【文档说明】【精准解析】吉林省长春市第十一高中2020届高三下学期线上模拟考试数学（文）试题.doc，共(21)页，1.635 MB，由小赞的店铺上传

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长春市十一高中高三线上模拟考试数学试题（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2|4,Rxxx=，|4,xxx=，则=（）A.()0,2B.0,2C.0,1,2D.

0,2【答案】C【解析】试题分析：2|4,R[2,2]xxx==−,|4,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16xxx==,所以0,1,2AB=，故选C．考点：集合的运算．2.复数241iz

i+=+（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A.()3,1B.()1,3−C.()3,1−D.()2,4【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结果．【详解】由题意得：()()()()24131

1iiziii+−==++−复数z所对应点的坐标是()3,1本题正确选项：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8π3B.16π3C.8πD.16π【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出原几何

体，然后根据圆柱和圆锥的体积公式，计算出结果.【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积4S=，圆柱和圆锥的高2h=，故组合体的体积116133VSh=

−=，故选B．【点睛】本题考查三视图还原几何体，圆柱体的体积和圆锥体积的求法，属于简单题.4.等比数列na的前n项和为nS，若0na，1q，3520aa+=，2664aa=，则5S=（）A.48B.36C.42D.31【答案】D【解析】试题分析：由于在等比数列na中

，由2664aa=可得：352664aaaa==，又因为3520aa+=，所以有：35,aa是方程220640xx−+=的二实根，又0na，1q，所以35aa，故解得：354,16aa==，从而公比5132,1aqaa===；那么55213121

S−==−，故选D．考点：等比数列．5.已知x，y满足约束条件1400yxyxy++−，则2zxy=+的最小值是（）A.−8B.−6C.−3D.3【答案】B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点B时，直线的截

距最小，从而得到答案.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得(1,1),(2,2),(5,1)ABC−−−，2zxy=+，则1122yxz=−+，当直线1122yxz=−+过点(2,2)B−−时，z取到最小值，所

以2zxy=+的最小值是22(2)6−+−=−，故选B．【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.6.已知A是ABC的内角，则“3sin2A=”是“tan3A=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为3sin2A=，,所以，即由3sin2A=不能推出tan3A=，而tan3A=，，所以,，所以3sin2A=，即由tan3A=可以推出3sin2A=，所以“3sin2A=”是tan3A

=成立的必要不充分条件．考点：充分，必要条件的概念，同角三角函数的基本关系式．点评：本题着重考查对充分必要条件的理解和同角三角函数关系式的应用，另外三角形的内角的范围这个隐含条件要充分运用．7.执行如图的程序框图，则输出的值为（）A.20

16B.2C.D.-1【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得2,0sk==，满足条件2016,1,1ksk=−=；满足条件12016,,22ksk==；满足条件2016,2,3ksk==；满足条件2016,1,4ksk=−=；满足条件12016,,52ksk==；……

观察规律可知，s的取值以3为周期，由201536712=+，有满足条件201622016ksk==，，，不满足条件2016k，退出循环，输出s的值为2，故选B．考点：程序框图．8.已知()fx是定义在R上

的奇函数，且()fx在)0,+内单调递减，则（）A.23(log3)(log2)(0)fff−B.32(log2)(0)(log3)fff−C.32(0)(log2)(log3)fff−D.32(log2)(log3)(0)fff−【答案】B【解析】【分析】由奇函数的性质，

可以判断出函数()fx的单调性，再根据对数函数的图象可以得到32log2,0,log3−之间的大小关系，最后利用单调性选出正确答案.【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，且()fx在)0,+内单调递减，所以()f

x是定义在R上减函数，因为32log20log3−，所以32(log2)(0)(log3)fff−，故本题选B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了对数函数的图象.9.已知函数()3sincos(0)fxx

x=+的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为2的等差数列,把函数()fx的图象沿x轴向左平移6个单位,得到函数()gx的图象.关于函数()gx,下列说法正确的是（）A.在,42上是增函数B.其图象关于直线4πx=−对称C.函数

()gx是奇函数D.当2,63x时,函数()gx的值域是[2,1]−【答案】D【解析】【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到()gx的

