【文档说明】河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.127 MB，由小赞的店铺上传

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河北省2023届高三年级大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案

标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.1.已知集合1,2,3,4,5,6A=，()2

1log244Bxx=−−，则AB=（）A.3,4,5,6B.35xxC.954xxD.2,3,4,5,6【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算性质和对数函数的单调性解出集合B，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】由21log(24

)4x−−，得14222log2log(24)log2x−−，又函数2logyx=在(0,)+上单调递增，所以142242x−−，解得9104x，即9104Bxx=，又1,2,3,4,6{

}5,A=，所以{3,4,5,6}AB=.故选：A.2.已知函数()322xxxfxk−=+，则“21k=”是“函数()fx是偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案

】B【解析】【分析】当函数()fx为偶函数时，求得1k=−.结合充分条件、必要条件的定义即可判断.【详解】函数3()22xxxfxk−=+的定义域为R，关于原点对称，当函数()fx为偶函数时，()()fxfx=−，即332222xxxxx

xkk−−−=++，整理，得(1)(22)0xxk−++=，由220xx−+，解得1k=−.又21k=，得1k=，所以“21k=”是“函数()fx为偶函数”的必要不充分条件.故选：B.3.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面

圆面积的2倍，若该圆锥的体积为93π，则该圆锥的母线长为（）A3B.33C.6D.63【答案】C【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，根据圆锥侧面积与圆的面积关系可得2lr=，由勾股定理可得3hr=，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】设圆锥的底面圆

半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥侧面展开的扇形面积为πrl，底面圆面积为2πr，因为πrl2=2πr，所以2lr=，得223hlrr=−=，所以圆锥的体积为2211ππ393π33Vrhrr===，解得3r=，所以

6l=，即圆锥的母线长为6.故选：C.4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量AE，BF为基底表示向量AC，则下列结论正确的是（）.A.1355ACAEBF=+B.3455ACAEBF=−C.15ACAEBF=−D

.6255ACAEBF=−【答案】D【解析】【分析】注意到ACABAD=+，后利用,AEBF表示,ABAD，即可得答案.【详解】注意到ACABAD=+.又E为DC中点，则12AEADDEADAB=+=+；F为AD中点，则12BFBAAFADAB=+=−.则15242455BFAEADADBFAE

+==+；15242455AEBFABABAEBF−==−.则6255ACABADAEBF=+=−.故选：D5.已知双曲线C：()222210,0yxabab−=的上焦点为F，点M在C的一条渐近线上，MOF△是面积为3的等边三角形，其中点О为坐标原点，则C

的方程为（）A.22139yx−=B.2213yx−=C.2213xy−=D.221412yx−=【答案】C【解析】【分析】根据MOF△是面积为3的等边三角形可得,MF的坐标，进而根据双曲线基本量间的关系求解即可.

【详解】因为MOF△是面积为3的等边三角形，故2334OF=，即半焦距2cOF==，故M的纵坐标为1，不妨设()3,1M，则M所在的渐近线方程为33yx=，故33ab=，3ba=.又224ab+=，解得21a=，23b=，则C

的方程为2213xy−=.故选：C6.斯特林公式（Stirling'sapproximation）是由英国数学家斯特林提出的一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式，即!2πennnn，其中π为圆周率，e为

自然对数的底数.一般来说，当n很大的时候，n的阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用.斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义.若利用斯特林公式分析100!计算结果，则该结果写成十进制数时的位数约为（）（参考数据：lg2

0.301，lgπ0.497，lge0.434）A.154B.158C.164D.172【答案】B【解析】【分析】求解lg100!，再根据对数公式代入数据化简求解即可.详解】由题意100100100lg100!lg2π100lg102π10

0lgee=+()()11lg2lgπ1002lge2=+++−()()110.3010.49710020.4342+++−10.399156.6157.999158=++=，即lg100

