【文档说明】浙江省杭州第十四中学2024-2025学年高二上学期限时训练（一）数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，1.147 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）限时训练数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足zi=3+2i，则复数z(1－i)的虚部为（）A.－5B.－5iC.－3D.－3i【答案】A【解析】【

分析】由复数的运算法则求得复数z(1－i)，然后根据复数的定义得结论．【详解】由已知32i23iiz+==−，2(1i)(23i)(1i)22i3i3i15iz−=−−=−−+=−−，其虚部为5−．故选：A2.已知,,abc为空

间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A.,,abbcac++−B.2,,abbac+−C.2,2,abbcabc++++D.,2,2acbabc++−【答案】B【解析】【分析】根据空间基底的概念，结合选项，判断每组向量是否共面，即可求解.【详解】对于A中，由

()()acabbc−=+−+，所以,,abbcac++−不能作为一组空间基底；对于B中，假设2,,abbac+−共面，则存在,，使得()2abbac+=+−，即2ababc+=+−，可得120=

=−=，此时方程组无解，所以2,,abbac+−不共面，所以向量2,,abbac+−可以作为空间的一组基底；对于C中，由()()112222abcabbc++=+++，所以2,2,abbcab

c++++不能作为空间的一组基底；对于D中，由()()112222acbabc+=+−−，所以,2,2acbabc++−不能作为空间的一组基底.故选：B.3.某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录

了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：67573740466281473130则这组数据的（）A.众数是30B.10%分位数是30.5C.极差是37D.中位数是43【答案】B【解析】【分析】由众

数定义可判断A错误，将数据从小到大排列后根据中位数、极差、百分位数定义可判断CD错误，B正确.【详解】根据题意可知，每个数出现的次数都是一次，即众数不是30，即A错误；将这10个数据从小到大排列为30,31,37,40,46,47,57,62,67,8

1；易知1010%1=为整数，所以10%分位数是第一个数与第二个数的平均值，即为303130.52+=，即B正确；易知其极差为813051−=，即可得C错误；中位数为第5个数和第6个数的平均数，即464746.52+=，可得D错误.故选：B4.已知直线1l：310axy++=，2l：()20x

aya+−+=，则“3a=”是“12ll∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.【详解】因为12ll∥，所以3112aaa=−，解得3a=，

所以“3a=”是“12ll∥”的充要条件，故选：C5.已知()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2ABCD，则点D到平面ABC的距离为（）A.3B.2C.52D.63【答案】A.【解析】【分析】根据给定条件求出平面ABC

的法向量，再利用空间向量求出点D到平面ABC的距离.【详解】依题意，()()()1,1,0,1,0,1,0,1,2ABACAD=−=−=，设平面ABC的法向量(),,nxyz=，则00nABxynACxz=−+==−+=

，令1x=，得()1,1,1n=，则点D到平面ABC的距离为222||11123||111nADdn+===++，所以点D到平面ABC的距离为3.故选：A6.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解

决，如：()()22xayb−+−可以转化为平面上点(),Mxy与点(),Nab的距离．结合上述观点，可得2225625yxxxx=−++−+的最小值为（）A.210B.22C.210+D.35+【答案】A【解

析】【分析】y可看作x轴上一点(),0Px到点()1,2A与点()3,4B−的距离之和，可知当A，P，B三点共线时PAPB+取得最小值可得答案.【详解】()()()()22222225625102304yxxxxxx=−++−

+=−+−+−++，则y可看作x轴上一点(),0Px到点()1,2A与点()3,4B−的距离之和，即PAPB+，则可知当A，P，B三点共线时，PAPB+取得最小值，即()()()22min1324210PAPBAB+==−+

+=．故选：A.7.某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（）A.19B.29C.13D.23【答案】C【解析】【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可【详解】设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，画树状图如下，共有

9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，故他们选择同一项活动的概率是3193=，故选：C．8.过定点M的直线10axy+−=与过定点N的直线210xaya−+−=交于点P，则PMPN的最大值为()A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】求出直线1

0axy+−=与直线210xaya−+−=过的定点，由()110aa+−=得到两直线垂直，从而得到PMPN⊥，由勾股定理得到2222PMPNMN+==，结合基本不等式求出最大值.【详解】动直线10axy

+−=经过定点()0,1M，动直线210xaya−+−=，即()120xay−−−=，令1020xy−=−=，解得：12xy==，故直线过定点()1,2N，因为直线()110aa+−=，所以过定点M的直线10axy+−=与定点N的直线210xaya−+−

=始终垂直，P又是两条直线的交点，PMPN⊥，()()2222210212PMPNMN+==−+−=，故2212PMPNPMPN+=（当且仅当1PMPN==时取“=”）.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下

列说法正确的是（）A.直线sin20xy++=的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44B.“1a=−”是“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”充要条件C.两个非

零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D.已知向量()9,4,4a=−，()1,2,2b=，则a在b上的投影向量为()1,2,2【答案】ACD【解析】【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直

及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，直线sin20xy++=的倾斜角为，则tansin=−，因为1sin1−，所以1

tan1−，所以π3π0,,π44，故A正确；对于B选项，因为直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直，所以()()2110aa+−−=，即20aa+=，解得0a

