【文档说明】河北深州市长江中学2021-2022学年高二上学期7月第一次月考数学试题 PDF版含答案.pdf，共(7)页，563.913 KB，由小赞的店铺上传

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第1页；共3页长江中学2020级高二年级第一次月考考试试题数学学科试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z满足2(1i)(1i)z，则z的虚部为（）A．2iB．2C．2D

．2i2．向量1,,2,1axb，若ab，则x（）A．1B．1C．2D．23．在ABC中，若105A=，30C，22b，则边c（）A．2B．3C．2D．14．某网店本月通过甲､乙､丙､丁四家快递公司寄出的快

递数依次为200,80,120,100.若用分层抽样的方法从中抽取25件快递，则抽取的甲公司的快递数为（）A．5B．10C．12D．205．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD，,,EFG分别为1,,ABCDAD的中

点，则异面直线1AG与EF所成角的余弦值为（）A．22B．1010C．0D．16．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）A．1122abc

B．1122abcC．1122abcD．1122abc7．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13，14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（）A．5960B．160C

．12D．358．过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为（）A．13B．33C．22D．32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2

分，有选错的得0分．9．给出以下结论，正确的为（）A．直线//a平面，直线b，则//abB．若aA，则aC．若a，则//a或a与相交D．若a，b，则a、b无公共点10．已知复数z在复平面上对应的点

为(3,1)z，i为虚数单位，则下列正确的是（）A．13ziB．||10zC．3ziD．zi是实数11．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为16

B．2个球不都是红球的概率为13C．至少有1个红球的概率为23D．2个球中恰有1个红球的概率为1212．已知,,abc分别是ABC三内角A，B，C的对边，且满足()(),3,acbabcacb则下列说法正确的是（）答案第2页，

总3页A．3BB．23BC．△ABC的面积最大值为34D．△ABC的面积最大值为334三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z满足122iz，则z的模长为_________

_．14．设向量,1am，1,2b，且abab，则m___________.15．如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图(样本容量200n)，若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临

界生”人数约为___________.16．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分

）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）求

密码被破译的概率.18．（12分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，122BB.（1）求证：1//BC平面11ADDA；（2）求异面直线1BD与AD所成角的大小.19．（12分）为抗击新型冠状病毒肺炎疫情，某口罩生

产企业职工在做好自身安全防护的同时，加班加点生产口罩发往疫区.该企业为保证口罩的质量，从某种型号的口罩中随机抽取100个，测量这些口罩的某项质量指标值，其频率分布直方图如图所示，其中该项质量指标值在区间115,125内的口罩恰有8个.（1）求图中a，b的值；（2）用样本估计总体的思想，

估计这种型号的口罩该项质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）根据质量指标标准，该项质量指标值不低于85，则为合格产品，试估计该企业生产这种型号口罩的质量合格率为多少？第3页；共3页

20．（12分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，120ABC，PAD△是等边三角形，O为AD的中点，E为PB的中点，102AE.（1）求证：PO平面ABCD.（2）求平面APB与平面PDC所成锐角的余弦值.21．（12分）如图，在五面体ABCD

EF中，已知DE平面ABCD，//ADBC，60BAD，2AB，1DEEF．（1）求证：//BCEF；（2）求三棱锥BDEF的体积．22．（12分）2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨.为了引起广大市民

足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放.手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识"“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容.为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分

布直方图所示∶（1）求a的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在[20，40)的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[20，30)的回答5道题，年龄[30，40)的回答3道题，题目都不同.用X表示抽取的3人中回答题目的总个

数，求当X=13的概率.答案第1页，总4页长江中学2020级高二年级第一次月考考试试题数学参考答案1．B【解析】222(1i)(1i)(1i)12ii2i(1i)2i2i22iz

，故z的虚部为2，故选：B．2．D【解析】因为向量1,ax，2,1b，ab，所以1210abx，解得2x，故选：D.3．A【解析】因为105A=，30C，所以45B，则sinsinbcBC，

即221222c，解得2c，故选：A.4．B【解析】四家快递公司一共有20080120100500件，∴抽样比为25150020，故甲快递公司抽取的快递件数为12001020.故选：B.5．C【解析】如图分别以1,,DADCDD所

在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则12,0,2A、1,0,0G、2,1,0E、0,1,1F，所以11,0,2AG，2,0,1EF，设异面直线1AG与EF所成角为，则111221cos055AGEFAGEF

，故选：C6．A【解析11BMBBBM12cBD12cBABC1122abc12cab

故选A.7．D【解析】记事件A至少有1人去厦门旅游，其对立事件为A：三人都不去厦门旅游，由独立事件的概率公式可得1112()(1)(1)(1)3455PA，由对立事件的概率公式可得3()1()5PAPA，故选：D.8．C【解析】设1APAB，以A为原点，AB为x轴

，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，(0P，0，1)，(0D，1，0)，(1C，1，0)，(1PC，1，1)，(0PD，1，1)，设平面PCD的法向量(mx，y，)z，则·0·0mPCxyzmPDyz，取1y，得

(0m，1，1)，所以平面ABP的法向量(0n，1，0)，设平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为，则||12cos||||221mnmn，故选：C．9．BC【解析】对于A，直线//a平面

，直线b，则a与b的关系可以平行或者异面，故A错误；对于B，若aA，则a与平面只有一个交点，即相交，a，故B正确；对于C，若a，则//a或a与相交，故C正确；对于D，若a，b，则b与平面可以相交且与a相交，故D错误；故选：BC答案第2页，总4页10．CD

