【文档说明】《苏教版（2019）高一数学下学期期末考试分类汇编》三角恒等变换（教师版）【高考】.docx，共(25)页，1.131 MB，由小赞的店铺上传

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专题02三角恒等变换一、单选题1．（2021·江苏苏州·高一期末）22cos75sin75−的值为（）A．32−B．12−C．12D．32【答案】A【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.【详解】()223cos75sin75cos

275cos1502−===−.故选：A.2．（2021·江苏常州·高一期末）已知22cos43−=，则sin2的值是（）A．79B．29−C．29D．79−【答案】A【解析】【分析】根据

已知条件，运用三角函数的两角差公式，可得4cossin3+=，对等式两边同时平方，再结合二倍角公式，即可求解．【详解】解：22cos()43−=，2222cossin223+=，4cossin3+=，对等式两边平方，可得22

16cossin2sincos9++=，161sin29+=，解得7sin29=．故选：A．3．（2021·江苏扬州·高一期末）已知sincos11cos2=+，1tan()3−=，则tan=（）A．1B．1−C．7D．7−【答案】A【解

析】【分析】根据已知条件，先运用二倍角公式，可得tan2=，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．【详解】解：因为sincos11cos2=+，所以2sincos2cos=且sincos0，所以tan2=﹔又1tan()3−=，所以()()()

12tantan3tantan121tantan13−−−=−−===+−+.故选：A4．（2021·江苏淮安·高一期末）如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，−=（）A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】【分析】根据已知条

件可得tan，tan，结合正切函数的两角差公式，即可求解．【详解】解：由图可得，1tan2=，tan3=，13tantan2tan()111tantan132−−−===++，因为02，02

，所以22−−4−=．故选：C．5．（2021·江苏徐州·高一期末）已知72cos(),410+=则sin2θ=（）A．2425−B．1225−C．1225D．2425【答案】A【解析】【分析】由已知条件化简可得7cossin5−=，两边平方可得4

912sincos25−=，从而可求得答案【详解】解：由72cos(),410+=得72coscossinsin4410−=，所以7cossin5−=，所以()227cossin5−=，所以4912sincos25−=，所以491sin2

25−=，所以24sin225=−，故选：A6．（2021·江苏盐城·高一期末）为了得到函数sin3cos3yxx=+的图象，可以将函数2sin3yx=的图象（）A．向左平移12个单位长度得到B．向右平移12个单位长度

得到C．向左平移4个单位长度得到D．向右平移4个单位长度得到【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数sin3cos3yxx=+变形，然后利用图象的平移变换分析求解即可．【详解】解：函数sin3cos32sin(3)2sin3412yxxxx=+=+=+

，将函数2sin3yx=的图象向左平移12个单位可得2sin312yx=+的图象．故选：A．7．（2021·江苏泰州·高一期末）设3tan16tan14tan16tan143a

=++，sin44cos14sin46cos76b=−，2sin14sin76c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．acbC．bcaD．cab【答案】A【解析】【分析】根据两角和正切公式有tan16tan141tan16

ttanan4301+−=，可求a，再由两角差正弦公式、二倍角正弦公式可求b、c，进而可知它们的大小关系.【详解】∵tan16tan141tan163tan3tan1034=−=+，∴33tan16tan14tan16tan1433a=+=+，sin44cos1

4sin46cos76sin44cos14cos44sin14sin3201b=−=−==，2sin14sin76sin14cos142sin28sin30c===，∴abc.故选：A8

．（2021·江苏省镇江中学高一期末）若()()11sinsin14+−=−，则22coscos−=（）．A．314B．314−C．1114D．1114−【答案】C【解析】【分析】直接对已知的式子利用三角恒等变换公式化

简可得答案【详解】解：因为()()11sinsin14+−=−，所以11(sincoscossin)(sincoscossin)14+−=−，222211sincoscossin14−=−，所以2222

