【文档说明】四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.377 MB，由小赞的店铺上传

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南充高中高2023级高二上学期入学考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）考试范围：必修第一册、必修第二册一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数23i+的实部是（）A.2B.3C.2＋3D.0【答案】

A【解析】【分析】根据复数的定义，可得答案.【详解】由题意，可得复数23i+的实部是2，故选：A.2.已知2,4,5,{|3}ABxx==，则AB=（）A.{5}B.{4,5}C.{3,4,5}D.{2,3,4,

5}【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义，求出集合,AB的交集即可.【详解】∵2,4,5,{|3}ABxx==，∴AB={4,5}.故选：B.3.已知xyz，0xyz++=，则下列不等式一定

成立的是（）A.xyyzB.xyxzC.xzyzD.||||xyyz【答案】B【解析】【分析】由0xyz++=，且xyz，可得0,0xz，y正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项.【详解】因为x

yz，0xyz++=，则303xxyzz++=，所以0x，0z.AD选项，令2,0,2xyz===−，满足条件xyz，0xyz++=，但0xyyz==，则0xyzy==，故AD错误；B选项，由,0yzx，则xyxz，故B正确；C选项，由,0xyz

，则xzyz，故C错误.故选：B.4.已知函数()()2log2,02,0xxxfxkx−=−，若()()23ff−=，则k=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据()22f−=，利用()()()223fff−==可构造方程求得结果.【详解】()2

2log42f−==，()()()222243fffkk−==−=−=，解得：1k=.故选：C.5.定义在(0,)+上的函数()fx满足1x，2(0,)x+且12xx，有()()()12120fxfxxx−−，且()()()fxyfxfy=+，2(4)3f=，

则不等式(2)(3)1fxfx−−的解集为（）.A.(0,4)B.(0,)+C.(3,4)D.(2,3)【答案】C【解析】【分析】先根据()()()fxyfxfy=+以及2(4)3f=求出()81f=，再根据函数的单调性以及定义域

即可求解.【详解】解：()()()fxyfxfy=+()()()2(4)22223ffff==+=，即()123f=，()()()()()18424232313fffff==+===，(2)(3)1fxfx−−，可转化为：()(2)(3)8fx

fxf−−，即()(2)8(3)fxffx+−，即()()(2)83824fxfxfx−=−，()fx满足1x，2(0,)x+且12xx，有()()()12120fxfxxx−−

，()fx\在()0,+上单调递增，即20302824xxxx−−，解得：34x，即不等式(2)(3)1fxfx−−的解集为：()34，.故选：C.6.已知不等式()19axyxy++≥对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】由()11axayxyaxyyx++=+++，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要()1axyxy++的最

小值大于等于9即可，000xya，，，()1112axayxyaaaxyyx++=+++++，当且仅当xayyx=即=yax时等号成立，219aa++，2a或4(a−舍去)，即4a所以正实

数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积

转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.7.函数()sin()fxAx=+（0A，0，

||2）的部分图象如图所示，则π2f的值为（）.A.62−B.32−C.22−D.1−【答案】A【解析】【分析】根据图像，先求出A，再求出，然后得到7π7π()2sin(2)21212f=+=−，进而求出π3=，最后，直

接求函数值即可.【详解】由图得，2A=，7πππ41234T=−=，2ππT==，得2=，所以，()2sin(2)fxx=+，则7π7π()2sin(2)21212f=+=−，得7ππ2π,Z62kk+=−+，由||2得，π3=，则π()2s

in(2)3fxx=+，所以，πππ62sin(π)2sin2332f=+=−=−.故选：A.8.已知4AB=，π4ABC=，点C为动点，点P为线段BC上的点且满足2BPPC=，当APBP取最小值时，ABCV的外接圆的面积为（）.A.πB.3πC.4πD.5π【答案】

D【解析】【分析】以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，过点B垂直于BA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设(),Pxx，则()4,APxx=−，(),BPxx=，由数量积计算分析即可得点P坐标，从而得到点C的坐标，然后求出AC，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.【详解】以

