【文档说明】湖南省名校联合体2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.629 MB，由小赞的店铺上传

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湖湘名校教育联合体·2024年下学期高二10月大联考数学本试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知(1,1,0),(1,1,

2)ab==−，则ab=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可.【详解】因为()()()1,1,01,1,21111020ab=−=−++=.故选：B2.将直线1:10lxy−+=绕点()0,1逆时针旋转90°

得到直线2l，则2l的方程是（）A.20xy+−=B.10xy+−=C.220xy−+=D.210xy−+=【答案】B【解析】【分析】由题意可知12ll⊥，由两直线的斜率之积为1−（两直线的斜率均存在时）可求2l的斜率，且2l过(0,1

)，由直线的点斜式可得2l的方程．【详解】直线1l的方程为1:10lxy−+=，其斜率为1，设直线2l的斜率为k，12ll⊥，1k=−．由题意可知，1(0,1)l，2(0,1)l，2l的方程为：1(0)−=−−yx，即10xy+−=．故选：B3.圆221

:4Cxy+=与圆222:(2)(3)9Cxy−+−=的位置关系是（）A.内含B.内切C.外离D.相交【答案】D【解析】【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【详解】圆221:4Cxy+=，则圆心1(0,0)C，半径12r=，圆222:(2)(3)9Cxy

−+−=，则圆心2(2,3)C，半径23r=，则2212||2313CC=+=，由于1513，即211212||||rrCCrr−+，故圆1C与圆2C的位置关系为相交．故选：D．4.若椭圆2215xy+=的右焦点坐标为(

)2,0，则的值为（）A.1B.1或3C.9D.1或9【答案】C【解析】【分析】根据椭圆中,,abc的关系即可求解.【详解】根据右焦点坐标为()2,0，可得2c=，且焦点在x轴上，故259c=+=，故选：C5.已知O空间任意一点，,,,ABCD四点共面，且任意三点不共线，若12ODO

AxOByOC=++，则2xy最大值为（）A.12B.14C.18D.116的【答案】C【解析】【分析】根据四点共面得出112xy++=，再分类结合基本不等式计算求解.【详解】因为,,,ABCD四点共面，且任意三点不共线，得出112xy++=，,

xy都不是0，当0,0xy时，122xyxy+=，计算可得116xy，2xy的最大值为18，当且仅当14xy==时取最大值，当20xy时，128xy，所以2xy的最大值为18，故选：C.6.如

图，正四棱锥PABCD−的棱长均为2，,MN分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为（）A.153B.203C.52D.352【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的向量法，即可建立空间直角坐标系求解.【详解】取底面的中心为O，以O为坐标原

点，建立如图所示的空间直角坐标系，112OMONAB===，223,2PMOPPMON==−=,则()()()1,0,0,0,1,0,0,0,2MNP，所以()1,1,0MN=−，()0,1,2PN=−，故点M

到直线PN的距离为22115233PNMNMNPN−=−=,故选：A7.已知函数,0(),0xxfxxx−=−，若对任意2[0,3],()2()afaxfx−恒成立，则x的取值范围为（）A.[3,1]−B.(,3][1

,)−−+C.[0,2]D.(,0][2,)−+【答案】B【解析】【分析】根据()2()2fxfx=将问题转化为2()(2)faxfx−，根据函数()fx在R上单调递减，即可由232xx+

求解.【详解】当0x时，()2()222fxxxfx=−=−=，当0x时，()2()222fxxxfx=−=−=，故()2()2fxfx=，由2()2()faxfx−可得2()(2)faxfx−当0x

时，()()fxxfx−==−，当0x时，()()fxxfx−=−−=−，因此对任意的x都有()()(),fxfxfx−=−为奇函数，且当0x时，()fxx=−单调递减，且(0)0f=，故()fx在R上单调递减，故由2()(2)fa

xfx−得22axx−，故22axx+对任意的[0,3]a成立，故232xx+，解得3x−或1x.故选：B8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥ABCD−，该三棱锥为鳖臑，1O，2O为半

