【文档说明】四川省广安市2021-2022学年高一下学期期末考试数学（理）试题 含解析.docx，共(19)页，1.479 MB，由小赞的店铺上传

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广安市2022年春季高2021级期末考试数学（理工类）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．本试卷分为试题卷（1—4页）和答题卡两部分，试题卷上不答题.请将选择题和非选择题的答案答在答题卡的相应位置.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题

，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知0ba，则下列不等式一定成立的是（）A.22baB.11baC.ba−−D.abab−+【答案】B【解析】【分析】运用

不等式的性质及举反例的方法可求解.【详解】对于A，如5,10ab==−，满足条件，但22ba不成立，故A不正确；对于B，因为0ba，所以110,0ba，所以11ba，故B正确；对于C，因为0ba，所以0,0ba−−，所以ba−−不成立，故C不正确；对于D，因为0ba，所以

bb−，所以abab−+，故D不正确.故选：B2.cos40sin70sin40sin160−=（）A.12−B.12C.32−D.32【答案】B【解析】【分析】结合诱导公式、两角和的余弦公式求得正确答案.【详解】

()1cos40sin70sin40sin160cos40cos20sin40sin20cos4020cos602−=−=+==．故选：B3.设m，n是不同的直线，是平面，则下列

说法正确的是（）A.若,mmn∥∥，则n∥B.若,mn∥∥，则mn∥C.若,mnm⊥⊥，则n∥D.若,mn⊥⊥，则mn∥【答案】D【解析】【分析】根据线面平行、垂直的判定和性质分析判断即可【详解】对于A，当,m

mn∥∥时，n∥或n在平面内，所以A错误，对于B，当,mn∥∥时，,mn可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，对于C，当,mnm⊥⊥时，n∥或n在平面内，所以C错误，对于D，当,mn⊥⊥时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得mn∥，所以D正确．故选

：D4.2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立

春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、小雪、霜降三个节气的日影长之和为34.5寸，冬至到秋分等七个节气的日影长之和为73.5寸，问立秋的日影长为（）A.1.5寸B.2.5寸C.3.5寸D.4.5寸【答案】D【解析】【分析】

因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列{}na，由题意可得51334.5aaa++=，773.5S=，从而即可求出数列的首项1a与公差为d，从而根据等差数列通项公式求出10a即为立秋的日影长．【详解】

解：因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列{}na，由题意可知51334.5aaa++=，则3334.5a=，故311.5a=，又7714()773.527Saaa=+==，解得410.5a=，所以数列的公差为431daa=−=−，1410.5313.53aad==−

+=，所以立秋的日影长为110913.594.5aad=+=−=，故选：D．5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）A.相交B.平行C.异面并且垂直D.异面但不垂直【答案】D【解析】【分析】将展开图还原成正方体，即可判断两直线

的位置关系.【详解】将展开图还原成正方体，由下图可知，直线AB与CD的位置关系是：异面.连接BE，则//BEDC，EBA或其补角即为直线AB与CD的夹角，=60EBA，所以直线AB与CD不垂直.故选：D.6.若,,cos2sin044−−=

，则sin2的值为（）A.12B.32C.－32D.－12【答案】D【解析】【分析】用两角差的正弦公式和二倍角公式化简cos2sin04−−=得2cossin2+=，再两边同时平方即可求出答案.【详解】cos2sin04−−=，则22cos2

cossin22=−，()()()222cossincossincossincossin2−=−+=−，因为,,4cossin2cos04−=+

所以2cossin2+=，两边同时平方得：12sinc21os+=，所以1sin22=−.故选：D.7.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为BC，1CC的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上下两部分，则下部分几何体

的正视图为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由1//EFAD，可得截面为1AEFD，得到几何体，进而得正视图.【详解】如图由于1//EFAD，，由题意得此截面为1AEFD，由图可知正视图应为A选项，故选：A.8.已知abc，，分别为ABC三个内角ABC，，的

对边，且coscosbCaBa+=，则ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.【详解】由coscosbCaBa