11(1cos)coscos(1cos)14−−−=−，所以22222211coscoscoscoscoscos14−−+=−，所以2211coscos14−=−，所以2211coscos14−=，故选：C二、多选题9．

（2021·江苏淮安·高一期末）一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(),xy，它与原点的距离是r.我们规定：比值xy，ry，rx分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作cot，csc，sec，把cotyx=，cscyx=，secyx=分别

叫做余切函数、余割函数、正割函数，下列叙述正确的有（）A．5cot14=B．sinsec1=C．secyx=的定义域为,2xxkkZ+∣D．2222secsincsccos5+++

【答案】ACD【解析】依据题意结合教材正弦余弦函数的定义逐一判断.【详解】51cot=154tan4=，故A正确；1sinsecsin1cos=，故B不正确；1seccosyxx==，cos0,,2xxkkZ+，故C正确；2222222211secsi

ncsccossincoscossin+++=+++2221411sincossin2=+=+1sin21−Q，244sin2，2415sin2+，即2222secsincsccos5++

+，故D正确.故选:ACD10．（2021·江苏·高一期末）下列化简正确的是A．1cos82sin52sin82cos522−=B．1sin15sin30sin754=C．tan48tan7231tan48

tan72+=−−D．223cos15sin152−=【答案】CD【解析】根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果.【详解】A中，()()1cos82sin52sin82c

os52sin5282sin30sin302−=−=−=−=−，则A错误；B中，111sin15sin30sin75sin15cos15sin30248===，则B错误；C中，()tan48tan72tan4872tan12031tan48ta

n72+=+==−−，则C正确；D中，223cos15sin15cos302−==，则D正确.故选：CD【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.三、填空题11．（2021·江苏常州·高一期末）满足

等式(1tan)(1tan)2++=的数组(,)有无穷多个，试写出一个这样的数组___________.【答案】0,4（答案不唯一）【解析】【分析】对(1tan)(1tan)2++=化简可得tantan11tantan+=−，则tan()1+=，从而可得4k

+=+，kZ，进而可得答案【详解】解：由(1tan)(1tan)2++=，得1tantantantan2+++=，所以tantan1tantan+=−，所以tantan11tantan

+=−，所以tan()1+=，所以4k+=+，kZ，所以可以为0，可以为4，故答案为：0,4（答案不唯一）12．（2021·江苏常州·高一期末）sin15cos5sin20cos15cos5cos20−=−_

_____．【答案】23−−【解析】【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式即可求解.【详解】sin15cos5sin20cos15cos5cos20−−()()sin15cos5sin155cos15cos5cos155−+=−+sin15cos5sin15

cos5cos15sin5cos15cos5cos15cos5sin15sin5−−=−+62cos15sin5cos15423sin15sin5sin15624+−==−=−=−−−.故答案为：23−−13．（2021·江苏苏州·高一期末）若3sin125

+=，则sin23−的值为_________.【答案】725【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，可得sin(2)cos[(2)]323−=−−cos(2)6

=+223712sin()12()12525=−+=−=.故答案为：72514．（2021·江苏·高邮市临泽中学高一期末）已知锐角α，β满足（tanα–1）（tanβ–1）=2，则α+β的值为__________．【答案】3π4【解析】【详解】由（tanα–1）（tanβ–1）=2，可得：t

anαtanβ–tanα–tanβ+1=2，∴tan（α+β）=tantan1tantan+−═–1，∵锐角α，β，∴α+β∈（0，π），∴α+β=3π4．故答案为3π4．四、解答题15．（2021·江苏常州·高一期末）（1）已知()cos2cos2+=−

求2212cossinsincos−−的值（2）已知2sincos3+=，且为第四象限角，求sincos−的值.【答案】（1）；1−（2）143−.【解析】（1）由诱导公式得1tan2=−，进而由221sincos=+，将所求的式子化为

