【文档说明】安徽省安庆市第七中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(15)页，665.834 KB，由小赞的店铺上传

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安庆七中2021-2022学年第二学期期中考试高二数学试题考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.1.观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，其中x为（）A.12B.－12C.11D.－11【答案】D【解析】【分析】观察数字的变化特征和规律，写出x即可.【详解】观察下列数

的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，可知：121−=−，()213−−=，134−−=−，()347−−=，得4711=−−=−x.故选：D．2.已知数列{an}，则“na为等差数列”是“1322aaa＋＝”的（）A.充要条件B.必要而不充分条件C.充

分而不必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充要条件的定义以及等差数列的特点可知前者可推后者，而后者需满足对任何的*nN，122nnnaaa++=+成立才可以推出前者.【详解】“na为等差数列”成立

，一定有1322aaa＋＝成立，即充分性成立；而只满足“1322aaa＋＝”成立，不能判定“na为等差数列”成立，必须满足*nN，122nnnaaa++=+成立，才可以判定na为等差数列.故“{an}为等差数列”是“a

1＋a3＝2a2”是的充分而不必要条件.故选：C.3.若数列na为等比数列，且1a、5a是方程2410xx++=的两根，则3a=()A.－2B.1C.－1D.1【答案】C【解析】【分析】根据韦达定理

判断1a、5a的正负，从而求出求出3a的正负，并求出15aa，根据2315aaa=即可求出3a﹒【详解】由1540aa+=−，1510aa=，可知10a，50a，则30a，又23151aaa==，则31a=−﹒故选：C.4.已知曲线()yfx=在

点()()5,5f处的切线方程是5yx=−+，则()5f与()5f的值分别为（）A.5，1−B.0，5C.1−，0D.0，1−【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程可计算得()5f与()5f.【详解】由题意可知，(

)51fk==−，()5550f=−+=.故选：D5.已知函数()sincos3fxx=+，则6f=（）A.3B.32C.312+D.312−【答案】B【解析】【分析】求出()fx，代值计算可得6f的值.【详解】因为()sincos3fxx=+，则(

)cosfxx=，故3cos662f==.故选：B.6.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿

者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种B.20种C.30种D.60种【答案】A【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C=种，“社区

值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119−=种.故选：A7.把3个相同的红球和2个不同的白球放在四个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则不同的放法有（）A.24B.2

8C.48D.52【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：一、2个不同的白球放在一个盒子里，其他3个相同的红球分别放在其他三个盒子中，一个盒子放一个球；二、2个不同的白球分别放在四个盒子中的两个，且各放一个球，其余两个盒子中各放1个红球，最后1个红球从四个盒子中选一个来放.【

详解】解：由题意，5个球放在四个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则有一个盒子放2个球，有三个盒子分别各放1个球，又5个球为3个相同的红球和2个不同的白球，则分两种情况讨论：一、2个不同的白球放在一个盒子里，其他3个相同的红球分别放在其他三个盒子中，一个盒子放一个球，有14C

4=种放法；二、2个不同的白球分别放在四个盒子中的两个，且各放一个球，其余两个盒子中各放1个红球，最后1个红球从四个盒子中选一个来放，有214448AC=种放法；综上，共有44852+=种放法.故选：D.8.函数()2sinfxxx=−在R上

是（）A.增函数B.偶函数C.周期函数D.在(0)+，有唯一零点【答案】A【解析】分析】求导函数，由导数确定单调性．再由奇偶性、周期性定义判断BC，由零点定义判断D．【详解】()2cos0fxx¢=

->，所以()fx在R上是增函数，A正确；()2sin()2sin()fxxxxxfx−=−−−=−+=−，()fx是奇函数，B错；y=sinx是周期函数，2yx=不是周期函数，()fx也不是周期函数，C错；(0)0f=，0x时，()(0)0fxf=，在(0,)+

