【文档说明】北京市中关村中学2024-2025学年学高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.019 MB，由管理员店铺上传

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中关村中学2024-2025学年高三数学10月月考第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合230Axxx=−，()ln

2Bxyx==−，AB=（）A.()0,+B.()2,+C.()2,3D.()0,3【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】由230xx−，得03x，则()0,3A=，由对数函数的定义域得(){|

ln2}(2,)Bxyx==−=+，所以(2,3)AB=.故选：C2.若||1,||2,()ababa==−⊥rrrrr，则向量a与b的夹角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】B【解析】【

分析】根据()aba−⊥，得()0aba-?，结合数量积的运算律求出ab，再根据向量的夹角公式即可得解.【详解】因为()aba−⊥，所以()0aba-?，即20aab−=，所以21aba==，所以1cos,2ab

abab==，又0,180ab，所以向量a与b的夹角为60.故选：B.3.已知ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若coscoscosabcABC==，则ABCV是（）A.钝角三角形B.等边三角形C

.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得tantantanABC==，进而得到ABC==，即可求解.【详解】由正弦定理得sinsinsincoscoscosABCABC==，则tantantanABC==，又,,ABC为三角形内角，则ABC==，

则ABCV是等边三角形.故选：B.4.已知0abc，则下列不等式正确的是（）A.baabB.22acC.()()loglogccab−−D.1122ac【答案】D【解析】【分析】A作差法比较大小；B特殊值法

，令1,2ac=−=即可判断正误；C令01c，利用对数函数的性质判断即可；D根据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：22babaabab−−=，又0ab，则220ba−，0ab，故0baab−，

即baab，错误；B：当1,2ac=−=时，22ac不成立，错误；C：由0ab，即0ab−−，当01c时有()()loglogccab−−，错误；D：由0ac，则11122ac，正确.故选：D.5.如图，在ABCV中，6BC=，D，E是BC三

等分点，且4ADAE=，则错误的是（）的A.1122ADABAE=+B.2133AEABAC=+C.4ABAC=−D.2228ABAC+=【答案】B【解析】【分析】由向量的线性运算即可判断A，B,取DE的中点G，由6BC=

，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，计算可得2214ADAEAGDE=−，进而得出25AG=，计算可判断选项C,由C可知2ABACAG+=，两边平方，化简计算可判断选项D.【详解】对于A，由题意得D为BE的中点，所以1122ADABAE=+，故选项A正确；对于B

，()11123333AEACCEACCBACABACABAC=+=+=+−=+，故选项B不正确；对于C，取DE的中点G，由6BC=，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且2DE=，所以221114224ADAEAGDEAGDEA

GDE=−+=−=，所以25AG=，22111594224ABACAGBCAGBCAGBC=−+=−=−=−，故选项C正确；对于D，由G是BC的中点得2ABACAG+=，两边平方得22224ABA

BACACAG++=，所以2220828ABAC+=+=，故选项D正确.故选：B.6.已知函数()2exfxax=−有两个极值点，则实数a的取值范围（）A.20eaB.0ln2aC.eaD.e0ln2a

【答案】A【解析】【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数ya=和2()exxgx=有两个交点，然后利用导数求2()exxgx=的单调性，进而确定()gx图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.【详解】因2()exfxax=−，∴()e2xfxax=−，由已

知函数f(x)有两个极值点可得有e20xax−=两个解即ya=和2()exxgx=有两个交点，2(1)()exxgx−=，∴当1x时，()0gx，()gx在(),1−上单调递增，当1x时，()0gx，()gx在(1,+∞)上单调递减，故()max2()1egxg==，而x→+

时，()0gx→，x→−时，()gx→−；大致图象如下：若ya=和2()exxgx=有两个交点只需20ea.故选：A.【点睛】极值点个数问题，一般转化为方程解的问题，再通过适当的变量分离转化为对应函数值域问题.7.已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{a

n}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件为【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行

判断即可．【详解】∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t，①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，②当{an}和

{Sn}都有最小项，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，Sn＝na1()12nn−+t2t=n2+(a12t−)n，则100ta=或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，故选：B