!158，即100!写成十进制数时的位数约为158.故选：B【7.已知数列na为递增的等差数列，nS为数列na的前n项和，1414S=，91018Sa=−，则=（）A.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】【分析】由等差数列的通项公式和前n项求和公式，

结合题意列出方程，整理方程，解之即可.【详解】由题意知，设等差数列{}na的公差为d，则0d，14111413141421322Sadad=+=+=，得12132da−=，911101989936,92Sadadaad=+

=+=+，得11936189adad+=−−，所以21321393618922dddd−−+=−−，整理得545(1)922dd+=+，解得18459(25)92525dddd++===++.故选：D.8.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名

单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为()1212,0,1pppp，且满足1232p

p+=，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若()24EX=，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（）A.26B.30C.32D.36【答案】C【解析】【分析】由题意设甲、乙在某一轮训练中训练过关的

概率为p，求出p的表达式，分析12pp的表达式和范围，令1219,216tppt=，利用换元法和基本不等式计算可得p的最大值，由二项分布，结合数学期望公式计算即可求解.【详解】由题意，设甲、乙在某

一轮训练中训练过关的概率为p，则2212121221122221C(1)C(1)ppppppppp=+−+−222212121212122()333pppppppppp=+−=−，又1232pp+=，所以12113()2pppp=−，由120,1pp，得11

12p，则1211139()2216pppp=−，设1219,216tppt=，则2213333(1)3()24ttptttt+−=−=−=，当且仅当1tt=−即12t=即1212pp=时等号成立，即p的最

大值为34.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，则3(,)4XBn，若()24EX=，则24np=，当p最大时，n最小，则243234n=，即甲、乙两人训练至少32轮.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每题给出的选项中有多项符合要

求，全部选对得5分，错选得0分，部分选对得2分.9.复数i2imz=−，其中05m，设z在复平面内对应点为P，则下列说法正确的是（）A.点P在第一象限B.点P在第二象限C.点P在直线2yx=上D.z的最大值为5【答案】BD【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得2i55mmz=−+，由复

数的几何意义可得2(,)55mmP−、z25m=，结合05m依次判断选项即可.【详解】ii(2+i)2i2i(2i)(2+i)55mmmmz===−+−−，则复数z在复平面内对应的点为2(,)55mmP−，又05m，所以20,055mm−，故点P在第

二象限，故A错误，B正确；将点P代入直线2yx=方程中，等号不成立，所以点P不在该直线上，故C错误；z2222()()555mmm=−+=，当5m=时，z取得最大值5，故D正确.故选：BD.10.已知π6x=是

函数()2cossin2fxxmx=+的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A.32m=−B.()fx的最小正周期为πC.()fx在区间π,π2上单调递增D.将函数()fx的图象向右平移π3个单位，得到函数()gx的图象，则()1cos22gxx=−【答案】BD【解析】【分

析】对A，根据正余弦函数在对称轴处切线斜率为0，结合导数的几何意义判断可判断；对B，得出32m=代入()fx根据三角函数恒等变化与周期公式可得；对C，得出()1sin262πfxx=++，代入π,π2x，结合正弦函数的单调增区间判断即可；对

D，根据三角函数图象平移结合诱导公式判断即可.【详解】对A，由题意，()sin22cos2fxxmx+=−，故πππsin2cos0633fm=−+=，则302m−+=，32m=，故A错误；对B，()23311π1cos

sin2sin2cos2sin2222262fxxxxxx=+=++=++，故()fx的最小正周期为2ππ2=，故B正确；对C，π,π2x时，π7π13π2,666x+，因为7π13π,66不为正弦函数的单调递增

区间，故C错误；对D，()1sin262πfxx=++向右平移π3个单位，得到函数()ππ1π11sin2sin2cos2362222gxxxx=−++=−+=−，故D正确；故选：BD11

.如图，在四边形ABCD中，ACD和ABC是全等三角形，ABAD=，90ABC=，60BAC=，2AB=.下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥.折法①：将ACD沿着AC折起，形成三棱锥1DABC−，如图1；折法②；将ABD△沿着BD折起，形成三棱