上无零点，D错．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为

“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有na个球，从上往下n层球的总数为nS，则（）A.535a=B.535S=C.11nnaan+−=+D.()1(1)22nnnnSSn−+−=【答案】BCD【解析】【分析】先求出

na，然后利用通项公式可逐一判断选项的对错.【详解】第一层有1个球，第二层有1+2=3个球，第三层有1+2+3=6个球，L，第n层有()11232nnnan+=++++=个球，故()5551152a+==，A错误；【5136101535S=++++=

，B正确；()()()1121122nnnnnanan++++=−=+−，C正确；()1(1)22nnnnnSSan−+−==，D正确.故选：BCD.10.如图是函数()yfx=的导函数()yfx=的图像，则以下说法正确的是（）A

.-2是函数()yfx=的极值点；B.函数()yfx=在1x=处取最小值；C.函数()yfx=在0x=处切线的斜率小于零；D.函数()yfx=在区间(2,2)−上单调递增.【答案】AD【解析】【分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断【详解】根据导函数()yfx=的图象可

得，当(),2x−−上，()0fx，在()()2,11,x−+上，()0fx¢>，故函数在(),2x−−上函数()fx单调递减；在()2,1−，()1,+函数()fx单调递增，所以2−是函数()y

fx=的极小值点，所以A正确；其中1x=两侧函数的单调性不变，则在1x=处不是函数()yfx=的最小值，所以B不正确；由()yfx=图象得()00f，所以函数()yfx=在0x=处的切线的斜率大于零，所以C不正确；由()yfx=图象可得，当()2,2x−时，(

)0fx，所以函数()yfx=在()2,2x−上单调递增，所以D是正确的，故选：AD11.设函数()3213fxxxx=−+的导函数为()fx，则（）A.()10f=B.1x=是函数()fx的极值点C.()fx存在两个零点D.()fx在(1，+∞)上单调递增【答案】A

D【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数和函数的关系，即可判断选项.【详解】()()222110fxxxx=−+=−，所以函数()fx在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；()10f=，故A正确；()32103fxxxx=−+=，得()2330xx

x−+=，2330xx−+=中，9120=−，所以2330xx−+恒成立，即方程只有一个实数根，即0x=，故C错误.故选：AD12.已知函数()1xefxx=+，则（）A.方程()fxe=有两个根B.

()fx在(0)+，上为增函数C.()fx为奇函数D.()fx在0x=处的切线方程为1y=【答案】ABD【解析】【分析】利用导数及导数的几何意义判断B、D，根据奇偶性的定义判断C，令()xegexxe=−−，利用导数判断函数的单调性，再根据零点

存在性定理判断A；【详解】解：对于A：1xeex=+，即xeexe=+，易知该方程无=1x−这个零点.令()xegexxe=−−，则该函数的零点即为1xeex=+的解.则()eexgx=−，所以当(),1x−时()0gx

，当()1,x+时()0gx，所以()gx在(),1−单调递减，在()1,+上单调递增，而()10ge=−，()110ge−=，所以()gx在(),1−上存在一个零点，当)1,x+时，()10ge=−，()()323440geeee=−=−，所以(

)gx在)1,x+上存在一个零点，所以()gx有两个零点，即方程()fxe=有两个根，故A正确；因为()1xefxx=+，所以()2()1xxefxx=+，当()0,x+时，()0fx¢>，所以()fx在()0,+上单调递增，故B正确；又函数()1xefxx=+的定义域为

|1xx−，定义域不关于原点对称，故()1xefxx=+是非奇非偶函数，故C错误；又()()200001f==+，()01f=，所以()fx在0x=处的切线方程为1y=，故D正确；故选：ABD第II卷（非选

择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在数列na中，114a=，()1112nnana−=−，则2022a=____________．【答案】43##113【解析】【分析】由递推式可得na是周期为3的数列，

再应用周期性求2022a.【详解】由题设，21113aa=−=−，321413aa=−=，431114aa=−=，…所以na是周期为3的数列，故20226743343aaa===.故答案为：4314