．8.已知()1,0Ax，()2,0Bx两点是函数()2sin()1(0,(0,))fxx=++与x轴的两个交点，且满足12min3xx−=,现将函数()fx的图像向左平移6个单位，得到的新函数图像关于y轴对称，则的可能取值为（）

A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】【分析】根据12min3xx−=，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】令()2sin10x++=，解得()1sin2x+=−，因为12min3xx

−=，故令21xx，并取12711,66xx+=+=，则()2123xx−=，即可求得2=.此时()()2sin21fxx=++，向左平移6个单位得到2sin213yx=+++，若其为偶函数，则2,32kkZ+

=+，解得26k=+.当0k=时，6=.故选：A.【点睛】本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.9.若函数()33,014,03xxxfxxxax+=−+在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A.163a

B.163aC.163aD.163a【答案】C【解析】【分析】当0x时，利用单调性结合零点存在性定理可得()fx在(,0−内存在唯一零点，当0x时，利用导数判断单调性得()fx在(0,2上单调递减，在()2,+上单调递增，可得()20f．【详解】当0x时，则()3xfxx=+

在(,0−上单调递增，且()()2010,103ff=−=−∴()fx在(,0−内存在唯一零点则当0x时，()3143fxxxa=−+无零点()24fxx=−，令()0fx，则2x或2x−（舍去）∴()fx在(0,2上单调递减，在()2,+上单调递增则()

()16203fxfa=−，即163a故选：C．10.设函数()coscos2fxxx=+，下列判断正确的是（）A.函数()fx的一个周期为π；B.函数()fx的值域是2,22−；C.函数()fx图象上存在点(),Pxy，使得其到点()1,0的距离为22；D.当ππ,44x

−时，函数()fx的图象与直线2y=有且仅有一个公共点.【答案】D【解析】【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用22cos1,,122x−−

，结合两点间距离公式可判断C；结合解()2fx=，根据解的情况判断D，即得答案.【详解】对于A，Rx，()()()()πcosπcos2π2coscos2fxxxxxfx+=+++=−+，故π不是函数()fx的一个周期，A错误；对于B，()2coscos2cos2

cos1fxxxxx=+=+−，需满足22cos10x−，即2122cos,cos1,,1222xx−−，令costx=，221,,122t−−，则()fx即为221ytt=+−，当2,12t时

，221ytt=+−在2,12上单调递增，则2,22y；当21,2t−−时，22222422141102212121ttttyttt−−=+=+=−−−，（22

2(21)4210ttt−−=−−，故222140tt−−）此时221ytt=+−在21,2−−上单调递减，则2,02y−，综上，()fx的值域是22,0,222−，B错误；对于C，由B知

，22cos1,,122x−−，的当2cos1,2x−−时，3π5π2π,2π,Z44xkkk++,满足此条件下的()fx图象上的点(,)Pxy到(1,0)的距离22(1)(()0)xfx

−+−3π2|1|142x−−；当2cos,12x时，()2,22fx,满足此条件下的()fx图象上的点(,)Pxy到(1,0)的距离22(1)(()0)xfx−+−2|()0|2fx

−，当且仅当()22fx=且1x=时等号成立，而()22fx=时，2πcos,2π,Z24xxkk==+或π2π,Z4xkk=−+，满足此条件的x与1x=矛盾，即等号取不到，故函数()fx的图象上不存在点𝑃(𝑥

,𝑦)，使得其到点(1,0)的距离为22，C错误；对于D，由B的分析可知()2fx=，则cos1x=，即2π,Zxkk=，又ππ,44x−，故当且仅当0x=时，()2fx=，即当ππ,44x−时，函数()fx的图象与直线2y=有且仅有一

个公共点，D正确．故选：D【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解.第二部分（非选择题共110分）二

、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数21()xfxx+=的定义域为___________.【答案】)()1,00,−+【解析】的【分析】函数21()xfxx+=的定义域满足2100xx+，解得答案.【详解】函数21()xfxx+=的定义域满足：