+=及正弦定理，得sincossincossinBCABA+=,因为πABC++=，所以()sinsinABC=+,所以()sincossincossinsincoscossinBCABBCBCBC+=+=+,即()cossinsin0BAC−=，当

cos0B=时，因为π02B，所以π2B=，当cos0B时，所以sinsin0AC−=，即sinsinAC=，因为0π,0π,AC所以AC=，所以ABC为等腰或直角三角形.故选：D9.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67、30，此时气球的高是92m，

则河流的宽度BC约等于（）m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，31.73）.A.120mB.10mC.60mD.50m【答案】A【解析】【分析】本题可

先可将题目放置于矩形ADCE中，然后通过tanADACDDC=求出159mDC»，通过tanADABDDB?求出39mDB»，两者相减，即可得出结果.【详解】如图所示，作矩形ADCE，因为从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67、30，所以30ACDEAC??°，67

EABDBA??°，因为气球的高是92m，所以92mAD=，则tanADACDDC=，92tan30DC°=，923159mDC=?，sintancosADABDABDDBABDÐ?=Ð，920.920.39DB=，39mDB»，120mBCDCDB=-?，故选：A.10.设等差数列

na的前n项和为nS，10a，公差为d，9100aa+，100a．则下列结论不．正确的是（）A.0dB.当9n=时，nS取得最小值C.45180aaa++D.使得0nS成立的最大自然是n是17【答案】D【解析】【分析】根

据已知条件结合等差数列的通项公式，性质及求和公式逐个分析判断即可【详解】对于A，因等差数列na中，9100aa+，100a，所以9100,0aa，所以公差1090daa=−，所以A正确，对于B，由于9100,0aa，0d，10a，所以前9项均为负

数，所以当9n=时，nS取得最小值，所以B正确，对于C，114151918034173(8)3adadadadaaaa=+++++=+=++，所以C正确，对于D，因为9100,0aa，所以11717917()1702aaSa+==，1189101818()18()02

2aaaaS++==，11910191019()19219022aaaSa+===，0d，所以使得0nS成立的最大自然是n是18，所以D错误，故选：D11.若正三棱柱111ABCABC-既有外接球，又有内切

球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为1R、2R，则12RR=（）A.55B.5C.5D.3【答案】A【解析】【分析】正三棱柱111ABCABC-的外接球和内切球的球心相同，根据题意画出图形分别求出外接球和内切的半径，再求

比值即可【详解】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，DEAB⊥，12,ODDEROAR===，因为ABC为正三角形，D为ABC的中心，所以6DAE=，所以122ADDER==，为在RtAOD中，222OAODAD=+，所以222211(2)RRR=+，所以22215R

R=，215RR=，所以12RR=55，故选：A12.设nS为等差数列na的前n项和，且23a=，525S=，若2cos3=nnnba，则数列nb的前30项和30T=（）A.60B.30C.－6

0D.－30【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由已知建立方程组求得数列na的通项公式，继而可得()221cos3nnbn=−，再计算3132333nnnbbb+++++=，从而可求得答案.【详解】解：设等差数列的公差为d，由23a=，525

S=得：2151351025aadSad=+==+=，解得112ad==，所以数列na的通项公式为21nan=−，所以()221cos3nnbn=−，3132332(31)2(32)2(33)(61)cos(63)cos(65)cos333nnnnnnbbbnnn+++

+++++=+++++24(61)cos(2)(63)cos(2)(65)cos(22)33nnnnnn=++++++++11(61)()(63)()(65)322nnn=+−++−++=，所以3012345

6282930()()()30Tbbbbbbbbb=+++++++++=，故选：B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若x，y满足约束条件2402030xyxy−+−+

，则zxy=+的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】先画出可行域，再结合目标函数zxy=+的几何意义，通过图即可得解.【详解】作出不等式组240,20,30,xyxy−+−+所表示的区域如下：由z

xy=+得yxz=−+，平移直线yxz=−+，当yxz=−+经过点C时，截距最大，z最大由2240xxy=−+=，解得(2,8)C，此时zxy=+的最大值为10.故答案为：10.14.在等比数列na中，345564,8aaaa==，则2a=________．

