【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.802 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试文科数学试题第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知复数2aii+−是纯虚数（i是虚数单位），

则实数a等于A.-2B.2C.12D.-1【答案】C【解析】2aii+−21255aai−+=+是纯虚数,所以21210,0552aaa−+==，选C.2.设全集U是实数集R，2=log1,13MxxNxx=，则MN=（

）A.23xxB.3xxC.12xxD.2xx【答案】A【解析】【分析】求解对数不等式得到集合M，根据交集的定义即得解.【详解】集合2=log12Mxxxx=根据交集的定义：MN=23xx故选：A【点睛】本题考查了交集的运算，考查了学生概念理解

，数学运算能力，属于基础题.3.设等差数列na前n项和为nS，若452aS+=，714S=，则10a=（）A.18B.16C.14D.12【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由714S=，解得42a=，又由452a

S+=，求得30a=，进而得到公差2d=，再结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，设等差数列的公差为d，由714S=，可得17747()7142aaSa+===，解得42a=，又由452aS+

=，所以15535()502aaSa+===，解得30a=，所以432daa=−=，所以103707214aad=+=+=.故选：C.【点睛】本题主要考查了得出数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重

考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数3cos1()xfxx+=的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案.【详解】由3cos1()xfxx+=，可得()(

)fxfx−=−，故()fx是奇函数，图象关于原点对称，排除A.当π02x时，()0fx；当11cos3x−−时，()0fx，排除C,D.故选B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数

的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.5.“0k=”是“直线1ykx=−与圆221xy+=相切”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和圆

相切的等价条件求出k的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线ykx1=−与圆22xy1+=相切，则圆心()0,0到直线kxy10−−=的距离d1=，即22011d11k1k−===++，得21k1+=，得2k0=

，k0=，即“k0=”是“直线ykx1=−与圆22xy1+=相切”的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．6.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去

部分与剩余部分体积的比为（）A.1：3B.1：4C.1：5D.1：6【答案】A【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：121222=；下部为：22226

−=，截去部分与剩余部分体积的比为：13．故选A．【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.7.设平面向量()2,1a=−，(),2b=，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是（）A.(

)1,22,2−+B.()(),44,1−−−C.()1,+D.(),1−【答案】B【解析】【分析】根据a与b的夹角为锐角，得到()cos,0,1ab，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来，得到关于的不等式，解出的范围

，从而得到答案.【详解】因为a与b的夹角为锐角，所以()cos,0,1ab，向量()2,1a=−r，(),2b=，所以()222cos,0,154ababab−+==+，整理得22208160−+++，14−，所以的范围为()(),44,1−−−

.故选：B.【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的范围，属于简单题.8.已知mn、是两条不同直线,、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（）A.若mm⊥⊥，，则∥B.若mnm⊥，，则n⊥

C.若mn=，，则mnD.若m⊥，m在内，则⊥【答案】C【解析】【分析】根据面面平行的判定定理、平行线的性质、线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A：因为mm⊥⊥，，所以∥,所以本选项是真命题；选项B：根据平行线的性质由

mnm⊥，，可以推出n⊥,所以本选项是真命题；选项C：根据线面平行的性质定理可知：当m时,才有mn,所以本选项是假命题；选项D：根据面面垂直的判定定理可以由m⊥，m在内,推出⊥,所以本选项是真命题；故选C【点睛】本题考

查了面面垂直的判定、面面平行的判定、平行线的性质、线面平行的性质定理,考查了空间想象能力.9.将函数sin12yx=−的图象上所有的点向右平移4个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），则所得图象的的一条对

称轴方程为（）A.524x=B.512x=C.6x=D.3x=【答案】B【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换与平移变换的原则,先得到函数解析式sin23yx=−,再由正弦函数对称性即可得出结

果.【详解】函数sin12yx=−向右平移4个单位得到sin3yx=−,函数sin3yx=−图象上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数sin23yx=−,因为函数sinyx=的对称轴为2()2xkkZ=+,令23x−22

k=+,解得5()12xkkZ=+,当0k=时,512x=是函数sin23yx=−的一条对称轴.故选:B【点睛】本题考查三角函数的伸缩变换与平移变换,考查正弦函数的对称性,属于基础题.10.已知1,2ab==，且()aab⊥−，则

