【文档说明】四川省自贡市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.228 MB，由小赞的店铺上传

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自贡一中高2026届高二上学期10月月考数学试题一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.如图所示,直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk,则A.123kkkB.231kkkC.321kkkD.132kkk【答案】B【解析】【分析】设直线123,,lll所

对应的倾斜角为123,,，由图可知，12302，由直线的倾斜角与斜率的关系可得231kkk，得解.【详解】解：由图可知,直线1l的倾斜角为锐角,所以10k,而直线2l与3l的倾斜角均为钝角,且2l的倾斜角小于3l的倾斜角,故23

0kk.所以231kkk.故选B.【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题.2.已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么3ab+等于（）A.7B.10C.13D.4【答案】C【解析】【分析】根据2

3(3)abab+=+，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.【详解】由题意可得11cos601122abab===，2223(3)9619313abababab+=+=++=++=.故选：C3.已知直线()1:410lxay+−+=，2:550l

axy++=且12//ll，则实数a的值为（）A.5B.1C.5或1−D.1−【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.【详解】直线()1:410lxay+−+=，2:550laxy++=，由(4)50aa−−=解得5a=或1a=−

，当5a=时，直线1:10lxy++=与2:5550lxy++=重合，不符合题意，当1a=−时，直线1:510lxy−+=与2:550lxy−−=平行，所以实数a的值为1−.故选：D4.“直线1:(1)3laxay+−=与2:(1)(23)2la

xay−++=互相垂直”是“3a=−”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由两直线互相垂直，知(1)(1)(23)0−+−+=aaaa，由此能求出实数

a的值，再利用充分必要条件的定义判断得解.详解】解：直线1:(1)3laxay+−=与2:(1)(23)2laxay−++=互相垂直，(1)(1)(23)0aaaa−+−+=，解得1a=或3a=−．因为1a=或3a=−时，3a=−不一定成立，因为3a=−时，1a=或3a=−一定成立.

“直线1:(1)3laxay+−=与2:(1)(23)2laxay−++=互相垂直”是“3a=−”的必要不充分条件.故选：A5.如图，在四面体PABC中，E是AC中点，3BFFP=，设,,PAaPBbPCc===，则FE=（）【

的A.111232abc−+B.111242abc−+C.111243abc++D.212343abc−+【答案】B【解析】【分析】由空间向量的线性运算求解.【详解】()1111124242FEPEPFPAPC

PBabc=−=+−=−+故选：B6.已知,,abc是空间的一个基底，则下列说法错误．．的是（）A.若xyz++=0abc，则0xyz===B,,abc两两共面，但,,abc不共面C.一定存在x，y，使得axbyc=+D

.,,2abbcca+−+一定能构成空间的一个基底【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．【详解】对于A，若,,xyz不全为0，则,,abc共面，与题意矛盾，故A正确；对于B，,,abc是空

间的一个基底,则,,abc两两共面，但,,abc不共面，故B正确；对于C，,,abc不共面，则不存在实数,xy，使得axbyc=+，故C错误；对于D，若,,2abbcca+−+共面，()(2)abkbcca+=−++，121kk===无解，故,,2abb

cca+−+不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确故选∶C．.7.已知空间直角坐标系中的三点(2,0,2)A，(0,0,1)B，(2,2,2)C，则点A到直线BC的距离为（）A.53B.23C.253D.5【答案】C【解析】【分析】由点A到直线BC的距离,向量在

向量上的投影及勾股定理即可求.【详解】已知(2,0,2)A，(0,0,1)B，(2,2,2)C，所以(2,0,1)AB=−−，(2,2,1)BC=，||3,BC=点A到直线BC的距离为()222225|5|53||3ABBCA

BBC−−=−=.故选：C.8.已知点()()2,3,3,2AB−，若直线20axy++=与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A.54,,23−−+B.45,32−C.54,23−

D.45,,32−−+【答案】B【解析】【分析】求出直线,CACB的斜率，结合图形得出a的范围．【详解】直线20axy++=过定点()0,2C−，且54,23ACBCkk=−=，由图可知直线与线段AB没有交点时

，斜率a−满足5423a−−，解得45,32a−，故选：B．二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则（）A.直线1BC与直线1AD

所成的角为90B.1BD⊥平面1ACDC.点1B到平面1ACD的距离为32D.直线1BC与平面1ACD所成角的余弦值为33【答案】BD【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到11BCAD=，即可判断选项A；利用向量法证明111,BDADBDAC⊥⊥，即可判断选