圆柱的圆心，半径为2，4BD=，260AOC=，动点Q在ACD内运动（含边界），且满足10BQ=，则点Q的轨迹长度为（）A.2πB.3πC.22πD.23π【答案】A【解析】【分析】根据鳖臑的特点及已知边长得出22,BT=进而得出点Q的轨迹为以T为圆心以2TQ=为半径的半圆即可

求出轨迹长度.【详解】因为三棱锥ABCD−为鳖臑，BD⊥平面ABC，在ABD△中，22,4,4,4442DBABABBDAD⊥===+=，过B做BTAD⊥垂足为T，则1122BTADDBAB=，即11424422BT=，所以2210BT=，因为222,60,4OA

ACAQCOC⊥==，2224sin23,27ACAQCBCABAC===+=，在ACD中，22223,42,42844ACADDCBDBC===+=+=，所以222ACADDC+=，则ACAD⊥，又BD⊥平面A

BC，AC平面ABC，所以BDAC⊥，又,,BDADDBDAD=平面ABD，所以AC⊥平面ABD，又BT平面ABD，所以BTAC⊥，又BTAD⊥，,,ADACAADAC=平面ACD，所以BT⊥平面ACD，因为TQ平面ACD，所以BTTQ⊥，所以BTQ△中，2210,22,2

BQBTQTBQBT===−=，过A作AEDC⊥，AEDCACAD=，即442342AE=，可得46611AE=，则过T作TFDC⊥，因为T是𝐴𝐷中点，所以266//211TFAETF=，，所以动点Q在ACD内（含边界）的轨迹为以T为圆心以2TQ=

为半径的半圆，则点Q的轨迹长度为2π.故选：A.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.函数π()cos()(0,0,)2fxAxA=+的部分图

象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2=B.π3=C.π6x=−是曲线()yfx=的一条对称轴D.()fx在区间ππ,26−−上单调递增【答案】AD【解析】【分析】对于A，根据图象求得2=求解

判断；对于B，由5π212f=−由()5π2ππZ,6kk=+=+求解判断；利用三角函数的对称轴对C选项进行判断，利用三角函数的单调性对D选项进行判断.【详解】对于A，因为0，所以由图象知，12π11π5ππ2212122T=

=−=，所以2=，A选项正确；由图象知2A=，又因为5π5π2cos221212f=+=−，所以5π212+()5π2ππZ,6kk=+=+即()π2πZ6kk=+，因为π2，所以π6=，B错误；对于C，当π6x=−时，π2ππ()2c

os()32666f−=−+=，则π6x=−不是()fx的对称轴，故C错误；对于D，()2(2)6πfxcosx=+的单调增区间满足：226ππkπxkπ−++，Zk，即单调增区间为7ππ2π,2π66kk−+−+，Zk，当0k=时，增区间为7ππ

,66−，所以()fx在区间ππ[,]26−−上单调递增，故D正确.故选：AD.10.如图，正方体1111ABCDABCD−的体积为8，E，F，G，M分别为1AA，AD，1CC，11AB的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF与MB为异面直线B.向

量EM在向量FG上的投影向量为12FGC.若Q为1CA上靠近点1A的四等分点，则413AQABADAA=++D.线段CD上存在点P，使得EF//平面PGM【答案】ABC【解析】【分析】根据异面直线的定义即可求解A，利用投影向量的计算方法即可求解

B，利用空间向量的线性运算即可求解C，利用法向量可得P为CD中点，此时EF平面PGM，即可判定D.【详解】对于A，取AB中点J，连接1JA,由于1//JAMB,1//DAEF,1JA与1DA相交，因此EF与MB为异面直线，A正确，对于C，若Q为1CA

上靠近点1A的四等分点，114AQAC=,则()114AQAAAAABAD−=++,故143AQABADAA=++，C正确，对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，由体积为8可得棱长为2，则,()1,0,1,EM=()2,1,1FG=,则3EMFG=，向量E

