【文档说明】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中考试模拟卷（二）数学试题 【精准解析】.doc，共(19)页，1.666 MB，由小赞的店铺上传

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塘沽一中2020-2021学年度第一学期高二期中模拟卷（二）一、选择题1.若两平行直线20,(0)xymm++=与30xny−−=之间的距离是5，则m+n＝（）A.0B.1C.1−D.2−【答案】A【解析】【分析】由两直线平行的性质可得2n−=，再由平行线间的

距离公式可得m，即可得解.【详解】由直线20,(0)xymm++=与30xny−−=平行可得2n−=即2n=−，则直线20,(0)xymm++=与230xy+−=的距离为5，所以22|3|512m+=+，解得2m=

或8m=−（舍去），所以()220mn+=+−=.故选：A.【点睛】本题考查了直线位置关系的应用及平行线间距离公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2.已知直线l过点()1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（）A

.20xy−=B.240xy+−=C.20xy−=或220xy+−=D.20xy−=或240xy+−=【答案】D【解析】【分析】根据题意，分直线l是否经过原点2种情况讨论，分别求出直线l的方程，即可得答案．【详解】根据题意，直线l分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由

直线经过点()1,2，所求直线方程为2yx=，整理为20xy−=，②当直线不过原点时，设直线l的方程为12xyaa+=，代入点()1,2的坐标得1212aa+=，解得2a=，此时直线l的方程为124xy+=，整理为240xy+

−=．故直线l的方程为20xy−=或240xy+−=.故选D．【点睛】本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为0，属于基础题．3.已知()2,0A，()0,2B，若直线()2ykx=+与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A.1,1−B.)1,−+

C.0,1D.()()0,11,+【答案】C【解析】【分析】先求出直线MA的斜率和直线MB的斜率，再根据题意求得k的范围.【详解】由于直线()2ykx=+的斜率为k，且经过定点()2,0−，设此定点为M，直线MA的斜率为()00

022−=−−，直线MB的斜率为()20102−=−−，如下图所示，故01k，故选：C.【点睛】本题主要考查直线的概率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.4.已知圆221:2310Cxyxy++++=，圆222:43360Cxyxy++−−=，则圆

1C和圆2C的位置关系为（）A.相切B.内含C.外离D.相交【答案】B【解析】【分析】根据已知分别求出圆12C,C的圆心和半径，进而求出圆心距12|C|C，分别与两半径的和与差的绝对值对比，即可得出结论.【详解】221:2310Cxyxy+++

+=化为2239(1)()24xy+++=圆心13(1,)2C−−，半径132r=，222:43360Cxyxy++−−=化为223169(2)()24xy++−=，圆心23(2,)2C−，半径2132r=，圆心距22121233||

(12)()10||522CCrr=−++−−=−=，所以圆1C和圆2C的位置关系为内含.故选：B.【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判断和应用，考查计算求解能力，属于基础题.5.若椭圆22:184xyC+=的右焦点为F，且与直线:320lxy−+=交于P，Q两点，则PQF△的周长为

（）A.62B.82C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义求解.【详解】∵直线l过椭圆C的左焦点(2,0)F−，∴||||||PQPFQF++||||482PFPFQFQFa=+++==.故

选：B．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题.6.若椭圆()222210xyabab+=过点()2,1，且以该椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为42，则这个椭圆的离心率为（）A.12B.22C.33D.23【答案】B【解析】【分析】由题意

知242ab=，22211ab+=，然后解出即可【详解】由题意知242ab=，22211ab+=，222228baab+==，24a=，22b=．2222cab=−=．2a=，2c=，22e=．故选：B【点睛】对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对

角线的长度相乘的一半.7.设椭圆()222210xyabab+=的右焦点为(),0Fc，且2ac=，方程20axbxc+−=的两个实数根为1x，2x，则点()12,Pxx（）A.在222xy+=圆上B.在222xy+=圆外C.在222xy+=圆

内D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】根据韦达定理，由题中条件，得到1212bxxacxxa+=−=−，结合椭圆的性质，求出2212724xx+=，即可得出结果.【详解】因为方程20axbxc+−=的两个实数根为1x，2x

，所以1212bxxacxxa+=−=−，又椭圆()222210xyabab+=的右焦点为(),0Fc，且2ac=，所以22223bacc=−=，因此()222221212122223721244bccxxxxxxaac+=+−=+=+=，所以点()12,Pxx在222xy+

=圆内.故选：C.【点睛】本题主要考查判断点与圆位置关系，考查椭圆的简单应用，属于基础题型.8.在空间直角坐标系Oxyz−中，四面体ABCD的顶点坐标分别是()0,0,2A，()2,2,0B，()1,2,1C，()2,2,2D.则点B到面ACD