项B；利用向量法求出点1B到平面1ACD的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线1BC与平面1ACD所成角的余弦值即可判断选项D.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：()()()()()()1111,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,0,1ABCBCD.A：()()1

11,0,1,1,0,1BCAD=−=−，因为11BCAD=，所以1BC//1AD，因此选项A不正确；B：()()()111,1,1,1,0,1,1,1,0BDADAC=−−−=−=−，所以1110,0BDADBDAC==，所以111,BDA

DBDAC⊥⊥，而1ACADA=I，1,ACAD平面𝐴𝐶𝐷1，因此1BD⊥平面1ACD，所以选项B正确；C：因为1BD⊥平面1ACD，所以1BD是平面1ACD的法向量，()11,0,1BC=−−，所以点1B到平面1ACD的距离为()()11

22211111233(1)(1)(1)BCBDBD−−−−==−+−+−，因此选项C不正确；D：设直线1BC与平面1ACD所成角为，则1111116sincos,3BCBDBCBDBCBD===，所以直线1BC与平面1ACD所成

角的余弦值22631cos133−=−=，因此选项D正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.直线32()yaxaaR=−+必过定点(3,2)B.直线32yx=−在y轴上的截距为2−C.直线310xy++=的倾斜角为60°D.过点(

1,2)−且垂直于直线230xy−+=的直线方程为20xy+=【答案】ABD【解析】【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令0x=，得出在y轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方

程，进而判断D.【详解】32()yaxaaR=−+可化为()23yax−=−，则直线32()yaxaaR=−+必过定点(3,2)，故A正确；令0x=，则2y=−，即直线32yx=−在y轴上的截距为

2−，故B正确；310xy++=可化为31yx=−−，则该直线的斜率为3−，即倾斜角为120，故C错误；设过点(1,2)−且垂直于直线230xy−+=的直线的斜率为k因为直线230xy−+=的斜率为12，所以112k=−，解得2k=−则过点

(1,2)−且垂直于直线230xy−+=的直线的方程为22(1)yx−=−+，即20xy+=，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查了求直线过定点，求直线的倾斜角，由两直线垂直求直线方程，属于中档题.1

1.给出以下命题，其中错误的是（）A.平面,的法向量分别为()()120,1,3,1,0,2nn==，则∥B.直线l的方向向量为()0,1,1a=−，平面的法向量为()1,1,1n=−−，则l⊥C.直线l的方向向量为()1,1,2a=−，直线m的方向向量

为12,1,2b=−，则l与m垂直D.平面经过三个点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0ABC−−−，向量()1,,nut=是平面的法向量，则1ut+=【答案】ABD【解析】【分析】根据平面、的法向量不具有倍数关系可判断A；根据直线l的方向向量和平面的法向量

的数量积可安短B；根据直线的方向向量的数量积判断C；根据平面的法向量的求法可判断D.【详解】对于A，由()()120,1,3,1,0,2nn==可知两向量不具有倍数关系，故,不平行，A错误；对于B，由于()0,1,1a=−，()1,1,1n=−

−，则()()0,1,11,1,10110an=−−−=−+=，故an⊥，则//l或l，B错误；对于C，由于()111,1,22,1,212022ab=−−=−−−=，即得lm⊥，

C正确；对于D，由于()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0ABC−−−，故()()1,1,1,1,3,0ABBC=−−=−，向量()1,,nut=是平面的法向量，则10130nAButnBCu

=−−+==−+=，解得1343ut==，故53ut+=，D错误，故选：ABD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分12.已知空间向量()()2,1,2,1,2,2ABAC==，则BC=___________.【答案】2【解析】【分析】由空间向量的

减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．【详解】因为()1,1,0BCACAB=−=−，所以1102BC=++=.故答案为：2．13.已知直线22xy+=分别与x轴，y轴相交于A,B两点，若动点(),Pab在线段AB上，则ab的最大值为____

__.【答案】12【解析】【分析】利用直线方程求出点A,B坐标，从而确定01b，由题意将22ab=−代入ab得到()22222abbbbb=−=−+，根据b的取值范围结合二次函数的性质即可求出ab的最大值.【详解】直线方

程可化为12xy+=，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1).由动点(),Pab在线段AB上可知01b，且22ab+=，所以22ab=−，故()22112222222abbbbbb=−=−+=−−+

.因为01b，所以当12b=时ab取得最大值12.【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系以及最值问题，点在曲线上必然满足曲线的方程，属于中档题.14.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，11ADAA==，2AB=，点E在棱AB上.

