【文档说明】新教材2022版数学苏教版必修第一册提升训练：第8章 函数应用 本章达标检测含解析.docx，共(19)页，146.359 KB，由小赞的店铺上传

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本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=log3x+x-3的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.函数f

(x)=2x-2𝑥-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,

在30个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,30)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是()A.

y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx4.设x0是方程log4x+x=7的实数解,若x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n的值为()A.3B.4C.5D.65.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年

全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据:lg1.2≈0.08,lg5≈0.70)()

A.2030年B.2029年C.2028年D.2027年6.在使用二分法计算函数f(x)=lgx+x-2的零点的近似值时,现已知其所在区间为(1,2),若要求近似值精确到0.1,则接下来需要计算区间中点函数值的次数为()A.2B.3C.4D

.57.已知函数f(x)={𝑥2-3,𝑥≥0,-𝑥+1,𝑥<0,若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.(1,4)B.(1,4]C.[1,4)D.[1,4]8.化学平衡是指在一定条件下,可逆反应的正反应速率和逆反应速率相

等时,体系所处的状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs-Helmholtz方程和Van'tHoff方程,可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式:ΔH-TΔS=ΔG=-RTlnK,式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围

内视为定值),ΔS为熵变,R为气体常数.利用上述公式,我们可以处理不同温度下,有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已知当温度为T1时,可逆反应的平衡常数为K1;当温度为T2时,可逆反应的平衡常数为K2,则ln

𝐾1𝐾2=()A.Δ𝐻(𝑇1-𝑇2)𝑅𝑇1𝑇2B.Δ𝐻(𝑇2-𝑇1)𝑅𝑇1𝑇2C.Δ𝑆(𝑇1-𝑇2)𝑅D.Δ𝑆(𝑇2-𝑇1)𝑅二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全

部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是()A.y=2𝑥+1B.𝑦={-𝑥+1,𝑥≥0𝑥+1,𝑥<0C.y=12x2+4x+8D.y=|x|10.给出以下四个结论,其中正确的是()A.若函数y=f(x)

是奇函数,则必有f(0)=0B.函数f(x)=loga(2x-1)+1(其中a>0且a≠1)的图象过定点(1,1)C.定义在R上的奇函数在(0,+∞)上是单调增函数,则在区间(-∞,0]上也是单调增函数D.函

数f(x)={|ln𝑥|,𝑥>0,𝑥+1,𝑥≤0,则方程f(f(x))-12=0有6个不等实根11.已知函数f(x)={𝑘𝑥+1,𝑥≤0,log2𝑥,𝑥>0,k≠0,下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是()A.当k>0时,有3个零点B

.当k<0时,有2个零点C.当k>0时,有4个零点D.当k<0时,有1个零点12.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,且同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在

“和谐区间”的是()A.f(x)=2xB.f(x)=3-2𝑥C.f(x)=x2-2xD.f(x)=lnx+2三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若函数y=f(x)的图象是不间断的,且有如下的对应值表:x123456y-52812-5-10则函数y=f

(x)在x∈(1,6)上的零点至少有个.14.方程ex=10-3x的解x∈(k,k+1),k∈Z,则k=.15.某传染病在流行初期,由于大部分人未感染且无防护措施,所以总感染人数以指数形式增长.假设在该传染病流行初期的感染人数

为P0,且每位已感染者平均一天会传染给r位未感染者的前提下,n天后感染此疾病的总人数Pn可以表示为Pn=P0(1+r)n,其中P0≥1且r>0.已知某种传染病初期符合上述数学模型,且每隔16天感染此病的人数会增加为原来的64倍,则𝑃20𝑃18·𝑃8𝑃5·𝑃12𝑃9的

值是.16.设函数y=f(x)的定义域为R,且满足对任意x∈R,f(x)=f(x+2),当x∈[-1,1)时,f(x)=1-x2.已知函数g(x)={lg|𝑥|,𝑥≠0,1,𝑥=0,则函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10

]内零点的个数为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a的取值范

围.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1<x2),求实数a的取值范围.19.