向量a在b方向上的投影为()A.12B.2C.1D.22【答案】A【解析】【分析】先求出a与b的数量积，再由a在b方向上的投影为cosabaabb，=，进而可求出结果.【详解】因为1,2ab==，且()aab⊥−，所以()20aabaab−=−=，所以1ab=，因此a在b方向上的投

影为1cos2abaabb==，.故选A【点睛】本题主要考查向量的投影问题，熟记投影的概念即可求解，属于基础题型.11.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织

布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由题意，设第n天织布为,na数列{}na是等差数列，公差为d，11152129{{,16302939030292aaddad==+==+所以第一天织布为5尺，选C

.12.过抛物线24yx=焦点F的直线与双曲线221(0)yxmm−=的一条渐近线平行，并交抛物线于,AB两点，若|||AFBF且||3AF=，则m的值为（）A.8B.22C.2D.4【答案】A【解析】【分析】设A（x0，y0），根据抛物线

的定义可得x0，y0，代入直线AB的方程，求出m的值即可.【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x1=−，双曲线x22ym−=1的一条渐近线方程为y＝mx，不妨设直线AB为y＝m（x1−），设A（x0

，y0），则|AF|＝x013+=，∴x0＝2，又∵2004yx=且|AF|＞|BF|，∴y0>0，∴y0＝2022x=，代入y＝m（x1−），解得m＝8，故选A．【点睛】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线的

定义和双曲线的性质，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量()1,2a=,()2,2b=−,()1,c=，若()//2cab+,则=______．【

答案】25−【解析】【分析】由已知求得2ab+的坐标,再由向量共线的坐标运算列式求解．【详解】解：()1,2a=,()2,2b=−,()25,2ab+=−，又()1,c=,且()//2cab+,()1250−−=,解得25=−．故答案为:25−．【点睛】本题考查

向量的坐标加法运算,考查向量共线的坐标表示,是基础题．14.当0xx=时，函数()cos22sin2fxxx=++有最小值，则0sinx的值为________.【答案】32【解析】【分析】利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即

可求解．【详解】解：函数2()cos22sincos22cos2cos2cos12fxxxxxxx=++=+=+−，根据二次函数的性质可知，当01cos2x=−时，函数取得最小值，则03sin2x=,故答

案为：32．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题．15.已知三棱锥DABC−中，1ABBC==,2,5,2,ADBDACBCAD===⊥，则三棱锥DABC−的外接球的表面积为________________.【答案】6【解析】【

分析】根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【详解】如图：∵AD=2，AB=1，BD=5，满足AD2+AB2=SD2∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB

=B，∴AD⊥平面ABC，∵AB=BC=1，AC=5，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱锥的外接球的直径，∵AD=2，AC=2，∴CD=6，∴三棱锥的外接球的表面积为4π（62）2=6π．故答案为6π【点睛】(1)本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的计算，意在考查学生对该知识

的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径22212

rabc=++就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O和截面圆的圆心O，找到OO、球的半径OA、截面圆的半径OA确定的RtOOA,再解Rt

OOA求出球的半径OA.(3)解答本题的关键是证明CD是三棱锥的外接球的直径.16.已知函数31()sin31xxfxxx−=+++，若[2,1]x−，使得2()()0fxxfxk++−成立，则实数k的取值范围是___

_________【答案】(1,)−+【解析】【分析】判断函数()fx的定义域，奇偶性和单调性，由题意得：2()()()fxxfxkfkx+−−=−，即2xxkx+−，转化为2min(2)kxx+，即得解.【详解】函数31()sin31xxfxxx−=+++，定义域为R，3131()

()sin()sin()3131xxxxfxxxxxfx−−−−−=+−+−=−−−=−++故函数为奇函数又2()1sin31xfxxx=−+++由sinyxx=+的导数为'1cos0yx=+可得函数31()sin31xxfxxx−=+++在R上单调递增则[2,1]x−，使得2()

()0fxxfxk++−成立，即为：2()()()fxxfxkfkx+−−=−可得：2xxkx+−即：2min(2)kxx+由22xx+在[2,1]−的最小值为：121−=−则：1k−故答案为：(1,)−+【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题综合，考查了学生综合分析，转化

划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、

乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（1）现从乙班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为90分的同学被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的22联表，并判断有

多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．附：参考公式及数据【答案】(1)0.7;(2)详见解析.【解析】试题分析：(1)乙班数学成绩不低于80分的同学共有5名,从中随机抽取两名同学共有10种,而没有一名成绩为90分的同学被抽中的事件数为3种,

