【文档说明】吉林省长春市东北师大附中2024届高三上学期二模试题+数学+含解析.docx，共(28)页，1.820 MB，由小赞的店铺上传

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数学试题试题满分：150分考试时间：120分钟一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,1,0,1,2A=−−，()2ln56Bxyxx==−−，则AB=

（）A.2,1,0,1,2−−B.2−C.0,1,2D.2,1,0−−2.命题“Ra，函数21yax=+是偶函数”的否定是（）A.Ra，函数21yax=+不是偶函数B.Ra，函数21yax=+不是偶函

数C.Ra，函数21yax=+奇函数D.Ra，函数21yax=+是奇函数3.已知函数()()()221fxxaxa=+−+−为奇函数，则()fa的值是（）A.0B.12−C.12D.104.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之

后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量

y（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式tyma=，若经过5年，二氧化碳的排放量为45m（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为8m（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要

经过多少年？（参考数据：lg20.3=）（）A.43B.44C.45D.465.函数()22cosxxyx−=−在区间22−,上的图象大致为（）A.B.C.D.是6.在ABC中，角,,ABC所对边分别为,,abc.已知

:sinsinsinabcpCAB==，q：ABC是等腰三角形.则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知,ab为正实数，且()380abab−++=，则ab的取值范围是（）A

.2,4B.()0,24,+C.4,16D.()0,416,+8.已知函数()fx的定义域为R，且()()()()31,00,fxxfxx=−+，()()()2fxfyxyfxy++=+，则()3f的值是（）A.9B.10C.11D.12二.选择题：本小题

4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若a、b、cR，则下列命题正确的是（）A.若0ab且ab，则1

1abB.若01a，则2aaC.若0ba且0c，则bcbaca++D()221222abab++−−10.已知函数()21ee2xxfxx−=++，则满足()()32fafa+的整数a的取值可以是（）A.1−B.0C.1D.211.已知函数()()π2sin

0,02fxx=+任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，若将曲线()yfx=的图象向左平移π6个单位得到的图象关于y轴对称，则（）A.π2,6==B.直线2π3x=为曲线()yfx=的一条对称轴的.C.若()fx在(),aa−单调递增，则π03aD.

曲线()yfx=与直线15π224yx=−有5个交点12.已知函数()()e1xfxx=+，()()1lngxxx=+，则（）A.函数()fx在R上无极值点B.函数()gx在()0,+上存在极值点C.若对任意0x，不等式()()2ln

faxfx恒成立，则实数a的最小值2eD.若()()()120fxgxtt==，则()12ln1txx+的最大值为1e三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()yfx=的图像在2x=处的切线方程是31yx=+，则(2)(

2)ff+=______．14.设()fx定义在R上且()()()()()()2log2,212,2xxfxfxfxx−=−−−，则()13f=______．15.已知π1tan62+=，π1ta

n123+=，则()tan2−=______．16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足ACMN⊥，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从

点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，则需要修建的栈道总长度的最

小值为__________百米.四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数()()sin0,02fxx=+的最小正周期为,3是函数()fx一个零点.（1）求,；（2）在ABC中，角,,ABC的对边分别为3,,

,,222Aabcfa==，求ABC面积的最大值.18.已知正项数列na前n项和为nS，且222nnnaanS+−=．（1）求数列na的通项公式；（2）设31nanb=−，若数列nc满足11nnnnbcbb++=，求证：1214nccc+++．1

9.2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天

在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．（1）若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X，求X的分布列及数学期望．20.如图，在四棱锥

PABCD−中，122PDPCCABAAD=====，//ADCB，90CPDABC==，平面PCD⊥平面ABCD.（1）求证：PD⊥面PCA；（2）点Q在棱PA上，设()01PQPA=，若二面角PCDQ−−余弦值为55，求.21.已知双曲线C的中心为坐标原点，

对称轴为x轴，y轴，且过()2,0A，()4,3B两点.（1）求双曲线C的方程；（2）已知点()2,1P，设过点P的直线l交C于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于点G，H，当6GH=时，求直线l的斜率.22.已知函数()()elnRxfxmxxxm−=+−.的（1）讨论函

数()fx的极值点个数；（2）若0m，()fx最小值是1lnm+，求实数m的取值范围.的数学试题试题满分：150分考试时间：120分钟一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.1.已知集合2,1,0,1,2A=−−，()2ln56Bxyxx==−−，则AB=（）A.2,1,0,1,2−−B.2−C.0,1,2D.2,1,0−−【答案】B【解析】【分析】求

出集合B，利用交集的定义可求得集合AB.【详解】因为()22ln565601Bxyxxxxxxx==−−=−−=−或6x，又因为2,1,0,1,2A=−−，因此，2AB=−I.故选：B.