解析式，画出其图象，即可得答案．【详解】31()3sincos2(sincos)2sin()226fxxxxxx=+=+=+，由题意知22T=，则T=，222T===，()2sin(2)6fxx=+，把函数()fx的图象沿x轴

向左平移6个单位，得()()2sin[2()]2sin(2)2cos26662gxfxxxx=+=++=+=．作出函数的图象：对A，函数在[4，]2上是减函数，故A错误；对B，其图象的对称中心为(,0)4π−，故B错误；对C，函数为偶函数，

故C错误；对D，2cos(2)16=，22cos(2)13=−，当[6x，2]3时，函数()gx的值域是[2−，1]，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象和性质，正确画出图象对解决问题起到事半功倍的作用，是中档题．10.设函数41()lo

g4xfxx=−,141()log4xgxx=−的零点分别为1x、2x,则（）A.121=xxB.1201xxC.1212xxD.122xx【答案】B【解析】【分析】由题意可得1x是函数4logyx=的图象和1()4xy=的图象的交点的横

坐标，2x是14logyx=的图象和函数y1()4x=的图象的交点的横坐标，根据12414loglogxx，求得1201xx，从而得出结论．【详解】由题意可得1x是函数4logyx=的图象和1()4xy=的图象的交点

的横坐标，2x是14logyx=的图象和函数1()4xy=的图象的交点的横坐标，且1x，2x都是正实数，如图所示：故有12414loglogxx，故41124loglog0xx−，4142loglog0xx+，

412log()0xx，1201xx，故选：B．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的图象和性质应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．11.在正三棱锥SABC−中，M是SC的中点，且AMS

B⊥，底面边长22AB=，则正三棱锥SABC−的外接球的表面积为（）A.6B.12C.32D.36【答案】B【解析】试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相

垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．取AC中点，连接BN、SN，∵N为AC中点，SA=SC，∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN，∵SB⊂平面SBN，∴A

C⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC，∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长22AB=，∴侧棱SA=2，∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：223,3R

R==，∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是2412SR==，故选B．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体12.过曲线C1：22221xyab−=(a＞0，b＞0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px(p＞0)于点N，其

中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为()A.5B.51−C.51+D.512+【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c，0)，由题意知F2也是C3的焦点，所以C3：y2＝4cx.连接O

M，NF2，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2.因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a.又NF2⊥NF1，|F1F2|＝2c，所以|NF1|＝2b.设N(x，y)，则由抛物线的定义可得|NF2|＝x＋c＝2a，所以x＝2a－c.过点F1作

x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由y2＋4a2＝4b2，即4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，得e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)，故选D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.已知(1,2)a=−，(0,2)ab+=，则b=__

________．【答案】17【解析】【详解】(0,2)(1,2)(1,4)17bb=−−=−=14.函数lnxyx=的图像在1x=处的切线方程是_______．【答案】10xy−−=【解析】【分析】对函数求导，求

得切线斜率和切点坐标，利用点斜式可得切线方程.【详解】21ln'xyx−=，所以1'|1xy==，又当1x=时，0y=，所以切线方程为1yx=−，故答案为10xy−−=【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，

对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.15.对于数列na，定义11222nnnaaaHn−+++=为na的“优值”，现已知某数列的“优值”2nnH=，记数列na的前n

项和为nS，则20192019S=___________.【答案】1011【解析】【分析】可令1n=，将n换为1n−，作差可得1nan=+，由等差数列的求和公式，即可得到所求值．【详解】解：由112222nnnnaaaHn−+++==，得112222nnnaaan−+++=，①2n…时，21

12122(1)2nnnaaan−−−+++=−，②①−②得11122(1)2(1)2nnnnnannn−−−=−−=+，即1nan=+，对1n=时，12a=也成立，则(3)2nnnS+=，所以则201910112019S=．故答案为：1011【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数

列的求和公式和运用，以及运算能力，属于中档题．16.抛物线C：22yx=的焦点坐标是________；经过点()4,1P的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则AFBF+=________.【答案】(1).1,

02(2).9【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求得准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义把AFBF+转化为AMBN+，再转化为2PK，从而得出结论．【详解】解：抛物线C：22yx=的焦点1,02F．过A作AM⊥准线交准线于M，过B作B