锥1ABCD−，如图2.下列说法正确的是（）A.按照折法①，三棱锥1DABC−的外接球表面积恒为16πB.按照折法①，存在1D满足1ABCD⊥C.按照折法②，三棱锥1ABCD−体积的最大值为3D.按照折法②，存在1

A满足1AC⊥平面1ABD，且此时BC与平面1ABD所成线面角正弦值为63【答案】ACD【解析】【分析】利用翻折的性质，结合空间几何体的结构性质，推理计算，依次判断选项即可.【详解】A：由题意，ACDABC，90,60,2ABCBACAB===，则AC的中点O到A，B，C

，D的距离相等，故O为棱锥1DABC−外接球的球心，AC为直径，所以外接球的半径为2，所以该外接球的表面积为24216=，故A正确；B：若1ABCD⊥，且11ADCD⊥，1ABADA=，1,ABAD平面1DAB，则1CD⊥平面1DAB，11CDBD⊥,

这与1CDBC=矛盾，所以不存在1D满足1ABCD⊥，故B错误；当1DAB为等边三角形时，得11BDCD⊥，又11111,BDADDBDAD=、平面1DAB，所以1CD⊥平面1DAB，又AB平面1DAB，所以1CDAB⊥，故B正确；C：当三棱锥1ABCD−的体积最大

时，平面1ABD⊥平面BCD，由已知可得23,BDBCD=为等边三角形，易求点1A到平面BCD的距离为1，所以12113(23)13322ABCDV−==，故C正确；D：当11CAAD⊥时，11CAAB⊥，又11111,BADAABADA=、平面1ABD，所以1CA⊥平面1ABD，则1A

BC即为BC与平面1ABD所成角，由123,2BCAB==，根据勾股定理得122AC=，在1ABC中，11226sin323ACABCBC===，故D正确.故选：ACD.12.已知函数()lnfxxax=−的两个零点分别为1x，2x且12xx，则下列说法正确的

是（）A.10eaB.11exaC.存在实数a，使得212exx=D.若()3331exxax=，则32exx=【答案】AD【解析】【分析】对AB，根据12,xx满足lnxax=，数形结合分析判断即可；对C，先证明对数均值不等式211221lnln2xxxxxx−+−，再化简212e

xx=推导矛盾即可；对D，根据lnxax=有两根12,xx且12exx判断即可.【详解】对A，()ln0fxxax=−=即lnxax=，设ln,yxyax==相切时切点为()00,xy，则对lnyx=求导有1yx=，又切点到原点的斜率与该点处的导

数值相等，则0001yxx=，解得01y=，故切点()e,1，此时1ea=.故当函数()lnfxxax=−有两个零点时，10ea，故A正确；对B，由图象可得，10ex，故B错误；对C，先证明：当120xx时，211221lnln2xxxxxx−+−.构造函

数()()()21ln,11xgxxxx−=−+，则()()()()222114011xgxxxxx−=−=++，故()()21ln1xgxxx−=−+在()1,+上单调递增，又211xx，故()2110xggx=，即2122

1121ln01xxxxxx−−+，化简可得()2121212lnlnxxxxxx−−+，即211221lnln2xxxxxx−+−.又1122lnln0xaxxax−=−=，故21211lnlnxx

xxa−=−，所以1212xxa+，故()122axx+.若212exx=则12lnln2xx+=，即122axax+=，()122axx+=矛盾，故C错误；对D，由题意，ln0xax−=即lnxax=有两根12,xx且12ex

x，令2ln1tx=，则ttae=，又()3331exxax=，故32lntxx==，32exx=.故D正确；故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()1l

naxxbfx=−+在1x=处的切线方程为1yax=−+，则ab+=_________.【答案】1【解析】【分析】根据切点在曲线与切线上，代入1x=求解即可.【详解】()1fb=，故函数()()1ln

axxbfx=−+在1x=处的切点为()1,b，又切点在切线上，故1ba=−+，故1ab+=.故答案为：114.()72213xyxy+−的展开式中82xy的系数为__________.（用数字作答）【答案】84−【解析】【分析】根据题意