=或1a=−，所以“1a=−”是“0a=或1a=−”的充分不必要条件，所以“1a=−”是“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构

成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为,ab，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量c，使得,,abc为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确

;对于D选项，因为向量()()9,4,4,1,2,2ab=−=，所以a在b上的投影向量为()()29cos,1,2,21,2,29||babbabaababbabbb====，故D正确.的故选：ACD.10.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人

能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（）A.两人均获得满分的概率12B.两人至少一人获得满分的概率712C.两人恰好只有甲获得满分的概率14D.两人至多一人获得满分的概率12【答案】ACD【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得

.【详解】设A=“甲获得满分”，B=“乙获得满分”，则32(),()43PAPB==,对于A，“两人均获得满分”可表示为AB,因两人能否获得满分相互独立，故321()()()432PABPAPB===,即A正确；对于B，因“两人至少一人获得

满分”的对立事件为AB=“两人都没获得满分”,则“两人至少一人获得满分”的概率为：11111()1()()14312PABPAPB−=−=−=，故B错误；对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示AB，其概

率为：311()()()434PABPAPB===，故C正确；对于D，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为AB=“两人都获得满分”，则“两人至多一人获得满分”为：3211()1()()1432PABPAPB−=−=−=,故D正确.故选：ACD.11.扎马钉（图1），

是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作ABCD､､､，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，设1OA=，则下列结论正确的是（）为A.ABCD⊥B.O为正四面体ABCD的中心C.1BC=D.四面体ABCD的外

接球表面积为【答案】AB【解析】【分析】容易判断B；将图形还原成正四面体，取CD中点F，进而证明CD⊥平面ABF，然后判断A；设E为A在平面BCD上的投影，设出正四面体的棱长，进而根据勾股定理求出棱长，然后判断C；根据球的表面积公式可以判断D.【详解】如图，正四面体ABCD

，由题意，1OAOBOCOD====，则O为正四面体ABCD的中心，B正确；设E为A在平面BCD上的投影，易知点E为三角形BCD的中心，连接CF交CD于F，则F为CD的中点，连接AF，则,BFCDAFCD⊥⊥，而BFAFF=，所以CD⊥平面ABF，所以ABCD⊥.A正确

；设该正四面体棱长为a，则22333323BEBFaa===，因为222213aOEOBBE=−=−，()22222222133aAEOEABBHaa=+=−=−=，联立解得𝑎=2√63.C错误；易知该四面体外接球半径为1，则外接球的表面积为4.故选：AB.三、填

空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面是边长为1的正方形，若1160AABAAD==，且13AA=，则1AC的长为__________

.【答案】17【解析】【分析】由111ACABBCCCABADAA=++=++，借助模长公式得出1AC的长.【详解】因为111ACABBCCCABADAA=++=++所以()2211ACABADAA=++222111222ABADAAABADABAAADAA=+++++

11119202132131722=+++++=即117AC=故答案为：1713.将一张坐标纸对折，如果点()0,m与点()()2,22mm−重合，则点()4,1−与点______重合.【答案】()1

,2−−【解析】【分析】先求线段AB的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,Am与点()2,2Bm−，可知线段AB的中点为1,122mmM−+，且212ABmkm−==−−，则线段AB的中垂线的斜率1k=，则线段

AB中垂线方程为1122mmyx−+=−−，即20xy−+=，设点()4,1−关于直线20xy−+=的对称点为(),ab，则114412022baab−=−+−+−+=，解得12

ab=−=−，所以所求点为()1,2−−.故答案为：()1,2−−.14.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（男女生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，

男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为______．【答案】236【解析】【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案．【详解】根据题意，由于男

女生人数之比为3:2，则样本中男女生人数之比为3:2，其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179，则样本的平均数3217516016955x=+=，样本的方差(22232[184(175169)179160169)23655S=+−++

−=，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为236．故答案为：236．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥PABCD−中，ADBC∥，224PABCADAB====，AD

⊥平面PAB，PAAB⊥，E、F分别是棱PB、PC的中点．的（1）证明：//DF平面ACE；（2）求平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33．【解析】【分析】（1）由中位线易证明四边形ADFE是平行四边形，进而得到//AEDF，进而得

到//DF平面ACE；（2）由题易知AB，AP，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面ACE和平面PAD的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值；【小问1详解

】如图所示，连接EF．因为E，F分别是棱PB，PC的中点，所以//EFBC，2.BCEF=因为//ADBC，2BCAD=，所以//EFAD，EFAD=，所以四边形ADFE是平行四边形，则//AEDF．因为AE

平面ACE，DF平面ACE，所以//DF平面ACE．【小问2详解】因为AD⊥平面PAB，PAAB、平面PAB,所以,ADPAADAB⊥⊥，又因为PAAB⊥，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，

AP，AD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题中数据可得(0,0,0)A，(2,0,4)C，(1,2,0),E(2,0,4)AC=，(1,2,0)AE=．设平面ACE的法向量

