【文档说明】湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.589 MB，由小赞的店铺上传

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永州市2024年上期高一期末质量监测试卷数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数12i−在

复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的几何意义求解.【详解】复数12i−在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，故复数12i−在复平面内对应的点位

于第四象限，故选：D2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A互斥B.相互对立C.相互独立D.相等【答案】C【解析】【分析】列举全部可

能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以及相互独立事件的定义求解.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误

，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.3.在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕

士生.400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）A.250B.220C.30D.20【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的每层中抽取样本比例相同，列式计算即可.【详解】设本科生抽取

的人数为x人，由分层抽样每层中抽取样本比例相同，可得102004400x=，解得220x=.故选：B.4.在ABC中，若sin:sin:sin2:3:4ABC=，则cosA=（）A.78B.78−C.14D.14−【答

案】A【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案.【详解】若sin:sin:sin2:3:4ABC=，则由正弦定理得::2:3:4abc=，可设():2,3,40===atbtctt，由余弦定理得222222291647cos22128+−+−−==bcatttAbct.故选

：A.5.已知2=a，3b=，a与b的夹角为120，则b在a上的投影向量是（）A32aB.32a−C.34aD.34a−【答案】D【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】b在a上的投影向量为13cos1203224aabaa=−=

−.故选：D.6.若数据1210,,,xxx的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）.A.数据121041,41,,41xxx+++的平均数为13B.数据12103,3,,3xxx的方差为12C.10130iix==D.1021130iix==【答案

】B【解析】【分析】利用平均数、方差的定义，逐项计算判断作答.【详解】依题意，1011310iix==，21011413)(0iix=−=，对于A，10101111(4(410)4311310101)iiiixx===+=++=，A正确；对于B，依题意，10101

1113(3)3391010iiiixx=====，所以数据12103,3,,3xxx的方差为：1221010111(3969)3)(9431010iiiixx====−−=，B错误；对于C，1013

0iix==，C正确；对于D，由10101010102222111111111(3)(69)(690)(90)410101010iiiiiiiiiiixxxxxx=====−=−+=−+=−=，解得1021130iix==，

D正确.故选：B7.已知对任意平面向量(),ABxy=，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量(cossin,sincos)APxyxy=−+，叫做点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点(0,1)A，点(2,122)B−，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π4后得到点P，则点P

的坐标为（）A.(3,1)−−B.(3,0)−C.(1,2)−−D.(1,3)−−【答案】C【解析】【分析】根据题意，计算出AP，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标.【详解】因为()()0,1,2,122AB−,所以

()2,22AB=−，将向量AB顺时针方向旋转π4，即逆时针旋转π4−，得到()()ππππ2cos22sin,2sin22cos4444AP=−−−−−+−−化简得()1,3AP=−−，所以P

点坐标为(1,2)−−；故选：C.8.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线1DP与平面ABCD所成角为π4，E为正方形11AADD的中心，点M为线段1DB上一动点，则MPME+的最小值为（）A.1022−B.1042−C.1

222−D.1242−【答案】B【解析】【分析】需要先找到P点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解.详解】因为直线1DP与平面ABCD所成角为4，又因为1DD⊥面,ABCD所以1DPD为直线1D

P与平面ABCD所形成的角，即145DPD=，又12DD=，所以2DP=，所以P点的轨迹为以D为圆心，2半径的圆落在四边形ABCD内的部分，即四分之一圆弧.【分析可知，P点为BD和圆弧的交点时，MP最小.此时可将面1DAB沿着1DB翻折到面11BBDD所在平面.根据长度关系，翻折后的图形

如图所示，其中12,OO分别为正方体上下底面的中心，当,,EMP三点共线时，MPME+最小.因为222,OP=−122OO=，所以最小值为()222221042.+−=−故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数12iza=−+，24i()zaa=−R，则下列说法正确的是（）A.12zzB.存在实数a，使得12zz为实数C.若12zz+为纯虚数，则2a=D.()221212zzzz+=+【答案】AC【解

析】【分析】根据复数的模长计算判断A选项，应用实数和纯虚数定义判断B,C选项，根据模长及乘方运算判断D选项.【详解】因为()()2222221224,416,zaazaa=−+=+=−+=+所以12zz，A正确；因为()()()222122i4i28i

i4i=28izzaaaaaaa=−+−=−++−++,28a=−无实数解，B选项错误；因()1224izzaa+=−+−为纯虚数，则2040aa−=−，即2a=，C选项正确；当0a=时，12122,4i,24

izzzz=−=−+=−−，则()()()222221212416i16=12+16i2420zzzz+=+−−+=−+−=，，D选项错误.为故选：AC.10.如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四