M在向量FG上的投影向量为212EMFGFGFGFG=，故B正确，对于D，假设线段CD上存在点(),2,0Pa，其中02a，使得EF//平面PGM，()()1,2,1,2,0,1MGGPa=−=−−,设平面PGM的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则()2020

xyzaxz+−=−−=，取2x=，则()2,3,24maa=−−，()0,1,1EF=−,由于EF//平面PGM，所以()(),0,1,12,3,243240EFmEFmaaaa⊥=−−−=−−+=，解得1a=，此时P为CD中点，此时()0,1,1EF=−,()1,1,0,

FP=()2,2,2m=−−由于0,0,mEFmFP==故()2,2,2m=−−也是平面EFP的法向量，又平面EFP与平面PGM有公共点P，因此平面EFP与平面PGM重合，故EF平面PGM，故D错误，故选：ABC11.设圆22:(1)(1)2Cxy−+−

=，直线:10,lxyP++=为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（）A.若圆心C到直线AB的距离为22，则6AB=B.直线AB恒过定点11(,)33C.若线段AB的中点为M，则PM的最小值为726D.若1122(,),(,)AxyBxy，则1212

12122xxyyxxyy+++++【答案】ABD【解析】【分析】根据弦长公式即可求解A，利用切点圆方程，可得直线AB的方程为()210axyxy−+++−=，即可求解定点判定B，利用相似以及勾股定理可得2PMPCP

C=−，利用单调性求解PC的最值即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D.【详解】对于A，圆C的半径为2r=，故222262ABr=−=，A正确，对于B，由题意可知点A，B，在以CP为直

径的圆上，设(,1)Paa−−，()1,1C,其圆的圆心为1,22aa+−，故方程为：222211112222aaaaxy++−−++=−+−，化简为()22110xyaxay+−++−=，与方程22(

1)(1)2xy−+−=相减可得()210axyxy−+++−=，则直线AB的方程为()210axyxy−+++−=，令0210xyxy−+=+−=，解得13xy==，因此直线AB恒过定点11,33，因此B正确；对于C，由于,,PMABCMABAPCA⊥⊥

⊥,故PMAMPMAMAMMCAMPCPM==−,故()()222PCPMPMAMPCPM−==−−,解得2PMPCPC=−,由于函数2,yxyx==−均为(0,+∞)内的单调递增函数，故2yxx=−为(0,+∞)内的单调递增函

数，当PCl⊥时，此时PC最小，且最小值为22332211=+，当PC最小时，故PM的最小值为3222322−=526,故C错误，对于D，由于PBCPAC,故2sinrAPCPCPC==,由选项C可知PC的最小值为22332211=+，故2222sin32rAPCPCPC=

=，故ππ,42APC，进而可得π2APB,由于πAPBAPB+=，进而可得π2ACB，即,CACBACB=,因此0CACBuuuruuur，()()11221,

1,1,1CAxyCBxy=−−=−−，故()()()()121211110CACBxxyy=−−+−−，即121212122xxyyxxyy+++++，D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据锐角三角函数可得2sinrAPCPCPC==，进而根据PC最小值可得ππ,42A

PC，即可根据互补可得π2ACB,因此0CACBuuuruuur，利用向量数量积的坐标运算求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件A与事件B相互独立，且()0.4

,()0.5PAPB==，则()PAB=__________．【答案】0.7【解析】【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解．【详解】因为事件A与事件B相互独立，()0

.4,()0.5PAPB==，所以()0.40.50.2PAB==，所以()0.40.50.20.7()()()PAPBABPAPB==++−=−,故答案为：0.7．13.已知点(1,2),(0,2),MNP−−是直线:220+−=lxy上一点，则PMPN+的最小值为__________

．【答案】5【解析】【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点()3,2M，即可利用三点共线求解.【详解】设M点关于直线:220+−=lxy的对称点(),Mab，则1222022221MMabbka+−+−=

+==−，解得3,2ab==，故()3,2M，故22345PMPNPMPNNM+=+=+=,故最小值为：5为14.已知椭圆22223:1(0)2xybCbaab+=的左，右焦点分别为12,FF，过原点的直线与C相交于M，N两点，若110MFNF=且112

MFNF，则椭圆C的离心率为__________．【答案】53【解析】【分析】根据椭圆对称性以及112MFNF可得22||3FMa，根据勾股定理可得222||2FMaca=−−，即可代入求解2259ac，结合已知条件得到2259ac=，