B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，过点B垂直于BA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则()4,0A，∵π4ABC=，∴BC所在的直线为yx=，设(),Pxx，则()4,APxx=−，(),BPxx=，所以()()224212APBPxxxx=−+=

−−，当1x=时，APBP最小，此时点()1,1P，又∵2BPPC=，所以3BCBP=，∴点C的坐标为()3,3，∴()2234310AC=−+=，设ABCV外接圆的半径为R，由正弦定理得10225πsin4R==，所以5R=，所以2π5

πSR==，故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥PEDF−的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形

ABCD的边长为2，则在三棱锥PEDF−中（）A.PEF!的面积为12B.PDEF⊥C.平面PEF⊥平面DEFD.三棱锥PEDF−的体积为13【答案】ABD【解析】【分析】直接求BEF△的面积可判定A，连接BD交EF于G，根据条件证⊥EF平面GPD即可判定B，判定PGDG、的夹角是否为

直角可判定C，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A，易知1122BEFPEFSSBEBF===，故A正确；对于B，连接BD交EF于G，根据正方形的性质易知EFBD⊥，所以有,EFGDEFGP⊥⊥，又,PGG

D平面PGD，所以⊥EF平面GPD，PD平面GPD，所以EFPD⊥，故B正确；对于C，由上可知PGD为平面PEF与平面DEF的夹角，易知22232,,222PGDGPDPGDG===+，则,PGDG不垂直，故C错误；对于D，由题意可知,,PDPEPF两两垂直，则111323P

EDFVPDPEPF−==，故D正确.故选：ABD10.在ABCV中，下列结论正确的是（）A.若sin2sin2AB=，则ABCV为等腰三角形B.若sincosBA=，则ABCV是直角三角形C.若222sinsinsinABC+，则ABCV是钝角三角形D.若coscoscos22

2abcABC==，则ABCV是等边三角形【答案】CD【解析】【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A，ABCV中，若sin2sin2AB=，则有22AB=或2π2AB=−，当22

AB=时，AB=，ABCV为等腰三角形；当2π2AB=−时，π2AB=−，ABCV为直角三角形，故A选项不正确，对于B，ABCV中，若πsincossin2BAA==−，则π2BA=−或ππ2BA

=−−，即π2AB+=或π2BA=+，因此ABCV不一定是直角三角形，故B选项不正确；对于C，ABCV中，若222sinsinsinABC+，则根据正弦定理得222abc+，余弦定理得

222cos02abcCab+−=，则C为钝角，ABCV是钝角三角形，故C选项正确；对于D，ABCV中，若coscoscos222abcABC==，则sinsinsincoscoscos222ABCABC==，即sinsinsin222ABC==，由,,(0,π)

ABC，得π,,0,2222ABC，所以222ABC==，ABC==，ABCV是等边三角形，故D选项正确．故选：CD．11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时

间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（）A.沙漏中的细沙

体积为31024πcm81B.沙漏的体积是3128πcmC.细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cmD.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π3.14）【答案】ACD【解析】【分析】A．根据圆锥的体积公式直接计算出

细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.【详解】对于A，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之

比，所以细沙的底面半径284cm33r==，体积2312164ππcm33398216104π31hVr===，A选项正确；对于B，沙漏的体积222112562π2π48πcm3233hVh===

，B选项错误；对于C，设细沙流入下部后的高度为1h，根据细沙体积不变可知：211024π1π8132hh=，所以11024π16π813h=，所以12.37cmh，C选

项正确；对于D，因为细沙的体积为31024πcm81，沙漏每秒钟漏下30.02cm的沙，所以一个沙时为：1024π10243.14815019850.0281秒，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小

题5分，共15分.12.已知向量(3,2),(1,)mm=−=ab，若ab⊥，则m=______.【答案】3−【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数

学运算的核心素养.因为ab⊥，所以320mm−+=，则3m=−.故答案为：3−.13.某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共

有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取____________人．【答案】50【解析】【分析】设总人数为n，得到1201200360n=，求得3600n=，再结合分层抽样的计算方法，即可求解.【详解】由题图中数据可知高二年级所占的角度为120，设总人数为n，则1201200

