【文档说明】北京市第三中学2024-2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，885.664 KB，由小赞的店铺上传

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北京三中2024一2025学年度第一学期学业测试高二年级数学期中试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知直线l过点()2,1和点()4,0，则直线l的斜率为（）A.2−B.12−C.12D.2【答案】B【解析】【

分析】由两点的斜率公式即可求解【详解】解：由两点的斜率公式得，直线l的斜率101242lk-==--，故选：B.2.设P是椭圆22153xy+=上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A.22B.23C.25D.42【答案】C

【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【详解】椭圆2253xy+=1的焦点坐标在x轴，a=5，P是椭圆2253xy+=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆

的两个焦点的距离之和为2a=25．故选C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．3.两条平行线1:3410lxy--=与2:6870lxy--=间的距离为A.12B.35C.65D.1【答案】A【解析】【分析】利用两直线间的距离公式，计算出两条平行直线间的距离.【详解

】直线27:3402lxy−−=，所以两条平行线间的距离为()227512125234−−−==+−.故选：A【点睛】本小题主要考查两条平行直线间的距离的计算，属于基础题.4.以点()1,0为圆心，半径为2的圆的方程为（）

A.22210xyx+−−=B.22210xyx++−=C.22230xyx+−−=D.22230xyx++−=【答案】C【解析】【分析】将每个选项的一般方程转化为标准方程即可判别.【详解】对A选项化为标准方

程为()2212xy−+=，半径为2，故A错误，对B选项化为标准方程为()2212xy++=，半径为2，故B错误，对C选项化为标准方程为()2214xy−+=，故其圆心为()1,0，2r=，故C正确，对D选项化为标准方程为()22

14xy++=，其圆心为()1,0−故错误.故选：C.5.在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为AC与BD的交点，若11ABa=，11ADb=，1AAc=，则下列向量中与1BM相等的向量是（）．A.112

2abc−++B.1122++abcC.1122−+abcD.1122−−+abc【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体1111ABCDABCD−中，

()()1111111222BBBDADAAABMD==−=−，所以()1111111111111211211222BMBBabcBMAAADABABADAA=+=+−=−++=+−+.故选：A.6.若直线()26

3mxym−+=与直线1xy+=平行，则（）A.3m=或3−B.3m=−C.3m=D.3m=或3−【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行可直接构造方程组求解.【详解】两直线方程可整理为：()2630mxym−+−=与10xy+−=，两直线平行，2633mm−=−−，解得：3

m=−.故选：B.7.已知向量(1,,2)ax=，(0,1,2)b=，(1,0,0)c=，若a，b，c共面，则x等于（）A.1−B.1C.1或1−D.1或0【答案】B【解析】【分析】根据向量共面关系ambnc=+，建立坐标等式即可得解.【详解】向量(1,,2)ax=，(0

,1,2)b=，(1,0,0)c=，由a，b，c共面，ambnc=+，即(1,,2)(0,1,2)(1,0,0)(,,2)xmnnmm=+=122nxmm===，解得1xmn===，1x=．故选：B．8.若圆221:1Cxy+=与圆222:680Cxyxym+

−−+=外切，则m＝（）A.21B.19C.9D.11−【答案】C【解析】【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.【详解】依题意可得圆221:1Cxy+=与圆222:680Cxyxym+−−+=圆心分别为1(0,0)C，2(3,4)C，则2212

345CC=+=，又121,25rrm==−，且两圆外切，则1212+=rrCC，得到1255m+−=，解得9m=．故选：C.9.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原

点O的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),Cxy，则()()22341xy−+−=，化简得()()22341xy−+−=，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1为半径的圆，所以||1||OCOM+22345=+=，所以||514OC−=，当且仅当C在线段OM上时

取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.10.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，若点P是棱上一点，则满足1||||2+=PBPD的点P的个的数为（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】由题意，点P是以23c=为焦距，以a=1为长半轴，12为短

半轴的椭圆与正方体的棱的交点，进而即可求解．【详解】解：正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，13BD=，1||||2PBPD+=，点P在以123cBD==为焦距，以1a=为长半轴，以12为短半轴的椭圆上，P在正方体的棱上，P是椭圆与正方体的棱的交点，所以满足