【答案】1.【解析】【分析】设等比数列na的公比为q,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得4222412aaq===即可.【详解】设等比数列na的公比为q.由34564aaa=,得()3464a=,解得44a

=.又由58a=,得542aqa==.则4222412aaq===.故答案为：1【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.15.已知正实数m，n满足21mn+=，则42nmn++的最小值为__________．【答案】17【解析】【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求解.【

详解】因为()42428282288216nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=≥，当且仅当82nmmn=，即1214mn==时等号成立，所以4242117nmnmn++=++

≥．故答案为：1716.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若8ac=，sinsin20aBcA+=，则ABC面积的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】结合倍角公式、正弦定理、

余弦定理化简得222cos22bcabAbcc+−==−，即2222acb−=，故222223233cos2442acbacacBacacac+−+===，可得B的范围，即可根据1sin2ABCSacB=△求得结果【详解】由题，sinsin2sin2sincos0aBcAaBc

AA+=+=，由正弦定理得，2cos0abacA+=，故cos2bAc=−，由余弦定理得222cos22bcabAbcc+−==−，故2222acb−=，故222223233cos2442acbacacBacacac+−+===，当3ac=是

，取等号，故π0,6B，1sin0,2B，故(1sin0,22ABCSacB=，故ABCS最大值为2，故答案为：2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算过程．17.已知不等式()21460axx+−−的解集是13xx−．

（1）求常数a的值；（2）若关于x的不等式240axmx++的解集为R，求m的取值范围．【答案】（1）1a=（2）4,4−【解析】【分析】（1）由题意可得－1和3是方程()21460axx+−−=的解，将=1x−代入方

程中可求出a的值；（2）由240xmx++的解集为R，可得0，从而可求出m的取值范围【小问1详解】因为不等式()21460axx+−−的解集是13xx−．所以－1和3是方程()21460axx+−−=的解，把=

1x−代入方程解得1a=．经验证满足题意【小问2详解】若关于x的不等式240axmx++的解集为R，即240xmx++的解集为R，所以2160m=−，解得44m−，所以m的取值范围是4,4−．18.已知，02，，3sin45=−，12tan

=．（1）求sin的值；（2）求()tan+的值．【答案】（1）7210；（2）3−【解析】【分析】（1）根据4−的范围，利用同角三角函数可求得cos4−，从而构造sinsin44=−+，利用两角和差正弦公

式求解得到结果；（2）根据同角三角函数求出tan；根据两角和的正切公式求得结果.【详解】（1）0,2，,444−−24cos1sin445−=−−=，sinsinsi

ncoscossin444444=−+=−+−324272525210=+=.（2）0,2，则由（1）可知，22cos1s

in10=−=，tan7=，1tan2=，()17tantan2tan311tantan172+++===−−−.19.已知数列na满足13a=，()1842nnaann−−=−．（1）求数列na的通项公式；（2）

求数列1na的前n项和nT．【答案】（1）241=−nan（2）21nnTn=+【解析】【分析】（1）本题可通过累加法求出当2n时241=−nan，然后将13a=代入并验证，即可得出结果；（2）本题可通过裂项相消法求出nT.【小问1详解】当2n时，()()

()11221nnnnaaaaaa−−−−+−++−()()()()2841218481212442nnnnn−+−=−+−++==−，即2144naan−=−，则241=−nan，当1n=时

，13a=，满足241=−nan，综上所述，当*nN时，241=−nan.【小问2详解】因为241=−nan，所以2111114122121nannn==−−−+，则111111111121335212122121nnTnnnn

=−+−++−=−=−+++.20.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，求异面直线PD和EF所成的角的正切值.