2100xx+，解得)()1,00,x−+.故答案为：)()1,00,−+.12.若i为虚数单位，复数满足()1i34iz−=−，则z的虚部为______.【答案】52##2.5【解析】【分析】根据复数的除法运算可得55i22z=+，进而即得.【详解】因为(

)1i34i5z−=+=，所以()()()()51i55551ii1i1i1i222z+===+=+−−+，所以复数z的虚部为52.故答案为：52.13.已知数列na满足12a=，且()*11nnaSn+=+N，则5a=______，

nS=______.【答案】①.24②.1321n−−【解析】【分析】先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再结合等比数列定义求对应通项公式，注意验证起始项是否满足，不满足需用分段函数表示.【详解】因为

11nnaS+=+，所以当2n时，-11nnaS=+，所以1nnnaaa+−=，即12nnaa+=，所以当2n时，{𝑎𝑛}是以2为公比的等比数列，当1n=时，211113aSa=++==，所以当2n时，232,nna−=因此22,132,2nnnan−=

=，所以5253224,a−==()112,12,1312321,22,212nnnnnSnn−−====−−+−，发现12S=也满足1321nnS−=−，故答案为：124;321n−−14.已知双曲线2213yx−=的左顶点为1A，右焦点为2F，

P为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为______，12PAPF最小值为______.【答案】①.3yx=②.2−【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程公式可直接得该双曲线的渐近线方程；设(,)(1)Pxyx，利用数量积公式化简，结合双曲

线方程以及二次函数的性质即可得最小值.【详解】根据题意双曲线2213yx−=，所以双曲线的渐近线方程为3byxxa==；设(,)(1)Pxyx，则12(1,0),(2,0)AF−，所以()()222121,2,245PAPFxyxyxxyxx=−−−−−=−+−=−−，由双曲线性

质可知，1x−或1x，结合二次函数性质可得当1x=时，取得最小值为2−，故答案为：3,2yx=−.15.已知函数()πππ,,22πcos,π2e4,πxaxxfxxxax−++=+给出下列四个

结论：①若()fx有最小值，则a的取值范围是1,0π−；②当0a时，若()fxt=无实根，则t的取值范围是)π,441,aaa++；③当12a−时，不等式()()224fxfx++的解集为()2,2−；的④当1a时，若存在12xx，满足(

)()1210fxfx−=，则120xx+.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③④【解析】【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，

利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+，当ππ2x时，()cos1,0xfx−=，若0a，则当π2x时，()π()π2fafx

=，则此时函数无最小值；若0a=，则当π2x时，()0fx=，πx时，()πe4(0,1)xfax−+=+，则函数有最小值为1−满足题意；若0a，则当π2x时，()π()π2fafx=，πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+，要使函数有最小值，则π141aa−

−，解得104a−；综上，a的取值范围是1,04−，①错误；当0a时，函数()fx在π,2−单调递增，π,π2单调递减，()π,+单调递减，作图如下，因为()fxt=无实根，所以π4ata或41ta+，②正确；当

12a−时，因为411a+−，所以函数()fx在π,2+单调递减，又因为222,44,xx++所以由()()224fxfx++可得，224xx++，即220xx−−，解得02x，所以()2,2x−，所以不等式()

()224fxfx++的解集为()2,2−，③正确；函数()fx在点π,02处的切线斜率为π()sin12fx=−=−，所以切线方程为π2yx=−+，则由图象可知，π,π2x时，πcos2xx−+，设()()()121,0fxfxm==−，记直线y

m=与函数π(),,2fxx−，π2yx=−+，π(),,π2fxx的交点的横坐标为102,,xxx，因为()2ππ,2fxaxx=+经过点π(,0)2−，所以由对称性可知，当1a时，100xx+，又因为20xx，所

以120xx+，④正确；故答案为:②③④.【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演

算步骤或证明过程.16.已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，满足11a=，0d，且1a，2a，3S成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）记2nannba=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）2122233nnTn

+=+−【解析】【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】1a，2a，3S成等比数列，故()222

13133aaSdd=+=+，化简得：220,dd−−=因为0d，所以2=d，因此21nan=−【小问2详解】212=212nannnban−=+−+，因此()()()()132112214121=222214nnnnnnTaaa−−+−+++++++=+−2122233nn+=+−1