2.命题“Ra，函数21yax=+是偶函数”的否定是（）A.Ra，函数21yax=+不是偶函数B.Ra，函数21yax=+不是偶函数C.Ra，函数21yax=+是奇函数D.Ra，函数21yax=+是奇函

数【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题易得.【详解】因为命题“Ra，函数21yax=+是偶函数”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“Ra，函数21yax=+不是偶函数”.故选：B.3.已知函数()()(

)221fxxaxa=+−+−为奇函数，则()fa的值是（）A.0B.12−C.12D.10【答案】D【解析】【分析】由奇函数的性质可知()00f=，由此可以求出a的值，进而可以求出()fa.【详解】因为函数()()()221fxxaxa=+−+−为奇函数，所以

()00f=，即()()210aa−−=，即2a=或1a=，显然函数()()()221fxxaxa=+−+−的定义域为R关于原点对称，且当2a=时，有()()21fxxx=+，从而有()()()21fxxxfx−=−+=

−，当1a=时，有()()21fxxx=−，但()()1210ff−=−−=，所以2a=，即()()21fxxx=+，所以()()()2222110faf==+=.故选：D.4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再

增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量y（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式tyma=，若经过5年

，二氧化碳的排放量为45m（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为8m（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：lg20.3=）（）A.43B.44C.45D.46【答案】

C【解析】【分析】由条件列式545mma=确定参数，再结合对数运算解方程即可.【详解】由题意可得545myma==，即545a=，解得545a=，令8tmma=，即54158t=，两边取对数得541lglg58t=，所以()lg8lg10lg8

5t−=−，即()3lg213lg25t−=−，解得15lg24.5453lg210.1t−−===−−，故选：C5.函数()22cosxxyx−=−在区间22−,上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性排除D，再取特值1,2xx==排除AB.【详解】因

为2,2x−，关于原点对称，()()()()()22cos22cos−−−=−−=−−=−xxxxfxxxfx，所以函数()fx为奇函数，故D错误；因为π012，所以cos10，所以()()13122cos1cos1

02−=−=f，故A错误；因为π2π2，所以cos20，所以()()215242cos2cos204−=−=f，故B错误；故选：C.6.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.已知:

sinsinsinabcpCAB==，q：ABC是等腰三角形.则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC中，若sinsinsinabcCA

B==，由正弦定理sinsinsinabcABC==，得abccab==，所以22abcbac==，所以abc==，所以ABC为等边三角形，若命题p成立，则ABC是等腰三角形，即命题q成立；反之，ABC为等腰三角形，ABC不一定为等边三角形，如在ABC

中，π4AB==，π2C=，则sinsinsinabcCAB==不成立，所以:sinsinsinabcpCAB==是q：ABC是等腰三角形的充分不必要条件.故选：B.7.已知,ab为正实数，且()380abab−++=，则ab的取值范围是（）A.2,4B.()0,24,+

C.4,16D.()0,416,+【答案】D【解析】【分析】利用2abab+，结合()380abab−++=可得()()240abab−−，进而可得答案.【详解】因为,ab为正实数，则()03868abababab=−++−+，即()()240abab−−

，所以02ab或4ab，所以04ab或16ab.ab的取值范围是()0,416,+，故选：D.8.已知函数()fx的定义域为R，且()()()()31,00,fxxfxx=−+，()()

()2fxfyxyfxy++=+，则()3f的值是（）A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】【分析】由赋值法先得()00f=，再由()1f与()1f−关系列式求解．【详解】()()()2fxfyxyfxy++=+中令0xy==，则()00f=，()

()()2fxfyxyfxy++=+中令1x=，1y=−，则()()()11200fff+−−==，又()31fxxfx=中令=1x−，则()10f−=，所以()12f=，()()()2fxfyxyfxy++=+中，令1xy==，则()()22126ff=+=，再令

1x=，2y=，则()()()312426412fff=++=++=．故选：D二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若a、b、cR，则下列命题正确的是（）

