江西省智慧上进联盟2022-2023学年高二下学期期中调测试数学试题 含解析

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【文档说明】江西省智慧上进联盟2022-2023学年高二下学期期中调测试数学试题 含解析.docx,共(18)页,924.280 KB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

2023年高二年级下学期期中调研测试数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列na为1,4−,9,16−,25,36−,…,则数列na的一个通项公式是()A

.2(1)nn−B.12(1)nn+−C.13(1)nn+−D.3(1)nn−【答案】B【解析】【分析】根据观察法,即可求解.【详解】由题意知,数列:1,4,9,16,25,的通项公式为2n,所以数列{}na:1,4,9,16,25,36,−−−的通项公式为12(1)n

n+−.故选:B.2.某汽车在平直的公路上向前行驶,其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段12,tt,23,tt,34,tt,14,tt上的平均速度的大小分别为1v,2v,3v,4v,则平均速度

最小的是()A.1vB.2vC.3vD.4v【答案】C【解析】【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式,可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率,结合图形即可求解.【详解】由题意知,汽车在时间12233414[

,],[,],[,],[,]tttttttt的平均速度大小分别为1234,,,vvvv,设路程y与时间t的函数关系为()yft=,则21121()()ftftvtt−=−,即为经过点1122(,()),(,())tfttft的直线的斜率1k,同理2v为经过点2233(,()),(,

())tfttft的直线的斜率2k,3v为经过点3344(,()),(,())tfttft的直线的斜率3k,4v为经过点1144(,()),(,())tfttft的直线的斜率4k,如图,由图可知,3k最小,即3v最小.故选:C.3.已知等差数列na的前n项和为nS,

若3710aa+=,则9S=()A.25B.45C.50D.90【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式可求出结果.【详解】根据等差数列的性质可得193710aaaa+=+=,所以1999()9104522aaS+===.故选:B4.已知函数()fx的导函数为()

fx,若3()3(2)ln2fxxfxx=++,则(2)f=()A.1−B.1C.12−D.12【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数,再令2x=计算可得.【详解】因为3()3(2)ln2fxxfxx=++,所以13()3(2)2fxfx=++,所以()()1323222ff

=++,解得()21f=−.故选:A5.已知等比数列na的前n项和为nS,若612S=,344aa=,则123456111111aaaaaa+++++=()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】【分析

】根据等比数列下标和性质得到123456111111aaaaaa+++++16253434aaaaaaaa+++++=,再代入计算即可.【详解】123456111111aaaaaa+++++162534111111aaaaaa=+++++16253416253

4aaaaaaaaaaaa+++=++16253434aaaaaaaa+++++=6341234Saa===.故选:B6.“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下,运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车,进而达

到燃脂目的的运动,由于其操作简单,燃脂性强,受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v(单位:km/h)随时间t(单位:h)变换的函数关系为2()15ettvt=+,1,22t,则该单车爱好者骑行速度的最大值为()A.2415e+B.2

215e+C.215e+D.12115e+【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间,求出函数的最小值,即可得解.【详解】因为2()15ettvt=+,1,22t,所以22()ettvt−=,所以1,12t时()0vt,当

(1,2t时()0vt,所以()vt在1,12上单调递增,在(1,2上单调递减,所以()()max5121evtv=+=.故选:C7.已知ln6ln5a=−,15b=,1tan5c=,则a,b,c的大小关系为()A.bacB.bcaC.cabD.cba【答案】

D【解析】【分析】构造函数()ln(1)fxxx=+−,利用导数可得()fx在(1,0)−上为增函数,在(0,)+上为减函数,由此可得ab;构函数π()tan(0)2gxxxx=−,利用导数可得()gx在π(0,)2上为

减函数,由此可得bc,从而可得答案.【详解】61ln6ln5lnln(1)55a=−==+,15b=,11ln(1)55ab−=+−,令()ln(1)fxxx=+−,则(0)0f=,1()111xfxxx=−=−++,当1

0x−时,()0fx,当0x时,()0fx,所以()fx在(1,0)−上为增函数,在(0,)+上为减函数,所以1()(0)05ff=,即11ln(1)55ab−=+−0,ab;11tan55bc−=−,令π()tan(

0)2gxxxx=−,2coscossin(sin)()1cosxxxxgxx−−=−211cosx=−,因π02x,所以()0gx,所以()gx在π(0,)2上为减函数,又(0)0g=,所以()1005gg=,即11tan055bc−=−,b

c,综上所述:abc.故选:D8.如图,已知正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形,称为“勾股树”.记某勾股树中最大正方形的边长为1a,第二大的正方形的边长为2a…

