【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第十三中学2022-2023学年高三下学期开学检测 数学 答案.docx，共(18)页，1.870 MB，由小赞的店铺上传

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黑龙江省哈尔滨市第十三中学2022-2023学年度高三下学期开学检测数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合2|4,Myyxx==−Z的真子集的个数为A.7B.8C.31D.32【答案】A【解析】【

分析】计算2,3,0M=，再计算真子集个数得到答案.【详解】2|4,2,3,0Myyxx==−=Z，故真子集个数为：3217−=.故选：A.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的

计算能力.2.若复数z满足(2)(2)(34)ziii−=+−，则||z=A.5B.3C.5D.25【答案】C【解析】【详解】分析：由题意，根据复数的运算，求得5z=，进而求解5z=.详解：由题意(2)(2)(34)105ziiii−=+−=−，则()()()()105210552

22iiiziii−+−===−−+，所以5z=，故选C.点睛：本题主要考查了复数的运算及复数模的求解，其中根据复数的运算，求解复数z是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.设{}na是公比为的等比数列，则“”是“{}na为递增数列”的A.充分而不必要条件B.

必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列4.已知函数()|ln|fxx=．若0ab，且()()

fafb=，则4ab+的取值范围是（）A.(4,)+B.[4,)+C.(5,)+D.[5,)+【答案】C【解析】【分析】根据函数图象得lnlnab−=，则1ba=，令1()44gbabbb=+=+，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.【详解】

由()()fafb=得|ln||ln|ab=．根据函数|ln|yx=的图象及0ab，得lnlnab−=，01ab，所以1ba=．令1()44gbabbb=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得()gb在(1,)+上单调递增，所以()(1)5gbg=．故45a

b+，故选：C.5.对任意的(1,4)x，不等式2220axx−+都成立，则实数a的取值范围是（）A.[1,)+B.1,12C.1,2+D.1,2+【答案】D【解析】【分析】分离参数得22

2xax−对任意的(1,4)x恒成立，则求出2max22xx−即可.【详解】因为对任意的(1,4)x，都有2220axx−+恒成立，∴222xax−对任意的(1,4)x恒成立．设()2222211212222xfxxxxx=−+=−−+

=−，(1,4)x，1114x，当112x=，即2x=时，()max12fx=，∴实数a的取值范围是1(,)2+.故选：D.6.已知sincos2−=，(0,π)，则tan=A.−1B.22−C.22

D.1【答案】A【解析】【详解】2sincos−=，()0,，12sincos2−=，即sin21=−，故34=1tan=−故选A7.据统计，某产品的市场销售量y（万台）与广告

费用投入x（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是0.3yxa=+.预测广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售y约为（）A.6.1万台B.5.5万台C.5.2万台D

.6万台【答案】B【解析】【分析】算出,xy，代入0.3yxa=+，求出a，即可求解.【详解】解：由题意知：2456855x++++==，343545y++==，将(),xy代入0.3yxa=+，即40.35a=+，解得：2.5a=，即0.32

.5yx=+，将10x=代入得0.3102.55.5y=+=.故选：B.8.设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)＞0D.f

(m＋1)＜0【答案】C【解析】【详解】试题分析：，∵，∴，∵，且∴，，∴，即：，∴，故答案为C.考点：一元二次不等式的应用.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量()(

)3,4,7,1ab==rr，则下列结论正确的是（）A.()10,5ab+=B.10ba=C.a()ab−D.a与b的夹角为45°【答案】AD【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】对A：根据向量的坐标运算易知()10,5ab+=，A选项正确；对B：因为2222345

,7152ab=+==+=rr，所以B选项错误；对C：因为()4,3ab−=−rr，可得()33440−−，则a与ab−不共线，所以C选项错误；对D：因为374125ab=+=rr，则252cos,2552ababab===rrrrrr，所以a与b

的夹角为45°，D选项正确．故选：AD.10.设几何体1111ABCDABCD−是棱长为a的正方体，1AC与1BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.211ABACa=B.212ABACa=C.21CDA

Ba=−D.2112ABAOa=【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(,0,0)Aa，(,,0)Baa，(0,,0)Ca，(0,0,0)D，1

(,0,)Aaa，1(,,)Baaa，,,222aaaO，∴11(0,,0)ABa=，(,,0)ACaa=−，(0,,0)ABa=uuur，1(,,)ACaaa=−−，()0,,0CDa=−，1(0,,)ABaa=，1,,222aaaAO=−−．∴211ABACa=，A

