【文档说明】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(18)页，1.368 MB，由小赞的店铺上传

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塘沽一中2020-2021学年度第一学期高二年级期中考试数学学科试题一、选择题：1.直线3310xy++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.135°【答案】C【解析】【分析】根据直线方程求出斜率即可得到倾斜角.【详解】由题：直线3310xy++=

的斜率为3k=−，所以倾斜角为120°.故选：C【点睛】此题考查根据直线方程求倾斜角，需要熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系，熟记常见特殊角的三角函数值.2.已知直线1:210lxay+−=，与()2:2110laxay−−−=平行，则a的值是（）A.0或1B.

1或14C.0或14D.14【答案】C【解析】试题分析：由题意得：1()(21)20,0aaaa−−−==或14a=，故选C.考点：直线平行的充要条件．3.已知动点A在圆221xy+=上，则点A与定点(4,0)B连线

的中点的轨迹方程是（）A.221(2)4xy−+=B.22(2)1xy−+=C.221(4)4xy−+=D.221(2)4xy++=【答案】A【解析】【分析】设()00,Axy，线段AB的中点为(,)Pxy，根据中点公式

，求得00242xxyy=−=，代入圆的方程，即可求得线段AB中点的轨迹方程．【详解】设()00,Axy，线段AB的中点为(,)Pxy，则有004202xxyy+=+=，因此00242xxyy=−=，

由于点A在圆221xy+=上，所以22001xy+=，即22(24)(2)1xy−+=，整理得221(2)4xy−+=，即线段AB中点的轨迹方程为221(2)4xy−+=．故选：A.【点睛】本题主要考

查了曲线的轨迹方程的求解，其中解答中熟记代入法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4.已知圆22:40Mxyy+−=，则()()22:111Nxy−+−=，则圆M与圆N的公切线条数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】求出两圆圆心之间的距离，与半径之

和、半径之差作比较可得出答案.【详解】圆22:40Mxyy+−=，即22(2)4xy+−=表示以(0,2)M为圆心，半径等于2的圆，圆()()22:111Nxy−+−=，表示以(1,1)N为圆心，半径等于1的的圆，两圆圆心||NM的距离等于2，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差的绝对值

，故两圆相交，圆M与圆N的公切线条数为2，故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查公切线的条数.5.设M为椭圆221259xy+=上的一个点，1F,2F为焦点,1260FMF=，则12MFF的周长和面积分别为（）A.16，3B.18，3C.16，33D.18，33【答案】D【解析】试

题分析：，，所以12MFF的周长为,根据余弦定理：,即,所以，故选D.考点：椭圆的几何性质6.已知曲线2224xy+=，则以()11，为中点的弦所在直线方程为（）A.230xy+−=B.230xy+−=C.230xy−+=D.230xy−+=【答案】A【解析】【分析】设直线l与椭圆交

于()11Axy，，()22Bxy，，将交点坐标代入椭圆方程，利用点差法作差后，将中点坐标代入即可求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可．【详解】设直线l与椭圆交于()11Axy，，()22Bxy，，因为()

11，为AB中点，则121222xxyy+=+=，，则：221124xy+=，①222224xy+=，②①-②得：()()()()1212121220xxxxyyyy+−++−=，即()()1212420xxyy−+−=，2k=−，l的方程：()121yx−=

−−，即230xy+−=．故选：A．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题．7.从点()1,2A−射出的光线经直线:30lxy+−=反射后到达点()1,1B−，则光线所经过的路程是（）A.11B.13

C.213D.37【答案】D【解析】【分析】根据对称性，可得A关于直线l的对称点'A，则计算'AB，可得结果.【详解】设点()1,2A−关于直线:30lxy+−=的对称的点坐标为()00',.Axy所以()0000002·11512123022yxxy

xy+−=−=−=+−++−=所以点()1,2A−关于直线:30lxy+−=的对称的点坐标为()'5,2.A则光线所经过的路程()()22’512137AB=++−=.故选：D【点睛】本题考查点关于直线对称点

的求法，属基础题.8.如图所示，在平行六面体ABCDABCD−中1AB=，2AD=，3AA=，90BCD=，60BAADAA==，则AC的长为（）A.13B.23C.33D.43【答案】B【

解析】【分析】由向量ACABBCCC=++得：()()22ACABBCCC=++，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.【详解】ACABBCCC=++，()()()()()222222()ACABBCCCABBCCCABBCABCCB

CCC=++=+++++()222291232(013cos6023cos60)142232AC=+++++=+=.23AC=，即AC的长为23.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间向量

在立体几何中的应用，掌握向量法求线段长的方法是解题关键，属于中档题目.9.若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+m＝0的距离为22，则m的取值范围是（）A.[22,22]−B.(22,22)−

C.[﹣2，2]D.（﹣2，2）【答案】C【解析】【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于2，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果.【详解】因为圆22:44100Cxyxy+−−−=，所以22(2)(2)18xy−+−=，因为圆C上至

