【文档说明】河北深州市长江中学2021-2022学年高二上学期7月第一次月考数学试题 含答案.docx，共(12)页，1012.599 KB，由小赞的店铺上传

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1长江中学2020级高二年级第一次月考考试试题数学学科试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z满足()()211zii=+−，则z的虛部为（）A.2i−B.-2C.2D.2i2.向量()1,ax=，()2,

1b=−，若ab⊥，则x=（）A.1B.-1C.-2D.23.在ABC△中，若105A=，30C=，22b=，则边c=（）A.2B.3C.2D.14.某网店本月通过甲、乙、丙、丁四家快递公司寄出的快递数依次为200，80，120，100.若用分层抽样

的方法从中抽取25件快递，则抽取的甲公司的快递数为（）A.5B.10C.12D.205.如图，已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD−，E，F，G分别为AB，1CD，AD的中点，则异面直线1AG与EF所成角的余弦值为（）A.22B.1010C.0D.16.如图，在平行六面体111

1ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点.若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BM相等的向量是（）2A.1122abc−++B.1122abc++C.1122abc−−+D.1122abc−+7.五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分

别是13，14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（）A.5960B.160C.12D.358.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若ABPA=，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角

的余弦值为（）A.13B.33C.22D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.给出以下结论，正确的为（）A.直线/

/a平面，直线b，则//abB.若aA=，则aC.若a，则//a或a与相交D.若a，b，则a、b无公共点10.已知复数z在复平面上对应的点为()3,1z−，i为虚数单位，则下列正确的是（）A.13zi=−+B.10z=C.3zi=+D.zi+是实数11.从甲袋中摸出一

个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球

的概率为1212.已知a，b，c分别是ABC△三内角A，B，C的对边，且满足()()acbabcac+−++=，3b=，则下列说法正确的是（）3A.3B=B.23B=C.ABC△的面积最大值为34D.ABC△的面积最大值为

334三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数z满足()122iz−=，则z的模长为___________.14.设向量(),1am=−，()1,2b=，且abab=，则m=__________.15.如图是一次数学考试成

绩的样本频率分布直方图（样本容量200n=），若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临界生”人数约为___________.16.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为___________.四、解答

题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有

一人破译密码的概率；（3）求密码被破译的概率.18.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，122BB=.4（1）求证：1//BC平面11ADDA；（2）求异面直线1BD与AD所成角的大小.19.为抗击新型冠状病毒肺炎疫情，某口罩生产企业职工

在做好自身安全防护的同时，加班加点生产口罩发往疫区.该企业为保证口罩的质量，从某种型号的口罩中随机抽取100个，测量这些口罩的某项质量指标值，其频率分布直方图如图所示，其中该项质量指标值在区间115,125内的口罩恰有8个.（1）求图中a，b的值；（2

）用样本估计总体的思想，估计这种型号的口罩该项质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据质量指标标准，该项质量指标值不低于85，则为合格产品，试估计该企业生产这种型号口罩的质量

合格率为多少？20.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，120ABC=，PAD△是等边三角形，O为AD的中点，E为PB的中点，102AE=.（1）求证：PO⊥平面ABCD.（2）求平面APB与平面PDC所成锐角的余弦值.21.如图，在五

面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，//ADBC，60BAD=，2AB=，51DEEF==.（1）求证：//BCEF；（2）求三棱锥BDEF−的体积.22.2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务

依然艰巨.为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放.手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容.为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市

10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示：（1）求a的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在)20,40的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问

卷调查，年龄在)20,30的回答5道题，年龄)30,40的回答3道题，题目都不同.用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当13X=的概率.长江中学2020级高二年级第一次月考考试试题数学参考答案1.B【解析】22(1)(1)(1)12

()ziiiii=+−=+−+−22(1)2222iiiii=−+=−−=−，故z的虚部为-2，故选：B.62.D【解析】因为向量()1,ax=，()2,1b=−，ab⊥，所以1(2)10xab=−+=，解得2x=，故选：D.3.A【解析】因为105A=，30C=，所以45B