对；21ACABa=，B错；12CDAaB=−，C对；2112ABAOa=，对．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.11.已知抛物线C：()220ypxp=的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.C的准线方程为1y=−B.线段PQ的长度最小为4C.M的坐标可能为()3,

2D.3OPOQ=−uuuruuur恒成立【答案】BCD【解析】【分析】由抛物线C：()220ypxp=，得到焦点和准线方程，可判定A项错误；由PQ垂直于x轴时长度最小，可判定B项正确；联立方程组241yxxmy=

=+，根据根与系数的关系，可判定C正确、以D正确.【详解】由题意，抛物线C：()220ypxp=，可得焦点F到准线的距离即为2p=，所以抛物线C的焦点为()1,0F，准线方程为=1x−，A项错误.当PQ垂直于x轴时长度最小，此时()1,2P，()1,2Q−

，所以4PQ=，B项正确.设()11,Pxy，()22,Qxy，直线PQ的方程为1xmy=+，联立方程组241yxxmy==+，消去x可得2440ymy−−=，可得124yym+=，则212122

42xxmymym+=++=+，当1m=时，可得(3,2)M，所以C正确，又由124yy=−，可得1212(1)(1)1xxmymy=++=，所以12123OPOQxxyy=+=−，所以D正确故选：BCD12.已知函数()()35xfxxe

=−，则下列结论中正确的是（）A.函数()fx在2,3+上单调递减B.函数()fx的极小值点为23x=C.函数()fx无极大值D.函数()fx在0,1上的最大值为5−【答案】BCD【解析】【分析】利用导数分析函数()fx的单调性与极值，可判断各选项的正误.【详解

】因为()()32xfxxe=−，当23x时，()0fx，当23x时，()0fx¢>，所以()fx在2,3−上单调递减，在2,3+上单调递增，所以A错误，B正确，C正确；()fx在20,3上递减，在2,13上递

增，()05f=−，()12fe=−，所以函数()fx在0,1上的最大值为5−，D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－c－2b＝0，a2＝72bc，b>

c，则bc＝________．【答案】2【解析】【分析】利用正弦定理和sinC＝sin(A＋B)化简得到用A＝23，进一步利用余弦定理化简已知等式，然后与.272abc=结合可得,bc关系.【详解】由acosB－c－2b＝0及正弦定理可得sinAcosB－si

nC－sin2B＝0．因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－(sinAcosB＋cosAsinB)－sin2B＝0∴sin2B+cosAsinB＝0，∴co

sA＝－12，即A＝23．由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==−2227=2bcbcabc++=即2b2－5bc＋2c2＝0，两边同除以c得到22520bbcc−+==2bc或1=2bc又b>c，所以bc＝2．故答案为：2.【点睛】本题考查解三角形的知识点

，涉及到正余弦定理的应用，属于基础题型．14.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π2的扇形，则该圆锥的表面积为___________．【答案】5π4【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】设圆锥的底面半径为r，由题意可得：π2π2

2r=，解得12r=，所以圆锥表面积为2115πππ2224+=．故答案为：5π4.15.已知圆O：225xy+=与圆221:50Cxyx+−=相交于M，N两点，点P的坐标为()3,4−．若圆2C经过M，N，P三点，则2C的方程为________．的【答案】()22520xy−+

=【解析】【分析】联立方程求M，N两点的坐标，法一：根据几何性质可得圆心C2在x轴上，设()2,0Cm结合圆的定义运算求解；法二：设圆222:0CxyDxEyF++++=，代入点,,MNP，列方程求解.【详解】联立方程222

2550xyxyx+=+−=，解得12xy==或12xy==−，故M，N两点坐标为()()1,2,1,2−．法一：可得,MN关于x轴对称，即线段MN的中垂线为x轴，故所求的圆的圆心C2在x轴上，设()2,0

Cm，点P的坐标为()3,4−，∵22CMCP=，即()()()()2222102304mm−+−=−++，求得m＝5，故要求的圆的圆心()25,0C，半径为()()222510220CM=−+−=，故要求的圆2

C的方程为()22520xy−+=．法二：设圆222:0CxyDxEyF++++=，且点P的坐标为()3,4−，代入点,,MNP，可得52052025340DEFDEFDEF+++=+−+=+−+=，解得1005DEF=−==，故要求的圆2C的方程为221050xy

x+−+=，即()22520xy−+=．故答案为：()22520xy−+=.16.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆22(2)1xy−+=都相切，则双曲线C的离心率是____；【答案】2323或【解析】【分析】求出圆的过原点的切线，即得双曲线的渐近线，按