二次齐次式，进而得到含tan的式子，从而得解（2）由22(sincos)(sincos)2++−=，结合角的范围可得解.【详解】（1）由()cos2cos2+=−，得cos2sin−=，所以1tan2=−，22222222212cos

sincos2cossincossinsincossinsincossinsincos−+−−==−−−2211tan14111tantan42−−===−−+.（2）22(sincos)(sincos)2++−=，所以2214(s

incos)2(sincos)9−=−+=，又为第四象限角，所以sin0,cos0，所以14sincos3−=−.16．（2021·江苏盐城·高一期末）已知函数()2cos3sincosfxxxx=+.（1）求()fx的最小正周期；（2

）若()fx在区间上0,m的值域为31,2，求m的取值范围.【答案】（1）π；（2）ππ,63.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得()1πsin226fxx=++，从而可求得函数的最

小正周期；（2）由0xm，得πππ22666xm++，由于函数的值域为31,2，结合正弦函数的性质可得ππ5π2266m+，从而可求出m的取值范围【详解】（1）()21cos23cos3sincossin222xfxxxxx+=+=+，则()1πsin226fxx

=++，所以()fx的最小正周期为π.（2）因为0xm，πππ22666xm++，所以要使得值域为31,2，则只需要ππ5π2266m+，解得63m所以m的取值范围为ππ,63

.17．（2021·江苏·高一期末）已知函数()πfxsinxsinx6=+．()1求()fx的对称轴所在直线方程及其对称中心；()2在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且A3f22=，a4=，求ABC周长的取值范围．【答案】

（1）对称轴方程为5122kx=+，kZ，对称中心为3,624k+，kZ（2）88,433+【解析】【详解】分析：（1）用两角和的正弦公式展开变形，用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数的形式，再根据正弦函

数的性质可得结论；（2）由3()22Af=，求得A，再由余弦定理得,bc的等量关系，利用基本不等式和三角形中两边之和大于第三边可得bc+的取值范围，从而得周长范围．详解：（1）()231sinsincos2

2fxxxx=+31cos2113313sin2sin2cos2sin2224444234xxxxx−=+=−+=−+由232xk−=+，∴5122kx=+∴()fx的对称轴方程为5122kx=+，kZ

由23xk−=，∴62kx=+，∴()fx的对称中心为3,624k+，kZ（2）∵4a=，∴22222162cos3bcbcbcbc=+−=++，∴()216bcbc+−=，∴()()2164bcbcbc+

+−=，得：()2643bc+，,0bc，∴833bc+又bca+，∴8343bc+，∴83843abc+++点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：∵322Af=，∴3sin32A−=

，∵()0,A，∴2,333A−−∴33A−=，∴23A=由正弦定理得：42sinsinsinsin3bcaBCA===∴8sin3bB=，8sin3cC=∴()8828sinsinsinsinsin0333333bcBCCCCC

+=+=++=+∵2333C+，∴8433bc+88433abc+++∴ABC的周长范围为88,433+一、单选题1．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）对于任意的

锐角，，下列不等关系中正确的是（）A．sin()sinsin++B．sin()coscos++C．cos()sinsin++D．cos()coscos++【答案】D【解析】【分析】利用和角正弦公式结合正余函数的

有界性推理可判断A，B；取特殊角计算不等式的两边即可判断C；对于D，利用余弦函数在(0,)上的单调性推理判断作答.【详解】因，是锐角，则sin()sincoscossinsin1sin1sinsin

+=++=+，A不正确；sin()sincoscossincos1cos1coscos+=++=+，B不正确；令4=，4=，sinsin2+=，而cos()0+=，C不正确；因，是锐角，则0+，而

函数cosyx=在(0,)上单调递减，于是得cos()cos+，又cos0，有cos()coscos++，D正确.故选：D2．（2021·江苏南京·高一期末）若2sin1703tan101+=，则实数的值为（）A．3B．32C．2D．4【答案】C【解析】