少有三个不同点到直线:0lxym−+=的距离为22，所以圆心到直线距离不大于32222−=，即222222mm−+−，选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．判断出圆心到直线的距离满足的条件，列出不等式是解题的关键.二、填空题10.直线(21)(3)(11)0mxmym−

−+−−=恒过的定点坐标是______．【答案】(2,3)【解析】【分析】直线方程可化为(21)(311)0mxyxy−−−+−=，从而可得210,3110,xyxy−−=+−=，解方程组即可.【详解】直线方程可化为(21)(311)0mxyxy−−−+−=．因为对任意mR

，方程恒成立，所以210,3110,xyxy−−=+−=解得2,3,xy==故直线恒过定点(2,3)．故答案为：(2,3)【点睛】本题考查了直线过定点问题，考查了基本知识，属于基础题.11.

已知()2,4,1a=−，(),1,0bm=，若ab⊥，则m=______________．【答案】2−【解析】【分析】由ab⊥可得出0ab=，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数m的值.【详解】()2,4,1a=−，(),1,0bm=，且ab⊥，则240abm=+=，解得2m=−.故答案为

：2−.【点睛】本题考查利用空间向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.12.如图所示，长方体1111ABCDABCD−中，2ABBC==，14CC=，点E是线段1CC的中点，点F是正方形ABCD的中心，

则直线1AE与直线1BF所成角的余弦值为___【答案】269【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出向量1AE、1BF的坐标，利用空间向量法可

求得直线1AE与直线1BF所成角的余弦值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，则点()12,0,4A、()12,2,4B、()0,2,2E、()1,1,0F，()12,2

,2AE=−−，()11,1,4BF=−−−，111111826cos,92332AEBFAEBFAEBF===，因此，直线1AE与直线1BF所成角的余弦值为269.故答案为：269.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直

线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．13.已知圆C的圆心在x轴上，半径长是5，且与直线20xy−=相切，那么圆C的方程是_______.【答案】()2255

xy−+=，()2255xy++=【解析】设圆心0Ca（，）∵圆心在x轴上、半径为5的圆C与直线20xy−=相切∴圆心到直线20xy−=的距离为555aa=＝，∴圆C的方程为()2255xy−+=，或()2255xy++=.14.已知点P是椭圆

22221(0)xyabab+=上的一点，1F，2F分别为椭圆的左、右焦点，已知12120FPF=，且122PFPF=，则椭圆的离心率为______．【答案】73【解析】【分析】运用正弦定理和椭圆的基本性质来解题【详解】122PF

PF=，122PFPFa+=223aPF=，143aPF=12120FPF=，22212244133cos242233aacFPFaa+−==−解得2279ca=73cea==故答案为73【

点睛】在求离心率的题目时结合题意，运用余弦定理解三角形，得到边的数量关系，然后求得离心率，本题较为基础．15.直线(2)4ykx=−+与曲线214yx=+-仅有一个公共点，则实数的k的取值范围是________.【答案】35,412+

【解析】【分析】根据方程可知直线恒过点(2,4)，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出k，再结合图形求出当直线经过点(2,1)−，(2,1)时，实数k的取值，即可的k的取值范围．【详解】解：如

图，由题知曲线214yx=+-即22(1)4xy+−=，表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线1y=上方，直线(2)4ykx=−+恒过点(2,4)，因为直线与曲线只有一个交点，由圆心到直线的距离等于半径得2|23|2

1kk−=+，解得512k=，由图，当直线经过点(2,1)−时，直线的斜率为4132(2)4−=−−，当直线经过点(2,1)时，直线的斜率不存在，综上，实数k的取值范围是512k=，或34k，故答案为35,412+．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直

线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题三、解答题16.已知圆心为(4,2)M−的圆C经过点(1,2)P．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线340xyn+−=与圆C交于A，B两点，且6AB=，求n的值．【答案】（Ⅰ）22(4)(2)

25xy−++=；（Ⅱ）16n=−或24．【解析】【分析】（Ⅰ）先由两点的距离公式求出圆的半径，然后写出圆的标准方程即可（Ⅱ）先算出圆心到直线的距离，然后由勾股定理建立方程即可求出n【详解】（Ⅰ）∵圆心为(4,2)M−的

圆C经过点(1,2)P，∴圆C的半径为22(41)(22)5−+−−=．∴圆C的标准方程为22(4)(2)25xy−++=．（Ⅱ）由（Ⅰ），知圆C的圆心为(4,2)M−，半径为5．设圆C的圆心M到直线340x

yn+−=的距离为d，则22344(2)453(4)nnd+−−−==+−．由题意，得222()52ABd+=．又∵6AB=，∴2(4)92525n−+=．∴16n=−或24．【点睛】处理圆当中的弦长问题时，一般是利用几何法，

若圆的半径为R、圆心到直线的距离d，弦长的一半为2AB,则有2222ABdR+=.17.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，且过点P132（，）−．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A.B两点，