的距离是（）A.233B.33C.223D.23【答案】A【解析】【分析】求出平面ACD的一个法向量n，再求出BD在n方向上的投影的绝对值即可．【详解】由题意(2,2,0),(1,0,1),(0,0,2)ADCDBD===,设平面ACD的一个法向量为(,,)nxyz=，则2200

nADxynCDxz=+==+=，取1x=，则(1,1,1)n=−−，∴22333BDnn−==，即B到平面ACD的距离是233．故选：A.【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设n是平面的一个法向量，Q是平面内任一点

，则P到平面的距离是PQnn．9.如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形，12AAAB==，60BAD=，M是1BB的中点，则异面直线1AM与1BC所成角的余弦值为（）A.105−B.15−C.15D

.105【答案】D【解析】【分析】用向量1,,ABBCBB分别表示11,AMBC,利用向量的夹角公式即可求解.【详解】由题意可得221111111111,5,2AMABBMABBBAMABBM=+=−=+=221111,22BCBCBBBCBCBB=−=+=，()21111111111122cos

,210210ABBBBCBBABBCBBAMBCAMBCAMBC−−+===0122cos604102.5210+==故选：D【点睛】本题主要考查用向量的夹角公式求异面直线所成

的角，属于基础题.二、填空题10.若直线220xy+−=与直线10xmy++=互相垂直，则点(,)Amm到直线30xy++=的距离为____________．【答案】22【解析】【分析】根据直线垂直求得m，再利用点到直线距离公式求得结果.【详解】因为直线22

0xy+−=与直线10xmy++=互相垂直，所以2m=−则点()2,2A−−到直线30xy++=的距离为2232211−−+=+【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，关键是利用两条直线互相垂直的性质构造方程，解得点的坐标.

11.经过直线2370xy+−=与71510xy++=的交点，且平行于直线2430xy+−=的直线方程是___________.【答案】362xy0+−=【解析】【分析】先求出两相交直线的交点，设出所求直线的方程为20xym++=，

根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立方程组可知2370xy+−=与71510xy++=的交点，为1712,3−，设所求直线为20xym++=，则1712203m+−+=，2

3m=−.所以直线方程为2203xy+−=，即362xy0+−=故答案为：362xy0+−=【点睛】本题考查求两直线的交点坐标，考查两直线平行的直线的方程的设法．属于基础题.12.已知圆心在直线30x

y−=上的圆C与y轴的正半轴相切，且C截x轴所得的弦长为42，则圆C的方程为________【答案】()()22319xy−+−=【解析】【分析】根据题中条件，先设圆心为()3,Caa，半径为r，得到()30raa=，再由弦长

的几何表示，列出方程，求出a，即可得出圆的方程.【详解】因为圆心在直线30xy−=上，所以设圆心为()3,Caa，半径为r，由圆C与y轴的正半轴相切，可得()30raa=，又圆C截x轴所得的弦长为42，则2224222842

raaa=−==，解得1a=，所以圆C的方程为()()22319xy−+−=.故答案为：()()22319xy−+−=.【点睛】本题主要考查求圆的方程，熟记圆的弦长公式，以及圆的方程的求法即可，属于常考题型.13.已知方程2

2131xymm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为____________.【答案】()2,3【解析】【分析】根据题意得到301013mmmm−−−−，解得答案.【详解】方程22131xymm+=−−表示焦点在y轴

上的椭圆，则满足：301013mmmm−−−−，解得23m.故答案为：()2,3.【点睛】本题考查了根据方程表示椭圆求参数，意在考查学生对于椭圆定义的理解.14.若圆221xy+=与圆22680xyxym+−−−=相切，则m的值为_

____【答案】9−或11【解析】【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果.【详解】圆221xy+=的圆心为()0,0M，半径为1r=；由22680xyxym+−−−=整理得()()223425xym−+−=+，则圆22680xyxym

+−−−=的圆心为()3,4N，半径为25Rm=+；因为两圆相切，若两圆外切，则有MNRr=+，即5251m=++，解得9m=−；若两圆内切，则有MNRr=−或MNrR=−，即5251m=+−或5125m=−+（舍），解得11m=.故答案为：

9−或11.【点睛】本题主要考查由两圆相切求参数，属于基础题型.15.已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为222−，离心率为22，则椭圆E的方程为____．【答案】22184xy+=【解析】【分析】椭圆上的点到焦点最小距离222ac−=−，离心率22e=，列出方程