360n=，可知3600n=，故该校的总人数为3600，由高一、高二、高三年级人数的比为150:120:905:4:3=，可知高一年级人数为536001500543=++，则抽样时应从高一年级抽401500501200=(人).故答

案为：50.14.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()fx单调递减，则不等式()()133log25log8fxf−的解集为______.【答案】541216xx或132x.【解析】【分析】由已知可得()fx在(0,)+上

递增，再由偶函数的性质将不等式转化为()()133log25log8fxf−，则可得()33log25log8x−，再对数的性质要求得结果【详解】因为函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()fx单调递减，所以()fx在(0,)+上递增，因为

()fx是定义在R上的偶函数，所以由()()133log25log8fxf−，得()()133log25log8fxf−，所以()33log25log8x−，所以()33log25log8x−−或()33log25log8x−，所以10258x−或258

x−，解得541216x或132x，所以不等式的解集为541216xx或132x.故答案为：541216xx或132x.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在边长为1的等边三角形ABC中

，D为线段BC上的动点，DEAB⊥且交AB于点E.DFAB且交AC于点F，（1）求|2|BEDF+值（2）求()DEDFDA+的最小值.【答案】（1）1（2）1120【解析】【分析】（1）设BEx=，根据题意找到其他边长，对所求进行

平方结合向量的数量积运算即可求出；（2）将()DEDFDA+化为关于x的关系式即可求出最值.【小问1详解】设BEx=，10,2x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB⊥，30,2,3,12BDEBDxDExDCx

====−，//DFAB，DFC为边长为12x−的等边三角形，22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx+=++=+−+−=，|2|1BEDF+=.【小问2详解】//DF

AB，DEDF⊥，2()()()DEDFDADEDFDEEADEDFEA+=++=+222311(3)(12)(1)53151020xxxxxx=+−−=−+=−+，所以当310x=时，()DEDFD

A+的最小值为1120.16.某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为的169，方差为39.下表是抽取的女

生样本的数据；抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i个女生的身高为ix（1i=，2，3，…，10），样本平均数160x=，方差215=s.参考数据：153.9，215925281=，216928561=.（1）若用女生样本的

身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在160,165范围内的人数；（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；（

3）如果女生样本数据在()2,2xsxs−+之外数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.【答案】（1）40；（2）166,7；（3）平均数为159，方差为203.【解析】【分析】（1）根据样本数据在160,165范围内的占比易求

得女生总体在此范围内的人数；（2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数X，再利用混合样本的方差公式计算2S,最后对，进行估计即可；（3）先判断169为离群值，再由平均数公式计算剩余9人的身高平均数，利用方差公式求出102125615

0iix==，再由公式10222121(1699)9iisxx==−−计算出方差.【小问1详解】因女生样本中，身高在160,165范围内的占比为42105=，故该校高一女生身高在160,165范围内的人数估计为2

100405=；【小问2详解】记总样本的平均数为X，标准差为S，的由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为169y=，方差为239ys=，女生样本（10人）的身高平均数为160x=，方差215xs=，则20169101

6016630X+==，2222121[39(169166)][15(160166)]4851493333S=+−++−=+=，故2166,7S=；【小问3详解】因160x=，15s=，则()2,2xsxs−+，即(160215

,160215)−+，约为()152.2,167.8，由样本数据知，169(160215,160215)−+，为离群值，剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：1(16010169)1599x=−=；由10102222111110256000151010xiiiisxx

x===−=−=可得，1021256150iix==，则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：10222211120(1699)(25615028561925281)993iisxx==−−=−−

=.17.如图，在梯形ABCD中，//ABCD，60D=．（1）若3AC=，求ACD周长的最大值；（2）若2CDAB=，75BCD=，求tanDAC值．【答案】（1）9（2）33+．【解析】【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；（2）设DAC=，在ACD和ACB△中使

