【文档说明】上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高三下学期6月练习数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.023 MB，由小赞的店铺上传

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华二附中高三年级数学练习试卷一．填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）1.不等式|3|2x−的解集为__________________．【答案】15xx或()1,5【解析】【分析】由题

意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式|3|2x−的解集．【详解】解：不等式|3|2x−，即232x−−，求得15x，故答案为：15xx或(1,5)．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的基本性质，属于基础题．2.若复数z满足23

15iz−=+（i是虚数单位），则z=_____________．【答案】522i−【解析】【分析】由已知求得z，再由共轭复数的概念求得z．【详解】解：由2315zi−=+，得245zi=+，522zi=+，则522zi=−．

故答案为：522i−．点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若1sin3=，则cos2−=_______________．【答案】13【解析】【分析】由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【详解】解：若1sin3

=，则1cos()cos()sin223−=−==，故答案为：13．【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．4.已知两个不同向量(1,),(1,2)OAmOBm==−，若OAAB⊥，则实数m=___________.【【答案】1【解析】【分析】首

先得到(2,2)ABmm=−−，再根据OAAB⊥得到()220mmm−+−=，解方程即可.【详解】(1,2)(1,)(2,2)ABOBOAmmmm=−=−−=−−，因为OAAB⊥，所以()220OAABmmm=−+−=，解得1m=或2m=.当2m=时，(1,2)OAOB=

=，舍去，所以1m=.故答案为：15.在等比数列{an}中，公比q=2，前n项和为Sn，若S5=1，则S10=________.【答案】33【解析】【分析】利用等比数列求和公式的基本量运算可得a1，进而利用等比数列的求和公式求出S10．【详解】∵S5=()511212a−−=1，∴a1=131.

∴S10=()1011212a−−=131×1023=33.故答案为：336.若,xy满足2,10,20,xxyxy−++−则2zxy=−的最小值为____________．【答案】12−【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程

的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解】解：由约束条件21020xxyxy−++−„……作出可行域，【联立2010xyxy+−=−+=，解得1(2A，3)2，化目标函数2zxy=

−为2yxz=−，由图可知，当直线2yxz=−过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为12−．故答案为：12−．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__

________．【答案】4【解析】【分析】利用已知条件，直接求解几何体的体积即可．【详解】解：一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为21()124=

．故答案为：4．【点睛】本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能力．8.()62111xx++展开式中2x的系数为________．【答案】30【解析】【分析】先将问题转化为二项式6(1)x+的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展

开式的第1r+项，令x的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．【详解】由题可得：()62111xx++展开式中2x的系数等于二项式6(1)x+展开式中x的指数为2和4时的系数之和，由于二项式6(1)x+的通项公式为16rrrTCx+

=，令2r=，得6(1)x+展开式的2x的系数为2615C=，令4r=，得6(1)x+展开式的4x的系数为4615C=，所以()62111xx++展开式中2x的系数151530+=，故答案为30.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的

转化能力，属于基础题．9.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率是________

____．【答案】151192【解析】【分析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的事件分别为A，B，C，则P（A）78=，P（B）34=，P（C）512=，这位考生至少得2个A+的概率：()()()()PPABCPABCPABCPABC=+++．

【详解】解：设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的事件分别为A，B，C，这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A+的概率分别为78、34、512，P（A）78=，P（B）34=，P（C）512=，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则

这位考生至少得2个A+的概率：()()()()PPABCPABCPABCPABC=+++7377151357351518412841284128412192=+++=．故答案为：151192．【点睛】本题考查概率的求法，考查相

互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.已知()fx是定义在22−,上的奇函数，当[0,2]x时，()21xfx=−，函数(

)22gxxxm=−+,如果对于任意的12,2x−，总存在22,2x−，使得()()12fxgx，则实数m的取值范围是_________.【答案】5m−【解析】【分析】分别求出()fx和()gx在[2,2]−上的最大值,然后将问

题转化为maxmax()()fxgx即可得到.【详解】当[0,2]x时，()21xfx=−，函数()fx为递增函数,又因为()fx是定义在22−,上的奇函数，所以函数()fx在22−,上也是递增函数,所以2x=时,函数()fx取得最大

值,且2max()(2)213fxf==−=,因为2()2gxxxm=−+2(1)1xm=−+−的对称轴为1x=,|21||21|−−−所以2x=−时,()gx取得最大值,且最大值为2(2)(2)g−=−2(2)m−−+8m=+,因为对于任意的12,