条件的点在棱BC，AB，1BB，11AD，1DD，11CD上各有一点，共有6个点．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.空间向量(1,2,1),(,,2)abxy=−−=−，且//ab，则x=__________，y=__

________．【答案】①.2②.4−【解析】【分析】由//ab可得()Rba=，进而可求,xy的值.【详解】由//ab可得()Rba=，则()(,,2)(1,2,1),Rxy−=−−，于22xy==−−=−，即242xy==−=.故答案为

：2；4−12.试给出一组使两条直线1:20lxy−=与2:30laxby+−=互相垂直的实数a，b的值，它们分别是a=__________；b=__________．【答案】①.1（答案不唯一）②.2（答案不唯一）【解析】【分析】结合直线定义与两直线垂直的性质计算可得20ba=，

再取符合要求的解即可得.【详解】由题意可得()210ab+−=，且a、b不能同时为0，即20ba=，故可取1a=，2b=.故答案为：1（答案不唯一）；2（答案不唯一）.13.已知椭圆的中心在原点，长

轴的一个顶点坐标为(2,0)，离心率为32．则椭圆的标准方程是__________．【答案】2214xy+=【解析】【分析】由题意可得2a=，22312cbeaa==−=，解出即可得.【详解】由题意可设该椭

圆方程为()222210+=xyabab，则有2a=，22312cbeaa==−=，解得1b=，即该椭圆的标准方程是2214xy+=.故答案为：2214xy+=.14.已知点()2,0A，()2,0B−，点P在直线280xy−+=上，则PAPB+最小值等于______．【答案】8

是【解析】【分析】求出A关于直线的对称点，然后三点共线时取最小值即可.【详解】设()2,0A关于直线280xy−+=的对称点为(),Amn,则2280221122mnnm+−+==−−，解得28mn=−=即()2,8A−，且()2,0B−,8

AB=.如图，则=8PAPBPAPBAB++=.故答案为：815.在平面直角坐标系中，定义2121(,)||||dSTxxyy=−+−为两点1122(,),(,)SxyTxy之间的“折线距离”，

有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号）①若(0,0),(1,1)AB，则(,)2dAB=；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O与直线30xy−+=上任意一点M之

间的折线距离(,)dOM的最小值为3；④原点O与圆22(2)(4)1xy−+−=上任意一点M之间的折线距离(,)dOM的最大值为62+.【答案】①③④【解析】【分析】根据定义直接计算①，设点(),Pxy到原点的“折线距离”不大于1

，即可得到1xy+，画出图象，求出面积即可判断②，设(),3Mxx+即可表示(,)dOM再根据分段函数的性质计算可得③，依题意设(),Mxy，则(),dOMxy=+，再利用点到直线的距离求出xy+的范围，即可判断④；【详解】解：对于①若(

0,0),(1,1)AB则(,)10102dAB=−+−=，故①正确；对于②，设点(),Pxy到原点的“折线距离”不大于1，则001xy−+−，即1xy+，则P点在下图所示的平面区域内，则所围成的区

域的面积为122122=，故②错误；对于③，设(),3Mxx+，则23,0(,)33,3023,3xxdOMxxxxx+=++=−−−−，函数图象如下所示：则min(,)3dOM=，故③正确；对于④，因为圆2

2(2)(4)1xy−+−=表示以()2,4为圆心，1为半径的圆，设(),Mxy，则(),dOMxyxy=+=+，令xyz+=，则0xyz+−=所以2412z+−，解得6262z−+，即()max,62dOM=+，故④正确；故答案为：①③④三、解答题：

本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知三角形的顶点为()2,1A，()3,2B，()1,4C−.（1）求BC边上的中线所在直线方程；（2）求BC边上的高线所在直线方程.【答案】（1）2x=（2）

350xy+−=【解析】【分析】（1）根据中点及A即可求解直线方程；（2）根据高所在直线斜率及A求解即可.【小问1详解】设BC中点为D，则()2,1D−，又()2,1A，所以中线AD的斜率不存在，所以中线AD所在直线方程为2x=.【小问2详解】因为42313BCk−−==−，所以BC边的