因此至少有一名成绩为90分的同学被抽中的事件数为7种,最后根据古典概型概率求法得所求概率为0.7.(2)将数据对应代入表格及公式,可得23.63K,再对应参考公式可得把握率.试题解析：（I）乙班数学成绩不低于80分的同学共有5名,其中成绩为90分的同学有两名,画数状图(略)知,从中随机

抽取两名同学共有10种,至少有一名成绩为90分的同学被抽中的事件数为7种,所求概率为0.7.(Ⅱ)如图所示由()22401412683.632.70622182020K−=知,可以判断：有0900把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.18.ABC的内角

A，B，C的对边分别为,,abc，已知()2coscos0acBbA++=.（I）求B；（II）若3,bABC=的周长为323ABC+，求的面积.【答案】（Ⅰ）23B=(Ⅱ)334ABCS=△【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用正弦

定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值；（Ⅱ）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【详解】（Ⅰ）()2coscos0acBbA++=,()sin2sincossincos0ACBBA++=，()sincossincos2sincos0ABBACB++=,()s

in2cossin0ABBC++=，()sinsinABC+=.1cos2B=−,20,3BB=.(Ⅱ)由余弦定理得221922acac=+−−，()2229,9acacacac++=+−=，32

3,3,23abcbac++=+=+=，3ac=，11333sin32224ABCSacB===.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．19.如图1，在梯形ABCD中，ABCD∥，3AB=，6CD=，

过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知1DE=，3AE=，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图2.（1）证明：BE平面ACD；（2）求

三棱锥CAED−的体积.【答案】（1）见证明；（2）32CAEDV−=【解析】【分析】（1）设AFBEO=，取AC中点M，连接OM，证得//OMDE，且OMDE=，得到四边形DEOM为平行四边形，得出DMOE，利用线面平行的判定定理，即可证得BE平面ADC.（2）证得CFPAD

E，得到点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离，再利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】（1）设AFBEO=，取AC中点M，连接OM，∵四边形ABFE为正方形，∴O为AF中点，∵M为AC中点，∴12OMCF且12O

MCF=，因为平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE平面ABFEAE=，DEAE⊥，DE平面ADE，所以DE⊥平面ABFE，又∵平面ADE∥平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABFE，同理，CF⊥平面ABFE，又∵1DE=，2FC=，∴11,22DECFDECF=，∴OMDE，且OMDE=，∴四边形D

EOM为平行四边形，∴DMOE，∵DM平面ADC，BE平面ADC，∴BE平面ADC.（2）因为CFDE，DE平面ADE，CF平面ADE，所以CFPADE∴点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离.∴三棱锥的体积公式，可得113313322CAEDFAEDVV−−===

.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用等体积法求解三棱锥的体积，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．20.已知226,33P是椭圆22122:1(0)xyCab

ab+=与抛物线2:2(0)Eypxp=的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F．（1）求椭圆1C及抛物线E的方程；（2）设过F且互相垂直的两动直线12,ll，1l与椭圆1C交于,AB两

点，2l与抛物线E交于,CD两点，求四边形ACBD面积的最小值【答案】（Ⅰ）椭圆C的方程为22143xy+=，抛物线E的方程为24yx=；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】(1)先求p，即得c，再将点P坐标代入椭圆方程，解方程组得a,b，即得结果，(2)根据垂

直条件得12ACBDSABCD=，设直线1l的方程()1ykx=−，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理以及弦长公式解得AB，类似可得CD,最后根据二次函数性质求最值.【详解】（Ⅰ）226,33P抛物线E：()220ypxp=一点2p=，即抛物线E的方程

为24yx=，()1,0F221ab−=又226,33P在椭圆C：22221xyab+=上2248193ab+=，结合221ab−=知23b=（负舍），24a=，椭圆C的方程为22143xy+=，抛物线E的方程为24yx=.（Ⅱ）由题可知直线

1l斜率存在，设直线1l的方程()1ykx=−，()()()()11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy①当0k=时，4AB=，直线2l的方程1x=，4CD=，故182ACBDSABCD==②当0k时，直线2l的方程为()11yxk=−−，由()2

21143ykxxy=−+=得()22223484120kxkxk+−+−=.221212228412,3434kkxxxxkk−+==++由弦长公式知()()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−

()2212143kk+=+.同理可得()241CDk=+.()()()2222221212411141224343ACBDkkSABCDkkk++==+=++.令()21,1,tkt=++，则2222424244141124AC