(本小题满分12分)某公司研发A,B两种芯片,且该公司研发芯片耗费资金2千万元,现在研发成功准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片

的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示.(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式;(2)现在公司准备投入4亿元资金同时

生产A,B两种芯片,求可以获得的最大利润.20.(本小题满分12分)为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验,若每辆电动观光车的日

租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出去的电动观光车就增加2辆.为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后

的所得).(1)求y关于x的解析式及其定义域;(2)当每辆电动观光车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(ex+e-x).(1)判断f(x)的奇偶性,并证明f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)设函数g(x)

=f(ax)-f(x-a),求使函数g(x)有唯一零点的实数a的值;(3)若∀x∈R,不等式e2x+e-2x-2m·ef(x)+6m+2≥0恒成立,求实数m的取值范围.22.(本小题满分12分)已知f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R).(1)设g(

x)=f(x)-a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求实数a的取值范围;(2)设h(x)=log2(𝑏·2𝑥-43𝑏),若f(x)是偶函数,且函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,求实数b的取值范围.答案全

解全析本章达标检测一、单项选择题1.C因为f(x)的图象是一条不间断的曲线,且f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,所以f(x)的零点所在的区间为(2,3).故选C.2.C由题可知f(1)f(2)=(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)

<0,解得0<a<3.故选C.3.D由题图可知,散点图中散点分布在一条曲线附近,当x逐渐增大时,函数值的增长速度越来越慢,故最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是y=a+blnx.故选D.4.C设f(x)=log4x+x-7,易得f(x)为增函数,且其在区间[

5,6]上的图象是不间断的,因为f(5)=log45+5-7=log45-2<0,f(6)=log46+6-7=log46-1>0,且x0是方程log4x+x=7的实数解,所以x0∈(5,6),又x0∈(n,n+1)(n∈N*),所以n=5,故选C.5.B设经过n年后,投入资金为y万元,则y=

2000(1+20%)n.由题意得2000(1+20%)n>10000,即1.2n>5,则n·lg1.2>lg5,所以n>lg5lg1.2≈0.700.08=8.75,因为n∈N*,所以n≥9,即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元.故选B.6.C设函数f(x)的零点

为x1.易得f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,所以x1∈(1.5,2).f(1.75)<0,所以x1∈(1.75,2).f(1.875)>0,所以x1∈(1.75,1.875).f(1.8125)>0,所以x1∈(1.75,1.8125

).因为1.75与1.8125精确到0.1的近似值都为1.8,所以需要计算区间中点函数值的次数为4.7.B当x<0时,f(x)>0,则f(f(x))=f(-x+1)=(-x+1)2-3=x2-2x-2;当0≤x<√3时,f(x)<0,则f(f(x

))=f(x2-3)=-(x2-3)+1=-x2+4;当x≥√3时,f(x)≥0,f(f(x))=f(x2-3)=(x2-3)2-3=x4-6x2+6.∴f(f(x))={𝑥2-2𝑥-2,𝑥<0,-𝑥

2+4,0≤𝑥<√3,𝑥4-6𝑥2+6,𝑥≥√3.当x≥√3时,y=x4-6x2+6=(x2-3)2-3,设t=x2-3,则t≥0.∵t=x2-3在[√3,+∞)上单调递增,y=t2-3在[0,+∞)上单调递增

,∴y=(x2-3)2-3在[√3,+∞)上单调递增,∴ymin=-3.画出函数f(f(x))的图象,函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,等价于y=f(f(x))和y=k的图象有3个不同的交点,观察图象可

得,1<k≤4.故选B.8.A由题意得{Δ𝐻-𝑇1Δ𝑆=-𝑅𝑇1ln𝐾1,Δ𝐻-𝑇2Δ𝑆=-𝑅𝑇2ln𝐾2,所以{Δ𝐻-𝑇1Δ𝑆𝑅𝑇1=-ln𝐾1,Δ𝐻-𝑇2Δ𝑆𝑅