若二面角1DECD−−的大小为4，则E的坐标为______，AE=______.【答案】①.()1,23,0−##()1,32,0−+②.23−##32−+【解析】【分析】设()02AE=，算出两个平面的法向量，然后建立方程求解即可.【详解】设()02AE=，平

面1DEC的法向量为(),,mxyz=.由题可知()10,0,1D，()0,2,0C，()1,,0E，则()10,2,1DC=−，()1,2,0CE=−.易知平面ECD的一个法向量为()001n,,=.∵(),,mxyz=为平面1DEC的法向量，∴()12020mDCyzmCExy

=−==+−=，令1y=，则()2,1,2m=−，又二面角1DECD−−的大小为4，∴cos4mnmn=，即()22222212=−++，解得23=−或23=+（舍去），∴()1,23,0E−，23AE=−.故答案为：()1,23

,0−；23−四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分）15.已知()()()1,0,3,2,0,4ABC，点D满足ABCD⊥，且//ADBC，试求点D的坐标.【答案】(10,6)−【解析】【分析】设(),Dxy，由题意可得1,ABCD

DABCkkkk=−=，再根据斜率公式即可得解.【详解】由()()()1,0,3,2,0,4ABC，得2131ABk==−，422033BCk−==−−，设(),Dxy，由题意可知，0x且1x，则4CDykx−=，1DAykx=−，因为ABCD⊥，且//ADBC，所以1,ABCDDABCkk

kk=−=，所以411213yxyx−=−=−−，解得106xy==−，即()10,6D−.16.根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）斜率为2−，在y轴上的截距为2−.（2）已知平面内两点()()6,6,2,2AB−，求过

()2,3P−且与直线AB平行的直线l的方程．（3）求经过点()5,2A−，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．【答案】（1）220xy++=（2）210xy+−=（3）210xy++=或250xy+=【解析】【分析】（1）利用直线的斜截式方程求解即可

；（2）利用平行直线斜率相等以及点斜式，结合斜率公式即可得到直线的方程.；（3）当直线不过原点时，设所求直线方程为12xyaa+=，当直线过原点时，设直线方程为ykx=，将(5,2)A−代入直线方程，进

而求得所求直线的方程.【小问1详解】因为直线的斜率为2−，在y轴上的截距为2−，所以直线的斜截式方程为22yx=−−，化简可得220xy++=；【小问2详解】因为()6,6A−，()2,2B，所以()26226ABk−−=

=−−，因为所求直线与直线AB平行，所以所求直线斜率为2−，又因为直线过()2,3P−，所以所求直线的方程为：()322yx+=−−，即210xy+−=.【小问3详解】由题意，当直线不过原点时，设所求直线方程为12xyaa+=，将(5,2)A−代入，可得5212aa−+=，

解得12a=−，所以直线方程为210xy++=；当直线过原点时，设直线方程为ykx=，将(5,2)A−代入，可得52k−=，解得25k=−，所以直线方程为25yx=−，即250xy+=，综上可得，所求直线方程为210xy++=或250xy+=.17.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD

−中，求（1）直线BC与平面11ABCD所成的角；（2）求平面1ABD与平面11BDC的距离；（3）求三棱锥11BABD−外接球的表面积；【答案】（1）45（2）233（3）12π【解析】【分析】（1）建立空间直角

坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角；（2）先证平面1//ABD平面11BDC，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可；（3）根据补形法确定三棱锥11BABD−的外接球即为正方体1111ABCDABCD−

的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果.【小问1详解】建立如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、1DD分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，根据题意有：𝐴(2,0,0)，()2,2,0B，()0,2,0C，()10,2,2C，()10

,0,2D，所以()2,0,0BC=−，()0,2,0AB=，()12,0,2AD=−，设平面11ABCD的法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，所以11100nABnAD==，即

11120220yxz=−+=，令11x=，则有111101xyz===，所以()11,0,1n=为平面11ABCD的一个法向量，设直线BC与平面11ABCD所成角为，则有1121002sin222BC

nBCn−++===，又因为0,90，所以45=【小问2详解】连接1AD、1AB、BD、11BD、1BC、1CD，因为11//DDBB，11=DDBB，所以四边形11DBBD是平行四边形，所以11//BDBD，又因为BD平面11BDC，11BD平面11BDC，所

以//BD平面11BDC；同理可证1//AB平面11BDC，又1BDABB=，1,BDAB平面1ABD，所以平面1//ABD平面11BDC；因为()10,0,2D，()2,2,0B，()12,0,2A，()0,0,0D所以()2,2,0DB=，()112,