N⊥准线交准线于N，过P作PK⊥准线交准线于K，则由抛物线的定义可得AMBNAFBF+=+．再根据P为线段AB的中点，119(||||)||4222AMBNPK+==+=，∴9AFBF+=，故答案为：焦点坐标是1,02，9AFBF+=．【点睛】本题考查抛物线的

定义的应用，其中不要忽略中位线的性质，梯形的中位线是上底与下底和的一半，属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知223cos

cos222CAacb+=（Ⅰ）求证：abc、、成等差数列；（Ⅱ）若,433BS==，求b.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应

用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式最常

用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：223sincossincossin222CAACB+=即1cos1cos3sinsinsin222CAACB+++=2分∴sinsinsincoscossin3sinACACACB+

++=即sinsinsin()3sinACACB+++=4分∵sin()sinACB+=∴sinsin2sinACB+=即2acb+=∴,,abc成等差数列.6分（Ⅱ）∵13sin4324SacBac===∴8分又

2222222cos(+)3bacacBacacacac=+−=+−=−10分由（Ⅰ）得：2acb+=∴224484bbb=−=12分考点：三角函数与解三角形.18.在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=

2，AB=1．（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．【答案】（1）见解析（2）3【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则//

FH=12ED，∴//FH=AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴//BFAH，由BF平面ACD内，AH平面ACD，//BF平面ACD；（Ⅱ）取AD中点G，连接CG..AB⊥平面ACD,∴CG⊥AB又CG⊥AD∴CG⊥

平面ABED,即CG为四棱锥的高，CG=3∴CABEDV−=13(12)2+23=3.考点：线面平行和多面体的体积点评：主要是考查了线面平行以及多面体体积的运算，属于中档题．19.某城市100户居民的月平

均用电量（单位：度），以)160,180，)180,200，)200,220，)220,240，)240,260，)260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为)2

20,240，)240,260，)260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0

.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=

0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝

0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230.-------------5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240

)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.------------8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×10

0＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100

＝5户，-------------10分抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．--12分考点：频率分布直方图及分层抽样20.椭圆C:22221xyab+=（0ab）的上顶点为，4,33b是C上的一点，以

为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）2212xy+=；

（2）存在两个定点()11,0，()21,0−．【解析】试题分析：（1）设()F,0c．以为直径的圆经过椭圆C的右焦点F即FF0=，从而得到b,c的一个方程，然后将点P代入椭圆方程得到a,b的一个方程，再结合,三个量三个方程，从而求出参数a,b，进而求出椭圆

方程；（2）是否存在性问题应假设存在去求解．当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm=+，由其与椭圆有且只有一个公共点得到2221mk=+．假设存在两点()11,0，()22,0满足题设，然后得到12dd=()()2121222111kkmk

++++=+．因与参数k,m无关，所以令其系数等于零即可求出．试题解析：（1）()F,0c，()0,b，由题设可知FF0=，得224033bcc−+=①又点在椭圆C上，22216199bab+=，22a=②2222bca+==③①③联立解得，1c=，21b=

故所求椭圆的方程为2212xy+=（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm=+，代入椭圆方程，消去y，整理得()222214220kxkmxm+++−=（）方程（）有且只有一个实根，又2210

k+，所以0=，得2221mk=+假设存在()11,0，()22,0满足题设，则由()()()2212121212222111kkmkkmkmddkk++++++==++()()2121222111kkmk

++++==+对任意的实数k恒成立，所以，121221{0+=+=解得，121{1==−或121{1=−=当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点()11,0，()21,0−，使它们到直线l的距离之积等于1．考点：求椭圆方程；存在性问题．

【方法点睛】（1）求椭圆方程常用的方法是待定系数法（本题即使用该法），即根据题意确定方程是那种形式（22221xyab+=或22221(0)yxabab+=）,然后根据条件求出a,b即可．另外，常用定义法，即根据题意动点满足到两定点距离之