【分析】利用三角恒等变换，化简函数，求实数的值.【详解】原式变形为sin10sin203sin102sin1031cos10cos10++==，即()13cos103sin10sin30103sin10221cos10cos10+−−

+==，则2=.故选：C3．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知，(0,)，310cos10=−，若1sin(2)sin2+=，则+＝（）A．23B．56C．54D．2【答案】C【解析】【分析】2

+=++，=+−，利用两角和与差的正弦拆分sin(2)+和sin，求出()tan3tan+=−，由310cos10=−得出sin以及角的范围，从而求出3tan，再求出()tan+，结合角的范围求出结果

.【详解】解：因为sin(2)sin()coscos()sin+=+++()()()sinsinsincoscossin=+−=+−+若1sin(2)sin2+=，则()()13sincosc

ossin22+=−+，即()tan3tan+=−，310cos10=−，则(,)2，所以1010sin=，1tan3=−，即()tan1+=又(,2)2+，所以54+=.故选

：C4．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形ABC，勾AC（短直角边）长3步，股BC（长直角边）长为4步，问该直角三角形

能容纳的正方形CDEF（D，E，F分别在边CB，BA，AC上）边长为多少？在求得正方形CDEF的边长后，可进一步求得BAD的正切值为（）A．937B．1637C．79213D．116213【答案】B【解析】【分析】由题设，令3,4ACBC==，正方形的边

长为a，由相似比有443aa−=求a值，再由tantan()BADBACDAC=−及两角差正切公式即可求值.【详解】由题意知：若3,4ACBC==，设正方形的边长为a，则443aa−=，解得127a=，∵tantantantan()1tantanBACDACBA

DBACDACBACDAC−=−=+，而4tan3BAC=，4tan7DAC=，∴441637tan4437137BAD−==+.故选：B5．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）已知，0,2，()sin22sin+=，则tan的最大值为

（）A．33B．23C．1D．32【答案】A【解析】【分析】根据题设可得2tan13tantan=+，而tan(0,)+，利用基本不等式即可求其最大值，注意等号成立的条件.【详解】()sin2sin2coscos2sin+=

+，∴由题设，2sin2cos2sincos2sinsin(12sin)=−=+，∵，0,2，∴2222sin22sincos2tan2tan112sincos3sin13tan3tantan====++++

，且tan(0,)+，∴223tan1313tan23tantantan==+当且仅当3tan3=时等号成立.故选：A6．（2021·江苏苏州·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于

A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且os0()c−，则a+b的最大值为()A．1B．2C．2D．不存在【答案】B【解析】【分析】用a、b表示出点A、B的坐标，利用三角函数定义结合os0()c−探求出a、b的关系再求解即得.【详解】、

是位于不同象限的任意角，依题意它们的终边在x轴上方，不妨令为第一象限角，为第二象限角，则点2(1,)Aaa−，2(1,)Bbb−−，由三角函数定义知22cos1,cos1,sin,sinabab=−=−−==，22()coscossincos0sin11abab=+=−

−+−−，而a>0，b>0，222222211()(1)(1)1ababababab−−−−+，当且仅当22ab==时取“=”，2222222()22abababababab+=+=+++++=，当且仅当22ab==时取“=”，所

以a+b的最大值是2.故选：B【点睛】基本不等式处理最值问题的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等号，要确保各次取等号的条件不矛盾.二、多选题7．（2021·江苏南通·高三期末）已知函数()()sinfxAx=+（0A，0，2）的最大值为2，其图象相邻的两条

对称轴之间的距离为2，且()fx的图象关于点,012−对称，则下列结论确的定（）A．函数()fx的图象关于直线512x=对称B．当,66x−时，函数()fx的最小值为22−C．若3265f−=，则44sinco

s−的值为54−D．要得到函数()fx的图象，只需要将()2cos2gxx=的图象向右平移6个单位【答案】BD【解析】【分析】由函数性质求出函数解析式，然后再确定正弦函数的其他性质判断各选项：计算5()12πf是否为最值，判断A

