【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.542 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试理科数学试题第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的

代号填在答题卡的指定位置.）1.已知复数2aii+−是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于A.-2B.2C.12D.-1【答案】C【解析】2aii+−21255aai−+=+是纯虚数,所以21210,0552aaa−+==，

选C.2.设全集U是实数集R，2=log1,13MxxNxx=，则MN=（）A.23xxB.3xxC.12xxD.2xx【答案】A【解析】【分析】求解对数不等式得到集合M，根据交集的定义即得解.【详解】集合

2=log12Mxxxx=根据交集的定义：MN=23xx故选：A【点睛】本题考查了交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.3.设等差数列na前n项和为nS，若452aS+=，714S=，则10a=（）A.18B.16C.14D.12【答

案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由714S=，解得42a=，又由452aS+=，求得30a=，进而得到公差2d=，再结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，设等差数列的公差为d，由714S=，可得17747()7142aaSa

+===，解得42a=，又由452aS+=，所以15535()502aaSa+===，解得30a=，所以432daa=−=，所以103707214aad=+=+=.故选：C.【点睛】本题主要考查了得出数列的通项公式，以及前n项和公式的应用

，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数3cos1()xfxx+=的部分图象大致是（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的

奇偶性,单调性和特殊点的函数值估算或变化趋势，来进行排除或确认.【详解】根函数()fx是奇函数，排除D，根据x取非常小的正实数时()0fx，排除B，x=是满足310cosx+的一个值，故排除C，故选：A

．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数值的符号判定函数的图象，属基础题.5.“0k=”是“直线1ykx=−与圆221xy+=相切”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和圆

相切的等价条件求出k的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线ykx1=−与圆22xy1+=相切，则圆心()0,0到直线kxy10−−=的距离d1=，即22011d11k1k−===++，得21k1+=，得2k0=，k0=，即“k0=”是“直线ykx1=−与圆

22xy1+=相切”的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．6.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A.1：3B.1：4C.

1：5D.1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：121

222=；下部为：22226−=，截去部分与剩余部分体积的比为：13．故选A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.7.设平面向量()2,1a=−，(),2b=，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是（）A.()1,22,2−+

B.()(),44,1−−−C.()1,+D.(),1−【答案】B【解析】【分析】根据a与b的夹角为锐角，得到()cos,0,1ab，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来，得到关于的不等式，解出的范围，从而得到答案.【详解】因为a与b的夹角为

锐角，所以()cos,0,1ab，向量()2,1a=−r，(),2b=，所以()222cos,0,154ababab−+==+，整理得22208160−+++，14−，所以

的范围为()(),44,1−−−.故选：B.【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的范围，属于简单题.8.已知mn、是两条不同直线,、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（）A.若mm⊥⊥，，

则∥B.若mnm⊥，，则n⊥C.若mn=，，则mnD.若m⊥，m在内，则⊥【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的判定定理、平行线的性质、线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理对

四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A：因为mm⊥⊥，，所以∥,所以本选项是真命题；选项B：根据平行线的性质由mnm⊥，，可以推出n⊥,所以本选项是真命题；选项C：根据线面平行的性质定理可知：当m时,才有mn,所以本选项是假命题；选项D：根据面

面垂直的判定定理可以由m⊥，m在内,推出⊥,所以本选项是真命题；故选C【点睛】本题考查了面面垂直的判定、面面平行的判定、平行线的性质、线面平行的性质定理,考查了空间想象能力.9.将函数sin12yx=−的图象上所有的点向右平移4个单位长度，再把图象上各点的

横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），则所得图象的的一条对称轴方程为（）A.524x=B.512x=C.6x=D.3x=【答案】B【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换与平移变换的原则,先得到函数解析式sin23yx=−

,再由正弦函数对称性即可得出结果.【详解】函数sin12yx=−向右平移4个单位得到sin3yx=−,函数sin3yx=−图象上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数sin23yx=

−,因为函数sinyx=的对称轴为2()2xkkZ=+,令23x−22k=+,解得5()12xkkZ=+,当0k=时,512x=是函数sin23yx=−的一条对称轴.故选:B【点睛】本题

考查三角函数的伸缩变换与平移变换,考查正弦函数的对称性,属于基础题.10.已知1,2ab==，且()aab⊥−，则向量a在b方向上的投影为()A.12B.2C.1D.22【答案】A【解析】【分析】先求出a