𝑇2=-ln𝐾2,两式相减得Δ𝐻-𝑇2Δ𝑆𝑅𝑇2-Δ𝐻-𝑇1Δ𝑆𝑅𝑇1=lnK1-lnK2,整理得Δ𝐻(𝑇1-𝑇2)𝑅𝑇1𝑇2=ln𝐾1𝐾2.故选A.二、多项选择题9.CD易知选项A,B中函数有零点,且可用二分法求零点

的近似值.对于选项C,y=12x2+4x+8=12(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.故选CD.10.BD对于选项A,由于f(x)的定义域未知,所以f(0)=0不一定成立,A项错误.对于选项B

,令2x-1=1,得x=1,f(1)=1,所以函数图象过定点(1,1),B项正确.对于选项C,例如f(x)={𝑥-1,𝑥>0,0,𝑥=0,𝑥+1,𝑥<0,满足f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,但在区

间(-∞,0]上不是单调增函数,C项错误.对于选项D,令f(x)=t,则f(t)=12,当t≤0时,f(t)=t+1=12,解得t1=-12;当t>0时,f(t)=|lnt|=12,解得t2=1√e,t3=√e.方程f(f(x)

)-12=0的实根个数等价于函数y=f(x)与函数y=t的图象的交点个数.如图.易知y=f(x)与y=t1的图象有一个交点;y=f(x)与y=t2的图象有三个交点;y=f(x)与y=t3的图象有两个交点.所以f(f(x))-12=0有6个不等实根,D项正

确.故选BD.11.CD当k>0时,f(x)={𝑘𝑥+1,𝑥≤0,log2𝑥,𝑥>0的大致图象如图所示.f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1,有f(x)=-2𝑘∈(-∞,0)和f(x)=12两种情况.又f(x)=-2𝑘∈(-∞,0)有两个实数根,f

(x)=12也有两个实数根,所以f(f(x))+1=0有4个实数根,即函数y=f(f(x))+1有4个零点.当k<0时,f(x)={𝑘𝑥+1,𝑥≤0,log2𝑥,𝑥>0的大致图象如图所示.f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1,只有f(x)

=12这一种情况.f(x)=12仅有一个实数根,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.综上,当k>0时,有4个零点;当k<0时,有1个零点.故选CD.12.BD对于A,函数单调递增,若定义域为[m,n],则值域为[2m,2n],故f(x)=2x不存在“和谐区间”.对于B,f(x)=3

-2𝑥为(-∞,0)和(0,+∞)上的增函数,假设f(x)在x∈(0,+∞)上存在“和谐区间”,使得当定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则{𝑓(𝑚)=3-2𝑚=𝑚,𝑓(𝑛)=3-2𝑛=𝑛,𝑚<𝑛,解得{𝑚=1,𝑛=2,故函数存在“和谐区间”.

对于C,f(x)=x2-2x,其图象的对称轴为直线x=1,当x∈(-∞,1)时,函数为减函数,若定义域为[m,n],值域为[m,n],则{𝑓(𝑚)=𝑚2-2𝑚=𝑛,𝑓(𝑛)=𝑛2-2𝑛=𝑚,解得m=n=0,

不满足题意;同理,当x∈(1,+∞)时,应满足{𝑓(𝑚)=𝑚2-2𝑚=𝑚,𝑓(𝑛)=𝑛2-2𝑛=𝑛,解得m=n=3,不满足题意,所以f(x)=x2-2x不存在“和谐区间”.对于D,f(x)=lnx+2为定义域内的增函数,则应满足{𝑓(𝑚)=ln

𝑚+2=𝑚,𝑓(𝑛)=ln𝑛+2=𝑛,令h(x)=lnx,g(x)=x-2,作出h(x),g(x)的图象,如图所示,由图可知,两函数的图象有两个交点,故存在“和谐区间”.故选BD.三、填空题13.答案2解析由题表得f(1)f(2)<0,f(4)f(5)<

