln2ln244ln2kfkkk−=−=.当42ln2k时，()0fk，此时函数()fk单调递

增，当4ln2k时，()0fk，此时函数()fk单调递减，()2212log2042f=−=，当42,ln2k时，()0fk>恒成立，()21616log1604f=−=，则当4,16ln2k

时，()0fk>恒成立，当()16,k+时，()0fk恒成立.综上所述，当)2,16k且Nk时，()0fk>，则()2EXk，当16k=时，()0fk=，则()2EXk=，当()16,k+且N

k时，()0fk，则()2EXk.【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．（2）已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb=+

的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性质求解；（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．22.已知函数()esinxfxxax=−−.（1）若0a=，求函数()fx在)0,+上的最小值；（2）当4a时，证明：函数()fx有两个不

同的零点1x，2x（12xx），且满足（i）12xa；（ii）21elnxxa.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到()ecos1cos0xfxxx=−−，从而得到函数的单调性，即可得解；（2）首先求

出导函数，即可得到()fx在(,0−上单调递减，即()fx在(,0−没有零点，当0x，令()0fx=，参变分离可得esinxxax−=，令()esinxxpxx−=，利用导数证明()pxa=有两个根1x、2x，再利

用导数分别证明即可；【小问1详解】解：当0a=时，()esinxfxx−=，所以()ecosxfxx=−，因为)0,x+，所以()ecos1cos0xfxxx=−−，则()fx在)0,+上单调递增，所以()()min01fxf==；【小问2详解】证明：因为()esinx

fxxax=−−，所以()ecosxfxxa=−−，当0x时()ecos110xfxxaa=−−+−，故()fx在(,0−上单调递减，从而()()01fxf=≥，即()fx在(,0−没有零点，当0x，令()0fx=，即esin0xxax−−=，所以esinx

xax−=，令()esinxxpxx−=，()0,x+，下面先证()pxa=有两个根1x、2x，()()21esincosxxxxxpxx−+−=，令()()1esincosxgxxxxx=−+−，则()()()esin1sin0xgxxx

xx=++，故()gx在()0,+上单调递增，又()01g=−，()1sin1cos10g=−，故存在()00,1x，使得()00gx=，从而()px在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，又()1esin1e4p=−可知当4a时，()

pxa=有两个不同实数根1x、2x，且10201xxx，即()fx有两个不同的零点1x、2x，（i）因为21a，故12xa等价于()12pxpa，等价于2apa，即22esin2aaaa−，即222esinaa−，而22122e

sineee2aaa−=，故12xa成立；（ii）先分别证明11xa及2lnlnlnxaa+，一方面由101a，故11xa等价于()11pxpa，等价于1apa，即11esin1aaaa−，即111sineaa+，而1

111sin1eaaa++，故11xa成立；另一方面，由lnlnlnln1aaa+所以2lnlnlnxaa+等价于()()2lnlnlnpxpaa+，等价于()lnlnlnapaa+，即()lnsinlnlnlnlnlnlnaaaaa

aa−++，即()lnlnsinlnlnlnaaaa−+，而()sinlnlnln1aa−+，下面证明lnln1aa，令()lnlnaaa=，则()1lnlnlnln0lnaaaaa==+，所以

()a在()4,+上单调递增，故只需()44lnln41=，由4lnln41等价于142ln2e，令()()21ln1xhxxx−=−+，)1,x+，则()()()()()()22222141140111xxxhx

xxxxxx+−−=−==+++，即()hx在)1,+上单调递增，所以()()10hxh=即当1x时，有()21ln1xxx−+成立，故2ln23且42ln37，所以217442ln2e

e3成立，所以2lnlnlnxaa+成立，综上可得2lnlnln111eelnlnxaaxaaaaa+==，得证；【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明

常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com