与b的数量积，再由a在b方向上的投影为cosabaabb，=，进而可求出结果.【详解】因为1,2ab==，且()aab⊥−，所以()20aabaab−=−=，所以1ab=，因此a在b方向上的投影为1cos2abaabb==，.故选A【点睛】本题

主要考查向量的投影问题，熟记投影的概念即可求解，属于基础题型.11.如图，在△ABC中，点,DE是线段BC上两个动点，且ADAE+xAByAC=+，则14xy+的最小值为（）A.32B.2C.52D.92【答案】D【解析】【分析】

根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解14xy+最小值【详解】如图可知x，y均为正，设=m,ADABnACAEABAC+=+，:,,,BDEC共线，1,1mn+=+=，()()ADAExAByACmABnAC+=+=++

+，则2xymn+=+++=，1411414149()5(52)2222yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，则14xy+的最小值为92，故选D.【点睛】平面向量与基本不等式

的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题12.过抛物线24yx=焦点F的直线与双曲线221(0)yxmm−=的一条渐近线平行，并交抛物线于,AB两点，若|||AFBF且||3AF=，则m的值为（）A.8B.22C.2D.4【答案】A【解析】【分析】设A（x0，y0），根据抛

物线的定义可得x0，y0，代入直线AB的方程，求出m的值即可.【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x1=−，双曲线x22ym−=1的一条渐近线方程为y＝mx，不妨设直线AB为y＝m（x1−），设A（x0，y0），则|AF|＝x013+=，∴x0＝2，又∵200

4yx=且|AF|＞|BF|，∴y0>0，∴y0＝2022x=，代入y＝m（x1−），解得m＝8，故选A．【点睛】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线的定义和双曲线的性质，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共

90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量()1,2a=,()2,2b=−,()1,c=，若()//2cab+,则=______．【答案】25−【解析】【分析】由已知求得2ab+的坐标,再由向量共线的坐标运算列式求解．【详

解】解：()1,2a=,()2,2b=−,()25,2ab+=−，又()1,c=,且()//2cab+,()1250−−=,解得25=−．故答案为:25−．【点睛】本题考查向量的坐标加法运算,

考查向量共线的坐标表示,是基础题．14.当0xx=时，函数()cos22sin2fxxx=++有最小值，则0sinx的值为________.【答案】32【解析】【分析】利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的

性质即可求解．【详解】解：函数2()cos22sincos22cos2cos2cos12fxxxxxxx=++=+=+−，根据二次函数的性质可知，当01cos2x=−时，函数取得最小值，则03sin2

x=,故答案为：32．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题．15.已知三棱锥DABC−中，1ABBC==,2,5,2,ADBDACBCAD===⊥，则三棱锥DABC−的外接球的表面积为

________________.【答案】6【解析】【分析】根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【详解】如图：∵AD=2，AB=1，BD=5，满足AD2+AB2=SD2

∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，∵AB=BC=1，AC=5，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱锥的外接球的直径，∵AD=2，AC=2，∴CD=6，∴三棱锥的外接球的表面积为4π（62）2=6π．故答案为6π【点睛】(1)本题主要

考查三棱锥的外接球的表面积的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方

体的外接球的半径22212rabc=++就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O和截面圆的圆心O，找到OO、球的半径OA、截面圆的半径OA确定的RtOOA,再解RtOOA求出球的半径OA.(3)

解答本题的关键是证明CD是三棱锥的外接球的直径.16.已知函数22019()20192019log(1)2xxfxxx−=−++++，则关于x不等式()(23)4fxfx+−的解集为_______．【答案】(,1)−【解析】【分析】设()()()22019220192019l

og1xxgxfxxx−=−=−+++，判断函数()gx的奇偶性和单调性，将不等式()(23)4fxfx+−，转化为()()32gxgx−，利用函数性质解不等式.【详解】设()()()22019220192019log1xxgxfxxx−=−=−+++()()()2201

9220192019log1xxgxfxxx−−=−−=−++−，()()0gxgx+−=，函数()()2gxfx=−是奇函数，且()()()22019220192019log1xxgxfxxx−=−=−+++在()0,+单调递增，()00g=，()()2gxfx=−在R上是

单调递增函数，且是奇函数()()234fxfx+−()()()2232232fxfxfx−−−+=−−−，即()()()2332gxgxgx−−=−，32xx−，解得：1x，解集为(),1−.

