【文档说明】江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题.docx，共(23)页，554.757 KB，由小赞的店铺上传

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考作上对应题⽬的答案标号涂⿊南昌⼗中2023-2024学年上学期期中考试⾼⼆数学试题命题⼈：⻩荣审题⼈：程丽军说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分.试⽤时120.分钟注意事项：考⽣在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.答题

前，请您务必将⾃⼰的姓名､考试证号⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答⾮选择题必须⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答⼀律⽆效.2B.答选择题必须⽤铅笔把答题卡如需改动，请⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案

，请保持卡⾯清洁和答题纸清洁，不折叠､不破损.3.考试结束后，答题纸交回.⼀､单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分，在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.点到直线的距离等于（）A.B.C.D.2.抛物线的准线⽅程为（）A.B.C.D.3.的展开式中，项

的系数是（）2856C.28D.－4.“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知椭圆的⼀个焦点和⼀个顶点在直线上，则该椭圆的标准⽅程为（）､在A.

B.C.D.6.如图，已知两点，从点射出光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（）A.B.C.D.7.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线⻓的最⼩值是（）A.B.C.D.8.直线

经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到的距离为其短轴⻓的，则该椭圆的离⼼率为（）A.B.C.D.⼆多选题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.每个⼩题给出的四个选项中，可能有多个选项符合题⽬要求的.9.

下列说法中，正确的有（）A.直线在轴上的截距为1B.直线倾斜⻆为C.D.10.A.直线必过定点过点在和轴上的截距相等的直线只有圆和圆的交点为公共弦所在直线⽅程为，，则（）同个､为B.线段中垂线⽅程为C.公共弦的⻓为D.两圆圆⼼距11.已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意⼀点，则（）A.B.双曲线

的渐近线⽅程为C.D.双曲线的离⼼率为12.下列说法不正确的是（）A..椭圆的离⼼率是B.双曲线与椭圆的焦点相.C.、为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满⾜D.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有且仅有⼀.⼆填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共2

0分.13.上的点到其焦点的距离为3则.若抛物线，14已知直线与椭圆交于两点，则.15.5现有种不同颜⾊的染料，要对如图中的四个不同区域进⾏着⾊，要求有公共边的两块区域不能使⽤同）．⼀种颜⾊，则不同的着⾊⽅法的种数是（⽤数字作答16.已知平⾯上两点和，若直线上存在点使，则称该直线“单曲型”）直线，

“单曲型直线的是（填序号.解①；②；③；④三､解答题：本⼤题共6⼩题，共70分..､.答应写出⽂字说明证明过程或演算步骤1：；17.（2）计算：.（）求值18.6位同学报名参加.2022年杭州亚运会4个不同的项⽬（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项⽬16⼀排拍照，

如果甲⼄两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队⽅式有多（）位同学站成少种？2个项⽬⾄少需要⼀名志愿者，求⼀共有多少种不同报名⽅式？（）若每3个项⽬只招⼀名志愿者，且同学甲不参加项⽬，同学⼄不参加

项⽬，求⼀共有多少种不同录（）若每⽤⽅式？19.已知圆⼼为的圆经过点和，且圆⼼在直线，求：1：（）求圆⼼为的圆的标准⽅程2，过点的最⻓弦和最短弦分别为和，求四边形的⾯积（）设点在圆内20.1双曲线：的渐近线⽅程为，⼀个焦点到该

渐近线的距离为1.；（）求的⽅程2，经过点且与双曲线于A两点，为线段的中点，若存在，求的（）是否存在直线，.⽅程；若不存在，说明理由21.已知椭圆的两个焦点与短轴的⼀个端点是直⻆三⻆形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.1；（）求椭圆的标准⽅程2，证明：.（22.）设直线、的斜

率分别为、已知抛物线：的焦点为；1；（）求抛物线的⽅程2上，线段的中点为，求点的轨迹⽅程；（）若动点在抛物线3两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线（）过点作.于，两点，且点，分别为线段，