即可求解.【详解】因为过原点的直线与C相交于M，N两点，110MFNF=,故四边形12MFNF为矩形，故21MFFN=，又12||||2FMFMa+=，112MFNF，所以222||2||aFMFM−，则22||3FMa，又22122||||4FMFMc+=

，即22222(2|)||4aFMFMc−+=，且222ca，解得222||2FMaca=−−，222||2FMaca=+−（由于22||3FMa，故舍去）结合22||3FMa，故22223acaa−−，即2259ac又()22222395

249baaacac−，因此2259ac=，故259e=，解得53e=，故答案为：53点睛】关键点点睛：由22122||||4FMFMc+=解方程得到222||2FMaca=−−，结合椭圆定义得到22||3FMa，联立

可得2259ac.【四、解答题：本题共5小题，共77分．答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1cos)3sinbAaB−=．（1）求角A的大

小；（2）若27a=，2b=，角A的平分线交BC于点D，求线段AD的长．【答案】（1）2π3A=（2）43．【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得1cos3sinAA−=，即可由辅助角公式可得π1sin()62

A+=，结合三角函数的性质即可求解，（2）根据余弦定理可得4c=，即可利用等面积法或者利用角平分线定理，结合向量的线性运算以及模长公式求解.【小问1详解】因(1cos)3sinbAaB−=，由正弦定理可得sin(1cos)3sinsinBAAB−=．又因

为(0,π)B，则sin0B，所以1cos3sinAA−=，整理得π2sin()16A+=，即π1sin()62A+=．因为(0,π)A，所以ππ7π(,)666A+，所以π5π66A+=，所以2π

3A=．【小问2详解】在ABCV中，22227,2cosaabcbcA==+−，且2b=，则有22842cc=++，解得4c=（舍去负值）．方法1：由面积ABCABDACDSSS=+，111sinsin22sn2ib

cbCADcBABACADDAD=+，即2424ADAD=+，则43AD=，线段AD的长是43．方法2：由内角平分线定理有12CDACDBAB==，则()212333ADABACABABAC=+−=+，222142169999ADcbcb=+−=，所以

43AD=，线段AD的长是43．16.已知圆C的圆心在y轴上，且经过点(2,0)A，(1,3)B．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C上存在一点P满足ABP的面积为5，求直线BP的方程．【答案】（1）22(1)5xy+−=（2）380xy−+=或210xy−+

=【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可代入求解半径和圆心坐标，即可求解，（2）根据两点坐标得直线的方程，以及两点距离，根据点到直线的距离公式可得(2,2)P−或(1,1)P−−，即可求解直线方程，或者利用平移，结合直线与圆相交求解交点的坐标，即可求解直线方程，或者

利用三角换元法，再根据点到直线的距离公式求解.【小问1详解】由题意，设圆C的标准方程为222()xyar+−=，代入点(2,0),(1,3)AB，解之得1,5ar==，故圆C的标准方程为22(1)5xy+−=．【小问2详解】解法一：由(2

,0)A，(1,3)B可得斜率为30312k−==−−，故直线AB的方程为22360,(21)(03)10xyAB+−==−+−=，由5ABPS=得点P到直线AB的距离251010d==，设00(,)Pxy，则()0022

0036101015xyxy+−=+−=，解得022xy=−=或0011xy=−=−，即(2,2)P−或(1,1)P−−，当(2,2)P−时，直线BP的方程为380xy−+=，当(1,1)P−−时，直线BP的方程为210xy−+=，综上直线BP的方程为38xy−+或2

10xy−+=解法二：因为直线AB的斜率30312ABk−==−−，所以直线AB的方程为36yx=−+，即360xy+−=，22(21)(03)10AB=−+−=，设点P到直线AB的距离为d，则由5ABPS=得2510

10d==，则将直线AB沿着与AB垂直的方向平移10个单位即可，此时该平行线与圆交点即为点P，设该平行线的方程为30xyC++=，则61010C+=，解得4C=或16C=−，当4C=时，联立()2215340xyxy+−=++=，解得11xy=−=−或2