7.如图，ABCV的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且ππ3sinsin063BB++−=.（1）求角B的大小；（2）若3a=，1534ABCS=△.（i）求sinA的值；（ii

）求ABC的角平分线BD的长.【答案】（1）2π3B=（2）（i）33sin14A=；（ii）158BD=.【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得出tanB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；（2）（i）利用三角形的面积公式求出c的值，利用余弦定理求出b的值，然后利用正弦

定理可求得sinA的值；（ii）由ABCABDBCDSSS=+△△△结合三角形的面积公式可求得BD的长.【小问1详解】解：ππππππ3sinsin3sincoscossinsincoscossin633366BBBBBB++−=++−333

1cossincossinsin3cos02222BBBBBB=++−=+=，所以，sin3cos0BB=−，可得tan3B=−，又因为0πB，故2π3B=.【小问2详解】解：（i）因为133153sin244ABCSacBc===△，

解得5c=，由余弦定理可得22212cos925235492bacacB=+−=+−−=，则7b=，由正弦定理可得sinsinabAB=，所以，33sin332sin714aBAb===；（ii）因为ABCABDBCDSSS=+△△△，即()1531π1π3s

insin23423234cBDaBDacBDBD=+=+=，因此，158BD=.18.某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA、OB、AC及曲线段BC围成.经测量，90AOB=，100OAOB==米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，

点C到OA、OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在曲线段BC上，点E、F分别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DFx=米，游乐场的面积为S平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；（2）求面积S关于x的函数解

析式()Sfx=；（3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.【答案】（1）()2110005050yxx=−+（2）3110050Sxx=−+，3050x.（3）点D在曲线段BC上且到O

B的距离为5062米时，游乐场的面积最大.【解析】【分析】（1）先以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积；（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后

确定D的位置.【小问1详解】以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()100,0A，()0,100B，()50,50C，设曲线BC所在的抛物线方程为2yaxc=+，0a，点

B，C在抛物线上，则100250050cac=+=，解得150a=−，100c=，所以曲线段BC所在的抛物线方程为()2110005050yxx=−+.【小问2详解】因为点D在曲线段BC上，DFx=，3050x

，所以2110050DEx=−+，∴()23111001005050Sfxxxxx==−+=−+，3050x.【小问3详解】∵()2310050fxx=−+，3050x，令23100050x−+=，解得5063x=，当50630,3x

时，𝑓′(𝑥)>0，当506,503x时，𝑓′(𝑥)<0，所以50630,3x时，函数()fx单调递增，506,503x时，函数()fx单调递减，因此，当5063x=时，50610000639Sf==是极大值也是最大值

，即当点D在曲线段BC上且到OB的距离为5063米时，游乐场的面积最大.19.已知函数()sincos(0,0)fxaxxa=．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()fx存在且唯一确定．（1）求()fx的解析式；（2）设2()()2cos1gxfxx=−+，求函数()

gx在()0,上的单调递增区间．条件①：14f=；条件②：()fx为偶函数；条件③：()fx的最大值为1；条件④：()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为2．【答案】（1）()sin

2fxx=；（2）370,,,88【解析】【分析】（1）先由降幂公式得()sin2(0,0)2afxxa=，故()fx为奇函数，排除条件②，若选①③，()fx不唯一，不合题意；若选①④由14f

=及周期解出()fx即可；若选③④由最大值及周期解出()fx即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出()2sin(2)4gxx=−，再令222,242kxkk−+−+Z解出单调区间，最后写出在()0,上的单调递增区间即可.【小问1详解】()sincoss

in2(0,0)2afxaxxxa==，易知()fx为奇函数，故条件②不成立，舍去.若选①③，则()sin1422af==且12a=，故2a=，2,22kk=+Z，解得14,kk=+Z，故()fx不唯一，不

合题意；若选①④，()sin1422af==且22T=，故22T==，解得1=，2a=，存在且唯一，故()2sincossin2fxxxx==；若选③④，则12a=且22T=，故22T==，解得2a=，1=，故()2sincossin2f

xxxx==，存在且唯一，故()sin2fxx=；【小问2详解】22()()2cos1sin22cos1sin2cos22sin(2)4gxfxxxxxxx=−+=−+=−=−，令222,242kxkk−

