【文档说明】湖南省涟源市部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.285 MB，由小赞的店铺上传

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2024年涟源二中九月月考数学卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法正确的是（）A.零向量没有方向B.空间向量不可以平行移动C

.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D.同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】D【解析】【分析】根据零向量规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；

对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：D.2.设复数(

)ii1z=−，则z=（）A.12B.22C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由题意可得1iz=−−，再由复数模的计算公式求解即可.的【详解】解：因为复数()2ii1ii1iz=−=−=−−，所以22(1)(1)2z=−+−=.故选：D.3.已知(

)()()2,3,1,2,0,4,4,6,2abc=−==−−，则下列结论正确的是（）A.//bcB.//abC.ab⊥D.ac⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行、垂直的坐标表示判断即可.【详解】设bc=，即()()2,0,44,6,2=−

−，则240642=−=−=，此方程组无解，故,bc不平行，故A错误；设ab=，即()()2,3,12,0,4−=，则223014==−=，此方程组无解，故,ab不平行，故B错误；2230(1)40a

b=++−=，则ab⊥，故C正确；2(4)3(6)(1)2280ac=−+−+−=−，则,ac不垂直，故D错误.故选：C.4.两平面,的法向量分别为(3,1,),(2,,1)uzvy=−=−−，若⊥，则yz+

的值是（）A.－3B.6C.－6D.－12【答案】B【解析】【分析】由⊥，可得uv⊥，则0uv=，从而可求得结果.【详解】因为两平面,的法向量分别为(3,1,),(2,,1)uzvy=−=−−，且⊥，所以60uvyz=−++=，所以6yz+=，故

选：B5.学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A.18B.20C.22D.24【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的方法，高二学生人数占总体

的13，所以被抽取的人数也应占13，即20人.【详解】根据分层抽样的方法，应抽取高二年级学生人数为5006020550500450=++人.故选：B.6.如图：在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC

，11BD的交点．若11ABa=，11ADb=，1AAc=，则向量BM=（）A.1122−++abcB.1122abc−+−C.1122abc−−+D.1122abc−+【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解【详解】因为在平行六面体1111A

BCDABCD−中，M为11AC，11BD的交点，11ABa=，11ADb=，1AAc=，所以11BMBBBM=+11112AABD=−+()1111112AAADAB=−+−111111122ABAD

AA=−+−1122abc=−+−,故选：B7.已知空间中两条不同的直线,mn，其方向向量分别为,ab→→，则“,Rab→→”是“直线,mn相交”的（）A..充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解

析】【分析】两条不同的直线的方向向量不共线，两条不同的直线可能相交，可能异面；两条直线相交，则两条直线的方向向量一定不共线.【详解】由,Rab→→可知，a与b不共线，所以两条不同的直线,mn不平行，可能相交，也可能异面，所以“,

Rab→→”不是“直线,mn相交”的充分条件；由两条不同的直线,mn相交可知，a与b不共线，所以,Rab→→，所以“,Rab→→”是“直线,mn相交”的必要条件，综上所述：“,Rab

→→”是“直线,mn相交”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了空间两条直线的位置关系，考查了空间直线的方向向量，考查了必要不充分条件，属于基础题.8.已知二面角l−−中，平面的一个法向量为131,,222n=，平面的一个法向量为21

0,,22n=，则二面角l−−的平面角满足（）A.余弦值为32B.正弦值为12C.大小为60D.大小为30【答案】B【解析】【分析】利用二面角的向量求法即可求得答案．【详解】设所求二面角的平面角的大小为，则12121234cos3232

nnnn+===，所以30=或150，故CD错误，又因为1sin30sin1502==，故A错误，B正确.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列命题是真命题的有（）A.A，B，M，N是空间四点，若,,BABMBN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B.直线l的方向向量为()1,1,2a=−

，直线m的方向向量为12,1,2b=−，则l与m垂直C.直线l的方向向量为()0,1,1a=−，平面α的法向量为()1,1,1n=−−，则l⊥αD.平面α经过三点(1,0,1),(0,1,0),(1,

2,0),(1,,)ABCnut−−=是平面α的法向量，则1ut+=【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若,,BABMBN不能构成空间的一个基底，则,,BABMBN共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，2110ab=−

−=，故ab⊥，可得l与m垂直，B正确；对于C，0110an=−+=，故an⊥，可得l在α内或//l，C错误；对于D，(1,1,1)AB=−，易知nAB⊥，故10ut−++=，故1ut+=，D正确.故选：ABD.10.在空间直角坐标系Oxyz

中，()2,0,0A，()1,1,2B−，()2,3,1C，则（）A.5ABBC=−B23AC=.C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530D.点O到直线BC的距离是34214【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向

量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答.【详解】对于A，()2,0,0A，()1,1,2B−，()2,3,1C，依题意，(1,1,2),(1,2,3)ABBC=−−=，1265ABBC=−