边形ABCD是边长为2的正方形，则（）A.异面直线AE与DF所成角的大小为π3B.二面角AEBC−−的平面角的余弦值为13C.平面AEC⊥平面BFDED.此八面体的外接球表面积为8π【答案】ACD【解析】【分

析】通过//EBDF可判断A项正确，作出二面角的平面角根据余弦定理求解，可知B项错误，使用面面垂直的判定定理即可得到C正确；证明O为外接球球心，即可判断D.【详解】由题可知,,,EBFD四点共面，又EBBFFDDE===，

所以四边形BFDE为菱形，所以//EBDF，故异面直线AE与DF所成角即为异面直线AE与BE所成角,又每个面都是正三角形，故异面直线AE与DF所成角的大小为π3，故A项正确；对于B项，连接,,AQCQAC，Q

为BE中点,又每个面都是正三角形，所以,AQBECQBE⊥⊥，所以AQC为二面角AEBC−−的平面角，所以223,22AQCQACABBC===+=，由余弦定理得()22233221cos3233AQC+−==−，所以二面角AEBC−−的平面角的余弦值为13−，故B项错误；

由于,,EOF三点共线，O在直线BD上，故,,,BFDE四点共面.又由于,,OBOCOE两两垂直，且,OBOE在平面BFDE内交于点O，故OC⊥平面BFDE.而OC在平面AEC内，故平面AEC⊥平面BFDE，C正确；由于该八面体的每个面都是边长为2的正三角形，故22=22OCOAOBODO

EOFECOC=====−=，,所以点O为几何体外接球的球心，且外接球的半径为2，从而外接球的表面积为()24π28π=，D正确.故答案为：ACD.11.已知点P在ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（）A.若P为ABC的垂心，且3ABAC=uuuruuur，则3

APAC=B.若230PAPBPC++=，则ABC的面积与ABP的面积之比为3:1C.若111122coscosAPABACABBACC=+++，则动点P的轨迹经过ABC的外心

D.若E，F，G分别为AB，BC，AC的中点，且2ACBG==，0PAPC=，则PEPF的最大值为154【答案】ACD【解析】【分析】A将AP转化为ABBP+uuuruur，然后求数量积；B将3PC拆成2PCPC+uuuruuur，然后

根据线性运算得到2PMPN=−uuuruuur，然后求面积比即可；C由题意得coscosABACHPABBACC=+，然后根据0HPBC=uuuruuur得到HPBC⊥，即可得到动点P的轨迹经过ABC的外心；D根据0PAPC=得到

点P的轨迹，将,PEPF转化为11,22BOGABOGA+−uuuruuruuuruur，然后求数量积，根据点P的轨迹求最值.【详解】A选项，()3APACABBPACABAC=+==，故A正确

；B选项，设AC中点为M，BC中点为N，2322240PAPBPCPAPCPBPCPMPN++=+++=+=，即2PMPN=−uuuruuur，所以点P为中位线MN靠近点N的三等分点，所以212ABCABCABPABCSSSS==VVVV，故B错；C选项，

设BC中点为H，则()12AHABAC=+，结合题设()12coscosABACHPAPAHAPABACABBACC=−=−+=+所以0coscosABBCACBCHPBCBCBCABBACC=+=−+=，所以HPBC⊥，又BC的中点为H，所以P在BC的中垂线上，所以动点P的轨

迹经过ABC的外心，故C正确；D选项，设BG中点为O，因为0PAPC=，所以点P的轨迹为以AC为直径的圆，结合上图，()()PEPFBEBPBFBP=−−1122BABPBCBP=−−11112

222BGGABPBGGABP=+−−−1122BOGABPBOGABP=+−−−1122POGAPOGA=+−214POGA=−214PO=−,当PO为直径时PEPF最大，最

大为154，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：数量积的计算方法（1）定义法；（2）坐标法；（3）转化法；（4）几何意义法.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件A与事件B

发生的概率分别为()0.3PA=，()0.5PB=，且()0.1PAB=，则()PAB=______.【答案】0.7##710【解析】【分析】根据概率的加法公式代入求解即可.【详解】因为事件A与事件B发生的概率分别为()0.3PA=，()0.5PB=，且()0

.1PAB=，所以()()0.30.5.()7()0.10PAPAPBABPB+=−=+−=.故答案为：0.7.13.已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为1:4，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的5倍，则该圆台的体积为______.【答案】14π3【解析】【分析】根

据已知条件，利用轴截面面积求得圆台得底面半径和高，然后根据圆台体积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆台的上下底面中心分别为12,OO,ABCD为其轴截面.由题意得15BCAO=，设1AOx=，则22,5COxBCx==，在轴截面ABCD中过点B作BE⊥CD于点E，则121