…以此类推,构成数列na,且11132a=,若数列nb满足22124018nnbnna+++=,则使得1kkbb+成立的k的值有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】依题意可得na是以

1a为首项,22为公比的等比数列,再根据11132a=求出1a,即可得到na的通项公式,从而得到nb的通项,由1kkbb+得到10kkbb+−,解得k的取值范围,即可得解.【详解】依题意可得na是以1a为首项,22为公比的等比数列,所以1122nnaa−=

,又11132a=,所以1111013222aa==,解得11a=,所以122nna−=,所以211212122nnna+−+==,因为22124

018nnbnna+++=,所以212092nnnnb−−−+=,为因为1kkbb+,所以()()222111209120911280222kkkkkkkkkkkbb+−−+−++−−+−+−=−=,又20k,所以()()21128470kk

kk−+=−−,解得47k,又N*k,所以满足条件的k的取值集合为{}5,6.故选:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分

选对的得2分,有选错的得0分.9.下列运算正确的是()A.ln10(lg)xx=B.22(e)2exx=C.32(cos)3sinxxxx+=+D.32112xx−=−【答案】BD【解析】【分析】根据求导公式、求导法则和简单复合函数的求导结

合选项,依次计算即可求解.【详解】A:1(lg)ln10xx=,故A错误;B:22(e)2exx=,故B正确;C:332(cos)()(cos)3sinxxxxxx+=+=−,故C错误;D:132211()()2xxx−−==−,故D正确.故选:BD.10.已知等比数列na

的前n项和为nS,公比为q,若232S=,6398SS=,则下列说法正确的是()A.112a=B.12q=C.7164a=D.53116S=【答案】BCD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列式求出1a和q,可判断A

和B,再求出7a和5S和判断C和D.【详解】由232S=,得13(1)2aq+=,由6398SS=,得2345121(1)9(1)8aqqqqqaqq+++++=++,得3918q+=,得318q=,得12q=,故B正确;将12q=代入1

3(1)2aq+=,得1321112a==+,故A不正确;667111()264aaq===,故C正确;51511(1)3132111612aqSq−−===−−,故D正确.故选:BCD11.已知函数2()e2e12

xxfxx=−−,则下列说法正确的是()A.曲线()yfx=在0x=处的切线与直线120xy+=垂直B.()fx在(2,)+上单调递增C.()fx的极小值为312ln3−D.()fx在2,1−上

的最小值为312ln3−【答案】BC【解析】【分析】求出函数的导函数,求出()0f,即可判断A,求出函数的单调区间,即可判断B、C、D.【详解】因为2()e2e12xxfxx=−−,所以()()2()2e2e1

22e3e2xxxxfx=−−=−+,所以()012f=−,故A错误;令()0fx¢>,解得ln3x,所以()fx的单调递增区间为()ln3,+,而()()2,ln3,++,所以()fx在(2,)+上单调递增,故B正确;当ln3x时()0fx,

所以()fx的单调递减区间为(),ln3−,所以()fx的极小值为()ln3312ln3f=−,故C正确;()fx在2,1−上单调递减,所以最小值为()21e2e12f=−−,故D错误;故选:BC12.已知数列na的前n项和为nS

,且11a=,20243035a=,23nnaa+−=,则下列说法正确的是()A.1357935aaaaa++++=B.数列16na是等比数列C.68a=D.20030000S=【答案】ACD【解析】【分析】根据题意,数

列na隔项成等差,通过分奇偶,求出通项公式,即可逐一验证各项正误.【详解】解:根据23nnaa+−=,得2024210113aa=+,解得:22a=,所以,当n为偶数时,24232363(1)22nn

nnnaaaa−−−=+=+==+−=,同理,当n为奇数时,241131363(1)22nnnnnaaaa−−+−=+=+==+−=,对于A,13579147101335aaaaa++++=++++=,故A正确,对于B,若数列16na是等比数列,即要求数列na为等差数列

,根据上述结论,数列na不为等差数列,故B错误.对于C,63318a=−=,故C正确,对于D,20013571992468200()()Saaaaaaaaaa=+++++++++++(1471013298)(25811299)=++++++++++++100(1298)100(2

299)3000022++=+=,故D正确,故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知首项为12的数列na满足112nnnaaa+=+,则3a=________.【答案】1

93【解析】【分析】根据递推公式计算可得.【详解】因为112a=,112nnnaaa+=+,所以121123aaa=+=,32211923aaa=+=.故答案为:19314.若函数()322fxxaxax=−+存在两个极值点,则实数a的取值范围是_