【解析】根据题意得3zi，3zi，||10z，33ziii，所以A,B选项错误，C,D选项正确.故选：CD11．ACD【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为111326，A选项正确；对于B选项，2个球不都是红球的概率为115

1326，B选项错误；对于C选项，至少有1个红球的概率为2121323，C选项正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率1211232132，D选项正确.故选：ACD.12．BC【解析】因为acbabcac，所以2222aaccbac，所以22

2bacac，因为2222cosbacacB，所以1cos2B，所以23B；因为3b，所以223acac，所以23acac，所以1ac，取等号时1ac，所以133sin

244ABCSacBac，故选：BC.13．255【解析】由(12)2iz得212zi，所以22225121255zii.14．12【解析】因为abab，所以//abrr，又,1am，1,2b，所以211m，解得12m15．

30【解析】由频率分布直方图可得，样本中“临界生”人数约为：11200(0.0060.009)20222(69)21530．16．12【解析】设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{AB，

AC，AD，BC，BD，CD}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，所以取出的2件中恰有1件是次品的概率为P3162.17．解：（1）由题意可知()0.8PA，()0.7PB，且事件A，B相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，所以()()()0.8

0.70.56PABPAPB；（3分）（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为+ABAB，且AB，AB互斥所以(+)()+()()()+()()PABABPABPABPAPBPAPB0.20.70.80.30.38

（7分）（3）()PABPAPB()PAB0.80.70.80.70.94．（10分）18．解：（1）证明：连接1AD，1111ABCDABCD是长方体，11//AB//ABDC,11=

AB=ABDC四边形11ABCD是平行四边形，11//BCAD又1BC平面11ADDA，1AD平面11ADDA，11//BCAD1//BC平面11ADDA（5分）（2）连接1DC，//ADBC，1DBC为异面直线1BD与AD所成角2212(22)2

3CD答案第3页，总4页又BC平面11DDCC，BC1DC在1RtDCB中，1123tan32DCDBCBC，160DBC异面直线1BD与AD所成角的大小为60（12分）19．解：（1）因为该项质量指标值在区间115,125

内的口罩恰有8个，所以810.00810010b，（2分）又0.10.0060.0380.0220.034ab，所以0.0340.0080.026a；（4分）（2）这种型号的口罩该项质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.

381100.221200.08100x，（8分）利用样本估计总体的思想，可以认为这种型号的口罩项质量指标值的样本平均数为100，方差为104；（9分）（3）从样本可知质量指标值不低于85的产品所占比例的估计值为0.260.380.220.080

.94，故样本的合格率为94%，所以可以认为该企业生产这种型号口罩的质量合格率为94%.（12分）20．解：（1）连接BDBO，.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且120ABC

，ABD是边长为2的等边三角形，又PAD△是等边三角形，PAB是等腰三角形.E为PB的中点，AEPE，又2PA，102AE，由勾股定理得2262PEPAAE，26PBPE，又由PAD△，ABD△

都是边长为2的等边三角形，可知3POBO，222POBOPB，POBO，由PAD△为等边三角形，O为AD的中点，可知POAD.又BOADO，BO平面ABCD，AD平面ABCD.PO平面ABCD.（6分）（2）以O为

坐标原点，分别以OAOBOP，，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(1,0,0)A，(03,0)B，，0()23C，，，(10,0)D，，(003)P，，，(10,3)AP，，(130)AB，，，(

103)DP，，，(130)DC，，.设平面APB的法向量为111,,mxyzr，则0{0APmABm，即11113030xzxy.令13x，则11y，11z，(311)m

，，.（8分）设平面PDC的法向量为222,,nxyz，则0{0DPnDCn，即22223030xzxy.令23x，则21y，21z，311n，，.（10分）设平面APB与平面PDC所成锐角为，则||

3113cos555mnmn，平面APB与平面PDC所成锐角的余弦值为35.（12分）答案第4页，总4页21．解：（1）因为//ADBC，AD平面ADEF，BC平面ADEF，所以//BC平面ADEF，（2分）又BC

平面BCEF，平面BCEF平面ADEFEF，所以//BCEF．（5分）（2）如图，在平面ABCD内过点B作BHAD于点H．因为DE平面ABCD，BH平面ABCD，所以DEBH．又AD，DE平面ADEF，ADDED，所以BH

平面ADEF，所以BH是三棱锥BDEF的高．（8分）在直角三角形ABH中，o60BAD，2AB，所以3BH．因为DE平面ABCD，AD平面ABCD，所以DEAD．又由（1）知，//BCEF，且//ADBC，所以//ADEF，所以DEEF，所以三棱锥BDEF的体积

11131133326DEFVSBH．（12分）22．解：（1）根据频率分布直方图可得0.020.030.0250.02101a，解得0.005a，（2分）因为0.005100.0210

0.03100.60.5，所以中位数位于30,40之间，设中位数为x，则0.005100.02100.03300.5x，解得38.33x，故中位数为38.33.（6分）（2）因为20,30和30,40频

率比为0.0220.033，按照分层抽样抽取5人，则20,30中抽2人，记为A,B；30,40中抽3人，记为C,D,E；再从这5人种随机抽取3人的样本空间Ω＝{ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE}，共10个样本点，（9分）因为

从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[20，30)的回答5道题，年龄[30，40)的回答3道题，回答题目总个数为13个，则从20,30的2人中抽2人，从30,40的3人中抽1人，满足要求的样本点为ABC，ABD，ABE，共3个，所以X=13的概率310P（12

分）