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第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°答案B解析如

图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=12AC,EG=12BD.∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠F

GE=90°,∴△EFG为等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.√2

2B.√32C.√52D.√72答案C解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB(或其补角),设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=√5a,AE2=AC2+CE2

=9a2,则有AE2=AB2+BE2.则tan∠EAB=𝐵𝐸𝐴𝐵=√5𝑎2𝑎=√52.故选C.3.(多选题)(2021重庆巴川中学高一期末)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1

C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是()A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°答案ABD解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E共面,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE

与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC

,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选ABD.4.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案90

°解析取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=12BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=12BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥D

G,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.5.如图

所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成角的大小为.答案15°或75°解析取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,且EG=12AB,FG∥CD,且FG=12CD,由AB=

CD知EG=FG.易知∠GEF(或其补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或其补角)为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EG

F=150°时,∠GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.解因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的

角.又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.关键能力提升练7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=√

2.求证:AD⊥BC.证明如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.因为E是AB的中点,且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.因为EF=√2,所以EH2+FH2=

EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,所以AD⊥BC.8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与

BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则𝐸𝐹𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵=x.又BC=a,∴EF=ax.由𝐸𝐻𝐴𝐷=𝐵𝐸𝐴𝐵=1

-x,得EH=a(1-x).∴S四边形EFGH=EF×EH×sin60°=ax×a(1-x)×√32=√32a2(-x2+x)=√32a2[-(𝑥-12)2+14].当x=12时,S最大值=√38a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为√38a2.学科

素养创新练9.如图,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是()A.1B.√2C.√22D.12答案B解析取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.