_______.【答案】()(),06,−+【解析】【分析】分析可知()fx有两个不等零点,由0,即可求得实数a的取值范围.【详解】因为()322fxxaxax=−+,所以()2322fxxaxa=−+,因为函数()fx有两个极值点,所以()fx有两个不等的零点,则24

240aa=−,解得a<0或6a,不妨设()fx的两个零点分别为1x、2x且12xx,由()0fx,可得12xxx,由()0fx¢>,可得1xx或2xx,此时函数()fx有两个极值点.因此,实数a的取值范

围是()(),06,−+.故答案为:()(),06,−+.15.已知首项为1数列na满足153nnaa+=−,则na=________.【答案】131544n−+【解析】【分析】由153nnaa+=−,得133

5()44nnaa+−=−,再利用等比数列的通项公式求出34na−,从而可得na.【详解】由153nnaa+=−,得1335()44nnaa+−=−,因为11a=,所以13144a−=,进而304na−,的的所以数列3{}4na−是首项为14,公比为5的等比数列,所以131

544nna−−=,即131544nna−=+.故答案为:131544n−+.16.若函数2()lnfxaxxxx=+−在1,62上单调递增,则实数a的取值范围是________.【答案】1,2e+【解析】【分析】根据题意可

得()2ln0fxaxx=−在1[,6]2上恒成立,即ln()2xagxx=在1[,6]2上恒成立,利用导数研究函数()gx的性质即可求解.【详解】2()lnfxaxxxx=+−,则()2ln(0)fxaxxx=−,因为函数()fx在1[,6]2

上单调递增,所以()2ln0fxaxx=−在1[,6]2上恒成立,即()2ln0fxaxx=−在1[,6]2上恒成立,即ln2xax在1[,6]2上恒成立,设ln()(0)2xgxxx=,则22(1ln)()4xgxx−=,令()00e

gxx,令()0egxx,所以函数()gx在(0,e)上单调递增,在(e,)+上单调递减,即函数()gx在1(,e)2上单调递增,在(e,6)上单调递减,得max1()(e)=2egxg=,所以12ea

,即实数a取值范围为1[,)2e+.故答案为:1[,)2e+.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的前n项和为nS,且213a=−,63a=.(1)求数列

na的通项公式以及nS;(2)求nS的最小值.【答案】(1)2421,219nnanSnn=−=−;(2)45−【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组,求得117,4ad=−=,结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算即

可求解;(2)由(1)可得2193612()48nSn=−−,结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意得,设等差数列的公差为d,则26133aa=−=,即111353adad+=−+=,解得117,4ad=−=,所以1(1)421naandn=+−

=−,21(1)172(1)2192nnnSnadnnnnn−=+=−+−=−;【小问2详解】由(1)知,22193612192()48nSnnn=−=−−,是一条开口向上,对称轴为194n=的抛物线,所以

当5n=时,nS取到最小值,且最小值为45−,所以nS的最小值为45−.18.已知函数32()25fxxx=−.(1)求曲线()yfx=在(1,(1))f处的切线方程;(2)求()fx的单调区间.【答案】(1)410xy+−=(2)单调递增区间是(),0−和5,3+,单调递减

区间是50,3【解析】【分析】(1)根据导数几何意义求切线方程;(2)利用导数,根据()0fx¢>和()0fx,求函数的单调区间.【小问1详解】()13f=−,()2610fxxx=−,()14f=−所以函数()yfx=在()()1,1f处的切线方程为()341yx+=−

−,即切线方程为410xy+−=;【小问2详解】()()2610235fxxxxx=−=−,当()0fx¢>,解得:0x或53x,当()0fx,解得:503x,所以函数的单调递增区间是(),0−和5,3+

,单调递减区间是50,3.19.已知数列na的前n项和为nS,且2321nnSn=−−.(1)求数列na的通项公式;(2)若1223nnnnbaa++=,求数列nb的前n

项和nT.【答案】(1)131nna−=−;(2)111231nnT+=−−.【解析】【分析】(1)根据nS与na的关系即可求解数列的通项公式;(2)由(1)可得1113131nnnb+=−−−,结合裂项相消求和法即可求解【小问1详解】2321nnSn=−−①,当1n=时,11223210Sa==

−−=,解得10a=.当2n时,112321nnSn−−=−+②,①-②,得112332232nnnna−−=−−=−,所以131nna−=−,的.又10a=,符合上式,故131nna−=−.【小问2详

解】由(1)知131nna−=−,则11231,31nnnnaa+++=−=−,所以()()111223231131313131nnnnnnnnnbaa++++===−−−−−,则12nnTbbb=+++122311111113131313