，()()()777222221313xyxyxyxyxy=+−+−−，所以只需求()72xy−的展开式中含210xy的项和含83xy的项即可.【详解】由题意得()()()777222221313xyxyxyxyxy=

+−+−−，因为()72xy−的展开式的通项为()()()714212771CCrrrrrrrrTxyxy−−+−==−，令2r=，()2102223710121CxyTxy==−，令3r=，()33838347C135Txyxy=−=−，

所以()41313xx+−的展开式中82xy的系数为()2135384+−=−，故答案为：84−.15.已知锐角，满足sin21tancos211tan−=−+，则()cos+=__________.【答案】

22−【解析】【分析】根据二倍角公式与同角三角函数的关系可得()tan1+=−，进而可得()cos+.【详解】由题意，sin21tancos211tan−=−+，由二倍角公式与同角三角函数的关系可得22sincos1tan2sin1t

an−=−+，即11tantan1tan−−=+，整理可得tantantantan1+=−，故()tantantan11tantan++==−−，又锐角，，故()0,π+，3π4+=故()

3π2coscos42+==−.故答案为：22−16.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，以1F为圆心，12FF为半径的圆与y轴交于A，B两点（A，B两点均在C外），连接1FA，与C交于点P，若220FPFB=，则1AFB=________

；椭圆C的离心率为_________【答案】①.120##2π3②.31−##13−+【解析】【分析】根据题意可得160AFO=，由圆的对称性可得1120AFB=；由向量的数量积为0可得1290FPF=，结合椭圆的定义和离心率的定义即可求解.【详解】在1RtAFO中，11

12,2OFcAFFFc===，则160AFO=.因为1F关于x轴对称，所以1BFO=160AFO=，得1120AFB=，又在1F中，12,ABFF互相垂直平分，所以四边形21AFBF为菱形，得12//PFBF，又220FPFB=，则22F

PFB⊥，得1290FPF=，由122FFc=且160AFO=，得12,3PFcPFc==，由椭圆的定义知1232PFPFcca+=+=，所以椭圆的离心率为23113cea===−+.故答案为：120；31−.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置.17.已知数列na满足：112a=，11311nnnnaaaa+++=+.（1）求证：11na+是等比数列，并求出数列na的通项公式；（2）设13nnnnbaa+=，

求数列nb前n项和nS.【答案】（1）答案见解析（2）1331431nnnS+−=−【解析】【分析】（1）将11311nnnnaaaa+++=+化为11113nnnnaaaa++++=，即可得11na+是等比数列

并求出na的通项公式；（2）由（1）可得()111111231312nnnnnbaa++=−=−−−，后由裂项求和法可得答案.【小问1详解】1111131111131311nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa+

+++++++==+=++，则11na+是以1113a+=为首项，3为公比的等比数列，则113nna+=，即131nna=−.【小问2详解】由（1）可得：的()()11131112313113313nnnnnnnn

nbaa+++==−=−−−−=()112nnaa+−.故nb的前n项和1231nnnSbbbbb−=+++++()()122311111122nnnnnaaaaaaaaaa−++=−+−++−+−=−111113312243131nn

n++−=−=−−.即1331431nnnS+−=−18.在ABC中，内角A，B，C对应的边为a，b，c，ABC的面积为S，若coscos2aBbAa+=.（1）当π3B=时，求A；（2）若角B为ABC的最大内角.从下面①②③中选取两个作为

条件，证明另外一个成立，①222acacb++=；②7b=；③32S=.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）π6A=；（2）答案见详解.【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理、特殊角的三角函数值和辅助角公式化简计算可得π3s

in06A−=，即可求解；（2）分别以①②③中选取2个作为条件，根据正、余弦定理和三角形的面积公式计算，可证得第3个条件成立.【小问1详解】coscos2aBbAa+=，由正弦定理得sincossincos2s

inABBAA+=，当π3B=时，13sincos2sin22AAA+=，得33sincos022AA−=，即π3sin06A−=，又0πA，所以π06A−=，得π6A=；【小问2详解】若选①②为条件.222222acacbacbac++