212,,BEOOBEOOOBOEx===，故22CEOCOEx=−=，由勾股定理222BEBCCEx=−=，轴截面的面积为242622ABCDxxBEx++==，解得1x=，故圆台上底面半径111rAO==，下底面半径222rCO==，高122hOOBE=

==，故该圆台的体积为()22π14π1212233++=.故答案为：14π314.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sincbA=，则ba的最大值是______.【答案】21+##12+【解析】【分析】由2sincbA=明确边c上的

高等于边c的一半，做出边c上的高CD，设BDx=，用x表示出ba，再结合换元法和基本不等式，求ba的最大值.【详解】如图：过C作CDAB⊥于D.因为2sin2cbACD==，所以2cCD=.设BDx=，则()2222222ccxbacx+−

=+222214ccxcx−=++设22ccxt−=，则22ctxc−=若0=t，则1ba=；若0t，则1ba；当0t时，2222142btacctc=+−+24224122ctcctt=+−+242412

2cctct=++−24241222ccc+−24241222ccc=+−223=+（当且仅当242tc=即22tc=时取“=”）.所以22321ba+=+故答案为：21+【点睛】方法点睛：求取值范围得问题，常用的方法有：（1）结合二次函数的单调性，求二次函数在给定区间上的最值；（2）

利用基本不等式，求最值；（3）利用三角函数的有界性求最值；（4）判断函数的单调性，求最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市高一年级36000名学生

参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生的成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示.（1）求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数；（2）估计该市高一年级学生成绩的71%分位

数.【答案】（1）0.006a=；32400（2）85【解析】【分析】（1）根据频率之和等于1即可求出a，求出及格的频率，再乘以36000即可；（2）根据频率分布直方图中百分位数的求法求解即可.【小问1详解】由题意，()100.0040.0220.0280.0

220.0181a+++++=，解得0.006a=，高一年级的及格的频率为()100.0220.0280.0220.0180.9+++=，则估计该市高一年级的及格（60分以上）人数为360000.932400=人；小问2详解】因为()100.004

0.0060.0220.0280.60.71+++=，0.6100.0220.820.71+=，所以高一年级学生成绩的71%分位数在区间)80,90上，设为x，则()0.60.022800.71x+−=，解得85x=，所以估计该市高一年级学生成绩的71%分位数为85.16.已知向量(1,

2)a=，(3,1)b=−.（1）若()()abakb+⊥−，求k的值；（2）若Rt，求atb−的最小值.【答案】（1）49k=（2）71010【解析】【分析】（1）先分别求出,abakb+−，得坐标，再根据向量垂直得坐标表示即可得解；（2）根据向量的模

的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.【小问1详解】由(1,2)a=，(3,1)b=−，得()()2,3,13,2abakbkk+=−−=+−，因为()()abakb+⊥−，所以()()0abakb+−=，【即()()213320kk−++−=，解得4

9k=；【小问2详解】()13,2atbtt−=+−，则()()2221321025atbtttt−=++−=++，当110t=−时，atb−取得最小值71010.17.甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为35，乙获

胜的概率为25，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰

子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.【答案】（1）方案二被选择的可能性更大，理由见解析（2）81125【解析】【分析】（1）列举出向上的点数所有情况和点数之差的

绝对值不大于1的情况，求出概率，得到结论；（2）分三种情况，求出相应概率相加即可.【小问1详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为(),ab，则共有36种情况，如下：()()()()()()()(

)()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,

4,5,4,6，()()()()()()()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：()()()()()1,1,1,2,2,1,2,2,2,3,()()()()()()

()()()()()3,2,3,3,3,4,4,3,4,4,4,5,5,4,5,5,5,6,6,5,6,6，共16种情况，故选择方案一的概率为164369=，则选择方案二的概率为45199−=，因为5499，所以方案二被选择的可能性更大；【

小问2详解】若甲在前两局获胜，概率为3395525=，若第一局，第三局获胜，概率为32318555125=，若第二局，第三局获胜，概率为23318555125=，三种情况互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为91

8188125125125125++=.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，其中//ADBC，且2ADBC=，8PAPBAD===，5CD=，点E，F分别为棱PD，AD的中点.（1）若平面PAB⊥平面A

BCD，①求证：PBAD⊥；②求三棱锥PABE−的体积；（2）若8PC=，请作出四棱锥PABCD−过点B，E，F三点的截面，并求出截面的周长.【答案】（1）①证明见解析.②247.（2）2326.2+【解析】【分析】（1）①利用面面垂直的性质定理证明结合面面垂直的定义求证即可.②