的中点，求的⾯积的最⼩值考作上对应题⽬的答案标号涂⿊南昌⼗中2023-2024学年上学期期中考试⾼⼆数学试题命题⼈：⻩荣审题⼈：程丽军说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分.试⽤时120.分钟注意事项：考⽣在答题前请认

真阅读本注意事项及各题答题要求.1.答题前，请您务必将⾃⼰的姓名､考试证号⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答⾮选择题必须⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔写在答题纸上的指定位置，在其

它位置作答⼀律⽆效.2B.答选择题必须⽤铅笔把答题卡如需改动，请⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案，请保持卡⾯清洁和答题纸清洁，不折叠､不破损.3.考试结束后，答题纸交回.⼀､单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分，在每个⼩题

给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.点到直线的距离等于（）A.B.C.D.C【答案】【解析】.【分析】直接利⽤点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线的距离等于C故选：2.（）抛物线的准线⽅程为A.B.C.D.B【答案】，即可求出，从⽽求出其准线⽅.【分析

】将抛物线⽅程写成标准式程【详解】抛物线，即，所以，解得，则抛物线的准线为B故选：3..，项的系数是（）A【答案】的展开式中56C.28D.28－【解析】.【分析】结合⼆项式展开式的通项公式求得正确答案【详解】依题意，.所以的系数是A故选：4.“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分

⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件AD.既不充分也不必要条件【答案】【解析】.【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从⽽结合充分条件与必要条件的概念判断结论【详解】当直线和直线垂直时，有，即，解得或，所以“”是“直线和直线垂直”的充分⽽不必要条件，A.故选：5.已

知椭圆的⼀个焦点和⼀个顶点在直线上，则该椭圆的标准⽅程为（）A.B.C.D.AD【答案】【分析】求出直线的两截距，注意区分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点在轴上即可解答.【详解】由题直线的横截距为2，纵截距为当椭圆焦点在轴上时，，则，此时椭

圆的标准⽅程为；当椭圆焦点在轴上时，，则，.此时椭圆的标准⽅程为AD.故选：6.如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（）A.B.C.D.B【答案】

【解析】.【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程⻓【详解】易知直线的⽅程为，设点关于直线的对称点，则且，解得，即，⼜点关于轴的对称点，，所以光线所经过的路程⻓为.B.故选：7.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线⻓的

最⼩值是（）A.B.C.D.A【答案】【解析】【分析】根据切线⻓，半径以及圆⼼到点的距离的关系，求得圆⼼到直线的距离，再求切线⻓距离的最.⼩值即可【详解】圆，其圆⼼为，半径，则到直线的距离；设切线⻓，则，若最⼩，则取

得最⼩值，显然最⼩值为，故的最⼩值为，即切线⻓的最⼩值为.A.故选：8.直线经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到的距离为其短轴⻓的，则该椭圆的离⼼率为（）A.B.C.D.C【答案】【解析】【分析】得:，求出直线的⽅程，利⽤已知条件列出⽅

程，即可求解椭圆的离⼼分析设出椭圆的⽅程.率::，直线经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，【详解】解设椭圆的⽅程为:,，则直线⽅程为椭圆中⼼到的距离为其短轴⻓的可:，，，:C.故选､：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.每个⼩题给出的四个选项中，可能有⼆多选题在多个选项符合题⽬要求的.9.下列说法中，

正确的有（）A.直线在轴上的截距为1B.直线的倾斜⻆为C.直线必过定点D.过点在和轴上的截距相等的直线只有AC【答案】【解析】.【分析】利⽤直线的相关知识，逐个选项分析即可【详解】对于A选项，当时，，故正

确；对于B选项，易知斜率为，故倾斜⻆为，故错误；对于C选项，过定点需要和变量⽆关，令，解得即可，故正确；对于D选项，这样的直线还有，举反例即可，故错误.AC故选：10.圆和圆的交点为，，则（）A.公共