故答案为：(),1−【点睛】本题考查构造函数，利用函数的性质解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17

.ABC的内角A，B，C的对边分别为,,abc，已知()2coscos0acBbA++=.（I）求B；（II）若3,bABC=的周长为323ABC+，求的面积.【答案】（Ⅰ）23B=(Ⅱ)334ABCS=△【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值；

（Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【详解】（Ⅰ）()2coscos0acBbA++=,()sin2sincossincos0ACBBA++=，()sincossincos2sincos0ABBACB++=,()

sin2cossin0ABBC++=，()sinsinABC+=.1cos2B=−,20,3BB=.(Ⅱ)由余弦定理得221922acac=+−−，()2229,9acacacac++=

+−=，323,3,23abcbac++=+=+=，3ac=，11333sin32224ABCSacB===.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．18.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生

4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：

0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列

联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的毎周平均体育运动时间与性别有关”.男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间超过4小时总计附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.

100.050.0100.0050k2.7063.8416.6357.879【答案】（1）90位；（2）0.75；（3）联表见解析，有【解析】【分析】（1）按照女生占学生数的比例，即可求解；（2）根据直方图得出频率，即可求解；（3）算出列联表数据，利用独立

性检验求解即可.【详解】（1）45003009015000=，∴应收集90位女生的样本数据.（2）由频率分布直方图可得()20.1500.1250.0750.0250.75+++=，∴该校学生每周平均体育运

动时间超过4小时的概率为0.75.（3）由（2）知，300位学生中有3000.75225=人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男

生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300∴()223004560165304.7623.8412109075225K−=，∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【

点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，属于基础题.19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP==.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90

APD=，求二面角A−PB−C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33−.【解析】【详解】（1）由已知90BAPCDP==，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD

．（2）在平面PAD内作PFAD⊥，垂足为F，由（1）可知，AB⊥平面PAD，故ABPF⊥，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz−.由（1）及已知可得2,0,02A，20,0,2P

，2,1,02B，2,1,02C−.所以22,1,22PC=−−，()2,0,0CB=，22,0,22PA=−，()0,1,0AB=.设(),,nxyz=r是平面PCB的法向量，则0,

0,nPCnCB==即220,2220,xyzx−+−==可取()0,1,2n=−−.设(),,mxyz=是平面PAB的法向量，则0,0,mPAmAB==即220,220.xzy−==可取()1,0,1m

=.则3cos,3nmnmnm==−，所以二面角APBC−−的余弦值为33−.【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平

面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.已知226,33P是椭圆22122:1(0)xyCabab+=与抛物线2:2(0)Eypxp=的一个公共点，且椭圆与抛物线具有

一个相同的焦点F．（1）求椭圆1C及抛物线E的方程；（2）设过F且互相垂直的两动直线12,ll，1l与椭圆1C交于,AB两点，2l与抛物线E交于,CD两点，求四边形ACBD面积的最小值【答案】（Ⅰ）椭圆C的方程为22143xy+=，抛物线E的方程为24yx=；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】(1

)先求p，即得c，再将点P坐标代入椭圆方程，解方程组得a,b，即得结果，(2)根据垂直条件得12ACBDSABCD=，设直线1l的方程()1ykx=−，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理以及弦长公式解得AB，类似可得CD,最后根据二次函数性质求最值.【详解】（Ⅰ）226,33P

抛物线E：()220ypxp=一点2p=，即抛物线E的方程为24yx=，()1,0F221ab−=又226,33P在椭圆C：22221xyab+=上2248193ab+=，结合221ab−=知23b=（负舍），24a=，椭圆C的方程为22143xy+=，抛物线

E的方程为24yx=.（Ⅱ）由题可知直线1l斜率存在，设直线1l的方程()1ykx=−，()()()()11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy①当0k=时，4AB=，直线2l的方程1x=，4CD=，故182A

CBDSABCD==②当0k时，直线2l的方程为()11yxk=−−，由()221143ykxxy=−+=得()22223484120kxkxk+−+−=.221212228412,3434kkxxxxkk−+==++由弦长公式知()()22212

1212114ABkxxkxxxx=+−=++−()2212143kk+=+.同理可得()241CDk=+.()()()2222221212411141224343ACBDkkSABCDkkk++

==+=++.令()21,1,tkt=++，则2222424244141124ACBDtStttt===−−−−+，当()1,t+时，()2110,1,243tt−−+，2483ACBDS=综上所述