，确定函数在,66x−的单调性得最小值判断B，代入函数解析式求得cos2，再由平方关系、二倍角公式计算44cossin−判断C，由三角函数图象变换判断D．【详解】由题意2A=，22T==，22==，2sin[2()]012−+=，,6

kkZ−=，又2，所以6π=，()2sin(2)6fxx=+，55()2sin(2)012126f=+=，512x=不是对称轴，A错；[,]66x−时，2[,]662x+−，此时()fx递增，min2()()62fxf=−=−，B正确；32(

)2sin(2)2cos2625f−=−==，3cos25=，4422223cossin(cossin)(cossin)cos25−=+−==，C错；将()2cos2gxx=的图象向右平移6个单位得函数

解析式为()2cos2()2cos(2)2sin(2)2sin(2)()63326hxxxxxfx=−=−=−+=+=，D正确．故选：BD．8．（2021·江苏南京·高一期末）关于函数()22coscos(2)12fx

xx=−+−的描述正确的是（）．A．其图象可由2sin2yx=的图象向左平移8个单位得到B．()fx在0,2单调递增C．()fx在0,有2个零点D．()fx在,02−的最小值为2−【答案】ACD【解析】【分析】先根据二倍角公式、诱导公式及

辅助角公式将函数解析式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：2()2coscos21cos2sin22sin224fxxxxxx=−+−=+=+,对选项A

：2sin2yx=的图象向左平移8个单位，得2sin28yx=+2sin24x=+,所以选项A正确；对选项B：()fx在0,8上单调递增，,82上单调递减

，所以选项B错误；对选项C：由()2sin204fxx=+=得24xk+=,kZ,解得28kx=−,在[0，]上有2个零点38和78，所以选项C正确；对选项D：由,02x−，得432,44x+−，所以2sin(

2)2,14x+−，即()fx的最小值2−，所以选项D正确．故选：ACD．9．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）函数()223sincos2sin1fxxxx=−+，下列结论正确的是（）A．()fx在区间,03−上

单调递增B．()fx的图象关于直线6x=对称C．将()fx的图象向左平移512个单位后与2sin2yx=的图象重合D．若12xx−=，则()()12fxfx=【答案】ABD【解析】【分析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函

数形式，然后结合正弦函数性质判断．【详解】31()3sin2cos22sin2cos22sin2226fxxxxxx=+=+=+，,03x−时，t=2,626x

+−，此时sinyt=递增，A正确；2sin22666f=+=，B正确；将()fx的图象向左平移512个单位后得解析式52sin2()2sin(2)2sin22sin2126yxxxx=++=+=−，C错误；易知函数周期为22

T==，因此当12,xx−=则()()12fxfx=，D正确．故选：ABD．三、填空题10．（2021·江苏·海安市曲塘中学高三期末）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数学模

型是函数1()coscos22=+fxxx，则下列结论正确的是________．(填序号)①()fx是偶函数，且周期是2π；②()fx在[0,2π]上有4个零点；③()fx的值域为33[,]42−；④()f

x在[0,π]上是减函数．【答案】①③【解析】【分析】利用奇偶性、周期性的定义判定①正确；利用二倍角公式得到21()coscos2fxxx=+−，再通过解方程结合余弦函数的值域判定②错误；利用二次函数的值域、

余弦函数的最值判定③正确；利用二次函数的单调性、余弦函数的单调性及值域判定④错误.【详解】对于①：因为1()cos()cos(2)2fxxx−=−+−1coscos2()2xxfx=+=，即()fx是偶函数，又对于Rx，1(2π)cos(2π)cos[2(2π)]2fxxx+

=+++11coscos(24π)coscos2()22xxxxfx=++=+=，且1(π)cos(π)cos[2(π)]2fxxx+=+++11coscos(22π)coscos2()22xxxxfx=−++=−+即()fx的周期是2π，即①正确；对于②：因为1()coscos