弦所在直线的⽅程为B.线段中垂线的⽅程为C.公共弦的⻓为D.两圆圆⼼距ABD【答案】【解析】【分析】把两圆⽅程相减得到公共弦所在直线的⽅程，即可得到选项A再把两圆分别化成标准⽅程，得到圆⼼和半径，两圆⼼所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项B；利⽤⼀个圆的圆⼼到直线

的距离进⽽求出弦的⻓，验证选项C；两圆⼼的距离即可得到选项D.；【详解】①，②，⽤①减去②即得到公共弦所在直线的⽅程为，故A正确；把圆化为标准⽅程得，圆⼼为，半径为，把圆化为标准⽅程为，圆⼼为，，线段中垂线即为圆⼼与圆⼼两点构成的直线为，

故B正确；圆⼼到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的⻓为，故C错误；.圆⼼到圆⼼的距离，故D正确ABD.故选：11.已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意⼀点，则（）A.B.双曲线的渐近线⽅程为C.D.双曲线的离⼼率为CD【答案】【解析】同个A，对于B，根据焦点位置即可

判断，对于C，直接计算即可，对于D因【分析】对于，⽤定义即可判断，为为的中点，所以，设可求出的取值范围，即可判断【详解】双曲线：焦点在轴上，，，对于A选项，，⽽点在哪⽀上并不确定，故A错误对于B选项，焦点在轴上双曲线渐近线⽅程为，故B错误对于C选项，，故C正确对于D选项

，设，则（时取等号）因为为的中点，所以，故D正确CD故选：12.下列说法不正确的是（）A..椭圆的离⼼率是B.双曲线与椭圆的焦点相.C.、为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满⾜D.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛

物线有且仅有⼀.CD【答案】【解析】A；对于B，根据双曲⽅程和椭圆⽅程求出对应的焦【分析】对于，根据椭圆⽅程求出离⼼率直接判断即可点坐标即可判断；对于C求出使得的点应满⾜的条件，结合椭圆的⼏何性质判断即可

；对，于，分焦点位置.D不同，设抛物线的⽅程，代点求解即可判断【详解】对于A，椭圆，即，则，，两条，故错､，求参数即可.且.所以，则椭圆离⼼率为，故A错误；B对于，双曲线，即，则其焦点为，，⽽椭圆的焦点为，，

故B正确；C对于，椭圆，则，，即，所以，，则，要使，则，即，即点的纵坐标为2或即可，⽽椭圆上的点纵坐标取值范围为，则不存在点满⾜，故C错误；D，当抛物线焦点在轴上时，设抛物线⽅程为，对于，由题意由，解得，则抛物线⽅程为.当抛物线焦点在轴上时，设抛物线⽅程

为，则，解得，则抛物线⽅程为，D.所以满⾜条件的抛物线有误CD.故选：⼆填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13.上的点到其焦点的距离为3则.若抛物线，2【答案】【解析】【分析】根据抛物线⽅程及抛物线定义有【详解】由题设及抛物线定义知：故答案：1

4.已知直线与椭圆交于两点，则.，##【答案】【解析】.【分析】联⽴直线和椭圆⽅程，得到两根之和，两根之积，利⽤弦⻓公式求出答案【详解】联⽴与，得，设，则，.故故答案为：15.5现有种不同颜⾊的染料，要对如图中的四个不同区域进⾏着⾊，要求有公共边的两块区域不能使⽤同）．⼀种颜⾊，则

不同的着⾊⽅法的种数是（⽤数字作答260【答案】【解析】【详解】试题分析：可分步研究涂⾊的种数，从A处开始，再涂B处，C处时进⾏分类，分AC相同与不同两类，由计数原理计算出不同的着⾊结果数选出正确选项．解：由题意，先涂A处，有5种涂法，B

