【文档说明】江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题.pdf，共(23)页，2.963 MB，由小赞的店铺上传

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第1⻚/共5⻚学科⽹（北京）股份有限公司南昌⼗中2023-2024学年上学期期中考试⾼⼆数学试题命题⼈：⻩荣审题⼈：程丽军说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分.考试⽤时120分钟.注意事项：考⽣在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.

1.答题前，请您务必将⾃⼰的姓名､考试证号⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答⾮选择题必须⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答⼀律⽆效.作答选择

题必须⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，请⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案，请保持卡⾯清洁和答题纸清洁，不折叠､不破损.3.考试结束后，答题纸交回.⼀､单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分

，共40分，在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.点到直线的距离等于（）A.B.C.D.2.抛物线的准线⽅程为（）A.B.C.D.3.的展开式中，项的系数是（）A.56B.－56C

.28D.－284.“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知椭圆的⼀个焦点和⼀个顶点在直线上，则该椭圆的标准⽅程为（）第2⻚/共5⻚学科⽹（北

京）股份有限公司A.B.C.D.6.如图，已知两点，从点射出光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（）A.B.C.D.7.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线⻓的最⼩值是（）A.B.C.D.8.直线经过椭圆的

⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到的距离为其短轴⻓的，则该椭圆的离⼼率为（）A.B.C.D.⼆､多选题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.在每个⼩题给出的四个选项中，可能有多个选项符合题⽬要求的.9.下列说法中，正确的有

（）A.直线在轴上的截距为1B.直线倾斜⻆为C.直线必过定点D.过点在和轴上的截距相等的直线只有10.圆和圆的交点为，，则（）A.公共弦所在直线⽅程为第3⻚/共5⻚学科⽹（北京）股份有限公司B.线段中垂线⽅程为C.公共弦的⻓为D.两圆圆⼼距11.已知为双曲线的两个焦点，

为双曲线上任意⼀点，则（）A.B.双曲线的渐近线⽅程为C.双曲线的离⼼率为D.12.下列说法不正确的是（）A.椭圆的离⼼率是.B.双曲线与椭圆的焦点相同.C.、为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满⾜D.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且

经过点的抛物线有且仅有⼀个.⼆､填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13.若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则__________.14已知直线与椭圆交于两点，则__________.15.现有

5种不同颜⾊的染料，要对如图中的四个不同区域进⾏着⾊，要求有公共边的两块区域不能使⽤同⼀种颜⾊，则不同的着⾊⽅法的种数是_____（⽤数字作答）．16.已知平⾯上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是__________（填序号）.第4⻚/共5⻚学科⽹

（北京）股份有限公司①；②；③；④.三､解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）求值：.18.6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项⽬（记为）的志愿者活动，每位

同学恰报1个项⽬.（1）6位同学站成⼀排拍照，如果甲⼄两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队⽅式有多少种？（2）若每个项⽬⾄少需要⼀名志愿者，求⼀共有多少种不同报名⽅式？（3）若每个项⽬只招⼀名志愿者，且同学甲不参加项⽬，同学⼄不参加项⽬，

求⼀共有多少种不同录⽤⽅式？19.已知圆⼼为的圆经过点和，且圆⼼在直线，求：（1）求圆⼼为的圆的标准⽅程：（2）设点在圆内，过点的最⻓弦和最短弦分别为和，求四边形的⾯积20.双曲线：的渐近线⽅程为，⼀个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求的⽅程；（2）是否存在直线，经过

点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的⽅程；若不存在，说明理由.21.已知椭圆的两个焦点与短轴的⼀个端点是直⻆三⻆形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.（1）求椭圆的标准⽅程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.22

.已知抛物线：的焦点为；（1）求抛物线的⽅程；（2）若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹⽅程；第5⻚/共5⻚学科⽹（北京）股份有限公司（3）过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的⾯积的最⼩值.第1

⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司南昌⼗中2023-2024学年上学期期中考试⾼⼆数学试题命题⼈：⻩荣审题⼈：程丽军说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分.考试⽤时120分钟.注意事项：考⽣在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.答题前，请您务

必将⾃⼰的姓名､考试证号⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔填写在答题卡和答题纸上.2.作答⾮选择题必须⽤书写⿊⾊字迹的0.5毫⽶签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答⼀律⽆效.作答选择题必须⽤2B铅笔把答题卡上对

应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，请⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案，请保持卡⾯清洁和答题纸清洁，不折叠､不破损.3.考试结束后，答题纸交回.⼀､单选题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分，在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.点到直线的