高所在直线的斜率为13−，所以BC边上高所在直线为()1123yx−=−−，即直线方程为350xy+−=.17.如图所示，已知1111ABCDABCD−是正方体，E，F分别是棱AB，1CC的中点．（1）求直线EF与1BD所

成角的余弦值；（2）求1BD与平面DEF所成角的正弦值；（3）求点C到平面DEF的距离．【答案】（1）23（2）5721（3）22121DA【解析】【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，结合空间向量夹角公式计

算即可得解；（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面DEF法向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得解；（3）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】由题意可建立如图所示

空间直角坐标系Dxyz−，设DA为单位长度，则有()0,0,0D、()1,1,0B、11,,02E、10,1,2F、()0,1,0C、()10,0,1D，则111,,22EF=−，()11,1

,1BD=−−，有1111111222cos,311611113442EFBDEFBDEFBD−+====++++，故直线EF与1BD所成角的余弦值为23；【小问2详解】设平面DEF的法向量为

𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，由11,,02DE=，111,,22EF=−，则10211022mDExymEFxyz=+==−++=，令1x=，则有2y=−，4z=，即()1,2,4m=−，则1

11124557cos,211416111213mBDmBDmBD−++====++++，即1BD与平面DEF所成角的正弦值为5721；【小问3详解】由10,0,2CF=，平面DEF的法向量为()1,2,4m=−，则

点C到平面DEF的距离为22212121CFmDADADAm==.18.已知圆上三点坐标分别为(1,2),(4,6),(2,0)ABC．（1）求该圆的一般方程；（2）求弦BC垂直平分线的方程；（3）求ABCV的面积．【答案】（1）2295140xyxy+−−+=（2）3120x

y+−=（3）5【解析】【分析】（1）设圆的一般方程为220xyDxEyF++++=，将圆上三点坐标代入方程，得到一个三元一次方程组，解方程组即可求出D、E、F的值.（2）先求出弦BC中点坐标，再根据两直线垂直斜率之积为

1−求出垂直平分线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程.（3）可先求出BC的长度，再求出点A到直线BC的距离，根据三角形面积公式计算.【小问1详解】设圆的一般方程为220xyDxEyF++++=.将(1,2)A，(4,6)B，(2,0)C分别代入方程可得：14201636

4604020DEFDEFDF++++=++++=+++=解得5E=−，9D=−，14F=.所以圆的一般方程为2295140xyxy+−−+=.【小问2详解】先求BC中点坐标，(4,6)B，(2,0)C，中点坐标为426

0(,)(3,3)22++=.60342BCk−==−，则弦BC垂直平分线的斜率为13−.根据点斜式可得弦BC垂直平分线的方程为13(3)3yx−=−−，即3120xy+−=.【小问3详解】22(42)(

60)436210BC=−+−=+=.直线BC的方程为03(2)yx−=−，即360xy−−=.点(1,2)A到直线360xy−−=的距离22|3126|5103(1)d−−==+−.所以ABCV的面积11521052210SBCd===.19.已知椭圆C：22

142xy+=，（1）求椭圆的离心率.（2）已知点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标.（3）已知点()0,22M，P是椭圆C上的动点，求PM的最大值及相应点P的坐标.【答案】（1）22（2）24,33−（3）最大值3

2，此时点P的坐标是()0,2−【解析】【分析】（1）根据已知条件，求出a，c，再结合离心率公式，即可求解；（2）先求出直线m的方程，联立直线与椭圆方程可得，求解x，即可推得另一个交点B的坐标；（3）设()00,Pxy，因为P在椭圆上，所

以符合椭圆方程，再根据距离公式得到PM，结合椭圆的有界性得到PM的最大值及此时点P的坐标.【小问1详解】因为224,2ab==，所以2,2,422abc===−=，所以椭圆的离心率22cea==.【小问2详解】因为直线m过椭圆左顶