2x−，总存在22,2x−，使得()()12fxgx，所以maxmax()()fxgx,所以38m+,即5m−.故答案为5m−.【点睛】本题考查了函数最值的求法,用最值解决不等式恒成立和能成立问题,属于中档题.11.已知曲线29Cyx=−

−：，直线2ly=：，若对于点(0,)Am，存在C上的点P和l上的点Q，使得0APAQ+=，则m取值范围是_________．【答案】1,12−【解析】【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0APAQ+=，说明A是PQ的中点，结合y的范围，求出m的范围即可

．【详解】解：曲线2:9Cyx=−−，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分），并且[3Py−，0]，对于点(0,)Am，存在C上的点P和l上的Q使得0APAQ+=，说明A是PQ的中点，Q的纵坐标2y=，21[,1]22pym+=−．故答案为：1[,1]2−．【

点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．12.已知22s1(,,0)cos1aainMaaaa−+=−+R，则M的取值范围是_______．【答案】4747,33−+【解析】【分析】化22sin1cos1aaMaa

−+=−+为2cossin(1)(1)0aMaMa−−−+=，可得直线2(1)(1)0aMxayMa−−−+=与圆221xy+=有公共点，即22|1|(1)1||1MaaM−++„，得到22|1|||1121MaaM−++剟，转化为关于M的不等式求解．【

详解】解：化22sin1cos1aaMaa−+=−+为2cossin(1)(1)0aMaMa−−−+=，可得直线2(1)(1)0aMxayMa−−−+=与圆221xy+=有公共点，22|1|(

1)1||1MaaM−++„，得到22|1|||1121MaaM−++剟（当且仅当||1a=时，等号成立）．故23830MM−+„．解得：474733M−+剟．M的取值范围是47[3−，47]3+．点睛】本题

考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题．二．选择题（本大题共4题，满分20分）【13.设,是两个不同的平面，b是直线且b．则“b⊥”是“⊥”的（）．A充分而不必要条件B.必要

而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断即可．【详解】解：由线面垂直的定义得若b，则b⊥时，⊥成立，即充分性成立，反之若⊥，则b⊥不一定成立，即必要性不成立，故“b⊥”是“⊥”的充分不必要条

件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直和面面垂直的性质和定义是解决本题的关键．14.若已知极限sinlim0nnn→=，则3sinlimsin2nnnnn→−−的值为（）A.3

−B.32−C.1−D.12−【答案】D【解析】【分析】因为sinlim0nnn→=，对3sinsin2nnnn−−分子分母同时除以n，再求极限即可【详解】因为sinlim0nnn→=，所以3sin13sin10

1limlimsinsin20222nnnnnnnnnn→→−−−===−−−−.故选D.【点睛】本题主要考查极限的运算，对目标式的合理化简是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15.已知函数()fx是R上的偶函数，对于任意xR都有(6)()(3)fxfxf

+=+成立，当12,0,3xx，且12xx时，都有1212()()0fxfxxx−−．给出以下三个命题：①直线6x=−是函数()fx图像的一条对称轴；②函数()fx在区间9,6−−上为增函数；③函数()fx在区间9,9−上

有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．.A0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法分析可得(36)(3)(3)fff−+=−+，结合函数的奇偶性可得(3)0f

=，进而可得(6)()fxfx+=，所以()fx的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，对于任意xR，都有(6)()(3)fxfxf+=+成立，令3x=−，则(36)(3)(3)fff−+=−+，又()fx是R上的偶函数，所以(3)0f=

，则有(6)()fxfx+=，所以()fx的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为6，则直线6x=−是函数()fx图象的一条对称轴，①正确；对于②，当1x，2[0x，3]，且12xx时，都有1212()()0fx

fxxx−−，则函数()yfx=在[0，3]上为增函数，因为()fx是R上的偶函数，所以函数()yfx=在[3−，0]上为减函数，而()fx的周期为6，所以函数()yfx=在[9−，6]−上为减函数，②错误；对于③，f（3）0=，()fx的周期为6，所以(9)(

3)(3)(9)0ffff−=−===，函数()yfx=在[9−，9]上有四个零点；③错误；三个命题中只有①是正确的；故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出(3)f的值，分析函数的周期与对称性．16.如图所示，将一圆的八个等分点分成相

间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且1OAe=，2OBe=，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成12ee+，R、的形式，则+的取值范围为（

）.A.[22,2]−B.[22,12]−+C.[12,12]−−+D.[12,2]−−【答案】C【解析】【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出+的最大值和最小值即可．【详解】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直

角坐标系，如图所示：设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，22ONOM==，2OMOAOB=+，此时12+=+．同理可得：2OPOAOB=−−，此时12+=−−．∴+的最大值为12+，最小值为12−−．故选：C．【点睛