距离等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利⽤点到直线的距离公式求解即可.【详解】点到直线的距离等于.故选：C2.抛物线的准线⽅程为（）A.B.C.D.【答案】B第2⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司【解析】【分析】将抛物线⽅程写成标准式，即可求出，

从⽽求出其准线⽅程.【详解】抛物线，即，所以，解得，则抛物线的准线为.故选：B3.的展开式中，项的系数是（）A.56B.－56C.28D.－28【答案】A【解析】【分析】结合⼆项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，所以的系数是.故选：A4.“”是“直

线和直线垂直”的（）A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从⽽结合充分条件与必要条件的概念判断结论.【详解】当直线和直线垂直时，有，即，解得或，所以“”是“直线和直线垂直”的充分⽽不必要条

件，故选：A.5.已知椭圆的⼀个焦点和⼀个顶点在直线上，则该椭圆的标准⽅程为（）A.B.C.D.【答案】AD第3⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司【解析】【分析】求出直线的两截距，注意区分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点

在轴上即可解答.【详解】由题直线的横截距为2，纵截距为，当椭圆焦点在轴上时，，则，此时椭圆的标准⽅程为；当椭圆焦点在轴上时，，则，此时椭圆的标准⽅程为.故选：AD.6.如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，

则光线所经过的路程等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程⻓.【详解】易知直线的⽅程为，设点关于直线的对称点，则且，解得，即，⼜点关于轴的对称点，第4

⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司由光的反射规律可知，共线，共线，从⽽共线，所以光线所经过的路程⻓为.故选：B.7.已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线⻓的最⼩值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据切线⻓

，半径以及圆⼼到点的距离的关系，求得圆⼼到直线的距离，再求切线⻓距离的最⼩值即可.【详解】圆，其圆⼼为，半径，则到直线的距离；设切线⻓，则，若最⼩，则取得最⼩值，显然最⼩值为，故的最⼩值为，即切线⻓的最⼩值为.故选：A.8.直

线经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，若椭圆中⼼到的距离为其短轴⻓的，则该椭圆的离⼼率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】第5⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司分析:设出椭圆的⽅程，求出直线的⽅程，利⽤已知条件列出⽅程，即可求解椭圆的离⼼率.【详解

】解:设椭圆的⽅程为:，直线经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点，则直线⽅程为:,椭圆中⼼到的距离为其短轴⻓的，可得:，，，故选:C.⼆､多选题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.在每个⼩题给出的四个选项中，可能

有多个选项符合题⽬要求的.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在轴上的截距为1B.直线的倾斜⻆为C.直线必过定点D.过点在和轴上的截距相等的直线只有【答案】AC【解析】【分析】利⽤直线的相关知识，逐个选项分析即可.【详解】对于A选项，当时，，故正确；对于B选项，易知斜率为，故倾斜⻆

为，故错误；对于C选项，过定点需要和变量⽆关，令，解得即可，故正确；对于D选项，这样的直线还有，举反例即可，故错误.故选：AC10.圆和圆的交点为，，则（）第6⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司A.公共弦所在直线的⽅程为B.线段中垂线的⽅程为C.公共弦的⻓为D.两圆圆⼼距【答案】ABD【解析

】【分析】把两圆⽅程相减得到公共弦所在直线的⽅程，即可得到选项A；再把两圆分别化成标准⽅程，得到圆⼼和半径，两圆⼼所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项B；利⽤⼀个圆的圆⼼到直线的距离进⽽求出弦的⻓，验证选项C；两圆⼼的距离即可得到选项D.【详解】①，②，⽤①减去②即得到

公共弦所在直线的⽅程为，故A正确；把圆化为标准⽅程得，圆⼼为，半径为，把圆化为标准⽅程为，圆⼼为，，线段中垂线即为圆⼼与圆⼼两点构成的直线为，故B正确；圆⼼到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的⻓为，故C错误；圆⼼到圆⼼的距离，故D正确.故选：ABD.11.已知为双曲线的两个焦点，为双曲线

上任意⼀点，则（）A.B.双曲线的渐近线⽅程为C.双曲线的离⼼率为D.【答案】CD【解析】第7⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司【分析】对于A，⽤定义即可判断，对于B，根据焦点位置即可判断，对于C，直接计算即可，对于D

，因为为的中点，所以，设可求出的取值范围，即可判断【详解】双曲线：焦点在轴上，，，对于A选项，，⽽点在哪⽀上并不确定，故A错误对于B选项，焦点在轴上双曲线渐近线⽅程为，故B错误对于C选项，，故C正确对于D选项，设，则（时