.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a12＝12，则S13＝_____.【答案】52【解析】【分析】利用等差数列的通项公式得到164ad+=，再根据等差数列的求和公式可解得结果.【详解】设等差数列{an}的公差为d，则11161112adadad+++++=，即164ad+=

，所以131113121313(6)134522Sadad=+=+==故答案为：52.15.书架上原有6本书，再放上3本，但要求原有的相对顺序不变，则不变方法有___________.【答案】504【解析】【分析】运用

插空法和捆绑法求解排列数即可.【详解】根据题意，可将问题分三种情况：①再放的3本书互不相邻，此时有37210A=种排列方法；②再放的3本书有2本相邻，此时有2237·252AA=种排列方法；③再放的3本书彼此相邻，此时有3137·42AA=种排列方法.所以总排列

方法有210+252+42=504种.故答案为：504.16.已知函数()322sinxxxfx=+−，则不等式()()2650fxfx−+的解集为___________.【答案】[2,3]【解析】【分

析】由奇偶性定义、导数判断()fx的奇偶性及单调性，再应用奇函数、单调性求解不等式即可.【详解】由题设，()322sin()fxxxfxx=−+=−−−且定义域为R，故()fx为奇函数，又()()2321cos0fxxx=+−，()fx在定义域上递增，∴()()2650fxfx−+，可

得()2(65)(56)fxfxfx−−=−，∴256(2)(3)0xxxx−+=−−，解得23x，∴原不等式解集为[2,3].故答案为：[2,3]..的四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na

中，1533a=，61217a=（1）求数列na的通项公式；（2）试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？【答案】（1）427nan=−（2）是这个数列的项，第45项【解析】【分析】（1）设首项为1a，公差为d，依题意得到方程组，求出1a、d

，即可求出数列的通项公式；（2）令153na=，即可得到方程，求出n，即可判断；【小问1详解】解：设首项为1a，公差为d，则1(1)naand=+−由已知()()1115133611217adad+−=+−=，解得1234ad=−=，∴231442

7()nann=−+−=−；【小问2详解】解：令153na=即427153n−=得*45nN=，∴153是所给数列的第45项．18.已知函数()()2exxxfa=+，且()01f=.（1）求a的值；（2）求与x轴平行的()f

x的图象的切线方程.【答案】（1）1a=.（2）2ey=.【解析】【分析】（1）求导函数，再由()01f=建立方程，求解即可；（2）由（1）得()()21exxxf=+，设与x轴平行的()fx的图象的切线的切点为()00Pxy，，由已知建立方程求得00xy，，由此可求得答案.

【小问1详解】解：因为()()2exxxfa=+，则()()2'+2exxxfxa=+，又()01f=，所以()()2'00+0e210fa==+，解得1a=；【小问2详解】解：由（1）得()()21exxxf=+，则()()2'+12exxxfx=+，设与x轴平行的()

fx的图象的切线的切点为()00Pxy，，则()()02'000+21e0xfxxx+==，解得01x=−，所以()()002120211+1eeexyx−+−===，所以与x轴平行的()fx的图象的切线方程为2ey=.19.数列na满足11a=

，23a=，1132nnnaaa+−=−．（*nN，2n）．（1）证明数列1nnaa+−是等比数列，并求出数列na的通项公式；（2）设数列nb满足()242log1nnba=+，证明：对

一切正整数n，有2221211111112nbbb+++−−−．【答案】（1）证明见解析，21nna=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将1132nnnaaa+−=−，变形为()112nnnnaaaa+−−=−，2n，再

利用等比数列的定义判断，进而利用累加法求解；（2）由（1）得()()22422log1log22nnnban=+==，再利用裂项相消法求解.【小问1详解】解：由1132nnnaaa+−=−，得()112n

nnnaaaa+−−=−，2n，又212aa−=，则10nnaa−−，∴数列1nnaa+−是首项为2，公比为2的等比数列，当2n时，211222nnnnaa−−−−==，则()()()112211nn

nnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+=121222121nnn−−++++=−，又当1n=时，11a=符合上式，∴21nna=−．【小问2详解】由（1）得()()22422log1log22nnnb

an=+==，∴()()22111111141212122121nbnnnnn===−−−−+−+，∴22212111111nbbb+++−−−111111123352121nn=−+−++−−+