0,0DA=，()12,0,2DA=设平面1ABD的法向量为(),,nxyz=，则100nDBnDA==，220220xyxz+=+=，令1x=，可得1,1yz=−=−，则()1,1,1n=−−为平面1ABD的一个法向

量，所以平面1ABD与平面11BDC的距离1122333DAndn===.【小问3详解】根据补形法可知三棱锥11BABD−的外接球就是正方体1111ABCDABCD−的外接球，设三棱锥11BABD−的外接球半径为R，则222222223R=++=，所以3R=，所

以三棱锥11BABD−的外接球的表面积为24π12πSR==.18.如图，ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.（1）证明：BE⊥平面DEF；（2）若2,2ABBCBE===，求二面角BDFE−−的余弦值.【

答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）连接AE，证明BEDF⊥，EFBE⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）以点E为原点，,,EAEBEF所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Exyz−，利用向量法求解即可.【小问

1详解】如图，连接AE，由题意知AB为O的直径，所以AEBE⊥，因为,ADEF是圆柱的母线，所以//ADEF且ADEF=，所以四边形AEFD是平行四边形，所以//AEDF，所以BEDF⊥，因为EF是圆柱的母线，所以⊥

EF平面ABE，又因为BE平面ABE，所以EFBE⊥，又因为,,DFEFFDFEF=平面DEF，所以BE⊥平面DEF；【小问2详解】由（1）知,,EAEBEF两两相互垂直，如图，以点E为原点，,,EAEBEF所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Exyz−，则()()()()0,2

,0,2,0,2,0,0,0,0,0,2BDEF，由（1）知BE⊥平面DEF，故平面DEF的法向量可取为()0,2,0EB=.设平面BDF法向量为(),,nxyz=r，由()2,0,0DF=−，()0,2,2BF=−，则有20220nDFxnBFyz

=−==−+=，可取()0,2,1n=的设二面角BDFE−−的平面角为，则226coscos,332nEBnEBnEB====，由图可知为锐角，所以二面角BDFE−−的余弦值为63.19.如图，四棱锥PABCD−中，四

边形ABCD为梯形，其中//ABCD，60BCD=，224ABBCCD===，ADPB⊥.（1）证明：平面PBD⊥平面ABCD；（2）若=PBPD，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为67，点E在线段PC上满足2PEEC=，求二面角CBDE−−的余弦值.【答案】（1）

证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）根据题意，在ABD△中，由余弦定理求得212AD=，得到222ADBDAB+=，证得ADBD⊥，再由ADPB⊥，证得AD⊥平面PBD，即可证得平面PBD⊥平面ABCD；（2）若O为BD中点，证得PO，BD，OC两两垂直，以O为原点，建

立空间直角坐标系，设()0,0,Pt，由平面ABCD的一个法向量为()0,0,1v=，列出方程求得6t=，进而得到230,,23E，求得平面BDE的一个法向量(0,3,1)n=−，结合向量的夹

角公式，即可求解.【小问1详解】证明：由题知2BCCD==且60BCD=，所以BCD△为等边三角形，则24ABBD==，又由四边形ABCD为梯形，//ABDC，则60ABD=，在ABD△中，2222212cos42242122ADABBDABBDABD=+−=+−

=，所以222ADBDAB+=，即ADBD⊥，因为ADPB⊥，且PBBDB=，,PBBD平面PBD，所以AD⊥平面PBD，又因为AD平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD.【小问2详解】解：若O为BD中点，=PBPD，则POBD⊥，由（1）得平面PBD⊥平面ABCD，平面PB

D平面ABCDBD=，PO平面PBD，则⊥PO平面ABCD，连接OC，则OCBD⊥，且,OCBD平面ABCD，所以POOC⊥，POBD⊥，所以PO，BD，OC两两垂直，以O为原点，OB，OC，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所

示，可得()1,23,0A−−，()1,0,0B，()0,3,0C，()1,0,0D−，设()0,0,Pt且0t，则()1,23,APt=，由平面ABCD的一个法向量为()0,0,1v=，可得26cos,713APvtAPvAPvt==

=+，解得6t=，因为2PEEC=，所以23PEPC=，可得230,,23E，所以231,,23DE=，()2,0,0DB=，()1,3,0DC=，设(),,nxyz=是平面BDE的一个法向量，则2023203nDBxnDExyz===++

=，取3y=，可得0,1xz==−，所以(0,3,1)n=−则()211cos,231vnvnvn−===−+，由图形可得CBDE−−的平面角为锐角，所以二面角CBDE−−的余弦值为12.