A.若0ab且ab，则11abB.若01a，则2aaC.若0ba且0c，则bcbaca++D.()221222abab++−−【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法

可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若0ab且ab，取1a=−，1b=，则11ab，A错；对于B选项，若01a，则()210aaaa−=−，B对；对于C选项，若0ba且0c，则0ab−，则()()()()

()0abcbaccabbcbacaaacaac+−+−+−==+++，故bcbaca++，C错；对于D选项，()()()()()22222212222144120ababaabbab++−−−=−++++=−++，当且仅当12ab==−时，等号成立，故()22122

2abab++−−，D对.故选：BD.10.已知函数()21ee2xxfxx−=++，则满足()()32fafa+的整数a的取值可以是（）A.1−B.0C.1D.2【答案】BCD【解析】【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．【详解】由题意得()21()ee2xxffxxx

−+=−=+，故()fx为偶函数，而()eexxfxx−=−+，当0x时，()0fx¢>，故()fx在(0,)+单调递增，在(,0)−单调递减，若()()32fafa+，则|3||2|aa+，得22344aaa++，即2220aa−

−，解得1313a−+故选：BCD11.已知函数()()π2sin0,02fxx=+任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，若将曲线()yfx=的图象向左平移π6个单位得到的图象关于y轴对称，则（）A.π2,6==B.直线2π3x=为曲线()

yfx=的一条对称轴C.若()fx在(),aa−单调递增，则π03aD.曲线()yfx=与直线15π224yx=−有5个交点【答案】ABD【解析】【分析】根据周期可得2=，进而根据对称可得π6=，即可求解A，代入验证即可判断B，根据正弦函数的单调性，即可求解C，根据函

数的对称性，结合函数图象即可判断D.【详解】由题意π2π444T==，故2=，又()yfx=的图象向左平移π6个单位得到π2sin23yx=++，所以()πππ+32kk+=Z，且π02，故π6=，A正

确；因为()π2sin26fxx=+，且2π4ππ2sin+2336f==−为最小值，所以直线2π3x=为曲线()yfx=的一条对称轴，B对；令πππππ2π22πππ,Z26236kxkkxkk

−+++−++,故易知()fx在ππ,36−单调递增，故π06a，C错；直线15π224yx=−与曲线()yfx=均过点5π,012，且该直线与曲线()yfx=均关于该点中心对称，当7π6x=时，3π28y=，当13π6x=时，7π28y=，由对称性可知

曲线()yfx=与直线15π224yx=−有5个交点，故D对．故选：ABD．12.已知函数()()e1xfxx=+，()()1lngxxx=+，则（）A.函数()fx在R上无极值点B.函数()gx在()0,+上存在极值点C.若对任意0x，不等式()()2lnfaxfx

恒成立，则实数a的最小值2eD.若()()()120fxgxtt==，则()12ln1txx+的最大值为1e【答案】ACD【解析】【分析】对()(),fxgx求导后，根据导函数正负可确定()(),fxgx的单调性，由

极值点定义可知AB正误；由()fx单调性可得2lnaxx，分离变量后，可知()2lnxahxx=，利用导数可求得()maxhx，知C正确；采用同构法可确定12exx=，可将()12ln1txx+化为()()1111lne1e1xxxx

++，令()11e1xkx=+，()lnkpkk=，利用导数可求得()pk最大值，知D正确.【详解】对于A，()fx定义域为R，()()e1e1e1xxxfxxx=++=++，令()()mxfx=，则()()2exmxx=+，当(

),2x−−时，()0mx；当()2,x−+时，()0mx；()mx，即()fx在(),2−−上单调递减，在()2,−+上单调递增，()()2212e110efxf−−=−+=−，()fx\在R上单调递增，无极值点，A正确；对于B

，()gx定义域为()0,+，()11lnln1xgxxxxx+=+=++，令()()nxgx=，则()22111xnxxxx−=−=，当()0,1x时，()0nx；当()1,x+时，()0nx；()nx，即()gx()0

,1上单调递减，在()1,+上单调递增，()()120gxg=，()gx()0,+上单调递增，无极值点，B错误；对于C，由A知：()fx在R上单调递增，由()()2lnfaxfx得：2lnaxx

，则当0x时，2ln2lnxxaxx=，令()2lnxhxx=，则()()221lnxhxx−=，当()0,ex时，()0hx；当()e,x+时，()0hx；()hx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调