取等号）因为为的中点，所以，故D正确故选：CD12.下列说法不正确的是（）A.椭圆的离⼼率是.B.双曲线与椭圆的焦点相同.C.、为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满⾜D.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有且仅有⼀个.【答案】CD【

解析】【分析】对于A，根据椭圆⽅程求出离⼼率直接判断即可；对于B，根据双曲⽅程和椭圆⽅程求出对应的焦点坐标即可判断；对于C，求出使得的点应满⾜的条件，结合椭圆的⼏何性质判断即可；对于D，分焦点位置不同，设抛物线的⽅程，代点求解即可判断.【详解】对于A，椭圆，即，

则，，第8⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司所以，则椭圆离⼼率为，故A错误；对于B，双曲线，即，则其焦点为，，⽽椭圆的焦点为，，故B正确；对于C，椭圆，则，，即，所以，，则，要使，则，即，即点的纵坐标为2或即可，⽽椭圆上的点

纵坐标取值范围为，则不存在点满⾜，故C错误；对于D，由题意，当抛物线焦点在轴上时，设抛物线⽅程为，由，解得，则抛物线⽅程为.当抛物线焦点在轴上时，设抛物线⽅程为，则，解得，则抛物线⽅程为，所以满⾜条件的抛物线有两条，故D错误.故选：CD.⼆､填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5

分，共20分.13.若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线⽅程及抛物线定义有，求参数即可.【详解】由题设及抛物线定义知：且.故答案：14.已知直线与椭圆交于两点，

则__________.第9⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司【答案】##【解析】【分析】联⽴直线和椭圆⽅程，得到两根之和，两根之积，利⽤弦⻓公式求出答案.【详解】联⽴与，得，设，则，故.故答案为：15.现有5种不同颜⾊的染料，要对如图中的四个不同区域进⾏着⾊，要求有公共边的两块区域

不能使⽤同⼀种颜⾊，则不同的着⾊⽅法的种数是_____（⽤数字作答）．【答案】260【解析】【详解】试题分析：可分步研究涂⾊的种数，从A处开始，再涂B处，C处时进⾏分类，分A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着

⾊结果数选出正确选项．解：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着⾊⽅案有5×4×（1×4+3×3）=260种，故填写260考点：计数原理的应⽤点评：本题考查计数原理的应⽤，解题的关键

是理解“公共边的两块区域不能使⽤同⼀种颜⾊，”根据情况对C处涂⾊进⾏分类，这是正确计数，不重不漏的保证16.已知平⾯上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是__________（填

序号）.第10⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司①；②；③；④.【答案】①②【解析】【分析】根据双曲线定义，可得点的轨迹是以M、N为焦点，的双曲线的右⽀，由此计算双曲线的⽅程为，再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②表示的直

线上存在点，满⾜“单曲型直线”的条件.【详解】因为，点满⾜，所以点轨迹是以M、N为焦点，的双曲线的右⽀，可得，双曲线的⽅程为，双曲线的渐近线⽅程为，所以直线与双曲线没有公共点；直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点；⽽直线与直线与双曲线有交点，

因此与直线上存在点使，满⾜“单曲型直线”的条件，只有①②正确.故答案为：①②三､解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）求值：.【答案】（1）；（2）或【解析】

【分析】（1）根据排列数公式计算可得；（2）根据组合数的定义求出的值，再代⼊计算可得.第11⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司【详解】（1）；（2）由组合数的定义知：，解得，⼜，或.当时；当时.所以的值为或.18.6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项

⽬（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项⽬.（1）6位同学站成⼀排拍照，如果甲⼄两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队⽅式有多少种？（2）若每个项⽬⾄少需要⼀名志愿者，求⼀共有多少种不同报名⽅式？（3）若每个项⽬只招⼀名志愿者，且同学甲不参加项⽬，同学⼄不参加项⽬，求⼀

共有多少种不同录⽤⽅式？【答案】（1）144（2）1560（3）252【解析】【分析】（1）利⽤捆绑法和插空法进⾏排列计算即可得共有144种；（2）先将6位同学分成4组，再根据题意进⾏排列计算即可得出结果；（3）先计算

出所有的录⽤⽅式，再减去不符合题意的⽅式即可得出答案.【⼩问1详解】根据题意先把甲⼄看成整体，与除了甲、⼄、丙、丁之外的两⼈进⾏排列，再把丙丁插空进⾏排列，所以共有.【⼩问2详解】先分为4组，则按⼈数可分为1，1，1，3和1，

1，2，2两种分组⽅式，共有种；第12⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司再分到4个项⽬，即可得共有；【⼩问3详解】先考虑全部，则共有种排列⽅式，其中甲参加项⽬共有种，同学⼄参加项⽬共有种；甲参加项⽬同时⼄参加项⽬共有种，根据题意