4再涂处种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着⾊⽅案有5×4×1×4+3×3=260，故填写260（）考点：计数原理的应⽤“两块区域不能使⽤同⼀种颜⾊，根据情况对点评：本题考查计数原理的应⽤，解题的关键是理解公共边的”C处

涂⾊进⾏分类，这是正确计数，不重不漏的保证“16.已知平⾯上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为单曲型”）直线，“单曲型直线的是（填序号.，种、为焦点解.①；②；③；④【答案】①②【解析】【分析】根据双曲线定义，可得点的轨迹是以MN，的双曲线的右⽀，由此计算双曲线的⽅程为，再分别判断双曲线

与四条直线的位置关系，可得只有①②表示的直线上存在“”.点，满⾜单曲型直线的条件【详解】因为，点满⾜，MN所以点轨迹是以、为焦点，的双曲线的右⽀，可得，双曲线的⽅程为，双曲线的渐近线⽅程为，所以直线与双曲线没

有公共点；直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点；⽽直线与直线与双曲线有交点，因此与直线上存在点使，“”，只有①②正确.满⾜单曲型直线的条件故答案为：①②三､解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.､.答应写出⽂字说明证明过程或演算步骤1：

；17.（2）计算：.（）求值1；（）或【答案】（）2【解析】1；【分析】（2）根据排列数公式计算可得，再代⼊计算可得（）根据组合数的定义求出的值.1；【详解】（2）：，解得，⼜，（）由组合数的定义知.或当

时；.当时.所以的值为或18.6位同学报名参加.2022年杭州亚运会4个不同的项⽬（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项⽬16⼀排拍照，如果甲⼄两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队⽅式有多（）位同学站成少种？2个项⽬⾄少需要⼀名志愿者，求⼀

共有多少种不同报名⽅式？（）若每3个项⽬只招⼀名志愿者，且同学甲不参加项⽬，同学⼄不参加项⽬，求⼀共有多少种不同录（）若每⽤⽅式？1144（）560【答案】（）213252（）【解析】1144；【分析

】（）利⽤捆绑法和插空法进⾏排列计算即可得共有种264，再根据题意进⾏排列计算即可得出结果；（）先将位同学分成组3，再减去不符合题意的⽅式即可得出答案.（）先计算出所有的录⽤⽅式1【⼩问详解】根据题意先把甲⼄看成整体，与除了甲、⼄、丙、丁之外的两⼈进⾏排列，再把丙丁插空

进⾏排列，.所以共有2【⼩问4详解】，则按⼈数可分为11131和122两种分组⽅式，共有先分为组，，，，，，种；根据题意減去种最短弦垂直于，故四边形的⾯积为.再分到4个项⽬，即可得共有；3【⼩问详解】先考虑全部，则共有种排列⽅式，其中甲参加项⽬共有种，同学⼄参加项

⽬共有种；甲参加项⽬同时⼄参加项⽬共有种，不满⾜题意的情况共有.19.1已知圆⼼为的圆经过点和：，且圆⼼在直线，求：（）求圆⼼为的圆的标准⽅程2，过点的最⻓弦和最短弦分别为和，求四边形的⾯积（）设点在圆内1【答案】（）2.（）【解析】1上的

点和圆⼼所在的直线求圆的⽅程；【分析】（）根据圆（）根据最⻓的弦为直径.1【⼩问详解】圆⼼在直线上，则，则有故圆⼼为，半径，故圆⼼为的圆的标准⽅程为2，解得，【⼩问详解】由圆的性质，过点的最⻓弦过圆⼼，即为直径，.，由垂径定理

得20.1双曲线：的渐近线⽅程为，⼀个焦点到该渐近线的距离为1.；（）求的⽅程2，经过点且与双曲线于A两点，为线段的中点，若存在，求的（）是否存在直线，.⽅程；若不存在，说明理由1【答案】（）2，.（）存在【解析】1；【分析】（2）利⽤双曲线的性质及点到直线距离公