】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．三．解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，在正四棱锥PABCD−中，22PAAB==，E，F分别为PB，PD的中点．（1）求正四棱锥PABCD−的全面积；（2）若

平面AEF与棱PC交于点M，求平面AEMF与平面ABCD所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．【答案】(1)=883S+全(2)25arccos5【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的性质，用勾股定理求得侧面三角形的高，进而求得侧面积和底面积，即可得出

答案.（2）由题意，可建立空间直角坐标系，分别表示出平面AEMF与平面ABCD的法向量，求出两个法向量的夹角，即可得出答案.【详解】解：（1）因为正四棱锥PABCD−，取AB中点G，连接PG，22PAAB==，6PG=，21=(22)42268832SSS+=+=+侧全底（2）连

接AC，连接BD，记ACBDO=，因为OA，OB，OP两两互相垂直如图建立空间直角坐标系-Oxyz．因为22PBAB==，所以RtRtPOBAOB△△．所以2OAOP==所以(2,0,0)A，(0,2,0)B，(2,0,0)C−，(0,2,0)D−，(0,0,

2)P，(0,1,1)E，(0,1,1)F−．所以(2,1,1)AE=−，(2,1,1)AF=−−．设平面AEMF的法向量为(,,)nxyz=，所以0,0,nAEnAF==即20,20.xyzxyz

−++=−−+=所以0y=．令1x=，2z=，所以(1,0,2)n=．因为平面平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m=设m与n的夹角为，225cos515===mnmn25arccos5=所以平面AEMF与平面ABCD

所成锐二面角的大小是25arccos5．【点睛】本题主要考查空间几何体中的正四棱锥面积计算，二面角的计算，熟练掌握多面体的性质和求解二面角的方法是解决此类题的关键.18.已知向量(cos,1)2xm=−，2(3sin,c

os)22xxn=，设函数()1fxmn=+．（1）若[0,]2x，11()10fx=，求x的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是,,abc且满足2cos23,bAca−求()fB的取值范围．【答案】（1）

3arcsin65x=+；（2）10,2【解析】【分析】（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数()fx的解析式为1sin()62x−+，由11()10fx=，求得3sin()65x−=，可得3arcsin65x−=，求得x结果．（2）

在ABC中，由条件2cos23bAca−„可得2sincos3sinABA…，故3cos2B…，(0B，]6，由此求得()fB的取值范围．【详解】解：（1）函数231cos1()13sincoscos1sin1sin()2222262xxxxfxmnx

x+=+=−+=−+=−+．∵11()10fx=，∴3sin()65x−=．又∵[0,]2x，∴3arcsin65x−=，即3arcsin65x=+．（2）在ABC中，由2cos23bAca−„，

可得2sincos2sin3sinBACA−„，∴2sincos2sin()3sinBAABA+−„，∴2sincos2(sincoscossin)3sinBAABABA+−„，即2sincos3sinABA…，∴3cos2B…，∴(0,]6B，∴1sin()(,0]62B−−，又1(

)sin()62fBB=−+，∴1()(0,]2fB．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.已知椭圆2222C1(

0)xyabab+=：的一个顶点坐标为(2,0)A，且长轴长是短轴长的两倍．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D且斜率存在的直线交椭圆于GH、，G关于x轴的对称点为G，求证：直线GH恒过定点()4,0．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据椭

圆长短轴得出a，b的值即可；（2）设直线GH的斜率为k，求出GH的方程，把(4,0)代入方程验证即可．【详解】解：（1）椭圆的焦点在x轴上，且(2,0)A为椭圆的顶点，∴2a=，又长轴长是短轴长的两倍，∴1b=．∴椭圆的方程为：2214xy+=．（2）证明：设GH的直线方程为(1)y

kx=−，1(Gx，1)y，2(Hx，2)y，则1(Gx，1)y−，联立方程组22(1)14ykxxy=−+=，消元得：2222(14)8440kxkxk+−+−=，∴2122814kxxk+=+，21224414kxxk−=+，直线G

H的方程为：211121()yyyyxxxx++=−−，当4x=时，211121(4)yyyyxxx+=−+−−121212121221214()[5()28]yxxyyykxxxxxxxx−−+++−−==−−222221844(528)14140kkkkkxx−−−++==−，

直线GH恒过定点(4,0)．【点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20.设函数()2()5fxaxax=−+R．（1）求函数的零点；（2）当3a=时，求证：()fx在区间(),1−−上单调递减；（3）若对任意的正实数a，总存在01,2x，使得0()fx

m，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析（2）证明见解析；（3）83m【解析】【分析】（1）讨论0a=，258a−…且0a，258a−，解方程可得零点；（2）可令2()35gxxx=−+，运用单调性的定义，证得()gx在1x−递减，可得()6gx，即