=+−=−，由余弦定理得2221cos222acbacBacac+−−===−，又0πB，所以2π3B=.由（1）sincossincos2sinABBAA+=，得13sincos2sin22AAA−+=，有3cos5sin0AA=，又22sincos1AA+

=，解得35sin,cos2727AA==.又sincossincos2sinABBAA+=，得3sin()sin2sin7ABCA+===，由正弦定理得sinsinsinabcABC==，即73332277ac==，解得1,2ac==，所以1133sin122222SacB===

，即③成立；若选①③为条件.222222acacbacbac++=+−=−，由余弦定理得2221cos222acbacBacac+−−===−，又0πB，所以2π3B=.由1133sin2222SacBac===，得2ac=.由（1）得sin2sinCA=，由正弦定理得2ca=，解得1,

2ac==，由余弦定理得22212cos14212()72bacacB=+−=+−−=，则7b=，即②成立；若选②③为条件.13sinsin322SacBacB===，由（1）得sin2sinCA=，由正

弦定理得2ca=，所以22sin3aB=.由余弦定理得2222cos,7bacacBb=+−=，即2222744cos(54cos)aaaBaB=+−=−，有222sin3(54cos)7aBaB=−，即

2sin3(54cos)7BB=−，等式两边同时平方，得2244cos120cos1110BB−−=，解得1cos2B=−或121cos122B=.当121cos122B=时，12111222，则π3B，与B为ABC的最大内角矛盾，故1cos2B=−，又由余弦定理得22212()

2bacac=+−−，即222bacac=++，即①成立.19.如图，在三棱柱ADEBCF-中，四边形ABCD为矩形，2ABAD=，四边形CDEF是菱形，60DEF=，点P是AE的中点，点Q在BD上，满足()01BQBD

=.（1）若//PQ平面CDEF，求的值；（2）若AFBD=，23=时，求平面APQ与平面BDF所成角的正弦值.【答案】（1）12（2）368【解析】【分析】（1）根据三角形中中位线的性质，结合线面平行的判定可

得当PQ∥平面CDEF时，Q为BD中点；（2）设2AD=，根据题意可得AD⊥平面CDEF，再以D为坐标原点，,,DGDCDA方向分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，分别求解平面APQ与平面BDF的法向量

，结合空间平面夹角的坐标公式求解即可.【小问1详解】当Q为BD中点时，连接AC，EC，此时易得Q为AC中点，又P为AE中点，则PQ为AEC△中EC边的中位线，故//PQEC.又PQ平面CDEF，EC平面CDEF，故//PQ平面CDEF.故当//PQ平面CDEF时，Q为BD中

点，12=.【小问2详解】设2AD=，则4AB=，则因为四边形ABCD为矩形，故25AFBD==.取EF中点G，由CDEF为菱形且60DEF=可得DEF为正三角形，故4DFDCAB===，且DGEF⊥.故222ADDFAF+=，故ADDF⊥.又

ADDC⊥，,DFDC平面CDEF，DFDCD=，故AD⊥平面CDEF.又,DGDC平面CDEF，故以D为坐标原点，,,DGDCDA方向分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系.此时()0,0,0D，()

0,4,2B，()23,2,0F，()0,0,2A，()3,1,1P−，420,,33Q，故()3,1,1AP=−−，440,,33AQ=−，()0,4,2DB=，()23,2,0DF=.设平面,APQBDF的法向量分别为()()111222,,,,,mxyznx

yz==，则00mAPmAQ==，即111113044033xyzyz−−=−=，即111113xyzyz=+=，设12x=则()2,3,3m=00nDBnDF==，即222