2xy=−=，即(2,2)P−或(1,1)P−−，当(2,2)P−时，直线BP的方程为380xy−+=，当(1,1)P−−时，直线BP的方程为210xy−+=，综上直线BP的方程为380xy−+=或210xy−+=解法三：同解法一得到直线AB的方程为360xy+−=，点P到直

线AB的距离251010d==，设(5cos,15sin)P+，其中[0,2π)，则有35cos15sin61010++−=，的联立22cossin1+=，解得5cos525sin5=−=−或25cos55sin5==，即(2,2)

P−或(1,1)P−−当(2,2)P−时，直线BP的方程为380xy−+=，当(1,1)P−−时，直线BP的方程为210xy−+=，综上直线BP的方程为380xy−+=或210xy−+=17.图1是棱长为2的正方体1111ABCDABCD−，E，F，1E，1F分别是CD，AD，11CD，11AD的

中点，截去三棱柱111EDFEDF−和三棱柱111BCEBCE−得到如图2的四棱柱1111ABEFABEF−，G，H分别是1EE，1AA的中点，过点B，G，H的平面交1FF于点M．（1）求线段FM的长；（2）求平面11ABG与平面夹角的余弦值．【答案】（1）54（2）1

0515．【解析】【分析】（1）先根据平面的性质，确定M点的位置，再求FM的长度.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦值.【小问1详解】方法一：在图1中延长BA与EF相交于K，延长11BA与11EF相交于1K，延长BH与1KK相交于I，连接IG交1FF于M，如图所示，由

ABH∽KBI，得AHKIBABK=，求得315,()224KIMFKIEG==+=．方法二：在图1中过点G作BH的平行线交1DD于T点，连接TH交1FF于点M，如图所示，易知315,()224TDMFHATD==+=．【小问2详解】在图2中，以A

为坐标原点，分别以1,,AFABAA为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，如图所示，平面即平面BGH，则(0,2,0),(2,1,1),(0,0,1),(2,1,0),BGHHG=(0,2,1)HB=−，设面的法向量(,,)m

xyz=ur，有2020mHGxymHByz=+==−=，令2y=，则1,4,(1,2,4)xzm=−==−，1111(0,0,2),(0,2,2),(2,1,1),(2,1,1)ABAGBG=−=−−，设面11ABG的法向量为(,

,)nabc=，有112020nAGabcnBGabc=+−==−−=，令2c=，则1,0,(1,0,2)abn===，18105cos15215mnmnmn−+===．则面11ABG与面的夹角的余弦值是10515．18.在直角坐

标系xOy中，点12(2,0),(2,0)EE−，动点(,)Txy满足直线1TE与2TE斜率之积为12−．记T的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）过左焦点1F且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线相交于A，B两点，AB的中点为M，直线O

M与曲线相交于C，D两点．求四边形ACBD面积的取值范围．【答案】（1）曲线是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，22(2)2xyx+=；（2）(2,22)．【解析】【分析】（

1）用,xy把T点满足的条件表示出来，列出方程，化简即可.注意：要注明x取值范围.（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到12xx+，21xx，求出弦长|𝐴𝐵|即

中点M，进而写出直线OM，与椭圆方程联立，得到,CD点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点,CD到直线l的距离，表示出四边形ACBD的面积，根据二次函数的性质，可确定四边形ACBD面积的取值范围.【小问1详解】直线1TE的斜率为(2)2yxx−+

，直线2TE的斜率为(2)2yxx−，由题意可知：22122(2)222yyxyxxx=−+=+−，所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为22(2)2xyx+=；【小问2详解】如图：的法一：直线l的斜率存在且不为0，设1122

00:(1),(,),(,),(,)lykxAxyBxyMxy=+，联立2212(1)xyykx+==+，整理得22222(12)4220,Δ880kxkxkk+++−==+恒成立，且212221224122212kxxkkxxk+=−+−=+，则221