+−=−，故A正确；对于B，(0,3,1)AC=，222||03110AC=++=，故B错误；对于C，()1,1,2OB=−，6OB=,因为1cos,||||6153001OBACOBACOBAC===，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530，故C正确；对于D，因为()1,1

,2OB=−，(1,2,3)BC=，OB在BC上的投影为3||14OBBCBC=−，所以点O到直线BC的距离是2239542||6141414OB−−=−=，故D错误.故选：AC.11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E为11AB的

中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A.存在点P，使11DPAC⊥B.存在点P，使1PEDE=C.四面体11EPCD的体积为定值83D.二面角11PDEC−−的余弦值的取值范围是26,33

【答案】AB【解析】【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CPaa=，则(),2,0Pa，()2,

1,2E，()()12,0,0,0,2,2AC，()10,0,2D，则()12,2,2AC=−，()1,2,2DPa=−，112442DACaaP=−+−=−，当0a=时，即P点与C点重合时，11DPAC⊥，故A正确.由1PEDE=知()2222222

12102a−++=++，解得2a=，此时P点与B点重合，故B正确111111111422223323EPCDPCDECDEVVS−−====为定值，故C错误.又()12,1,0DE=，()1,2,2DPa=−，设平面1DEP的法向量()1,,nxyz=，由1111

2002200DEnxyDPnaxyz=+===+−==，令1x=则2y=−，22az=−，11,2,22an=−−，又平面11DEC的法向量()20,0,2n=，.122221cos,51255224222222naaaana===+

++−−−−−，又02a，1262cos,,63nn，故D错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．12.已知向量()()2,4,5,4,,abxy==，

分别是直线12ll､的方向向量，若12//ll，则xy+=___________．【答案】18【解析】【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解.【详解】12//ll，//ab，所以存在实数，使得ba=，则4245xy===，解得2=，8x=，10y=.18

xy+=.故答案为：18.13.已知()2,3,1AB=，()4,5,3AC=，那么向量BC=___________.【答案】()2,2,2【解析】【分析】由空间向量的线性坐标运算可得答案.【详解】因为()2,3,1AB=，()4,5,3A

C=，所以()()()4,5,32,3,1222BCACAB=−=−=，，，故答案为：()2,2,2.14.若,,abc为空间两两夹角都是120的三个单位向量，则23abc+−=______．【答案】21【解析】【分析】先平方，结

合向量数量积公式求出22321abc+−=，从而得到答案.【详解】,,abc为空间两两夹角都是120三个单位向量，()222222323494612abcabcabcabacbc+−=+−=+++−−1494cos1206cos12012cos1201423621=+++

−−=−++=，2321abc+−=.故答案为：21四､解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知向量()()2,1,2,1,4,1ab=−=．（1）求,,2ababa+−（2）

求向量2ab+与ab−夹角的余弦值．【答案】（1）(3,3,3),(1,5,1),|2|6ababa+=−=−=（2）33−【解析】【分析】（1）根据向量坐标运算和模的公式计算；（2）利用数量积的公式

计算.【小问1详解】∵()2,1,2a=−，()1,4,1b=，∴(3,3,3)ab+=rr，(1,5,1)ab−=−rr，()222222126a=+−+=.【小问2详解】设2ab+与ab−的夹角为，则()()2?cos2abababab+−=+−，()2

4,7,4ab+=，29ab+=，()1,5,1ab−=−，33ab−=，的的∴()417541273cos3933273+−+−===−，∴向量2ab+与ab−夹角的余弦值为33−．16.已知正方体1111ABCDABCD−棱长为2，若F为1

CC的中点，则（1）求直线1BB与直线DF的夹角的余弦值（2）求证：平面1ABD⊥平面BDF【答案】（1）55（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，直线1BB与直线DF的夹角，即直线1CC与直线DF的夹角，解直角三角形得解；（2）取BD的中点O，连接111

1,,,AOFOAFAC，易得1AOF即为平面1ABD与平面FBD所成角，根据面面垂直的定义，证明1AOF为直角即可.【小问1详解】在正方体1111ABCDABCD−中，11//BBCC，所以直线1BB与直线DF的夹角，即直线1CC与直线DF的

夹角，即为DFC∠，在RtDCF中，2DC=，1CF=，5DF=，则15cos55CFDFCDF===，所以直线1BB与直线DF的夹角的余弦值为55.【小问2详解】如图，在正方体1111ABCDABCD−中，取BD的中点O，连接1111,,,AOFOAFAC，易得11

22ABAD==，5FBFD==，所以1AOBD⊥，FOBD⊥，又1AO平面1ABD，FO平面FBD，且BD=平面1ABD平面FBD，所以1AOF即为平面1ABD与平面FBD所成角，因为22BD=，O是BD