24202320yzxy+=+=，即22222030yzxy+=+=，设21x=则()1,3,23n=−.设平面APQ与平面BDF所成角为，则2236510cos84102331312mnm

n−+====++++，故平面APQ与平面BDF所成角的正弦值为210543618648−==.20.随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为了给所有带货网络

平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图.（1）求m的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数a和中位数；（2）假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间X服从正态分布()2,N，其中近

似为a，2100=.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在()14.4,44.4范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中

，每个平台每卖一件扣除()100010317ss；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励323s元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资

金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）附：若X服从正态分布()2~,XN，则()0.683PX−+=，()220.954PX−+=，()330.997PX−+=.参考

数据：62.45.【答案】（1）0.016m=，34.4a=，中位数为35.625.（2）6824【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1可得m，再根据平均数与中位数的算法求解即可；（2）根据正态分布概

率公式可得所以在时间大于44.4分钟与小于14.4分钟在平台内的数量，进而根据题意可得所需准备的资金表达式，再求导分析最值求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可得()0.00820.0240.0320.004101m++++=，解得0.016m=.故平

均数()100.008100.016200.024300.032400.016500.00460a=+++++()100.080.320.721.280.800.2434.4=++++

+=.设中位数为x，因()0.0080.0160.024100.480.5++=，()0.0080.0160.0240.032100.80.5+++=，故3545x，则()0.48350.0320.5x+−=，解得35.625x=，即中位数为35.625.【小问2详解】由题意，34.

4a==，且14.434.4202=−=−，44.434.410=+=+，故()()()144.410.6830.15852PXPX=+=−=，所以在时间大于44.4分钟的平台内约有100000.15851585=件；()()

()114.4210.9540.0232PXPX=−=−=，所以在时间小于14.4分钟的平台内约有100000.023230=件；则“合格平台”约有1000015852308185−−=件，所以需要资金为331001585230818510500818531723sss

s−++=−+，由于010s，可令()()3105008185010fssss=−+，则()230500fss−=，令()0fs=有563s=，当5603s时()0fs，()fs递减；当56103

s时()0fs，()fs递增；故()fs有最小值56500068185682439f=−，故至少需要准备6824元.21.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.点M为AB的中点，()5,0P，O为坐标原点.（1）若PMAB⊥，求直线l的方程

：（2）设直线AP与C交于另一点D，直线BP与C交于另一点E，求ODE面积的最小值.【答案】（1）1x=或10xy−−=或10xy+−=；（2）250.【解析】【分析】（1）由题意设()()1122:1,,,,lxmyAxyBxy=+，联立抛物线方程，利用韦达定理和中

点坐标公式可得2(21,2)Mmm+，表示出直线MP方程，结合两直线垂直斜率之积为-1，计算即可求解；（2）设123344:5,:5,(,),(,)APBPlxtylxtyDxyExy=+=+，分别联立抛物线方程，利用韦达定理，则22221

12525(,5),(,5)44DyyEyy，表示直线DE方程，联立抛物线方程，再次利用韦达定理可得23320100ymy−=，结合弦长公式与点到直线的距离公式化简计算可得ODE的面积表达式，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意，(1,0)F，若直线l斜率为0，不符合题意.设()()

1122:1,,,,lxmyAxyBxy=+，214xmyyx=+=，消去x得2440ymy−−=，2(4)160m=−+，12124,4yymyy+==−，所以21212()242xxmyym+=++=+，因为M为AB的

中点，所以2(21,2)Mmm+，得2:5(2)0MPlmxmmy−−−=，又:10lxmy−−=，MPAB⊥，所以21[(2)()]0mmm+−−−=，即(1)(1)0mmm−+=，解得0m=或1或1−.所以直线l的方程为1x=或10xy−−=或10x

y+−=；【小问2详解】易知直线AP与BP的斜率不为0，设123344:5,:5,(,),(,)APBPlxtylxtyDxyExy=+=+，1254xtyyx=+=，消去x得214200yty−−=，21(4)800t=−+，131134,20yytyy+=