2222(1)112kABkxxk+=+−=+，则2020221212kxkkyk=−+=+，即22221(,),12122OMkkMkkkk−=−++，直线CD的方程为12yxk=−，与221(2)2xyx+=，联立得222412kxk=+，设点3333(,),(,)CxyDx

y−−到直线:(1)lykx=+的距离分别为12dd,，则23333331212222222221,,1111kxykkxykkxykddddkkkk−+−++−+==+==++++，四边形ACBD面积2212221122(1)221

()22121kkSABddkk++=+=++2221112222221221kkk+==+++，又20k，所以(2,22)S，故四边形ACBD面积的取值范围为(2,22).法二：易知直线l的斜率存

在且不为0，设112200:1,(,),(,),(,)lxmyAxyBxyMxy=−，代入点得221122221212xyxy+=+=，相减得12121212()()()()02xxxxyyyy−+

+−+=，整理得12OMABkk=−①；联立221220xmyxy=−+−=，得22(2)210mymy+−−=，所以12122221,22myyyymm−+==++．2212222(1)12mABmyym+=

+−=+；设3333(,),(,)CxyDxy−−，由①得12OMABkk=−，直线CD方程为2xym=−，联立22122xyxym+==−，解之得2222mym=+，即232222mmymm==++．设点3

333(,),(,)CxyDxy−−到直线:1lxmy=−的距离分别为34,dd，则333211xmydm−+=+，334211xmydm−++=+，3333334222242()2222111ymymyxmymmddmmm−−+−+====+++22221mm++.所以四边形ACBD的面积

2342212211()221222mSABddmm+=+==−++，又20m，所以2221111220112222mmm+−++，所以(2,22)S，故四边形ACBD面积的取值范围为(2,22)．【点

睛】关键点点睛：本题第2问，求四边形面积的取值范围，先利用对角线把四边形分割成两个三角形，利用弦长公式求出AB的长，在结合点到直线的距离求三角形的高，表示出四边形的面积.19.已知集合1,2,3,,Sn=，n为正整数且5,nM为集合S的子集，记card()M表示集合M中

元素的个数．（1）当5n=时，card()4M=，请写出满足条件的集合M；（2）当15n=时，对任意的,,(,,xyzMxyz可以相同），都有xyzM++，求card()M的最大值；（3）若121,,,,nnMMMM+均为S的子集，且card()3(11)iMin=+，

求证：一定存在两个不同的子集,(11)ijMMijn+，使得card()1ijMM=．【答案】（1）1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,3,4,5，2,3,4,5．（2）10；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合M中有4个元素，即可列举求

解，（2）根据6,7,8,9,,15,M=满足要求，可得card()10M=，只需要证明11card()15M不成立，即可，（3）利用反证法，结合定义即可求证.【小问1详解】∵card()4,1,2,3,4,5MS==∴集合M有：

1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,3,4,5，2,3,4,5．【小问2详解】取6,7,8,9,,15,M=此时M中最小的三个元素时6,7,8且67815++，且66615++，故满足对于任意的,,xyzM，,card()

10xyzMM++=，当card()10M时，集合M中的元素取从大到小对应card()M的个数，均成立，下证当11card()15M不成立，作三元子集05,10,15,,10,10(1,2,3,4)kMMkkkk==−+=，则01234

SMMMMM=，对S的任意一个11元子集1S，必包含某kM，若01MS，则有15555=++成立，与1xyzS++矛盾；若1(1,2,3,4)kMSk=，则元素10(10)kkkk+=++−与1xyzS++矛盾，∴card()M的最大

值为10；【小问3详解】（反证法）假设对任意的,card()2ijijMM=，card()0ijMM=①若card()0ijMM=，三元子集至少有1n+个，与元素只有n个矛盾，②若card()2ijMM=，若1

223card()2,card()2MMMM==，则13card()2MM=，将121,,,nnMMMM+分成若干组，每组中的两个三元子集都有2个公共元素，不同组中无公共元素．下证，任取一组有k个三元子集，有m个元素，则km，当1k=时，3m=，则km，当2k时，4(4)kmm

+−=，而三元子集有1n+个，至少要有1n+个元素，矛盾．∴一定存在两个不同的子集,ijMM，使得card()1ijMM=【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函

数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.