13131nn+=−+−++−−−−−−−11111113131231nn++=−=−−−−.20.已知函数2()2ln(3)fxxxax=−−.(1)若0a=,求()fx的极值;(2)若3a=,()fx恒成立,求

实数的取值范围.【答案】(1)极小值为12ln3−,无极大值;(2)(,22ln6−−−【解析】【分析】(1)利用导数研究函数()fx的单调性,结合极值的定义即可求解;(2)利用导数研究函数()fx的单调性,求出min()fx.由题意可得min()fx在(0,)+上恒成

立,即可求解.【小问1详解】当0a=时,2()2ln(3)(0)fxxxx=−,则222(1)()2xfxxxx−=−=,令()001fxx,令()01fxx,所以函数()fx在(0,1)上单调递减,在(1,)+上单调递增,故函数()fx在1x=处取

得极小值,且极小值为(1)12ln3f=−,无极大值.【小问2详解】当3a=时,2()2ln(3)3(0)fxxxxx=−−,则2(21)(2)()23xxfxxxx+−=−−=,令()002fxx

,令()02fxx,所以函数()fx在(0,2)上单调递减,在(2,)+上单调递增,故函数()fx在2x=处取得极小值,即为最小值,且最小值为(2)22ln6f=−−.又()fx恒成

立,所以min()fx在(0,)+上恒成立,所以22ln6−−,即实数的取值范围为(,22ln6]−−−.21.已知正项等差数列na的前n项和为nS,其中24nnaa+−=,2224(1)(1)Sa+=+.(1)求数列na的通项公式及nS;(2)若134n

nnba−=,求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)21nan=+,()2nSnn=+;(2)()3364294nnTn=−+【解析】【分析】(1)根据条件,列出首项和公差的方程组,即可求解;(2)由(1)可知,()13214nnbn−=+,再利用

错位相减法求和.【小问1详解】设等差数列的首项为1a,公差为d,则224nnaad+−==,则2d=,因为2224(1)(1)Sa+=+,所以()()2114233aa+=+,化简为211230aa−−=,解得:13a=或11a=−(舍),所以()31221nann=+−=+

,()()32122nnnSnn++==+;【小问2详解】()11332144nnnnban−−==+,()01213333357...214444nnTn−=+++++

34nT=()1233333357...214444nn+++++两式相减得()121333332...2144444nnnTn−=++++−+

,()133144332213414nnn−−=+−+−()39294nn=−+()3364294nnTn=−+22.已知函数()exfxxa=−.(1)讨论函数()fx

在2,1−上的零点个数;(2)当0a=且(1,0)(0,)x−+时,记2()ln(1)()1fxxMxxx+=−,探究()Mx与1的大小关系,并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)()1Mx,理由见解析【解析】【分析】(1)求导,得到函数单调性和极值情况,并结合端

点值大小,分类讨论得到函数的零点个数;(2)判断出()1Mx,不等式同构变形得到()()ln11e1e1lnxxxx+−−+,构造()e1xhxx−=,得到其单调性,并构造()()ln1txxx=−+的单调性,证明出结论.【小问1详解】()()1exfxx

=+,2,1x−,当2<<1x−−时,()0fx,当11x−时,()0fx,故()fx在()2,1−−上单调递减,在()1,1−上单调递增,又1(1)efa−−=−−,2(2)2efa−−=−−,(1)efa=−,其中22eeaa−−−−,若1(1

)e0fa−−=−−,即1ea−−时,()fx零点个数为0,若1(1)e0fa−−=−−=,即1ea−=−时,()fx零点个数为1,若12(1)e0(2)e0fafa−−−=−−−=−−,即12eea

−−−−时,()fx零点个数为2,若2(1)e0(2)e0fafa−=−−=−−,即2eea−−时,()fx零点个数为1,若(1)e0fa=−,即ea时,()fx零点个数为0,综上:当1ea−−或ea时,()fx零点个数为0,当1ea−=−或2eea−

−时,()fx零点个数为1,当12eea−−−−时,()fx零点个数为2.【小问2详解】()1Mx,理由如下:()2ln(1)()1exxMxx+=−,(1,0)(0,)x−+,当()1,0x−时

,()ln10x+,故()0ln1xx+,当()0,x+时,()ln10x+,故()0ln1xx+,要证()21eln(1)1xxx+−,即证()1e1lnxxxx−+,其中()()()ln111lneln1xxxx+−=

++,故即证()()ln11e1e1lnxxxx+−−+,令()e1xhxx−=,()(),00,x−+,即证()()ln1hxhx+,()21eexxhxxx−+=,令()1eexx

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