递减，()()max2eehxh==，2ea，即a的最小值为2e，C正确；在在对于D，若()()()120fxgxtt==，则()()1122e11lnxxxxt+=+=，()00f=Q，()10g=，0t，由AB知：()(

),fxgx均为定义域上的增函数，10x，21x，由()()1122e11lnxxxx+=+得：()()()111122e1e1lne1lnxxxxxx+=+=+，12exx=，()()()111121lne1ln1e1xxxtxxx+=++；令()11e1xkx=+

，则0k，令()lnkpkk=，则()21lnkpkk−=，当()0,ek时，()0pk；当()e,k+时，()0pk；()pk在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()max1eepkp==，即()12ln

1txx+的最大值为1e，D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数()yfx=的图像在2x=处的切线方程是31yx=+，则(2)(2)ff+=______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以(2)3217f=+=，切

点处的导数为切线斜率，所以(2)3f=，所以(2)(2)10ff+=.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.设()fx定义在R上且()()()()()()2log2,212,2xxf

xfxfxx−=−−−，则()13f=______．【答案】0【解析】【分析】根据分段函数解析式一一计算可得.【详解】因为()()()()()()2log2,212,2xxfxfxfxx−=

−−−，所以()()()()()()()13121111101110fffffff=−=−−=−，()()()()()()()10988787fffffff=−=−−=−，同理可得()()()()21371log21

0fff===−=.故答案为：015.已知π1tan62+=，π1tan123+=，则()tan2−=______．【答案】211−【解析】【分析】由二倍角正切公式可求得πtan62

+，由()ππtan2tan266−=+−+，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】π1tan123+=，2π22tanπ3123tan21π6411

tan912++===−−+，()ππtantan2ππ66tan2tan2ππ661tantan266+−−−=+−+=++−13224

1311124−==−+.故答案为：211−.16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足ACMN⊥，且AC长

度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，则需要修建的栈道总长

度的最小值为__________百米.【答案】2π53+【解析】【分析】连接CD，CE，设CBECBD==，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值.【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：1

CDCE==.由对称性，设CBECBD==，又CDBD⊥，CEBE⊥，所以1tantanCDBEBD===，1sinsinCDBC==，易知MCENCD==，所以MEND=的长为.又3AC=，故13(0,2)sinABAC

BC=−=−，故1sin(,1)3，令01sin3=且0π0,6，则()1252sintanf=−++，0π(,)2，所以()()2cos2cos1sinf−−=0π,3π3ππ,32()f-

0+.()f单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值()minπ2π533ff==+.故答案为：2π53+.四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.）17.已知函数()()sin0,02fxx=+的最小正周期为,3是函数()fx一个零点.（1）求,；（2）在ABC中，角,,ABC的对边分别为3,,,,222Aabcfa

==，求ABC面积的最大值.【答案】（1）2=，π3=（2）3【解析】【分析】（1）根据周期求出2=，再根据零点和的范围即可；（2）代入2A求出A值，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.【小问1详解】依题意，周

期2ππ=，所以2=，由题意得()π2πZ3kk+=，解得()2Z3kk=−，而π02，所以取1k=，π3=.【小问2详解】因为322Af=，所以π3sin32A+=，因为()0,πA，所以ππ4π,333A+，则π2ππ,333A

A+==，由余弦定理得224bcbc=+−，因为222bcbc+，则2224bcbbcbcc=+−−，所以4bc（当且仅当2bc==时，bc有最大值4），因为13sin24ABCSbcAbc==

，所以ABC面积的最大值为3.18.已知正项数列na的前n项和为nS，且222nnnaanS+−=．（1）求数列na的通项公式；（2）设31nanb=−，若数列nc满足11nnnnbcbb++=，求证：1214nccc+++．【答案】（1）nan=（2）证明见解析【解析】【分析】（

1）利用和与项的关系可求得11(2)nnaan−=+，从而利用等差数列的通项公式即可求解；（2）由（1）知31nnb=−，从而利用裂项相消法求得()121114231nnccc++++=−−，从而可证.【小问1详解】∵222nnnaanS+−=，当2n

时，21112(1)2nnnaanS−−−+−−=，两式相减得：22112212nnnnnaaaaa−−+−−−=，整理得()2211nnaa−=+，∵0na，∴11(2)nnaan−=+，当1n=时，2111212aaa+−=，∴11a=−（舍）或11a=，∴na是以1为首项，1为公

