【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1教案：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算2 含解析【高考】.doc，共(3)页，205.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1e2eaPOA'P'B'C'BAC3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标：1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。教学重点：空间向量的基本

定理及其推论教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程：一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,，使a=2211ee+二、建构数学1、空间向量的基

本定理如果三个向量321,,eee不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组),,(zyx，使321ezeyexp++=证明：（存在性）设321,,eee不共面，过点O作pOPeOCeOBeOA====,,,321过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；在

平面OAB内，过点P作直线//,//PAOBPBOA，分别与直线,OAOB相交于点,AB，于是，存在三个实数,,xyz，使3/2/1/,,ezOCOCeyOBOBexOAOA======∴OPOAOBOCxOAyOBzOC=++=++所以321ezeyexp

++=-2-ABCOMNG（唯一性）假设还存在,,xyz使3/2/1/ezeyexp++=∴321ezeyex++3/2/1/ezeyex++=∴0)()()(3/2/1/=−+−+−ezzeyyexx不妨设xx

即0xx−∴3//2//1exxzzexxyye−−−−−−=∴321,,eee共面此与已知矛盾∴该表达式唯一，综上两方面，原命题成立由此定理，若三向量321,,eee不共面，那么空间的任一向量都可由321,,eee线性表示，我们把{321,,eee}叫做空间的

一个基底，321,,eee叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基

底，通常用kji,,表示。推论：设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，使OPxOAyOBzOC=++三、数学运用2、例2如图，已知空间四边形OABC，其对角线,OBAC，,MN分别是对边,OABC的中点，点G在线段MN上，且2MGGN=

，用基底向量,,OAOBOC表示向量OG解：OGOMMG=+-3-2312()231211[()]2322111()233111633OMMNOAONOMOAOBOCOAOAOBOCOAOAOBOC=+=+−=++−=++−=

++∴OCOBOAOG313161++=