，求出,,abc，可得椭圆的方程【详解】椭圆上一点到焦点的最小距离为ac−，222ac−=−，离心率22e=22ca=22222222caacabc=−=−=+，解得2222abc===，所求的椭圆方程:E22184xy+=【点睛】本题考查椭圆上的点到焦点的距

离，离心率等椭圆内的常规内容，难度不大，属于简单题.16.点(),Pxy是椭圆22143xy+=上的动点，12FF，为其左、右焦点，则12PFPF的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】先由题意得到()()12

1,01,0FF−，，根据椭圆参数方程设出点()2,3Pcossin，再由向量数量积的坐标运算，即可得出结果.【详解】因为12FF，为椭圆22143xy+=左、右焦点，所以()()121,01,0FF−，，又点(),Pxy是椭圆22143xy+=上的动点，所以可设()2,3Pcossin

，所以()112,3PFcossin=−−−，()212,3PFcossin=−−，因此()()222212121234312PFPFcoscossincossincos=−−−+=+−=+，因为2

01cos，所以2223cos+，所以12PFPF的取值范围是23，.故答案为23，.【点睛】本题主要考查椭圆的性质以及向量的数量积运算，熟记运算法则以及椭圆性质即可，属于基础题型.三、解答题17.已知圆C经过点()3,3A、()2,4B

，并且直线:210mxy−−=平分圆C.（1）求圆C的方程；（2）若过点()2,0D，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N.（i）求实数k的取值范围；（ii）若13OMON=，求k的值.【答案】（1）()()22231xy-+-=；（2）（i）()(),2222,

−−+；（ii）635k=+.【解析】【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线方程，将线段AB的垂直平分线方程与直线m的方程联立，可圆心C的坐标，求出半径BC，即可得出圆C的标准方程；（2）（i）将直线l的方程表示出来，利用圆心

C到直线l的距离小于半径得出k的不等式，即可得出实数k的取值范围；（ii）设点()11,Mxy、()22,Nxy，令1tk=，可得出直线l的方程为2xty=+，将直线l的方程与圆C的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入13OMON=，可求出t的值，进而可

得出k的值.【详解】（1）线段AB的中点57,22E，直线AB的斜率为43123ABk−==−−，故线段AB的中垂线方程为7522yx−=−，即10xy−+=.因为圆C经过A、B两点，故圆心C在线段AB的中垂线上.又因为直线:210mxy−−=平分圆C，所以直线m经过圆心C.联立1

0210xyxy−+=−−=，解得23xy==，即圆心的坐标为()2,3C，而圆的半径1rCB==，所以圆C的方程为：()()22231xy-+-=；（2）直线l的方程为()2ykx=−，即20kxy

k−−=，圆心C到直线l的距离22232311kkdkk−−==++.（i）题意得2311dk=+，两边平方整理得28k，解得22k−或22k.因此，实数k的取值范围为：()(),2222,−−+；（ⅱ）令1tk=，则直线l的方程可写成2xt

y=+.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得()()222231xtyxy=+−+−=①②，将①代入②得：()221680tyy+−+=，设()11,Mxy、()22,Nxy，则由根与系数的关系可得12216yyt+=+，1228

1yyt=+，而()()()()212121212121222124yxxtytyyytyytyyy=+++=+++++，所以121222121284121311ttOMONxxyytt=+=++=+=++，整理得21210tt

−+=，解得635t=，则1635kt==()()635,2222,k=−−−+，舍去.综上所述，635k=+.【点睛】本题考查圆的方程的求解，利用直线与圆的位置关系求参数，以及利用韦达定理求参数，涉及平面向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.18.如图所示，直角梯形ABCD中

，//ADBC，AD垂直AB，22ABBCAD===，四边形EDCF为矩形，3CF=，平面EDCF⊥平面ABCD.（1）求证：//DF平面ABE；（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所

成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）18631；（3）存在，且2BP=.【解析】【分析】（1）取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求平面ABE的一个法向

量n，求得DF，由0DFn=，即可求证//DF平面ABE；（2）求得平面BEF的一个法向量m，设向量m与n的夹角为，根据cos||||mnmn=，即可求得答案；（3）设,0,1DPDF=，求向量BP与平面ABE的法向量n所成角的余弦值，列出方程求解，即可得出的值，从而可求出结

果.【详解】（1）取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A，(1,2,0)B，()0,0,3E，()1,2,3F−，()1

,2,3BE=−−∴，(0,2,0)AB=，设平面ABE的一个法向量为(,,)nxyz=，23020xyzy−−+==.不妨设3,0xy==，则1z=，()3,0,1n=∴.又()1,2,3DF=−，330DFn