=−，2254xtyyx=+=，消去x得224200yty−−=，22(4)800t=−+，241244,20yytyy+==−，有32415,5yyyy==，341225100yyyy==−，223322544yxy==，2244

12544yxy==，所以2222112525(,5),(,5)44DyyEyy.因为直线DE与抛物线C有2个交点，其斜率不为0，由22213412342125255544()455544DEyyxxmyymmyyyy−−===+==−−，得33:5()DElxmyyx

=−+，又点33(,)Dxy在抛物线C上，有2334yx=，3323325()2020404xmyyxymymyxyx=−+−+−==，233343433(20)4(204)0,20,204mmyxyymyymyx=−−−+==−，又3

4100yy=−，所以23333204100201000myxymy−=−−−=，即23320100ymy−=，所以222223434343311()414008016DEmyymyyyymmmyx=+−

=++−=+−+()()2222232223333140080414004201400400201mmmyymmymymmm=+−+=++−=++=+，而点O到直线DE的距离为()2333333322222

1152010054254411111ymyymymyxdmmmmm−+−−+=====+++++，所以222112520(1)2501221ODESDEdmmm==+=++，又Rm，则2min(1)

1m+=，所以min()250ODES=，即ODE的面积的最小值为250.【点睛】解答直线与抛物线位置关系题目时，时常联立方程组，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线

方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22.已知函数()()()2e0xfxxax=−−，e为自然对数的底数.（1）讨论函数()fx的极值点个数；（2）当函数()fx存在唯一极值点0x时，求证：

00esin42xaxa+−.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，再令()()e22xgxfxxa==−+，利用导数研究()fx的单调性，根据()fx的极值和(0)12fa=+，讨论a的范围，结合零点存在性定理判断()fx的

零点个数，即可得()fx的极值点个数；（2）由（1）知00e2xax=−，分析法将问题转化为证010sine02xx−−、002e50xx−在0(0,)x+上同时恒成立即可.【小问1详解】令()(

)e22xgxfxxa==−+，则()e2xgx=−，当0ln2x时()0gx，()fx递减，当ln2x时()0gx，()fx递增，所以()(ln2)2(1ln2)fxfa=−+，当2ln21lnea−=，即()0fx在(0,)+

上恒成立，此时无极值点；的当2ln21ln0ea−=，即(ln2)0f，(0)12fa=+，若12ln02ea−时，(0)0f，()22e420fa−+，所以，()fx在()()0,ln2,ln2,2上各有一个零点，即()fx有两个极值

点；若12a−，(0)0f，x趋向正无穷时()fx也趋向正无穷，所以，()fx在(0,)+上有一个零点，即()fx有一个极值点；综上，12a−时()fx有一个极值点；12ln2ea−时()fx有两个极值点；2lnea时()fx无极值点.【小问2详解】由（1）知：()fx

存在唯一极值点0x时12a−，此时000()e220xfxxa=−+=，所以00e2xax=−，要证00esin2xax+，需证0000esine22xxxx−+，即证010sine02xx−−，对于sinyxx=−且,()0x+，则1cos0yx=−，即y在,()0x+

上递增，所以0y，即sinxx在,()0x+上恒成立；对于1exyx−=−且,()0x+，则11exy−=−，在(0,1)上0y，(1,)+上0y，所以y在(0,1)上递增，(1,)+上递减，故0y，即1exx−在,()0x+上恒成立；综上，1esi

nxxx−在,()0x+上恒成立，故010sine02xx−−成立；要证04xa−，即证002e50xx−，令()2e5xhxx=−且,()0x+，则()2e5xhx=−，当5ln2x0时()0hx，即()hx递减；当5ln2x时()0hx，

即()hx递增；所以552e()(ln)5(1ln)5ln0225hxh=−=，即2e50xx−在,()0x+上恒成立，综上，00esin42xaxa+−.【点睛】关键点点睛：第二问，分析法转化证明不等式两侧，结合切

线放缩、导数研究恒成立证结论.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com