0,因为函数y=f(x)的图象是不间断的,所以函数y=f(x)在(1,2)上至少有1个零点,在(4,5)上至少有1个零点,所以函数y=f(x)在x∈(1,6)上的零点至少有2个.14.答案1解析方程ex=10-3x,即e

x+3x-10=0.设f(x)=ex+3x-10,易知函数f(x)在定义域内单调递增,且f(1)=e+3-10<0,f(2)=e2+6-10>0,又x∈(k,k+1),k∈Z,所以k=1.15.答案8解析由题意得𝑃𝑛+16𝑃𝑛=𝑃0(1+𝑟)�

�+16𝑃0(1+𝑟)𝑛=64,化简得(1+r)16=64,所以𝑃20𝑃18·𝑃8𝑃5·𝑃12𝑃9=(1+r)2×(1+r)3×(1+r)3=(1+r)8=8.16.答案14解析函数y=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数即为函

数y=f(x),y=g(x)的图象在区间[-5,10]内的交点个数.在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象,如图,由图可得两个函数图象有14个交点,故函数零点的个数是14.四、解答题17.解析(1)函数f(x)的

图象为开口向上,对称轴为直线x=a的抛物线,所以f(x)在[1,a]上单调递减,(2分)所以{𝑓(1)=𝑎,𝑓(𝑎)=1,即{1-2𝑎+5=𝑎,𝑎2-2𝑎2+5=1,解得a=2.(4分)(2)f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有

零点,即x2-2ax+5=0在[1,3]上有解,即2a=x+5𝑥在[1,3]上有解.(6分)令h(x)=x+5𝑥,因为h(x)=x+5𝑥在[1,√5]上是减函数,在[√5,3]上是增函数,所以2√5≤h(x)≤6,所以2√5≤2a≤6,(8

分)所以√5≤a≤3,即实数a的取值范围为[√5,3].(10分)18.解析(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.(3分)(2)当x∈[-2,2]时

,f(x)=4+4x,令4+4x=0,解得x=-1;(4分)当x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,令2x2+4x-4=0,解得x=-1±√3,∴x=-1-√3.(6分)综上,函数f(x)的零点为-1和-1-√3.(7分)(3)f(x)={𝑎𝑥+4,0<

𝑥≤2,2𝑥2+𝑎𝑥-4,2<𝑥<4.(9分)若x1,x2均在(2,4)内,则x1·x2=-2,不合题意.故x1∈(0,2],x2∈(2,4).由ax1+4=0得a=-4𝑥1,∴a≤-2;由2𝑥22

+ax2-4=0得a=4𝑥2-2x2,∴-7<a<-2.(11分)综上,实数a的取值范围为-7<a<-2.(12分)19.解析(1)因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,所以设y=mx(x>0),

因为每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元,所以14=m×1,所以m=14,(2分)因此对于A芯片,毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y=14x(x>0).(3分)对于B芯片,由题图可知,{1=𝑘,2=𝑘·4𝑎,故{𝑎=12,𝑘=1.(5分)因此对于B芯片,

毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y=√𝑥(x>0).(6分)(2)设对B芯片投入资金x千万元,则对A芯片投入资金(40-x)千万元.假设利润为L千万元,则L=40-𝑥4+√𝑥-2,0<x<40.(8分)令t=√𝑥,t∈

(0,2√10),则L=-14t2+t+8=-14(t-2)2+9,故当t=2,即x=4时,有最大利润,为9千万元.(10分)故当对A芯片投入36千万元,对B芯片投入4千万元时,可以获得最大利润,为9千万元.(12分)20.解析(1)当x≤5时,y=

60x-120,令60x-120>0,得x>2,∵x∈N*,∴3≤x≤5(x∈N*).(2分)当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令-2x2+70x-120>0,即x2-35x+60<0,上述不等式的整数解为2

≤x≤33(x∈N*),∴5<x≤33(x∈N*).(4分)综上,y={60𝑥-120,3≤𝑥≤5,𝑥∈N*,-2𝑥2+70𝑥-120,5<𝑥≤33,𝑥∈N*.(6分)(2)对于y=60x-