=−+=，DFn⊥.又DF平面ABE，//DE平面ABE；（2）()1,2,3BE=−−，()2,0,3BF=−设平面BEF的一个法向量为(,,)mxyz=，23023=0xyzxz−−+=−+不妨设23x=，则3y=，4z=，()23,3,

4m=∴.设向量m与n的夹角为，则||cosmnmn=，()()()22222232303145cos312334301++==++++∴，6186sin3131==∴.平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为18631；（3）设(

)()1,2,3,2,3,0,1DPDF==−=−，则(),2,3P−，所以()1,22,3BP=−−−，又平面ABE的一个法向量为()3,0,1n=，即直线BP与平面ABE所成角为，则()()()()2223133sincos,412232BPnBP

nBPn−−+====−−+−+，整理得28610−+=，解得12=或14=，当12=时，33,1,22BP=−−，则2BP=；当14=时，533,,424BP=−−，则2BP=；综上2BP=，即在线段DF上存在

点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为34，此时线段BP的长为2.【点睛】本题主要考查向量法求证线面平行和向量法求二面角，以及由线面角求其它量的问题，属于常考题型.19.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的离心率为2,,2AB分别是椭圆的上顶点、右顶点

,原点O到直线AB的距离为63.（1）求E的方程；（2）直线12,ll的斜率均为22,直线1l与E相切于点M（点M在第二象限内）,直线2l与E相交于,PQ两点,MPMQ⊥,求直线2l的方程.【答案】（1）2212xy+=；（2）22yx=.【解析】试题分析

：（1）运用题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件和向量的数量积公式求解.试题解析:（1）2,2,.2cacbcOABa===中,1162,,3,223OAcOBcABcOAOBAB====,即1163223ccc=,解

得1c=,故2,1ab==,所以椭圆的方程为2212xy+=.（2）设直线2:2lyxm=+,由2212{22xyyxm+==+得()22210xmxm++−=,()()22224124mmm=−−=−+,当0=时

,2m=或2m=−（舍去）.此时方程()的解为1x=−,故21,2M−,当0时,22m−.设()()1122,,,PxyQxy,则122122{1xxmxxm+=−=−,则1122221,,1,,22MPxyMQxy=+−=+−

()()1212221122MPMQxxyy=+++−−()()12122222112222xxxmxm=++++−+−()21212321322222xxmxxmm=++++−+(

)()()2232133122222222mmmmmmm=−++−+−+=−.由0MPMQ=,解得02mm==或,又因为22m−,所以0m=,所以直线2l的方程为22yx=.考点：椭圆的标准方程及直

线与曲线的位置关系的运用．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线中椭圆的标准方程问题和直线与圆锥曲线的位置关系的处置问题.解答本题时充分借助椭圆中的基本量的关系,通过构建方程组并求解,从而求出椭圆的标准方程.第二问的解答过程则是巧妙依据直线与

椭圆的位置关系建立方程组,通过向量这一计算工具使得问题得以合理巧妙地转化和化归.本题的解答过程对运算求解能力的要求较高,寻求最为简捷的解答路径,以便达到化繁为简、避难前进的求解之目的是本题的关键.20.已知椭圆E

：22221xyab+=()0ab的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为1的等腰三角形，（1）求E的方程；（2）直线l：0xym−+=与椭圆E相较于M、N两点，试问：在y轴上是否存在点A，使得AMN为等边三角

形，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）存在，直线l的方程为355yx=.【解析】【分析】（1）由椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为1的等腰三角形，可求出,ab，进而可得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理

，以及弦长公式，表示出MN，再由点A到直线距离，以及题中条件，即可列式求出m，进而可求出结果.【详解】（1）因为椭圆E：22221xyab+=()0ab的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为1的等腰三角形，所以2222112bc

acab===+，解得21abc===，所以椭圆E的方程为2212xy+=；（2）假设在y轴上存在点A，使得AMN为等边三角形，设()11,Mxy、()22,Nxy，线段MN的中点为(),BBBxy，则32ABMN=，联立22012xymxy−

+=+=消去y，整理得2234220xmxm++−=，则()()222161222830mmm=−−=−，解得33m−，又1221243223mxxmxx+=−−=，所以()2222212121688431142933mmmMNxxxx−−=++−=−=，

12223Bxxmx+==−，1223Byymy+==，即2,33mmB−，则直线AB的方程为233mmyx−=−+，即3myx=−−，令0x=，则3my=−，即0,3mA−，因此224422993mmABm=+=，

又32ABMN=，所以222343323mm−=，解得355m=满足33m−，所以在y轴上存在点A，使得AMN为等边三角形，此时直线l的方程为355yx=.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中存在点满足某条件的问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性

质即可，属于常考题型.