減去不满⾜题意的情况共有种.19.已知圆⼼为的圆经过点和，且圆⼼在直线，求：（1）求圆⼼为的圆的标准⽅程：（2）设点在圆内，过点的最⻓弦和最短弦分别为和，求四边形的⾯积【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据圆上的点和圆⼼所在的直线

求圆的⽅程；（2）根据最⻓的弦为直径，最短的弦与最⻓的弦垂直求解.【⼩问1详解】圆⼼在直线上，则，则有，解得，故圆⼼为，半径，故圆⼼为的圆的标准⽅程为【⼩问2详解】由圆的性质，过点的最⻓弦过圆⼼，即为直径，.最短弦垂直于，由垂径定理得，故四边形的⾯积为.第

13⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司20.双曲线：的渐近线⽅程为，⼀个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求的⽅程；（2）是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的⽅程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【

分析】（1）利⽤双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；（2）利⽤点差法计算即可.【⼩问1详解】令，所以，⼜由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，所以双曲线的标准⽅程为：；【⼩问2详解】假设存在，由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜

率为，则，，⼜有，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的⽅程为，即，联⽴直线与双曲线⽅程得：第14⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司，即直线与双曲线有两个交点，满⾜条件，所以存在直线，其⽅程为.21.已知

椭圆的两个焦点与短轴的⼀个端点是直⻆三⻆形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.（1）求椭圆的标准⽅程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.【答案】（1）（2）证明⻅解析【解析】【分析】（1）分析可得，可得出，则椭圆

的⽅程可表示为，将点的坐标代⼊椭圆的⽅程，求出的值，即可得出椭圆的标准⽅程；（2）设点、，将直线的⽅程与椭圆的⽅程联⽴，列出⻙达定理，利⽤斜率公式结合⻙达定理可证得结论成⽴.【⼩问1详解】解：因为椭圆的两个焦点与短轴的⼀个端点是直⻆三⻆形的三个顶点，则这个直⻆三⻆形为等

腰直⻆三⻆形，腰⻓为，斜边⻓为，则，可得，所以，，所以，椭圆⽅程可表示为，将点的坐标代⼊椭圆的⽅程可得，解得，故椭圆标准⽅程为.【⼩问2详解】解：设点、，联⽴可得，第15⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司，解得，显然，否则直线过点，

由⻙达定理可得，，所以，，因此，.【点睛】⽅法点睛：求定值问题常⻅的⽅法有两种：（1）从特殊⼊⼿，求出定值，再证明这个值与变量⽆关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从⽽得到定值．22.已知抛物线：的焦点为；（1）求

抛物线的⽅程；（2）若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹⽅程；（3）过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的⾯积的最⼩值.【答案】（1）（2）（3）4【解析】第16⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）根据

题意，得到，进⽽得到抛物线的⽅程；（2）设，根据题意，结合中点公式，求得，代⼊抛物线的⽅程，即可求得点的轨迹⽅程；（3）不妨设，得到，联⽴⽅程组，求得和，得出，结合基本不等式，即可求解.【⼩问1详解】解：抛物线：的焦点为，可得，

解得，所以抛物线的⽅程为.【⼩问2详解】解：设，因为线段的中点为，可得，即，⼜因为动点在抛物线上，可得，化简得，即点的轨迹⽅程为.【⼩问3详解】解：由题意知，直线的斜率均存在，不妨设，，，，，则，联⽴⽅程组，整理得，则，即，

且，，所以，所以，同理可得：第17⻚/共17⻚学科⽹（北京）股份有限公司所以，，所以，当且仅当，即时，等号成⽴，所以⾯积的最⼩值为.【点睛】⽅法技巧：直线与圆锥曲线中的最值与范围问题的求解⽅法：1、注意题⽬中的⼏何特征，充分考虑图形的性质，以及圆锥曲线的

⼏何性质，进⾏求解；2、运⽤函数思想，建⽴⽬标函数，求解最值，在利⽤代数法求解最值和范围问题时，常从以下⼏个⽅⾯考虑：①利⽤判别式来构造不等关系式，从⽽确定参数的取值范围；②利⽤已知参数的范围，求解新参数的取值范围，解这类问题的核⼼是两个参

数之间建⽴等量关系式，进⽽作出求解；③利⽤隐含的不等关建⽴不等式，从⽽求出参数的取值范围；④利⽤已知的不等关系构造不等式，从⽽求出蹿升的取值范围；⑤利⽤函数的性质，利⽤导数、基本不等式，单调性等⼿段，求得函数的值域，从⽽得到参数的

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