点()2,0A−，且斜率为1，所以直线m方程为2yx=+，联立222142yxxy=++=，消去y得23840xx++=，解得1222,3xx=−=−，所以点B的坐标为24,33−.【小问3详解】的设()00,Pxy，因为P在椭圆上，所以2200142xy+=即220042

xy=−，因为()0,22M，所以()()()222222000000022422242122220PMxyyyyyy=+−=−+−=−−+=−++，因为022y−，所以当02y=−时，PM取得最大值32，此时点P的坐标是()0,2−.【点睛】方法点睛：圆锥曲

线中线段（距离）类的最值（范围）问题（1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解.20.如图，正四棱锥SABCD−的侧棱

的长是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：ACSD⊥；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角PACD−−的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得//BE平面PAC．若存在，求:SEEC的

值；若不存在，试说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）30（3）存在，且:2:1SEEC=【解析】【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，求得向量OC与SD，结合数量积即可证明ACSD⊥；（2）分别求出平面PAC与平面ACD一个法向量

，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使//BE平面PAC，只需BE与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面PAC的一个法向量，即可求解．【小问1详解】连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD，则可以O为坐标原点，建立如图所示空间

直角坐标系Oxyz−如图．设底面边长为a，则高()2226222SOaaa=−=，于是S60,0,2a，D2,0,02a−，C20,,02a，则OC＝20,,02a

，SD＝26,0,22aa−−，∵0OCSD=，故OCSD⊥，从而ACSD⊥；【小问2详解】由题设知，平面PAC的一个法向量26,0,22DSaa=，平面DAC的

一个法向量60,0,2OSa=，设二面角PACD−−为，则2223·32cos2136·222aOSDSOSDSaaa===+，的由图可知，二面角PACD−−为锐二面角，∴二面角PACD−−为30；【小问

3详解】存在，且:2:1SEEC=，理由如下：由（2）知DS是平面PAC的一个法向量，且26,0,22DSaa=，260,,22CSaa=−，设()01CEtCSt=，则()226,1,222BEBCCEBCtCSaatat

=+=+=−−，而0BEDS=，即()2226610022222aaatata−+−+=，解得13t=，即当:2:1SEEC=时，BEDS⊥，又BE平面PAC，故//BE平面PAC.21.已知圆22:68160Cxyxy+−−+=．（

1）求过点(1,0)P且与圆心距离为2的直线方程；（2）设直线20xy−−=与圆的两个交点分别为A，B，M为劣弧AB上一动点，求ABM面积的最大值；（3）判断直线0([4,2])xymm−+=−−与圆的位置关系．

【答案】（1）3430xy−−=或1x=（2）9292+（3）答案见解析【解析】【分析】（1）先将圆方程化为标准方程求出圆心坐标，再根据点到直线距离公式设出直线方程求解.（2）先求出弦长AB，再求出圆心到直线AB的距离，通过分析三角形高的最大值来

求面积最大值.（3）根据圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系.【小问1详解】先将圆22:68160Cxyxy+−−+=化为标准方程22(3)(4)9xy−+−=，则圆心(3,4)C，半径3

r=.设直线方程为(1)ykx=−，即kxyk0−−=.根据点00(,)xy到直线0AxByC++=的距离公式0022||AxByCdAB++=+，这里圆心(3,4)C到直线kxyk0−−=的距离2|34|21kkdk−−==+.化

简2|24|21kk−=+，2|24|21kk−=+.两边平方得22(24)4(1)kk−=+，224161644kkk−+=+.解得34k=，所以直线方程为3(1)4yx=−，即3430xy−−=.当直线斜率不存在时，直线方程为1x=，此时圆心到直线距离为312−=也满足条件

.【小问2详解】圆心(3,4)C到直线20xy−−=的距离22|342|32211d−−==+.根据弦长公式222lrd=−，弦AB的长929322l=−=.当M到直线AB距离最大时，ABM面积最大，此时M到直线AB的最大距离为3232rd+=+.所以ABM面积的最大值132

92932(3)222S+=+=.【小问3详解】圆心(3,4)C到直线0xym−+=距离22|34||1|211mmd−+−==+.当[4,2]m−−时，|1|2md−=的最大值为|41|5222−−=，最小值为|21|322

2−−=.令|1|32md−==，则132m=−.的当1322m−−时，3d,直线与圆相交.当132m=−时，3d=，直线与圆相切.当4132m−−时，3d直线与圆相离.