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第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,

没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是()A.一条线段B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆答案B解析由于向量的起点确定,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着

向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量是()A.𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗与𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐴𝑅

⃗⃗⃗⃗⃗与𝑅𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑅𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝑅⃗⃗⃗⃗⃗D.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗答案B解析向量相等要求模相等,方向相同,因此𝐴𝑅⃗⃗⃗⃗⃗与𝑅𝐶⃗⃗⃗⃗⃗都是和𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量.4.若|𝐴𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|且𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则四边形ABCD的形状为()A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形答案C解析由𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗知,AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又

因为|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|,所以四边形ABCD为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是()A.若|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|且𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,则四边形ABCD是菱形B.在平行四边形ABCD中,一定有�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.若a=b,b=c,则a=cD.若a∥b,b∥c,则a∥c答案ABC解析对于A,由𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD

为平行四边形,又因为|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|,所以四边形ABCD为菱形,故A正确;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平行且相等,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的方向相同,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故B正确;对于C,由向量相等的定义知,当a=b,b=c时,有a=c,故C正确;对于D,当b=0时不成立,故D错误.故选ABC.6.(多选题)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是()A.𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗共线D.𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗答案ABC解析如图,∵𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗与𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗方向相同,长度相等,∴选项A正确;∵𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗与𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

⃗的方向相反,∴𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,选项B正确;∵AB∥CD,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗共线,∴选项C正确;∵𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗方向不同,∴𝐴

𝑂⃗⃗⃗⃗⃗≠𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,∴选项D错误.7.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是()A.|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|B.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与

𝐹𝐻⃗⃗⃗⃗⃗共线C.𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线D.𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗共线答案C解析依题意知,直线BD与EH不一定平行,因此𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗不一定与𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线,C项错误.8.如图所示,4×3的矩形(每个小

方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量共有几个?(2)与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗平行且模为√2的向量共有几个?(3)与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗方向相同且模为3√2的向量共有几个?解(1)与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量共有5个(不

包括𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗本身).(2)与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗平行且模为√2的向量共有24个.(3)与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗方向相同且模为3√2的向量共有2个.关键能力提升练9.已知a为单位向量,下列说法正确的是()A.a的长度为一个单位长度B.a与0不平行C.与

a共线的单位向量只有一个(不包括a本身)D.a与0不是平行向量答案A解析∵已知a为单位向量,∴a的长度为一个单位长度,故A正确;a与0平行,故B错误;与a共线的单位向量有无数个,故C错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D错误.10.(多选题)如图

,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是()A.与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量只有一个(不包括𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗本身)B.与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的模相等的向量有9个(不包括𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗本身)C.𝐵

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的模为𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗模的√3倍D.𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗不共线答案ABC解析A项,由相等向量的定义知,与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量只有𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所

以与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的模相等的向量除𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=√32DA,所以BD=√3DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗共线,故D错误.11.给出下列四个条件:

①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)答案①③④解析若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行

向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.12.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:①𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗都是单位向量;②𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗;③与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量有3个(不包括𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗本身);④与𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗共线的向

量有3个(不包括𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗本身);⑤与向量𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗大小相等、方向相反的向量为𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗.其中正确的是.(填序号)答案①②④⑤解析①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量是𝐸𝐷⃗⃗⃗

⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故③错误;④与𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗共线的向量是𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,且|𝐴𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,tanD=√3,判断四边形ABCD的形状.解∵在四边形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴AB􀰿DC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵tanD=√3,∴

∠B=∠D=60°.又|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,

点C为小正方形的顶点,且|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√5.(1)画出所有的向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗;(2)求|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|的最大值与最小值.解(1)画出所有的向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗如图所示.(2)由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|取得最小值√12+22=√5

;②当点C位于点C5或C6时,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|取得最大值√42+52=√41.∴|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|的最大值为√41,最小值为√5.