=，则sinsinbcBC=，即221222c=，解得2c=，故选：A.4.B【解析】四家快递公司一共有20080120100500+++=件，∴抽样比为25150020=，故甲快递公司抽取的快递件数为12001020=.故选：B.5.C【解析】如图分别以DA，

DC，1DD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()12,0,2A、()1,0,0G、()2,1,0E、()0,1,1F，所以()11,0,2AG=−−，()2,0,1EF=−，设异面直线1AG与EF所成角为，则()()111221cos055AGEF

AGEF−−−===，故选：C.6.A【解析】1111()22BMBBBMcBDcBABC=+=+=++111()222abccab=−++=+−+，故选A.7.D【解析】记事件A至少有1人去厦门旅游，其对立事件为A：三人都不去厦门旅游，由独立事件的概率公式可得11

12()1113455PA=−−−=，由对立事件的概率公式可得3()1()5PAPA=−=，故选：D.8.C【解析】设1APAB==，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，()0,0,

1P，()0,1,0D，()1,1,0C，()1,1,1PC=−，()0,1,1PD=−，7设平面PCD的法向量(),,mxyz=，则00mPCxyzmPDyz=+−==−=，取1y=，得()0,1,1m=，所以平面A

BP的法向量()0,1,0n=，设平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为，则12cos221mnmn===，故选：C.9.BC【解析】对于A，直线//a平面，直线b，则a与b的关系可以平行或者异面，故A错误；对于B，若aA=，则a与平面只有一个交

点，即相交，a，故B正确；对于C，若a，则//a或a与相交，故C正确；对于D，若a，b，则b与平面可以相交且与a相交，故D错误；故选：BC.10.CD【解析】根据题意得3zi=−，3zi=+，10z

=，33ziii+=−+=，所以A，B选项错误，C，D选项正确.故选：CD.11.ACD【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为111326=，A选项正确；对于B选项，2个球不都是红球的概率为1151326−=，B选项错误；对于C选项，至少有1个红球的概率为212132

3−=，C选项正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率1121132322+=，D选项正确.故选：ACD.12.BC【解析】因为()()acbabcac+−++=，所以2222aaccbac+

+−=，所以222bacac=++，因为2222cosbacacB=+−，所以1cos2B=−，所以23B=；8因为3b=，所以223acac++=，所以23acac+，所以1ac，取等号时1ac==，所以133sin244ABCSac

Bac==△，故选：BC.13.255【解析】由()122iz−=得212zi=−，所以2222512|12|55iiz====−−.14.2−【解析】因为abab=，所以//ab，又(),1am=−，()1,2b=，所以211m=−，解得12m=−.15.30【解析】

由频率分布直方图可得，样本中“临界生”人数约为：112000.0060.009202(69)2153022+=+==.16.12【解析】设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的

样本空间,,,,,ABACADBCBDCD=，共6个.其中恰有1件是次品的样本点有：AD，BD，CD，共3个，所以取出的2件中恰有1件是次品的概率为3162P==.17.解：（1）由题意可知()0.8PA=，()0.7PB=，且事件A，B相互独立，事

件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，所以()()()0.80.70.56PABPAPB===；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为ABAB+，且AB，AB互斥，所以()()()()()()()PABABPABPABPAPBPAPB+=+=+0.20.70.8

0.30.38=+=，（3）()()()()0.80.70.80.70.94PABPAPBPAB+=+−=+−=.18.解：（1）证明：连接1AD，∵1111ABCDABCD−是长方体，∴11////ABABDC，11ABABDC

==，∴四边形11ABCD是平行四边形，∴11//BCAD，又1BC平面11ADDA，1AD平面11ADDA，11//BCAD，∴1//BC平面11ADDA.9（2）连接1DC，∵//ADBC，∴1DBC为异面直线1BD与AD所成角，2212(22)23CD=+=，又∵B

C⊥平面11DDCC，∴1BCDC⊥，在1RtDCB△中，1123tan32DCDBCBC===，∴160DBC=，∴异面直线1BD与AD所成角的大小为60.19.解：（1）因为该项质量指标值在区间115,125内的口罩恰有8个，所以810.00810010b==

，又0.1(0.0060.0380.022)0.034ab+=−++=，所以0.0340.0080.026a=−=；（2）这种型号的口罩该项质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.

