【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第2章 第9节 函数与方程 含解析【高考】.doc，共(11)页，583.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-函数与方程[考试要求]结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的

图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内

至少有一个实数解．(4)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近

似值的方法叫作二分法．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210[常用结论]有关函数零点的三个

结论(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．-2-(3)若函数f(x)在[a

，b]上是单调函数，且f(x)的图像连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函

数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－

4ac＜0时没有零点．()(5)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、教材习题衍生1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f

(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个B[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]2．函数f(x)＝lnx＋2x－

6的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)C[由题意得f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，f(4)＝ln4＋8－6＝ln4＋2＞0，∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．

]3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．-3-1[∵函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，且f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，因此函数f(x)有唯一零点．]4．

若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．(－∞，4)[由题意知Δ＝16－4a＞0，解得a＜4.]考点一判定函数零点所在区间判断函数零点所在区间的方法1．设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间

1e，1，(1，e)上均有零点B．在区间1e，1，(1，e)上均无零点C．在区间1e，1上有零点，在区间(1，e)上无零点D．在区间1e，1上无零点，在区间(1，e)上有零点D[当x∈1e，e时，函数图像是连续的，且f′(x)＝13－

1x＝x－33x＜0，所以f(x)在区间1e，e上单调递减，又f1e＝13e＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，所以函数f(x)在区间(1，e)上有唯一零点，故选D.]2．若x0

是方程12x＝x的解，则x0属于区间()-4-A.23，1B.12，23C.13，12D.0，13C[令f(x)＝12x－x，则x0是函数f(x)的零点，函数f(x)在R上图像

是连续的，且f(0)＝1＞0，f13＝12－13＞0，f12＝12－12＜0，∴f13·f12＜0，因此x0∈13，12，故选C.]3．若a＜b＜c，则函数f(x

)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)

(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c

)内，故选A.]4．(2020·天津模拟)设函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－1x，若f(x1)＝g(x2)＝0，则()A．0＜g(x1)＜f(x2)B．g(x1)＜0＜f(x2)C．f(x2)＜0＜g(x1)D．f(x2)＜g(x1)＜0B[函数f(x)是R上

的增函数，g(x)是(0，＋∞)上的增函数，∵f(0)＝e－1－4＜0，f(1)＝5－4＝1＞0，又f(x1)＝0，∴0＜x1＜1，∵g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln2－12＞0，又g(x2)＝0，∴1＜x2

＜2，∴f(x2)＞f(1)＞0，g(x1)＜g(1)＜0，∴g(x1)＜0＜f(x2)，故选B.]-5-点评：由f(a)·f(b)＞0，并不能说明函数f(x)在区间(a，b)上没有零点，若f(x)在(a，b)上是单调函数，则f(x)在(a，b)上无零点．考点二确定

函数零点的个数确定函数零点个数的方法[典例1](1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0，2x＋1，x≤0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(3)设函数f(x)是定

义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(1)B(2)D(3)C[(1)由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx·(1－cosx)＝0得sinx＝0或cosx＝1，∴x＝kπ，k∈Z，

又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零点有3个，故选B.(2)依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝-6-lnx与y＝x2－2x的图像(如图)，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个

零点．故选D.(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图像，如图所示，两函数图像有1个交点，所以函数

f(x)有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]点评：数形结合法确定函数零点个数的关键是正确画出函数的图像．在画函数的图像时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．[跟进训练]1．函数f(x)＝2x|

log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4B[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x.在同一坐标系下

分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.]2．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点

的个数是()A．0B．2C．4D．6C[画出函数y＝f(x)和y＝log3|x|的部分图像如图所示．由图知，函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数为4.-7-]考点三求与零点有关的参数问题已知函数有零点(方程有根)，求参数的值或取值

范围的方法根据函数零点的个数求参数的取值范围[典例2－1](2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)C[函数g

(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图像与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图像，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]点评：已知函数的零点个数，一般

利用数形结合思想转化为两个函数图像的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有零点求参数的取值范围[典例2－2](1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是()-8-A．(2，＋∞)B．[2，＋∞

)C.2，52D.2，103(2)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，x－1，x＞1，则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，实数a的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．[－1,2)C．[－1,0)∪

(1,2]D．[0,1](1)D(2)A[(1)由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103，所以

实数a的取值范围是2，103.(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1.∵函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，∴a2－a－1＞－1，解得a＜0或a＞1.故选A.]点评：函数f(x)有零点⇔f(x)＝0有解，此时可分离参数，化

为a＝g(x)的形式，则a的取值范围就是g(x)的值域．[跟进训练]1．已知函数f(x)＝2x－a，x≤02x－1，x＞0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，1]C．[－1,0)D．(0,1]D[

当x＞0时，由2x－1＝0得x＝12，即x＝12是函数f(x)的一个零点，故方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解．即a＝2x在(－∞，0]上有一个解，又当x∈(－∞，0]时0＜2x≤1，则0＜a≤1

，故选D.]2．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．－14，2[∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4

x－2x在[－1,1]上有解．-9-令y＝4x－2x＝2x－122－14.∵x∈[－1,1]，∴2x∈12，2，∴2x－122－14∈－14，2.∴实数a的取值范围是－14，2.]核心素养3用数学的眼光观察世

界——解嵌套函数的零点问题函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相

对简单的函数，借助函数的图像、性质求解.嵌套函数零点个数的判断[素养案例1]已知函数f(x)＝2x＋22，x≤1，|log2(x－1)|，x＞1，则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－32的零点个数是()A．4B．5C．6D

．7A[令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－32，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－32＝0的根的问题．令y＝f(t)－2t－32＝0，则f(t)＝2t＋32.分别作出y＝f(t)和y＝2t＋

32的图像，如图1，由图像可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1＜t2)，则t1＝0,1＜t2＜2；由图2，结合图像，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2；当f(x)＝t2时，结合图像，有3个解

．所以y＝f[f(x)]－2f(x)－32共有4个零点．-10-]图1图2[评析]1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入

t＝g(x)求出x的值或判断图像交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图像与性质．[素养培优]已知f(x)＝|lgx|，x＞0，2|x|，x≤0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是_____．5[由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝

0，得f(x)＝12或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图像如图所示．由图像知y＝12与y＝f(x)的图像有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图像有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．]已知嵌套函数的零点个数求

参数[素养案例2]函数f(x)＝ln(－x－1)，x＜－1，2x＋1，x≥－1，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．[－1，＋∞)[设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝

0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图像(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图像有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2

≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．]-11-[评析](1)求解本题抓住分段函数的图像性质，由y＝a与y＝f(t)的图像，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图像确定零点的个数．(2)含参数的嵌套函数方程，还应注

意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．[素养培优]设定义域为R的函数f(x)＝|lgx|，x＞0，－x2－2x，x≤0，若关于x的方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同的实数根，则b的取值范围是________．(－1.5，－2)[

根据题意作出f(x)的简图：由图像可得当f(x)∈(0,1)时，有四个不同的x与f(x)对应．再结合题中“方程2f2(x)＋2bf(x)＋1＝0有8个不同实数解”，可以分解为形如关于K的方程2K2＋2bK＋1＝0有两个不同的实数根K1

，K2，且K1和K2均为大于0且小于1的实数．列式如下：Δ＝4b2－8＞0，0＜K1＋K2＜2，K1·K2＞0，(K1－1)(K2－1)＞0，即b2＞2，0＜－b＜2，b＞－32，可得－1.5＜b＜－2.]