120,3≤x≤5,x∈N*,显然当x=5时,ymax=180.(8分)对于y=-2x2+70x-120=-2(𝑥-352)2+9852,5<x≤33,x∈N*,当x=17或18时,ymax=492.(10分)∵492>180,∴当每辆电动观光车的日租金为17

元或18元时,才能使一日的净收入最多.(12分)21.解析(1)f(x)=ln(ex+e-x)的定义域为R.因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以f(x)为偶函数.(1分)任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1.则f(x2)

-f(x1)=ln(e𝑥2+e-𝑥2)-ln(e𝑥1+e-𝑥1)=lne𝑥2+e-𝑥2e𝑥1+e-𝑥1.e𝑥2+e-𝑥2-(e𝑥1+e-𝑥1)=(e𝑥2-e𝑥1)+(1e𝑥2-1e𝑥1)=(e𝑥2-e𝑥1)(1-1e

𝑥2+𝑥1)=(e𝑥2-e𝑥1)e𝑥2+𝑥1-1e𝑥2+𝑥1,(2分)当x2>x1>0时,e𝑥2-e𝑥1>0,e𝑥2+𝑥1-1e𝑥2+𝑥1>0,所以e𝑥2+e-𝑥2>e𝑥1+e-𝑥1>0,所以e𝑥2+e-𝑥2e𝑥1+e-𝑥1>1.(3分)所以f(

x2)-f(x1)=lne𝑥2+e-𝑥2e𝑥1+e-𝑥1>0,所以f(x)=ln(ex+e-x)在(0,+∞)上单调递增.(4分)(2)函数g(x)=f(ax)-f(x-a)的零点就是方程f(ax)-f(x-a)=0的解.因为g(x

)有唯一零点,所以方程f(ax)-f(x-a)=0有唯一的解.(5分)因为函数f(x)为偶函数,所以方程变形为f(|ax|)=f(|x-a|).因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以|ax|=|x-a|,两边平

方得(1-a2)x2-2ax+a2=0.(6分)当1-a2=0时,a=±1,经检验方程有唯一解;当1-a2≠0时,Δ=4a2+4(1-a2)a2=0,解得a=0或a=±√2(舍去).(7分)综上可知,a的值为-1,1,0.(8分)(3)设t=ex+1e𝑥

,t≥2,则原命题等价于当t≥2时,不等式t2-2mt+6m≥0恒成立.(9分)设h(t)=t2-2mt+6m,则h(t)min≥0,所以{𝑚≤2,ℎ(2)≥0或{𝑚>2,ℎ(𝑚)≥0,(10分)解得-2≤m≤2或2<m≤6.综上可知,-2≤m≤6.(12分)22.解析(1)函

数g(x)存在零点,即f(x)=a-1有实数解.(1分)∵k=2,∴f(x)=log2(4x+1)-2x=log24𝑥+14𝑥=log2(1+14𝑥).(2分)∵1+14𝑥>1,∴log2(1+14𝑥)>0,即f(x)>0.(3分)∵f(x)=a-1有解,f(

x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴a-1>0,即a>1,∴实数a的取值范围是(1,+∞).(5分)(2)∵f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R)的定义域为R,f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴log2(14+1)+k=log2(4+1)-k,∴k=1.经检验,符合题意.(6分)

∵函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,∴方程f(x)=h(x)只有一个解,即2-x+2x=b·2x-43b只有一个解,即3(b-1)22x-4b·2x-3=0只有一个解.(7分)令t=2x,t>0,则方程3(b-1)t2-4bt-3=0只有一个正解或有两个

相等的正解.(8分)当b=1时,t=-34<0,不符合题意;(9分)当b≠1时,若方程有两个相等的正数根,则Δ=(-4b)2-4×3(b-1)×(-3)=0,且4𝑏2×3(𝑏-1)>0,解得b=-3;(10分)当方程有两个不相等的实数解且只有一个正解

时,∵y=3(b-1)t2-4bt-3的图象恒过点(0,-3),∴只需图象开口向上,即b-1>0,解得b>1.(11分)综上,实数b的取值范围是{-3}∪(1,+∞).(12分)获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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