（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PEAF⊥；【答案】（1）异面直线PD和EF所成的角的正切值为12；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知DPC为异面直线PD和EF所成的角或其补角，解三

角形结合同角三角函数的基本关系即可得到答案（2）先证明AF⊥平面PBC，而PE平面PBC，从而无论点E在BC边的何处，都有PEAF⊥【详解】（1）因为E为BC的中点，F是PB的中点，所以EFPC∥，DPC为异面直线PD和EF所成的角或其补角由题意可知2,1,5PDDC

PC===，故22245125cos25225PDPCDCDPCPDPC+−+−===，5sin5DPC=，1tan2DPC=所以异面直线PD和EF所成的角的正切值为12；（2）因为PA⊥底面ABCD，所以PADA⊥，又DAAB⊥，PAABA=，所以DA⊥平面PAB，又DAB

C，所以BC⊥平面PAB，而AF平面PAB，所以FABC⊥，又在等腰三角形PAB中，中线FAPB⊥，PBBCB=,所以AF⊥平面PBC，而PE平面PBC，所以无论点E在BC边的何处，都有PEAF⊥21.ABC内

角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知()coscosbcaBC+=+．（1）求A；（2）若a，b，c成等差数列，求sinsinBC+．【答案】（1）π2A=（2）7sinsin5BC+=【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式

整理得()cossinsin0ACB+=，即可得到cos0A=，即可得解；（2）由（1）可得sinbBa=，sincCa=，再根据等差中项的性质及勾股定理得到方程组，解得ba，ca，即可得解.【小问1详解】解：因为()cosc

osbcaBC+=+，由正弦定理得()sinsinsincoscosBCABC+=+,因为A，B，C为ABC的内角，所以()()sinsinsincossincosACABABAC+++=+，所以sincoscossinsincoscossinsinco

ssincosACACABABABAC+++=+，所以cossincossin0ACAB+=，即()cossinsin0ACB+=，由题意知sin0B，sin0C，所以cos0A=，又()0,A，所以π2A=．【小问2详解】解：由（1）知sinb

Ba=，sincCa=,因为a，b，c成等差数列，所以2acb+=，则21cbaa+=①，又π2A=，所以222bca+=，即221bcaa+=②，联立①②得45ba=，35ca=，所以7sinsin5BC+=．22.已知数列na中，11a=，()()1134nnaa+

−+=−．（1）证明数列11na+为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）若()2121nnnbna−=+，求数列nb的前n项和nT；（3）若存在*Nn，使得()()()()21233333n

aaaakn++++LL成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）证明见解析；()*2Nnnann−=（2）()1122nnTn+=−+（3）)3,+【解析】【分析】（1）依题意可得()12113nnnaaa+++=+，再两边取倒数整理得11

11112nnaa+=+++，即可得到数列11na+表示首项为12，公差为12的等差数列，再根据等差数列的通项公式求出11na+，即可得解；（2）由（1）可得2nnbn=，再利用错位相减法求和即可；（3）由（1）可得()213nn

an++=，利用累乘法求出()()()()1233333naaaa++++LL，则问题转化为存在*Nn，使()212nnkn+成立，令()212nnncn+=，利用作差法说明单调性，求出nc的最小值，

即可求出参数的取值范围.小问1详解】解：因为()()1134nnaa+−+=−，可得1413nnaa+−−=+【可得()12141233nnnnaaaa++−+=+=++，所以()11211112112nnnnaaaa+++==++++即1111112n

naa+−=++又因为11a=，可得11112a=+，所以数列11na+表示首项为12，公差为12的等差数列，所以()11111222nnna=+−=+，所以2nnan−=.【小问2详解】解：因为2nn

an−=，所以()2121221212nnnnnnbnnnna−−−=+=+=，故1231222322nnTn=++++①，所以234121222322nnTn+=+++

+②，两式相减可得()1231121222222212nnnnnTnn++−−=++++−=−−，所以()1122nnTn+=−+；【小问3详解】解：由2nnan−=，可得()21233nnnann+−+=+

=，则()()()()()12323413333212123nnnnaaaann+++++==+LLL，存*Nn，使得()()()()21233333naaaakn++++LL成立，即存在*Nn

，使()212nnkn+成立，即存在*Nn，使()212nnkn+成立，设()212nnncn+=，则()()()()()32112222231221211nnnnnnnnnnccnnnn+++−−++−=−=++，令

()3231gnnnn=+−−，在当1n=时，()120g=−，即12cc，当2n时，()()()22310gnnnn=−+−，即23nccc，当2n=时，可得()22221232c+==，即

nc的最小值为3，所以3k，即实数k的取值范围)3,+．