221200.08100x=++++=，利用样本估计总体的思想，可以认为这种型号的口罩项质量指标值的样本平均数为100，方差为104；（3）从样本可知质量指标值不低于85的产品所占比例的估计值为0.260.380.2

20.080.94+++=，故样本的合格率为94%，所以可以认为该企业生产这种型号口罩的质量合格率为94%.20.解：（1）连接BD，BO.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，且120ABC=，∴ABD△是边长为2的等边三角形，又PAD△是

等边三角形，∴PAB△是等腰三角形.∵E为PB的中点，∴AEPE⊥，10又2PA=，102AE=，∴由勾股定理得2262PEPAAE=−=，∴26PBPE==，又由PAD△，ABD△都是边长为2的等边三角形，可知3POBO==，∴222POBOPB+=，∴POBO⊥，由PAD△为等边三角形，O为A

D的中点，可知POAD⊥.又∵BOADO=，BO平面ABCD，AD平面ABCD.∴PO⊥平面ABCD.（2）以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0O，()1,0,

0A，()0,3,0B，()2,3,0C−，()1,0,0D−，()0,0,3P，∴()1,0,3AP=−，()1,3,0AB=−，()1,0,3DP=，()1,3,0DC=−.设平面APB的法向量为()111,,mxyz=，则00APmABm==，即111130

30xzxy−+=−+=，令13x=，则11y=，11z=，∴()3,1,1m=.设平面PDC的法向量为()222,,nxyz=，则00DPnDCn==，即22223030xzxy+=−+=.令23x=，则21y=，2

1z=−，∴()3,1,1n=−.设平面APB与平面PDC所成锐角为，则3113555cosmnmn=+−==，平面APB与平面PDC所成锐角的余弦值为35.1121.解：（1）因为//ADBC，AD平面ADEF，BC平面ADEF

，所以//BC平面ADEF，又BC平面BCEF，平面BCEF平面ADEFEF=，所以//BCEF.（2）如图，在平面ABCD内过点B作BHAD⊥于点H.因为DE⊥平面ABCD，BH平面ABCD，所以DEBH⊥.又,ADDE平面ADEF，ADD

ED=，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥BDEF−的高.在直角三角形ABH中，60BAD=，2AB=，所以3BH=.因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以DEAD⊥.又由（1）知，//BCEF，且//ADBC，所以//ADEF，所以DEEF⊥，所以三棱锥

BDEF−的体积11131133326DEFVSBH===△.22.解：（1）根据频率分布直方图可得(0.020.030.0250.02)101a++++=，解得0.005a=，因为0.005100.02100.03100.60.5++=，所以中位

数位于)30,40之间，设中位数为x，则0.005100.02100.03(30)0.5x++−=，解得38.33x，故中位数为38.33.（2）因为)20,30和)30,40频率比为0.0220.033=，按照分层抽样抽取5人，则)20,30中抽2人，记为A，B

；)30,40中抽3人，记为C，D，E；12再从这5人种随机抽取3人的样本空间{,,,,,,,,,}ABCABDABEACDACEADEBCDBCEBDECDE=，共10个样本点，因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在)20

,30的回答5道题，年龄)30,40的回答3道题，回答题目总个数为13个，则从)20,30的2人中抽2人，从)30,40的3人中抽1人，满足要求的样本点为ABC，ABD，ABE，共3个，所以13X=的概率310P=.