的中点，则2DOBO==，在1RtABD△中，2211826AOABBO=−=−=，同理，在RtDOF△中，22523OFDFOD=−=−=，又1CC⊥平面1111DCBA，所以在11RtACF中，221111813AFACCF=+=+=，则22211AFAOOF=+，所以1π2AOF=，所

以平面1ABD⊥平面FBD.17.已知a，b，c分别为ABCV三个内角A，B，C的对边，且()()()sinsinsinsinbaBAcCA+−=−．（1）求B（2）若2b=，ABCV的面积为3，求ABCV的周长．【答案】（1）π3B=（2）

6【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；（2）由三角形的面积可求得4ac=，再结合（1）中得到的式子可求出ac+的值，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】因为sin2aAR=，sin2bBR=，sin2c

CR=（R为ABCV外接圆的半径），又因为()(sinsin)(sinsin)baBAcCA+−=−，所以()2222bacabacRRRR+−=−，即()()()babacca+−=−，所以222acbac+−=，由余弦定理得2221cos

22acbBac+−==，因为(0,π)B，所以π3B=．【小问2详解】因为1sin32ABCSacB==，所以4ac=，因为222acbac+−=，所以()22316acacb+=+=，所以4ac+=，所以ABCV的周长为618.在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面

ABCD，且2PA=，四边形ABCD是直角梯形，且ABAD⊥，//BCAD，2ADAB==，4BC=，M为PC中点，E在线段BC上，且1BE=.（1）求证：//DM平面PAB；（2）求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；（3）求点

E到PD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）26（3）322【解析】【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量

的坐标运算代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】如图，取BC中点F，连接,MFDF因为F为BC中点，//BCAD，2ADAB==，4BC=，所以BFAD=，//BFAD所以四边形ABFD为平行四边形，

所以//ABDF，又DF平面PAB，AB平面PAB，所以//DF平面PAB，因为F为BC中点，M为PC中点，则//MFPB，又MF平面PAB，PB平面PAB，所以//MF平面PAB，因为,,MFD

FFMFDF=平面MDF，所以平面//MDF平面PAB，又DM平面MDF，故//DM平面PAB．【小问2详解】根据题意，分别以,,ABADAP所在直线为,,xyz轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得

，()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,1,0APBDE，则()()()2,0,2,0,2,2,2,1,2PBPDPE=−=−=−，设平面PDE的法向量为(),,nxyz=，则220220PDnyzPEnxyz=−==+−=，解得2yz

yx==，取2y=，则1,2xz==，所以平面PDE的一个法向量为()1,2,2n=，设直线PB与平面PDE所成角为，则242sincos,6223PBnPBnPBn−====.所以直线PB与平面PDE所成角的正弦值

为26.【小问3详解】由（2）可知，()()0,2,2,2,1,2PDPE=−=−，所以点E到PD的距离为()2226329222PEPDPEPD−=−=.19.如图所示，在三棱锥PABC−中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．（1）证明：⊥BC平面PA

B；（2）若6PAAB==，3BC=，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角BADC−−的余弦值为105，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；D是PC上靠近C的三等分

点【解析】【分析】（1）过点A作AEPB⊥于点E，由面面垂直性质定理可得AE⊥平面PBC，由此证明AEBC⊥，再证明PABC⊥，根据线面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面ACD，平面ABD的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，

由条件列方程确定点D的位置；【小问1详解】过点A作AEPB⊥于点E，因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB平面PBCPB=，AE平面PAB，所以AE⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以AEBC⊥，又PA⊥平面ABC，BC平面PBC，所以PABC⊥，又因为AEPAA=，AE，PA平面P

AB，所以⊥BC平面PAB．【小问2详解】假设在线段PC上（不含端点），存在点D，使得二面角BADC−−的余弦值为105，以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,6,0A，()0,0,0B，()3,0,0C，()0,6,6P，(

)3,6,0AC=−，()0,0,6AP=，()3,6,6PC=−−，()0,6,0BA=，设平面ACD的一个法向量为(),,mxyz=，0,0,mACmAP==即360,60,xyz−==

取2x=，1y=，0z=，所以()2,1,0m=为平面ACD的一个法向量，因为D在线段PC上（不含端点），所以可设()3,6,6PDPC==−−，01，所以()3,6,66ADAPPD=+=

−−，设平面ABD的一个法向量为(),,nxyz=，0,0,nBAnAD==即()60,36660,yxyz=−+−=，取22x=−，0y=，z=，所以()22,0,n=−为平面A

BD的一个法向量，()()22222100cos,522mn−++=−+，又01，由已知可得()()22222105522−=−−+解得23=或2=（舍去），所以，存在点D，使得二面角BADC−−的余弦值为105，此时D

是PC上靠近C的三等分点．