利用两条相互平行的直线其中一条垂直于一个平面，另外一个也垂直于这个平面计算这个三棱锥的高.（2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长.【小问1详解】①因为平面PAB⊥平面,ABCD平面PAB平面,ABCDAB=又因为底面A

BCD为直角梯形，其中//,ADBC所以,ADAB⊥又因为AD面,PAD所以AD⊥面.PAB又因为PB面,PAB所以.PBAD⊥②由①知AD⊥面,PAB取PA的中点设为,Q连结,QE则,QEAD则QE⊥面,PAB则点E到面PAB的距离为14.2AD=又因为在ABCD直角梯形ABCD中

4BC=，8PAPBAD===，5,CD=解得3,AB=所以在等腰三角形PAB中PABS=△3247.4三棱锥PABE−的体积132474247.34V==【小问2详解】取线段PC的中点H，连接,EHHB，因为DNBC=，且//D

NBC，所以四边形NDCB为平行四边形，所以//DCNB，又,EH分别为线段,PDPC，所以//EHDC，所以//EHNB，则四边形EHBN为四棱锥PABCD−过点,BE及棱AD中点的截面，则5BNCD==，142ENPA==，1522HECD==，在PBC中，14,4,2BCHC

PC===，21cos84PCB==，所以22212cos161624424.4BHBCHCBCHCHCB=+−=+−=，则26.BH=，所以截面周长为52354262622BNENHEHB+++=+++=+.19.当ABC的三个内角均小于1

20时，使得120AMBBMCCMA===的点M为ABC的“费马点”；当ABC有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为ABC的“费马点”.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是ABC的“费马点”.（1）若cos3sin0aCaCbc+−−=，23a=，BC.

①求A；②设ABC的周长为236+，求PAPBPC++的值；（2）若222coscoscos1BCA+−=，PBPCtPA+=，求实数t的最小值.【答案】（1）①π3A=；②27（2）223+【解析】【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件cos3

sin0aCaCbc+−−=.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出π3A=；②在APC△中，由余弦定理得到,,PAPBPC的关系，再结合等面积法建立,,PAPBPC的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系.（2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形

，接着设PBmPA=，PCnPA=，PAx=，仿照第一小问的思路找到2mnmn++=的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据mnt+=，即有2480tt−−，从而得解.【小问1详解】①sincos3sinsins

insin0,23,,ACACBCaBC+−−==()sincos3sinsinsincoscossinsin0,ACACACACC+−+−=3sinsincossinsin0,sin0ACACCC−−=，3sincos10,AA−−=()ππ1ππ5π2sin1,sin,0,π,,66

2666AAAA−=−=−−则πππ,,663AA−==②设,,.PAxPByPCz===而()2222222xyzxyyxyxyyz++=+++++，在APC△中，由余弦定理得:22222cos120.bxyxyxyx

y=+−=++同理有22222222,,12cxyxyayzyzyzyz=++=++=++则2222212222.bcxyxyyzxzz++=+++++在ABC中由余弦定理知:()22π232cos,3bc

bc=+−即2212,bcbc−=+又6,bc+=则222()236,bcbcbc+=++=22362.36312,bcbcbc+=−−=228,20,bcbc=+=22222232,xyyxyxyyz+++++=又等面积法知：111sin120sin120sin120222AB

CSAPCPBPCPAPBP=++1πsin,23bc=则2228,12xzyzxybcxyz++==++=，()2122828xyz++=+=，故27.PAPBPC++=【小问2详解】因为

222coscoscos1,BCA+−=所以2221sin1sin(1sin)1,BCA−+−−−=所以222sinsinsin,ABC=+所以222,abc=+所以ABC为直角三角形，π2A=，点P为ABC的费马点，则2π3APBBPCCPA===，

设PBmPA=，PCnPA=，PAx=，()0,0,0mnx，则由PBPCtPA+=得mnt+=；由余弦定理得()22222222π||2cos13ABxmxmxmmx=+−=++，()22222222π||2cos13ACxnxnx

nnx=+−=++，()2222222222π||2cos3BCmxnxmnxmnmnx=+−=++，故由222||||||ACABBC+=得()()()222222211nnxmmxmnmnx+++++=++，即

2mnmn++=，而0,0mn，故222mnmnmn+++=，当且仅当mn=，结合2mnmn++=，解得13mn==+时，等号成立，又mnt+=，即有2480tt−−，解得223t+或223t−（舍去），故实数t的最小值为223

+．【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设PBmPA=，PCnPA=，PAx=，从而推导出mnt+=、2mnmn++=，再利用基本不等式及一元二次不等式求出t的取值范围.