焦点在x轴和y轴分别设双曲线的标准方程，得渐近线方程，从而得,ab关系，最后可计算出离心率．的【详解】设ykx=是圆22(2)1xy−+=的切线，则2211kk=+，解得33k=，即切线方程为33yx=，这也是双曲线的渐近线方程．若双曲线为22221xyab

−=，则33ba=，33ba=，222212332cabaaa=+=+=，∴233cea==．若双曲线为22221yxab−=，则33ab=，3ba=，222232cabaaa=+=+=，∴2cea==．故答案

为233或2．【点睛】本题考查由渐近线求双曲线的离心率，解题时需按焦点在x轴和在y轴分类讨论．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na是首项为正数的等差数列，数列11nnaa+的前n项和为21nn+.

（1）求数列na的通项公式；（2）设()12nannba=+，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)21nan=−；(2)()143149nnnT++−=.【解析】【详解】（Ⅰ）设数列na的公差为d，令1

,n=得12113aa=，所以123aa=.令2,n=得12231125aaaa+=，所以2315aa=.解得1a1,d2==，所以21.nan=−（Ⅱ）由（Ⅰ）知21224,nnnbnn−==所以

121424......4,nnTn=+++所以23141424......(1)44,nnnTnn+=+++−+两式相减，得121344......44nnnTn+−=+++−114(14)13444,1433nnnnn++−−=−=−−所以113144(31)4

4.999nnnnnT++−+−=+=考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.18.箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数X的分布列；（2）取出的3个球

中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）详见解析；（2）13．【解析】【分析】（1）优先表示随机变量可能的取值，显然该事件服从超几何分布，由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列；（2）事件“红球个数多于白球个数”可以分解为，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A，“恰好取出2个红球

”为事件2A，“恰好取出3个红球”为事件3A，再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率，最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案.【详解】（1）题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从参数为10N=，3M=，3n=的超几何分布，因此()()

337310CC0,1,2,3CkkPXkk−===．所以()0337310CC3570C12024PX====，()1237310CC63211C12040PX====，在()2137310CC2172C1

2040PX====，()3037310CC13C120PX===．故X的分布列为：X0123P72421407401120（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A，“恰好取出2个红球”为

事件2A，“恰好取出3个红球”为事件3A，由于事件1A，2A，3A彼此互斥，且123AAAA=++，而()12341310CC3C20PA==，()()27240PAPX===，()()313120PAPX===，所以取出的3个球中红球个数多于白球个

数的概率为：()()()()123371120401203PAPAPAPA=++=++=．答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13．【点睛】本题考查求超几何分布事件的分布列，还考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题.19.如图正方形ABCD的边长为

22，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝3，且FO⊥平面ABCD.(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)取BC中点H，连接OH，建立如图所示的直角坐标系，

求得平面BCF的法向量为n，由AE⊥n，即可得到AE∥平面BCF.(2)由CF⊥AF，CF⊥AE，且AEAF＝A，解得CF⊥平面AEF.【详解】(1)取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立

如图所示的直角坐标系，则A(3，0，0)，E(1，－2，3)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(0，0，3)，B(1，2，0).BC＝(－2，－2，0)，CF＝(1，0，3)，BF＝(－1，－2

,3)．设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则nBC220nCF30xyxz=−−==+=.取z＝1，得n＝(－3，3，1)．又四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝BF＝(－1，－2，3)，∴AE＝A

D＋DE＝BC＋DE＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)，∴AE·n＝33－43＋3＝0，∴AEn⊥，又AE平面BCF，∴AE∥平面BCF.(2)AF＝(－3，0，3)，∴CF·AF＝－3＋3＝0，CF·AE＝－3＋3＝0，∴CF⊥AF，CF⊥AE，又A

EAF＝A，∴CF⊥平面AEF.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何线面位置关系的判定中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，合理利用平面法向量的性质和空间向量的共面定理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

20.在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．（1）求角B的大小；（2）给出三个条件①b＝2，②ABC外接圆半径r＝233，③a＋c＝23，试从中选择两个可以确定ABC的条件，并求ABC的面积．【答案】（1）π3；（2）答案见解析.