22=+fxxx2211cos(2cos1)coscos22xxxx=+−=+−，令()0fx=，即21coscos02xx+−=，解得13cos2x−+=或13cos12x+=−−（舍），则()fx在[

0,2π]上有2个零点，即②错误；对于③：因为213()(cos)24fxx=+−，所以当1cos2x=−时，min3()4fx=−；当cos1x=时，max3()2fx=；即()fx的值域为33[,]42−，即③正确

；对于④：令costx=，则213()24yt=+−，且costx=在[0,π]单调递减，且11t−，213()24yt=+−在1[1,]2−−上单调递减，在1[,1]2−上单调递增，所以()fx在[0,π]上不是单调递减，即④错误.故答案为：①③.四、解答题11．（2

021·江苏南通·高一期末）已知O为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(),aMbO=为函数()fx的伴随向量，同时称函数()fx为向量OM的伴随函数.（1）设函数3()3sin()sin2gxxx=+−−，试求()gx的伴随向

量OM；（2）记向量(1,3)ON=的伴随函数为()fx，求当()85fx=且,36x−时sinx的值；（3）由（1）中函数()gx的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右

平移23个单位长度得到()hx的图象，已知()2,3A−，()2,6B，问在()yhx=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）OM(3,1)=−（2）43310−（3）存在，()0,2P【解析】【分析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数

得()3sincosgxxx=−+，根据题意写出伴随向量；(2)根据题意求出函数()fx，再由()85fx=及,36x−求出sin()3x+及cos()3x+，由sinsin33xx

=+−展开代入相应值即可得解；(3)根据三角函数图像变换规则求出()hx的解析式，设1,2cos2Pxx，由APBP⊥得0APBP=列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.【详解】（1）∵3()sin3sin(

)2gxxx=−−++∴()cos3sin3sincosgxxxxx=−=−+∴()gx的伴随向量OM(3,1)=−（2）向量(1,3)ON=的伴随函数为()sin3cosfxxx=+，()8sin3cos2sin()35fxxxx=+=+=，4sin()

35x+=,(0,)3632xx−+，，3cos()35x+=13433sinsinsincos33232310xxxx−=+−=+−+=（3）由（1）知：

()3sincos2sin6gxxxx=−+=−−将函数()gx的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数12sin26yx=−−再把整个图像向右平移23个单位长得到()hx的图像，得到121

1()2sin2sin2cos236222hxxxx=−−−=−−=设1,2cos2Pxx，∵(2,3),(2,6)AB−∴12,2cos32APxx=+−，12,2cos62BPxx=−−又∵APBP⊥，∴0AP

BP=∴11(2)(2)2cos32cos6022xxxx+−+−−=221144cos18cos18022xxx−+−+=∴2219252cos224xx−=−（*）∵122cos22x

−，∴131952cos2222x−−−∴225191692cos4224x−又∵2252544x−∴当且仅当0x=时，2192cos22x−和2254x−同时等于254，这时（*）式成立∴在()yhx=的图像上存在点()0,2P，使得A

PBP⊥.【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.12．（2021·江苏盐城·高一期末）已知函数()()221fxxaxaR=−+.（1）若对任意的()

0,x+，不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围；（2）记()()()sincos2gxfxfx=+−，存在1x，2xR，使得等式()()121gxgx=−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,1−；（2）11,,22−−+.【解析】【分

析】（1）依题意，可得212xax+…恒成立，再结合基本不等式即可得解；（2）先化简()122sin4gxax=−+，然后分类讨论即可得出结论．【详解】（1）∵对于任意的正实数x，不等式恒成立，∴212xax+即212xax+恒成立，