+−+Z，解得3,88kxkk−++Z，当0k=时，388x−，当1k=时，71188x，故函数()gx在()0,上的单调递增区间为370,,,88.20.已知函数()()21xfxexax=++.（1）若0a=，

求𝑓(𝑥)在点()()0,0f处的切线方程；（2）若𝑓(𝑥)在()1,1−上恰有一个极小值点，求实数a的取值范围；（3）若对于任意0,2x，()()2cos1xfxexx+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1

yx=+（2）(2,0)−（3）[0,)+【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程；（2）求导，可得函数单调区间与极值点，再根据极值点范围可得参数范围；（3）由不等式恒成立可知cosaxxx−恒成立，()cosgxxxx=−，即(

)maxagx，求函数()gx的最值即可.【小问1详解】当0a=时，2()e(1)xfxx=+，2()e(21)xfxxx=++，所以(0)1f=，(0)1f=，所以切线方程为1yx=+.【小问2详解】由2()(1)xfxexax=++，得2()[(2)1]xfxexaxa=++++.

令()0fx=，得11xa=−−，21x=−.①若12xx，则0a，()0fx在(1,1)−上恒成立，因此，()fx在(1,1)−上单调递增，无极值，不符合题意.②若12xx，则0a，()fx与()fx的情况如下：x(,

1)−−1−(1,1)a−−−1a−−(1,)a−−+()fx+0−0+()fx极大值极小值因此，()fx在(,1)−−，(1,)a−−+上单调递增，在(1,1)a−−−上单调递减.若()fx在(

1,1)−上有且只有一个极小值点，则需111a−−−，所以20a−.综上，a的取值范围是(2,0)−.【小问3详解】因为e0x，所以22()e(1)e(cos1)xxfxxaxxx=+++，即22cosxaxxx+.又因为0x，所以22cosxaxxx+，即cosaxxx−

.令()cosgxxxx=−，所以()cossin1(cos1)singxxxxxxx=−−=−−.因为(0,]2x，所以cos10x−，又sin0xx，所以()0gx，所以()gx为(0,]2上减函数，所以()(0)0gxg=，所以0a综上，实数a的取值范围为[

0,)+.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．21.已知1,2,,Sn=，AS，12,TttS=，记(),1,2iiAxxataAi==+=，用X表示有限集合X的元素个数.（

I）若5n=，1,2,5A=，12AA=，求T；（II）若7n=，4A=，则对于任意的A，是否都存在T，使得12AA=？说明理由；（III）若5A=，对于任意的A，都存在T，使得12AA=，求n的最小值.【答案】（I）1,3

T=，或2,4T=，或3,5T=；（II）不一定存在，见解析；（III）11.【解析】【分析】（I）由已知得12ttab−−，其中,abA，12tt，相差2，由此可求得T；（II）当1,2,57A=，时，2115145

23716725752−=−=−=−=−=−=，，，，，，则12tt，相差不可能1，2，3，4，5，6，可得结论.（III）因为2510C=，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，可得n的最小值.【详解】（I）若

12AA=，则12ttab−−，其中,abA，否则1212++tatbAA=，，又5n=，1,2,5A=，211523514−=−=−=，，，则12tt，相差2，所以1,3T=，或2,4T=，或3,5T=；（II）不一定存在，当1,2,57

A=，时，211514523716725752−=−=−=−=−=−=，，，，，，则12tt，相差不可能1，2，3，4，5，6，这与121234567Ttt=，，，，，，，矛盾，故不都存在T.（III）因为251

0C=，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，当12n时，结论都成立；当11n=时，不存在AS，5A=，使得A中任意两个元素差不同，所以当11n=时，结论成立；当10n=时，若1,3,6910A=，，，则不存在T，所以n的最小值为11.【点睛】关键点睛：本

题考查集合的新定义，解决此类问题的关键在于准确理解集合的新定义，紧扣定义解决问题.