【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦化简，再利用正弦定理角化边求解作答.（2）选条件①②，ABC不确定，面积不确定；选条件①③，由余弦定理求出ac即可；选条件②③，利用正弦定理求出b，再利用余弦定理求出ac即可计算作答.【小问1详解】在ABC中，由sin2sinaBbA

=得2sincossinaBBbA=，由正弦定理得2cosabBba=，因此1cos2B=，又0πB，所以π3B=.【小问2详解】选择条件①②，由（1）知π3B=，由正弦定理得2332sin2232brB===与2b=同一条件，而一边及对角不能确定三角形，三角形面积不确

定.选择条件①③，由（1）知π3B=，由余弦定理2222cosbacacB=+−得：2224()3123acacacacac=+−=+−=−，解得83ac=，显然,ac是方程282303xx−+=的二根，解此方程得122343,33xx==，因

为两边及夹角确定三角形，并且有2343233，所以ABC唯一确定，面积为123sin23ABCSacB==.选择条件②③，由（1）知π3B=，由正弦定理得2332sin2232brB===，由余弦定理2222cosbacacB=+−得：2224()3123acaca

cacac=+−=+−=−，解得83ac=，为显然,ac是方程282303xx−+=的二根，解此方程得122343,33xx==，因为两边及夹角确定三角形，所以ABC唯一确定，面积为123sin23ABCSacB=

=.21.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的离心率为63，直线:1lxty=+交E于A，B两点；当0=t时，263AB=.（1）求E的方程；（2）设A在直线3x=上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标.【答案】（1）2213xy+=；（2）证明见

解析，定点()2,0.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到223ab=，椭圆过点61,3，从而得到3a=，1b=，即可得到椭圆的标准方程.（2）首先设()11,Axy，()22,Bxy，则()13,Dy，联立椭圆与直线得到()2

23220tyty++−=，利用根系关系得到1212tyyyy=+，再写出直线()2112:33yyBDyxyx−=−+−，利用根系关系即可得到定点.【详解】（1）由题意得22222223cabeaa−===，整理得2

23ab=，由0=t时，263AB=，得到椭圆过点61,3，得221213ab+=.因此3a=，1b=，故E的方程是2213xy+=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，则()13,Dy.将1xty=+代入2213xy+=得()223220tyty++−=，12223ty

yt+=−+，12223yyt=−+，.从而1212tyyyy=+①.直线()2112:33yyBDyxyx−=−+−，设直线BD与x轴的交点为()0,0x，则()21012303yyxyx−−+=−，.所以()()12

121120212121322333yxytyytyyxyyyyyy−−−=+=+=+−−−，.将①式代入上式可得02x=.故直线BD过定点()2,0.【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.22.已知曲线()()1xfx

eax=+在1x=处的切线方程为ybxe=−.（Ⅰ）求,ab值.（Ⅱ）若函数()()3xgxfxem=−−有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ)1,3abe==；(Ⅱ)0em−【解析】【分析】（Ⅰ）利切点

()()1,1f为曲线()yfx=和直线ybxe=−的公共点，得出()1fbe=−，并结合()1fb=列方程组求出实数a、b的值；（Ⅱ）解法1：由()0gx=，得出()2xmex=−，将问题转化为直线ym=与曲线()ux=()2xex−的图象有两个交点时，求出实数m的取值范围，然后利用导数

研究函数()ux=()2xex−的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m的取值范围；解法2：利用导数得出函数()ygx=的极小值为()1g，并利用极限思想得出当x→−时，()gxm→−，结合题意得出()100gm−

，从而得出实数m的取值范围．【详解】（Ⅰ）()()1xfxeax=+，()()()'11xxxfxeaxeaeaxa=++=++，()()()()12111feabfeabe=+==+=−1,3abe==；（Ⅱ）解法1：()()()32xxgxfxemexm=−−=−

−，函数()()2xgxexm=−−有两个零点，相当于曲线()()2xuxex=−与直线ym=有两个交点.()()()'21xxxuxexeex=−+=−，当(),1x−时，()'0,ux()ux在(),1−单调递减，当()1,x+时，()'0,ux()ux在(

)1,+单调递增，1x=时，()ux取得极小值()1ue=−，又x→+时，()ux→+；2x时，()0ux，0em−；解法2：()()()32xxgxfxemexm=−−=−−，()()()'21xxxgxexeex=−+=−，当(),1x−时，()'0,g

x()gx在(),1−上单调递减，当()1,x+时，()'0,gx()gx在()1,+上单调递增，1x=时，()gx取得极小值()1gem=−−，又x→−时，()gxm→−，()100gm−0em−.【点睛】本题考查导数的几

何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．