为(,,)nxyz=，则240,20,nACxznAExy=+==+=令2x=，得(2,1,1)n=−−．因为,PAABABAD⊥⊥，PAADA=,所以AB⊥平面PAD平面PAD的一个法向量

为(1,0,0)ABm==．设平面ACE与平面PAD夹角为，则||26cos|cos,|||||36nmnmnm====．故23sin1cos3=−=，即平面ACE与平面PAD的夹角的正弦值为33．16.为增强市民的节能环保意识，某市面向全

市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽的取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组)20,25、第2组)25,30、第3组)30,35、第4组)35,40、第5

组40,45.（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在)35,40的人数；（2）估计抽出的100名志愿者年龄的第75百分位数；（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名

中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.【答案】（1）150（2）37.5（3）415【解析】【分析】（1）由直方图频率和为1，列方程求x，再根据直方图求500名志愿者中年龄在)35,40的人数；（2）由第7

5百分位数分直方图左侧面积为0.75，列方程求第75百分位数.（3）由分层抽样的等比例抽取的性质求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.【小问1详解】由

直方图知：(0.14)51x+=，可得0.06x=，∴500名志愿者中年龄在)35,40的人数为0.065500150=人.【小问2详解】因为()0.010.040.0750.60.75++=，()0.01

0.040.070.0650.90.75+++=，所以第75百分位数在)35,40区间内，若该数为a，∴0.60.06(35)0.75a+−=，解得37.5a=.【小问3详解】由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为2:3:1，知6名志愿者有2名来自)25

,30，3名来自)35,40，1名来自)40,45，不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为12123,,,,,aabbbc，则抽取两人的基本事件有()()()()()()()1211112122123,,,,,,,,,,,,,aaaaaacababbbb

，()()232,,,,abac()()()()()()121312323,,,,,,,,,,,bbbbbcbbbcbc，共15个，∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率415P=.17.已知点()1,2P−，直线1:430lxy++=和2:3550lxy−−=（1）过点

P作1l的垂线PH，求垂足H的坐标；（2）过点P作l分别于12,ll交于点AB、，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程．【答案】（1）2133,1717H−（2）310xy++=【解析】【分析】（1）由直线的位置关系求PH方程，再联立求解交点坐标，（2）设出A点坐标，由中点表示B点

坐标，分别代入直线方程联立求解．【小问1详解】1:430lxy++=，即43yx=−−，则14PHk=，直线PH为()1124yx=++，即490xy−+=，联立方程430490xyxy++=−+

=，解得21173317xy=−=，故2133,1717H−．【小问2详解】不妨设()00,Axy，则()002,4Bxy−−−，则()()0000430325450xyxy++=−−−−−=，解得0025xy=−=，故直线l过点()1,2P

−和点()1522,5,321k−−==−−+，故直线方程为()312yx=−++，即310xy++=．18.已知函数()2(0,1)axfxabxb=+满足()11f=，且()fx在R上有最大值324.（1）求a，b的值；（2）当1,2x时，不等式()()232mfxxx

m+−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）3a=，2b=（2）(2,4【解析】【分析】（1）首先代入()11f=，再利用基本不等式求()fx最值，列式求得,ab；（2）求出()fx的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可.【小问1详解】()2(0,1)a

xfxabxb=+，()11f=，()111afb==+，即1ab=+，①()22aaafxbbbxxxx==+，()fx在R上有最大值324.3242ab=，即232ab=②，由①②得3a=，2b=；【

小问2详解】由（1）得()fx的解析式()232xfxx=+，由题意得当1,2x，则只有当2m或1m时，()232mxxm+−才恒有意义，①当1m时，()223322xmxxxm++−，等价为()0xxmm−−，等价为()2xxmxm=

−−的最大值max()0x，易知()x的对称轴为12mx=，在1,2x上单调递增，即()max()2430xm==−，得43m，（舍去）；②当2m时，由()()232mfxxxm+−得()223322xmxxxm++−，即()0xmxm−

−，设()2xxmxm=−+−，对称轴为2mx=，当24m时，2max()024mmxm==−，得24m，当4m时，()max()240xm==−+，得4m（舍）；综上

，m的取值范围为(2,4.19.已知ABCV中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，120C=.（1）若2ab=，求tanA的值；（2）若ACB的平分线交AB于点D，且1CD=，求ABCV周长的最小值.【答案】（1）32；（2）4+23.【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到si

n2sinAB=，消去B后进行弦化切即可得到3tan2A=；（2）利用面积公式求出111ab+=，利用基本不等式求出ab+的最小值，利用余弦定理求出23c=，即可求出ABCV周长的最小值.【详解】（1）已知

ABCV中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，120C=.若2ab=，所以sin2sinAB=，整理得：sin2sin(180120)AA=−−，整理得：31sin2cos2sin22AAA=−，解得3tan

2A=.（2）ACB的平分线交AB于点D，且1CD=，利用三角形的面积：111sin120sin60sin60222abaCDbCD=+所以333444abab=+，整理得111ab+=，所以11()()11224baabababab+=++=++++=…，当

且仅当2ab==时，等号成立.所以2222cos120cabab=+−，解得23c=，所以ABCV周长的最小值为2223423++=+.