可得到证明；（3）由题意可得0()maxfxm…，由绝对值的含义，化简()fx，得到在0x的单调性，即有(){(1),(2)}maxfxmaxff=，运用绝对值不等式的性质，可得()fx的最大值，即可得到m的范围．【详解】解

：（1）当0a=时，2()|5|fxx=+的零点为25x=−；当258a−…且0a时，由250axx−+=得2520axx−−=，由一元二次方程求根公式得，()fx的零点为52582axa+=；当258a−时，方程2520axx−−=中的判别式2580a=+，故()fx无零点；（2）证明

：当3a=时，2()|35|fxxx=−+，可令2()35gxxx=−+，任取121xx−，12121222()()3535gxgxxxxx−=−+−+−211212()(23)xxxxxx−+=，由121xx−，可得210xx−，120x

x，进而211212()(23)0xxxxxx−+，即12()()0gxgx−，可得()gx在(,1)−−上递减，可得1x−时，()(1)6gxg−=，则2()|35|()fxxgxx=−+=，即()fx在区间(,1)−−上单调递减；（3）对

任意的正实数a，总存在0[1x，2]，使得0()fxm…，则0()maxfxm…，当0x时，252585,02()252585,2aaxxxafxaaxxxa++−+=++−+−…，则()fx在5258(0,)2aa++递减，在5

258(2aa++，)+递增，可得(){(1),(2)}{|7|,|62|}maxfxmaxffmaxaa==−−，由于0a，设{|7|,|62|}tmaxaa=−−，可得|7|at−„，|62|at−„，可得|142||62|3aat−+−„，即有|142

||62||14262|8aaaa−+−−−+=…，可得83t…，则83m„．【点睛】本题考查含绝对值函数的零点和单调性，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及绝对值不等式的性质，考查化简

整理的运算能力，属于难题．21.给定数列na，若数列na中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列na的通项公式为3nna=，试判断na是否为封闭数列，并说明理由

；（2）已知数列na满足212nnnaaa+++=且212aa−=，设nS是该数列na的前n项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”na，使得对任意*nN都有0nS，且12111111818nSSS+++，若存在，

求数列na的首项1a的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列na成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m−，使1amd=．【答案】（1）不是；见解析（2）14a=或16a=；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）数列{}na

不为封闭数列．由1n=，2时，123912aa+=+=，可得123maa+，*mN，可得12{}naaa+，即可得出结论．（2）数列{}na满足212nnnaaa+++=且212aa−=，可得数列{}na为等差数列，公差为2．12(1)naan=+

−．又{}na是“封闭数列”，得：对任意m，*nN，必存在*pN使1112(1)2(1)2(1)anamap+−++−=+−，得12(1)apmn=−−+，故1a是偶数，又由已知，12111111818n

SSS+++，故1111188S，可得1a．（3）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性．【详解】解：（1

）数列{}na不为封闭数列．∵1n=，2时，123912aa+=+=，233123，可得123maa+，*mN，∴12{}naaa+，因此{}na不是封闭数列．（2）数列{}na满足212nnn

aaa+++=且212aa−=，∴数列{}na是以2为公差的等差数列，则12(1)naan=+−．又{}na是“封闭数列”，∴对任意m，*nN，必存在*pN使1112(1)2(1)2(1)anamap+−++−=+−，得12(1)apmn=−−+，故1a是偶数，又由

已知，12111111818nSSS+++，故1111188S，可得：18811S，可得14a=或16a=或12a=，经过验证可得：14a=或16a=．（3）证明：（必要性）若存在整数1m−…，使1amd=，则任取等差数列的两项s

a，()tast，于是111(1)(1)(2)stsmtaaasdmdtdasmtda++−+=+−++−=+++−=，由于3st+…，1m−…，*1stmN++−为正整数，1{}smtnaa++−，{}na是封闭数列．（充分性）任取等差

数列的两项sa，()tast，若存在ka使stkaaa+=，则1112(2)(1)(1)astdakdakstd++−=+−=−−+，故存在1mkstZ=−−+，使1amd=，下面证明1m−…．当0d=时，

显然成立．对0d，若1m−，则取2pm=−…，对不同的两项1a和pa，存在qa使1pqaaa+=，即2(1)(1)0mdmdmdqdqd+−−=+−=，这与0q，0d矛盾，故存在整数1m−…，使1

amd=．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com