BDtStttt===−−−−+，当()1,t+时，()2110,1,243tt−−+，2483ACBDS=综上所述：四边形ACBD面积的最小值为8.【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认

识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.已知函数()()211e22xfxxaxax=+++（e是自然对数的底数）.（Ⅰ）讨论()fx极值点的个数；（Ⅱ）若()002xx−是()fx的一个极

值点，且()22ef−−，证明：()01fx.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（I）求得函数()fx的导函数()()()2exfxxa=++，对a分成2220,,0,aaeeaae−−−−−=−四种情况进行分类讨论，根据()fx的单调区间，判断出()fx极值点的个

数.（II）首先结合（I）以及()22ef−−判断出()2,ea−−−，且()0lnxa=−，由此求得()0fx的表达式，利用这个表达的导数求得()0fx最大值为1，由此证得()01fx.【详解】（Ⅰ）()fx的定义域为R，()()()2exfxxa=++

，①若0a，则e0xa+，所以当(),2x−−时，()0fx；当()2,x−+时，()0fx，所以()fx在(),2−−上递减，在()2,−+递增.所以2x=−为()fx唯一的极小值点，无极大值，故此时()fx有一个极值点.②若0a，令()()()2e0x

fxxa=++=，则12x=−，()2lnxa=−，当2ea−−时，()2lna−−，则当(),2x−−时，()0fx；当()()2,lnxa−−时，()0fx；当()()ln,xa−+时，()0fx.所以－2，()lna−分别为()fx的极大值点和极小值点，故

此时()fx有2个极值点.当2ea−=−时，()2lna−=−，()()(2)e0xfxxa=++且不恒为0，此时()fx在R上单调递增，无极值点当2e0a−−时，()2lna−−，则当()(),lnxa−−时，()0fx；当()()ln,2xa−−时，()0fx

；当()2,x−+时，()0fx.所以()lna−，－2分别为()fx的极大值点和极小值点，故此时()fx有2个极值点.综上，当2ea−=−时，()fx无极值点；当0a时，()fx有1个极值点；当2ea−−

或2e0a−−时，()fx有2个极值点.（Ⅱ）证明：若()002xx−是()fx的一个极值点，由（Ⅰ）可知()()22,ee,0a−−−−−，又()222e2efa−−−=−−，所以()2,ea−

−−，且02x−，则()0lnxa=−，所以()()()()()201lnln2ln22fxfaaaa=−=−+−−.令()()ln2,ta=−−+，则tae=−，所以()()()()21ln

e222tgtfatt=−=−+−，故()()14e2tgttt=−+又因为()2,t−+，所以40t+，令()0gt=，得0t=.当()2,0t−时，()0gt，()gt单调递增，当()0,t+时，()0gt，()gt单调递减，所以0t=是()gt唯一的极大值点，

也是最大值点，即()()01gtg=，故()()ln1−fa，即()01fx.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.（

二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中.已知曲线3cos:2sinxCy==(为参数)，.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线:(2cossin)6l

−=.(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)在曲线C上取一点P，使点P到直线l的距离最大，求最大距离及此时P点的坐标.【答案】（1）l的直角坐标方程:260xy−−=,曲线C的普通方程:22134xy+=（2）3(,1)2P

−，25maxd=【解析】【分析】（1）利用三种方程的互化方法，求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设()3cos,2sinP，求出圆心到直线l的距离，即可在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【详解】解：（1）l

的直角坐标方程为260xy−−=曲线C的普通方程为22134xy+=（2）设()3cos,2sinP，则4sin()635d−−=当sin()13−=−时，d最大，3(,1)2P−，25maxd=，【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程

和直角坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.设()|-3||4|fxxx=+−.（1）解不等式()2

fx；（2）已知x，y实数满足2223(0)xyaa+=，且xy+的最大值为1，求a的值.【答案】（1）[2.5,4.5]（2）65a=【解析】【分析】（1）讨论x的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2fx的解集；（2）结合题意，利用柯西不等

式求得2()xy+的最大值，列方程求出a的值．【详解】解：（1）当3x时，不等式化为342xx−+−+，此时2.53x，当34x时，不等式化为342xx−−+，成立，当4x时，不等式化为342xx−+−，此时44.5x，综上所述，

原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得2222211(2)(3)()23xyxy+++，因为2223(0)xyaa+=，所以25()6xya+，（当23

xy=时，取等号），又因为xy+的最大值为1，所以65a=.【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．