又由基本不等式211122xxxxxx+=+=，当且仅当1xx=，即1x=时取等号，所以1a，即a的取值范围是(,1−.（2）由已知()()()sincos2gxfxfx=+−，且()221fxxax=−+所以()22sin2sin1cos2cos12gxxa

xxax=−++−+−所以()()π12sincos122sin4gxaxxax=−+=−+，若0a=，则()1gx=恒成立，故()()121gxgx=−与条件矛盾；若0a，则()122,

122gxaa−+，故存在1x，2x，使得()()121gxgx=−，则有1221221aa−+−，即2181a−−所以214a，解得12a或12a−所以a的取值范围是11,,

22−−+.13．（2021·江苏苏州·高一期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为AD的中点.（1）若E为AB的中点，求tanCEF的值；（2）若E为线段AB（不含端点）上的一个动点，请探究：当AE长为多少时，可使得CEF最大？

【答案】（1）3；（2）102AE=−.【解析】【分析】（1）设,AEFBEC==，依题意可得4=，tan2=，利用两角和的正切公式即可得到tan()+，则tantan[()]CEF=−+，利用诱导公式计算可得；（2

）设AEx=，则1tanx=，2tan2x=−，即可表示tanCEF，令2tx=+，则1tan106CEFtt=+−，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：设,,0,2AEFBEC

==.（1）因为正方形ABCD的边长为2，且E，F分别是,ABAD的中点所以1AEAFBE===，所以4=，所以tan1=.又因为2BC=，所以tan2=.所以tantan12tan()31tantan112+++===−−−.所以t

antan[()]tan()3CEF=−+=−+=.（2）设AEx=，其中02x，则在直角三角形AEF中，1tanAFAEx==；在直角三角形BEC中，2tan2BCBEx==−.所以tantantantan[()]tan()1tantanCEF+=−+

=−+=−−212222221(2)xxxxxxx++−=−=−+−−，其中02x.令2tx=+，则2xt=−，其中24t，所以21tan106106tCEFtttt==−++−.因为1024,62106ttt+

−−.（当且仅当10=t时，即102x=−时，等号成立）所以1310tan22106CEF+=−.因为tanyx=在0,2上是增函数，所以当102AE=−，可使得CEF最大.14．（2021·江苏徐州·高一期末）若()()sin0,02fxx=+

的部分图象如图所示，()102f=，5012f=.（1）求()fx的解析式；（2）在锐角ABC中，若AB，π32125ABf−−=，求cos2AB−，并证明25sin5A.【答案】（1）()sin

26fxx+=；（2）02cos3101AB−=，证明见解析.【解析】【分析】（1）由()102f=结合的取值范围可求得的值，再结合5012f=可求得的值，进而可得出函数()fx的

解析式；（2）求出AB−的取值范围，由已知条件求出()sinAB−的值，利用同角三角函数的基本关系及二倍角的降幂公式可求得cos2AB−的值，然后利用两角和的正弦公式可证明得出25sin5A.【详解】（1）由()1

02f=，得1sin2=，又02，故6π=.由5012f=，得5sin0126+=，所以52126k+=+，kZ，即2425k=+，kZ，由0，结合函数图象可知125212，所以1205.又kZ，所以1

k=，从而12225−==，因此，()sin26fxx+=；（2）由()3sin2125ABfAB−−=−=，02BA，所以，π02AB−，故()4cos5AB−=.()2cos2cos12ABAB

−−=−，于是()01cos310cos212ABAB+−−==.所以，210sin1cos2210ABAB−−=−=.又2AB+，故2242ABABABA+−−=++.又sinyx=在0,2上单调递增，0,2A，0,422AB−

+，所以231025sinsinsincoscossin42424225101010ABABABA−−−+=+=+=.【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sinfxAxb=++或的部分图象求函数

解析式的方法：（1）求A、()()maxmin:2fxfxbA−=，()()maxmin2fxfxb+=；（2）求出函数的最小正周期T，进而得出2T=；（3）取特殊点代入函数可求得的值.