：四边形ACBD面积的最小值为8.【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题

得以解决.21.已知函数21()(1)2,2xfxxeaxaxaR=+++（Ⅰ）讨论()fx极值点的个数；（Ⅱ）若00(2)xx−是()fx的一个极值点，且2(2)fe−−，证明：0()1fx【答案】（Ⅰ）当2ae−=−时,()fx无极值点；当0a时

,()fx有1个极值点；当20ea−−或2ae−−,()fx有2个极值点.（Ⅱ）见解析【解析】【分析】(Ⅰ)求导可得()(2)()xfxxea=++,再分0a与0a两种情况进行讨论即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)以及2(2)fe−−可得2ae−−,再求得0()fx关于a的解析式

,再令ln()(2,)ta=−−+,构造函数21()(22)2tgtett=−+−,再求导分析()gt的单调性与最值证明即可.【详解】解：（Ⅰ）由题得,()fx的定义域为R,()(2)()xfxxea=++ⅰ.若0a,则0xea+

,所以当(,2)x−−时,()0,()fxfx单调递减,当(2,)x−+时,()0,()fxfx单调递增.所以,2x=−是()fx唯一的极小值点,无极大值,故此时()fx有且仅有1个极值点.ⅱ.0a

,令12()(2)()02,ln()xfxxeaxxa=++==−=−①当2ae−−时,12xx,则当12(,),(,)xxx−+时,()0,()fxfx单调递增,当12(,)xxx,()

0,()fxfx单调递减.所以,12,xx分别是()fx极大值点和极小值点,故此时有两个极值点.②当2ae−=−时,12xx=是()(2)()xfxxea=++的不变号零点,且()0fx故此时()fx在R上单调递增

,无极值点.③当20ea−−时,12xx,则21(,),(,)xxx−+时,()0,()fxfx单调递增,当21(,)xxx时,()0,()fxfx单调递减.所以,12,xx分别是()fx极小值点和极大值点,此时()fx有2个极值点.综上

,当2ae−=−时,()fx无极值点；当0a时,()fx有1个极值点；当20ea−−或2ae−−,()fx有2个极值点.（Ⅱ）证明：若0x是的一个极值点,由（Ⅰ）知,20ea−−或2ae−−,且222(2)2f

eaeae−−−−=−−−,201()(ln())[ln()2ln()2]2fxfaaaa=−=−+−−,令ln()(2,)ta=−−+,则2ae−=−,所以21()(ln())(22)2tgtgaett=−=−+−故21()(4)002tgtttet=−+==所以

,当(2,0)t−时,()0,()gtgt单调递增；当(0,)t+时,()0,()gtgt单调递减,所以0t=是()gt唯一极大值点也是最大值点,即()(0)1gtg=.从而(ln())1fa−,即0()1fx.（证毕）【点睛】本题主要考查

了利用导数分析函数的极值点以及证明不等式恒成立的问题,需要根据导函数的结构,分情况讨论参数的范围,进而求得函数的单调性与最值等进行判断.属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中.

已知曲线3cos:2sinxCy==(为参数)，.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线:(2cossin)6l−=.(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)在曲线C上取一点P，

使点P到直线l的距离最大，求最大距离及此时P点的坐标.【答案】（1）l的直角坐标方程:260xy−−=,曲线C的普通方程:22134xy+=（2）3(,1)2P−，25maxd=【解析】【分析】（1）利用三种方程的互化方法，求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设()3cos,2s

inP，求出圆心到直线l的距离，即可在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【详解】解：（1）l的直角坐标方程为260xy−−=曲线C的普通方程为22134xy+=（2）设()3cos,2sinP，则4sin(

)635d−−=当sin()13−=−时，d最大，3(,1)2P−，25maxd=，【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性

质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.设()|-3||4|fxxx=+−.（1）解不等式()2fx；（2）已知x，y实数满足2223(0)xyaa+=，且xy+的最大值为1，求a的值.【答案】（1）[2

.5,4.5]（2）65a=【解析】【分析】（1）讨论x的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2fx的解集；（2）结合题意，利用柯西不等式求得2()xy+的最大值，列方程求出a的值．【详解】解：（1）当3x时，不等式化为342xx−+−+

，此时2.53x，当34x时，不等式化为342xx−−+，成立，当4x时，不等式化为342xx−+−，此时44.5x，综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得2222211(2)(3)()23xyxy+++

，因为2223(0)xyaa+=，所以25()6xya+，（当23xy=时，取等号），又因为xy+的最大值为1，所以65a=.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．