用正弦定理，联立得到()2sin45sin105sinsin60−=，由正弦和角公式得到62sin1054+=，从而得到(62)sin26cos−=，求出tanDAC的值.的【小问1详解】在ACD中

，222222cosACADDCADDCDADDCADDC=+−=+−2222()()3()324ADDCADCDADDCADDCADDC++=+−+−=，即2()94ADCD+，解得：6ADDC+

，当且仅当3ADDC==时取等号．故ACD周长的最大值是9．【小问2详解】设DAC=，则120DCA=−，45BCA=−．在ACD中，sinsin60CDAC=，在ACB△中，()s

in45sin105ABAC=−，两式相除得，()2sin45sin105sinsin60−=，因为()62sin105sin4560sin45cos60cos45sin604+=+=+=，∴(6

2)sin26cos−=，故26tantan3362DAC===+−．18.已知定义在4,4−上的奇函数()fx，当4,0x−时，()143xxafx=+．（1）求函数()fx的解析式；（2）若2,1x−−，使得不等式()1123xxmfx−−成立，

求实数m的取值范围．【答案】（1）()(11,4,04334,0,4xxxxxfxx−−=−（2）)5,+【解析】【分析】（1）由奇函数的性质()00f=，()()fxfx=−−，即可求出函数()fx

的解析式；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数m的取值范围.【小问1详解】∵()fx是定义在4,4−上的奇函数，且4,0x−时，()143xxafx=+，∴()0010043=+=af，解得1a=−，∴4,0x−时

，()1143=−xxfx，当0,4x时，4,0−−x，则()()113443xxxxfxfx−−=−−=−−=−，即()fx在0,4上的解析式为()34xxfx=−．∴函数()fx的解析式为()(11,4,04334

,0,4xxxxxfxx−−=−【小问2详解】∵2,1x−−时，()1143=−xxfx，∴11114323xxxxm−−−在2,1−−有解，整理得1121222323xxxxxm++=+，令()12223xxgx=+

，显然12xy=与23xy=2,1−−上单调递减，∴()gx在2,1−−上单调递减，则()()11min1212523gxg−−=−=+=，∴5m∴实数m的取值范围是)5,+．19.如图

，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，ABAD⊥，PAPD=，1AB=，2AD=，5ACCD==.在（1）求证：PD⊥平面PAB.（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.（3）在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD?若存在，求出AMAP的值；若

不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）33（3）存在；14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进而得ABPD⊥，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空

间直角坐标系，求出平面PCD的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使//BM平面PCD，则0BMn=，由此列式求解可得.【小问1详解】∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，且ABAD⊥，A

B平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD平面PAD，∴ABPD⊥，又PDPA⊥，且PAABA=，,PAAB平面PAB，∴PD⊥平面PAB；【小问2详解】取AD中点为O，连接,COPO，又∵PAPD=，∴POAD⊥．则1AOPO==，∵5CDAC==，∴COAD⊥，则22512COACO

A=−=−=，以O为坐标原点，分别以,,OCOAOP所在直线为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则(0,0,1)P，(1,1,0)B，(0,1,0)D−，(2,0,0)C，则(1,1,1)PB=−，(0,1,1)PD=−−，(2,0,1)PC

=−，(2,1,0)CD=−−，设(),,nxyz=为平面PCD的一个法向量，则由00nPDnPC==，得020yzxz−−=−=，令1z=，则1,1,12n=−．设PB与平面PCD的夹角为，则11132sincos,311

134nPBnPBnPB−−====++‖；小问3详解】假设在棱PA上存在点M点，使得//BM平面PCD.设AMAP=，0,1，由（2）知，(0,1,0)A，(1,1,0)B，(0,0,1)P，则(0,1,1)AP=−，(1,0,0)BA=−uur，()(1,0,0)(0,,)1,

,BMBAAMBAAP=+=+=−+−=−−，由（2）知平面PCD的一个法向量1,1,12n=−．若//BM平面PCD，则112022BMn=−++=−=，解得14=，又BM平面PCD，故在棱PA上存在点M点，使得//BM平面PCD，此时14AMAP=.【