差的等差数列，则nan=；【小问2详解】由（1）知，31nnb=−，()()113111231313131nnnnnnc++==−−−−−∴121223111111112313131313131nnnccc++++=−+−++−−−−−−

−()111111122314231nn++=−=−−−，∵()110231n+−，∴()111144231n+−−，即1214nccc+++．19.2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．

考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天

没有训练的2个项目中任意选一项训练．（1）若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）13（2）分布列见解析，()53E

X=【解析】【分析】（1）分别考虑第一天训练的是和不是“篮球运球上篮”的情况，根据古典概型概率公式可分别求得对应的概率，加和即可求得结果；（2）分别求得X每个可能的取值对应的概率，进而确定分布列；根据数学期望公式可求得期望.【小问1详解】记第一

天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件A；第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件B；由题意知：三天的训练过程中，所有可能的情况有：32212=种，()1211126PA==，()2111126PB

==，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()111663PPAPB=+=+=.【小问2详解】由题意知：X所有可能的取值为0,1,2,3，考前最后5天训练中，所有可能的情况有：43248=种；当X0=时，第一天有2种选择，之后每天都有1种选择，()421104824PX===；

当1X=时，若第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；若第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第三天2种，之后每天只有1种选择，共4种选择；第三天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种

选择，第二天有1种选择，第三天1种选择，第四天有2种选择，第五天有1种选择，共4种选择；第四天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天均只有1种选择，第五天有2种选择，共4种选择；第五天选择“羽毛球对拉高远球”

，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天都只有1种选择，共2种选择；()2444211483PX++++===；当3X=时，只有第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，共有224=种选择，()4134812PX===；()()()()132101324PXPXPXPX=

=−=−=−==，X的分布列为：X0123P124131324112()111315012324324123EX=+++=.20.如图，在四棱锥PABCD−中，122PDPCCABAAD=====，//ADCB

，90CPDABC==，平面PCD⊥平面ABCD.（1）求证：PD⊥面PCA；（2）点Q在棱PA上，设()01PQPA=，若二面角PCDQ−−余弦值55，求.【答案】（1）证明见解析为（2）12=【解析】【分析】（1）根据四边形AECB为平行四边

形可得12CEAD=，知ACCD⊥，由面面垂直和线面垂直性质可得ACPD⊥，结合PDPC⊥可证得结论；（2）以C为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得.【小问1详解】取AD中点E，连接AC，CE，//ADCB，AEC

B=，四边形AECB为平行四边形，ABCE=，又12ABAD=，12CEAD=，ACCD⊥，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD=，AC平面ABCD，AC⊥平面PCD，又PD平面PCD，A

CPD⊥，90CPD=，即PDPC⊥，又ACPCC=，,ACPC平面PCA，PD⊥平面PCA.【小问2详解】取CD中点F，连接PF，PCPD=，PFCD⊥，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABC

DCD=，PF平面PCD，PF⊥平面ABCD，以C为坐标原点，,CDCA正方向为,xy轴正方向，作z轴平行于直线PF，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,22,0A，()2,0,2P，()0,0,0C，()22,0,0D，()2,22,2PA=−−，

()22,0,0CD=，()2,0,2CP=，()2,22,2PQPA==−−，()22,22,22CQCPPQ=+=−−，设平面CDQ的法向量(),,nxyz=，则()()2202222220CDnxCQnxyz

===−++−=，令1y=−，解得：0x=，2z=，()0,1,2n=−；平面PCDy⊥轴，平面PCD的一个法向量()0,1,0m=，()2215cos,514mnmnmn−===−+，解得：12=，满

足01，12=.21.已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过()2,0A，()4,3B两点.（1）求双曲线C的方程；（2）已知点()2,1P，设过点P的直线l交C于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于点G，H，当6GH=时，求直线l的斜率.【答案】（1）2214

3xy−=（2）14【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得双曲线方程.（2）设出过点P的直线方程，然后与双曲线方程联立，结合韦达定理即可解决直线与双曲线的相交问题.【小问1详解】设曲线C的方程为221mxny+=，由曲线C过()2,0A，()4,3B两点，得4

11691mmn=+=，解得1413mn==−，所以曲线C的方程为22143xy−=.【小问2详解】由题意可设过点P的直线方程为(2)1ykx=−+，由22(2)1143ykxxy=−+−=消去y，得222(34)8(12)