和等于定长且定长大于两定点间的距离，从而求出椭圆方程．（2）是否存在性问题，常假设存在去求解，如果求出存在；如果求不出即不存在．本题是假设存在，并求出()()2121222111kkmk++++=+，则要使其恒成立，需有参数的系数等于零即可求解．21.已知函数()()212

ln212xxaxfax=+++，Ra.（1）讨论()fx的单调性；（2）当0a时，证明：()542xfa−−.【答案】（1）见解析（2）见解析.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，分别在0a和0a两种情况下，讨论导函数的正负，由此得到原函数的单调性；（2）根据（1）中结论，可

知()max1fxfa=−，由此可将不等式转化为()max542fxa−−，即证11ln10aa−++，令1ta=−，构造函数()ln1gttt=−+，利用导数可求得()gt单调性，得

到()max0gt，进而证得结论.【详解】（1）由题意得：()fx定义域为()0,+()()()()()()2212212210axaxxaxfxaxaxxxx+++++=++==当0a时，()0fx在()0,+上恒成立()fx在()0,+

上单调递增当0a时，若10,xa−，()0fx，则()fx单调递增；若1,xa−+，()0fx，则()fx单调递减综上所述：当0a时，()fx在()0,+上单调递增；当0a时，()fx在10,a−上单调递增，在1,a

−+上单调递减（2）由（1）可知，当0a时，()fx在10,a−上单调递增，1,a−+上单调递减()max1112ln22fxfaaa=−=−−−要证()542x

fa−−只要证1152ln2422aaa−−−−−，，即证：11ln10aa−++令1ta=−，即证：ln10tt−+在0t上成立令()ln1gttt=−+，即证：()0gt()111tgttt−=−=当()0,1t时，

()0gt；当()1,t+时，()0gt()gt在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减()()max1ln1110gtg==−+=()0gt即当0a时，()542xfa−−【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性

、利用导数证明不等关系的问题；本题中不等关系证明的关键是能够根据函数的单调性将问题转化为函数最值的求解问题，通过函数最值来确定不等关系成立.请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的

方框涂黑.22.已知直线1C:1cossinxtayta=+=,（t为参数）,曲线2C:cossinxy==,(为参数).（1）以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系；当3=时,求1C与2C的交点的极坐标（其中极径0,极角[0,2)）；（2）过坐标

原点O作1C的垂线,垂足为A,P为OA中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【答案】（1）()1,0,51,3（2）2211416xy−+=,轨迹是圆心为1,04,半径为14的圆【

解析】【分析】（1）先把极坐标方程化成普通方程，求出交点坐标后，再化成极坐标，即可得答案；（2）先将1C参数方程化为普通方程，写出A点坐标为()2sin,sincos−，利用中点坐标公式得到P的坐标，消参后即可得答案.【详解】

（1）当3a=时,1C的普通方程为3(1)yx=−,2C的普通方程为221xy+=，联立方程组223(1)1yxxy=−+=,解得1C与2C的交点坐标为()1,0,13,22−．所以两点的极坐标为()1,

0,51,3.（2）1C的普通方程为sincossin0xy−−=,设A点坐标为()2sin,sincos−,故当变化时,P点轨迹的参数方程为21sin,21sincos,2xy==−（为参数）P

点轨迹的普通方程为2211416xy−+=．故P点轨迹是圆心为1,04,半径为14的圆．【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化、利用参数方程求轨迹方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、

运算求解能力.23.设()fxx1x1=−++.(1)求()fxx2+的解集;(2)若不等式()a12a1fxa+−−,对任意实数a0恒成立,求实数x的取值范围.【答案】(1)0,2(233)22xx−或.【解析】【详解】试题分析：(1)分情况讨论去绝对值求解即可；(2)整理,再结

合绝对值三角不等式可得121111112123aaaaaaa+−−=+−−++−=，再解不等式113xx−++即可.试题解析：(1)由()fxx2+有201112xxxxx+−−−−+或2011112xxxxx

+−−+++或201112xxxxx+−+++解得02x,所求解集为0,2.(2a12a1)a+−−=111112123aaaa+−−++−=,当且仅当11120aa+−时取等号

.由不等式()a12a1fxa+−−对任意实数a0恒成立,可得x1x13−++,解得33xx22−或.