式计算即可（）利⽤点差法计算即可.1【⼩问详解】令，所以，⼜由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，所以双曲线的标准⽅程为：；2【⼩问详解】假设存在，由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，⼜有，，两式相减得，即

即，所以，解得，所以直线的⽅程为，即，联⽴直线与双曲线⽅程得：，即直线与双曲线有两个交点，满⾜条件，所以存在直线，其⽅程为.21.已知椭圆的两个焦点与短轴的⼀个端点是直⻆三⻆形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.1；（）求椭圆的标准⽅程2，证

明：.（）设直线、的斜率分别为、1【答案】（）2（）证明⻅解析【解析】1，可得出，则椭圆的⽅程可表示为，将点的坐标代【分析】（）分析可得⼊椭圆的⽅程，求出的值，即可得出椭圆的标准⽅程；2，将直线的⽅程与椭圆的⽅程联⽴，列出⻙达定理，利⽤斜率公式（）设点、.结合⻙达定理可证得

结论成⽴1【⼩问详解】解：因为椭圆的两个焦点与短轴的⼀个端点是直⻆三⻆形的三个顶点，则这个直⻆三⻆形为等腰直⻆三⻆形，腰⻓为，斜边⻓为，则，可得，所以，，所以，椭圆⽅程可表示为，将点的坐标代⼊椭圆的⽅程可得，解得，故椭

圆标准⽅程为.2【⼩问详解】解：设点、，联⽴可得，，解得，显然，否则直线过点，由⻙达定理可得，，所以，，因此，.【点睛】⽅法点睛：求定值问题常⻅的⽅法有两种：1，求出定值，再证明这个值与变量⽆关；（）从特殊⼊⼿2，并在计算推理的过程中消去变

量，从⽽得到定值．（22.）直接推理、计算已知抛物线：的焦点为；1；（）求抛物线的⽅程2上，线段的中点为，求点的轨迹⽅程；（）若动点在抛物线3两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线（）过点作.于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的⾯积的最⼩值1【答

案】（）2（）34（）【解析】）解1，得到，进⽽得到抛物线的⽅程；【分析】（）根据题意2，根据题意，结合中点公式，求得，代⼊抛物线的⽅程，即（）设可求得点的轨迹⽅程；3不妨设，得到，联⽴⽅程组，求得和，得出，结合基

本不等式，即可求.1【⼩问详解】解：抛物线：的焦点为，可得，解得，所以抛物线的⽅程为.2【⼩问详解】解：设，因为线段的中点为，可得，即，⼜因为动点在抛物线上，可得，化简得，即点的轨迹⽅程为.3【⼩问详解】解：由题意知，直线的斜率均存在，不妨设，，，，

，则，联⽴⽅程组，整理得，则，即，且，，所以，所以，同理可得：（所以，，所以，当且仅当，即时，等号成⽴，.所以⾯积的最⼩值为【点睛】⽅法技巧：直线与圆锥曲线中的最值与范围问题的求解⽅法：1，充分考虑图形的性质，以及圆锥曲线的⼏何性质，进⾏求解；

、注意题⽬中的⼏何特征2、运⽤函数思想，建⽴⽬标函数，求解最值，在利⽤代数法求解最值和范围问题时，常从以下⼏个⽅⾯考虑：①利⽤判别式来构造不等关系式，从⽽确定参数的取值范围；②利⽤已知参数的范围，求解新参数

的取值范围，解这类问题的核⼼是两个参数之间建⽴等量关系式，进⽽作出求解；③利⽤隐含的不等关建⽴不等式，从⽽求出参数的取值范围；④利⽤已知的不等关系构造不等式，从⽽求出蹿升的取值范围；.⑤利⽤函数的性质，利⽤导数、基本不等式，单调性等⼿段，求得函数的值

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