1616160kxkkxkk−−−−+−=，则2340k−且222[8(12)]4(34)(161616)192(1)0kkkkkk=−−−−−+−=−，解得312kk且①设1122(,),(

,)MxyNxy，则有12221228(12)3416161634kkxxkkkxxk−+=−−+−=−②设直线AM的方程为11(2)2yyxx=−−，令0x=得1122Gyyx−=−，所以直线AM与y轴交点G的坐标为112(0,)2yx−−，同理可得直线AN的方

程为22(2)2yyxx=−−，令0x=得2222Hyyx−=−，所以直线AN与y轴交点H的坐标为222(0,)2yx−−.由题意可知121222622GHyyGHyyxx−−=−=−=−−，所以GHGHyy=−1212322yyxx=−=−−，1212(2)1

(2)1322kxkxxx−+−+−=−−，整理得1211322xx−=−−，所以21121232()4xxxxxx−=−++，即212121212()432()4xxxxxxxx+−=−++所以2212121212()49[2()4]xxxxxxxx+−=−++③将②代入③得

22228(12)161616[]43434kkkkkk−−+−−−−22221616168(12)9[24]3434kkkkkk−+−−=−+−−，整理得2192(1)9(4)k−=−，解得14k=满足①式，综上，14k=.22.已知函数()()elnRxfxmxxxm−=+−.（1）讨

论函数()fx的极值点个数；（2）若0m，()fx的最小值是1lnm+，求实数m的取值范围.【答案】（1）当em时，()fx恰有1个极值点；当em时，()fx恰有3个极值点；（2）emm【解析】【分析】（1）求出()fx的导数，按em和em分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答

即可；（2）利用（1）中信息，按em和em探讨，利用导数研究函数()fx的最小值求解即可.【小问1详解】函数()fx的定义域为()0,+，所以()()()11eee11exxxxfxmxxmxx−−=−+−=−−

，令()exuxmx=−，则()()2e1xxuxx−=，令()0ux，可得01x，令()0ux，可得1x，所以()ux在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，故()()min1euxum==−，①em

时，()min0ux，则()0ux，令()0fx，可得01x，令()0fx¢>，可得1x，所以()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()fx有1个极小值点；②em时，()min0ux，因为令

()e1xhxx=−−，则()e1xhx=−，当0x时，()0hx，则()hx在()0,+上单调递增，当0x时，()0hx，则()hx在(),0−上单调递减，故()()00hxh=，所以e1xx+，当

0x=时取等号.当111xm−时，()1110xuxmmxx+−=+−，此时()10,1x，使得()10ux=，令()2e,1xvxxx=−，有()e2xvxx=−，令()e2,1xxxx=−，()e20xx=−，()x在()1,+上单调递增，即

()()1e20x=−，即有()0vx，即()vx在()1,+上单调递增，即()()1e20vxv=−，所以2exx，当exm时，()20xuxmxmx−=−，此时()21,x+，使得()20ux=，因此()10,xx，()0fx

，()fx单调递减，()1,1xx，()0fx¢>，()fx单调递增，()21,xx，()0fx，()fx单调递减，()2,xx+，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()fx由3个极值点；所以当em时，()fx恰有1个极值点；当em时，()fx恰有3个极值点；【小

问2详解】由（1）知，当0em时，()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()()min111lnemfxfm==+=+，所以1lnemm=，令()(ln,0,exgxxx=，则()21ln0xgxx−=，函数()gx在(0,e上单调递增，()()max1ee

gxg==，则em=，当em时，()10,1x，使得()10ux=，()21,x+，使得()20ux=，所以()fx()10,x上单调递减，在()1,1x上单调递增，在()21,x上单调递减，在()2,x+上单调递增，其中()e01,2iximix−==，即ln

lniixmx=+，所以()()()12minmin,1lnfxfxfxm==+，而()ln1lneiiiiixmxfxxxm=+−=+符合要求，所以em，综上可得，实数m的取值范围为emm.【点睛】方法点睛：在研究极值问题时，根据导

函数的零点情况对m分类讨论是关键，函数()exuxmx=−的导函数的零点无法直接求解时，利用零点存在定理确定零点的范围是关键一步，另一种解法中，遇到指数对数混合的不等式时，利用切线放缩是常常能够起到简化的作用的方

法.在获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com