11112212n=−+．故对一切*nN，有2221211111112nbbb+++−−−20.已知函数()exxfx=.（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在[0,2]上的

最大值和最小值.【答案】（1）单调增区间(,1)−，单调减区间(1,)+（2）最大值1e，最小值0【解析】【分析】根据导函数分析函数单调性，在闭区间内的最值【小问1详解】1()exxfx−=1x时，()0fx；1x时

，()0fx单调增区间(,1)−,单调减区间(1,)+【小问2详解】由（1）可知，()fx在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以()fx最大值为1(1)ef=.又(0)0f=；2e2(2)f=故()fx最

小值021.已知数列na中，11a=，1112nnaa+=+，设2nnba=−.（1）求1b，2b，3b；（2）判断数列nb是不是等比数列，并说明理由；（3）求数列na的前n项和nS.【答案】（1）11b=

−，212b=−，314b=−；（2）是等比数列，理由见解析；（3）2222nnnS=−+.【解析】【分析】（1）根据递推关系写出2a、3a，进而可得1b，2b，3b（2）由题设可得112(2)2nnaa+−=−，结合题设等量关系即可判断nb是否为等比数列.（3）应用分组求和及等比数列前n项和

公式求nS.【小问1详解】由题设，2113122aa=+=，3217124aa=+=，所以1121ba=−=−，22122ba=−=−，33124ba=−=−.【小问2详解】由题设，112(2)2nnaa+−=−，而121a−=−，所以{2}na−是首项为1−

，公比为12的等比数列，又2nnba=−，所以nb是首项为1−，公比为12的等比数列.【小问3详解】为由（2）知：112()2nna−=−，则111112...2[1...()]222422nnnnaannS−=

++=−++++=−+.22.已知函数()e21exfxx=−+，()ln2xgxx=+.（1）求函数()gx的极值；（2）当x>0时，证明：()()fxgx【答案】（1）极大值为12e+，无极小值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先确定()

gx定义域为(0,),+求导可得()21lnxgxx−=，根据导数的应用，分()0,ex和()e,x+时，两种情况讨即可得解；（2）要证()()fxgx即证1ln2e0xxxx+−−−，令()()1ln2e0xhxxxxx+=−−−，求导利用隐

零点问题的解决方法求得()min0hx即可.【小问1详解】()ln2xgxx=+定义域为()21(0,),lngxxx−=+，则，()0,ex时，()2ln10xgxx=−，()gx在()0,e单调递增，()e,x+时，()2ln10xgxx=−，()g

x在()e,+单调递减，故函数()gx的极大值为()ee12g=+，无极小值【小问2详解】证明()()fxgx等价证明12lnxxexx+−+（0x），即1ln2e0xxxx+−−−.令()()1ln2e0xhxxxxx+

=−−−()()()11111e1xxxhxxexxx+++=+−=+−，令()11exxx+=−，则()x在()0,+上单调递增，而()1122101101eee00,11010

=−−=−，故()x在()0,+上存在唯一零点0x，且01,110x，()00,xx时，()()0,0xhx，()hx在()00,xx上单调递减；()0,xx+时，()()0,0xhx

，()hx在()0,xx+上单调递增，故()()010000minln2exhxhxxxx+==−−−，又因为()00x=即0101exx+=，所以()()00000ln1110=−−−=+−−=hxxxxx，

从而()()00hxhx=，即()()fxgx【点睛】本题考查了导数的应用，导函数()0fx则原函数()fx为增函数，()0fx原函数为减函数，同时考查了极值的概念.本题的关键点如下：（1）极值点在何处取得；

（2）隐零点问题在求最值中的运用.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com