求弦AB的长．【答案】（1）2214xy+=；（2）85【解析】【分析】（1）先设椭圆的方程，再利用的椭圆C的离心率为32，且过点（132，−），即可求得椭圆C的方程；（2）设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程

，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长．【详解】(1)设椭圆方程为22221xyab+=，椭圆的半焦距为c，∵椭圆C的离心率为32，∴32ca=，∴22234aba−=，①∵椭圆过点（132，−），∴223114ab+=②由

①②解得：b2=1，a2=4∴椭圆C的方程为2214xy+=．(2)设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．由椭圆的方程知a2=4，b2=1，c2=3，∴F（3，0）．直线l的方程为y=x﹣3．联立22314yxxy=−+

=，得5x2﹣83x+8=0，∴x1+x2=835，x1x2=85，∴|AB|=212121222()4xxxxxx−=+−=283322()55−=85．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定

理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥面ABCD，//ABCD，且2CD=，1AB=，22BC=，1PA=，ABBC⊥，N为PD的中点（1）求证：//AN平面PBC．（2）求平面PAD与平面P

BC所成二面角的余弦值（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是2626，若存在求出DMDP的值，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）23；（3）存在M，且23DMDP

=.【解析】【分析】（1）过A作AECD⊥于E，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和直线AN的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面PAD的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令DMDP=，[0,1]，设

(),,Mxyz，求出CM，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出DMDP的值.【详解】（1）证明：过A作AECD⊥，垂足为E，则1DE=，如图，以A为坐标原点，分別以AE，AB，AP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,1,0B，()2

2,0,0E，()22,1,0D−，()22,1,0C，()0,0,1P，NQ为PD的中点，112,,22N−，则112,,22AN=−，设平面PBC的一个法向量为(),,mxy

z=，(0,1,1)BP=−，(22,0,0)BC=，则0220mBPyzmBCx=−+===，，，令1y=，解得：()0,1,1m=.11022ANm==−+uuurr，即ANm⊥uuurur，

又AN平面PBC，所以//AN平面PBC．（2）设平面PAD的一个法向量为(,,)nabc=，(0,0,1)AP=，(22,1,0)AD=−，所以0220APncADnab===−=，

令1a=，解得(1,22,0)n=r.所以()22222cos,321+22mnmnmn===urrurrurr即平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为23.（3）假设线段PD上存在一点M，设(,

,)Mxyz，DMDP=，[0,1].(22,1,)(22,1,1)xyz−+=−Q，(2222,1,)M−−，则(22,2,)CM=−−又直线CM与平面PBC所成角的正弦值为2626，平面PBC的一个法向量(

)0,1,1m=()222222626822CMmCMm−==+−+uuuruuuurrur，化简得22150240−+=，即()()327120−−=，[0,1]，23=，故存在M，且23DMDP=.【点睛】方法点睛：本题考查线面平行的证明，及线面角，面面角的求法

，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则①两直线,lm所成的角为(02),cosabab=rrrr；②直线l与平面所成的角为(02),sinauau=rrrr

；③二面角l−−的大小为(0),cos.uvuv=rrrr19.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为43（1）求椭圆C的标准方程（2）直线2x=与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上

位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为12①求四边形APBQ的面积的最大值②设直线PA的斜率为1k，直线PB的斜率为2k，判断12kk+的值是否为常数，并说明理由.【答案】（1）2211612xy+=；（2）①123，②是常

数，理由见解析．【解析】【分析】（1）设椭圆C的方程为()222210xyabab+=，由题可得1243,2cba==，再结合222abc=+，即可求得,ab,从而求得椭圆C的标准方程；（2）①设点()

11,Axy、()22,Bxy，联立221211612yxtxy=++=，整理得：22120xtxt++−=，四边形APBQ的面1212SPQxx=−，而PQ易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，从而求得S的最大值；②直线PA的斜率11132y

kx−=−，直线PB的斜率22232ykx−=−，代入韦达定理化简整理可得12kk+的值为常数0．【详解】（1）设椭圆C的方程为()222210xyabab+=．由题意可得22224312bcaabc=

==+，解得4232abc===，所以椭圆C的标准方程为2211612xy+=；（2）①由（1）可求得点P、Q的坐标为()2,3P，()2,3Q−，则6PQ=，设直线AB的方程为12yxt=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，联立221211612yxtxy

=++=，整理得：22120xtxt++−=，由()2224124830ttt=−−=−，可得44t−.由韦达定理知：12xxt+=−，21212xxt=−，四边形APBQ的面积()221212121211634348322SPQxxxxxxxxt=−=−=+

−=−，故当0t=时，max123S=；②由题意知，直线PA的斜率11132ykx−=−，直线PB的斜率22232ykx−=−，则1212121212113333222222xtxtyykkxxxx+−+−−−+=+=+−−−−()()()()

()12121212121211222224222211222224xtxttxxttxxxxxxxx−+−−+−−+−−−=+=++=+−−−−−++()()222242811110122428tttttttt−−−−−+=

+=+=−=−+++−.所以12kk+的值为常数0．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及椭圆中最值，定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略：(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为

定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．