【文档说明】重庆市万州第二高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.725 MB，由小赞的店铺上传

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万州二中2022-2023年高三下期3月月考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束

后，请将本试卷和答题卡一并交回；4．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边经过点(4,3)−，则cos2+=（）A

.45−B.35-C.35D.45【答案】B【解析】【分析】先用诱导公式化简,再借助三角函数的定义即可解得.【详解】因为角的终边经过点(4,3)−,则有3sin=5a,所以3cossin25-=-+=.故选:B.【点睛】本题考查

诱导公式,考查三角函数的定义求函数值,难度容易.2.已知，，是三个不同平面，m=，n=.则下列命题成立的是（）A.若//mn，则//B.若//，则//mnC.若mn⊥，则⊥D.若⊥，则mn⊥【答案】B【解析】【分析】根据线面以及面

面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，平面和可以相交，的对B，根据定理，一个平面和另外两个平行平面相交，则交线平行，故B正确；对C，平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直，不能证明线面垂直，即不能证明面面垂直，故C错误，对D，若两个面垂直，第三个平面和该两个面相交，

交线并不一定垂直，故D错误.故选：B3.定义在R上的函数()fx的反函数为1()fx−，且对任意的x都有()()62fxfx+−=，若100ab=,则()()11lglgfafb−−+=（）A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】【分析】根据题意得到()fx的对称中心，从而得到反函数的对称中心

，然后对所求的式子进行化简，符合反函数的对称的式子，得到答案.【详解】因为()fx对任意的x都有()()62fxfx+−=，所以()fx关于点()3,1成中心对称，所以()fx的反函数1()fx−关于点()1,3成中心对称，即()()1126fxfx−−+−=因为100ab=所以100lgl

g2lgbaa==−，所以()()()()1111lglglg2lg6fafbfafa−−−−+=+−=，故选D项.【点睛】本题考查函数与反函数之间的关系，函数的中心对称，属于简单题.4.若()()313xax−−的展开式的各项系数和为8，则=a（）A.1B.1−C.2D.2−【答案】

C【解析】【分析】直接令1x=计算可得答案.【详解】令1x=得()()31138a−−=，解得2a=故选：C.5.过抛物线C：24yx=的焦点F的直线交抛物线C于11(,)Axy、22(,)Bxy两点，以线段AB为直径的圆的圆心为1O，半径为r.点1O到C的准线l的距离与r之积为25，则12(

)rxx+=（）A.40B.30C.25D.20【答案】A【解析】【详解】由抛物线的性质知，点1O到C的准线l的距离为12ABr=，依题意得2255rr==，又点1O到C的准线l的距离为121(2)52xxr++==，则有128xx+=，故12()40rxx+=，故选：A．6.已知抛物线24yx

=的焦点F，点()43A，，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF△周长取最小值时，线段PF的长为A.1B.134C.5D.214【答案】B【解析】【分析】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，则根据

抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF长度．【详解】求△PAF周长的最小值

，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|P

D|最小，此时P（94，3），F（1，0）PF的长为913144+=，故选B．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．7.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E、F分别是棱11

CD、11BC的中点，P是上底面1111DCBA内一点，若//AP平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A.5,22B.325,42C.32,52D.32,24【答案】C【解析】【分析】分别取11AD、1

1AB的中点M、N，连接AM、AN、MN、FM，推导出平面//AMN平面BDEF，可得出点P的轨迹为线段MN，进而可求得线段AP长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取11AD、11AB的中点M、N

，连接AM、AN、MN、FM，因为四边形1111DCBA为正方形，则1111//BACD且1111ADBC=，因为M、F分别为11AD、11BC的中点，则11//AMBF且11AMBF=，所以，四边形11ABFM为平行四边形，则11//ABMF且11ABMF=

，在正方体1111ABCDABCD−中，11//ABAB且11ABAB=，//ABMF且ABMF=，所以四边形ABFM平行四边形，可得//AMBF，AM平面BDEF，BF平面BDEF，//AM平面BDEF，同理可证//AN平面BDEF，AMANA

=，所以，平面//AMN平面BDEF，在线段MN上任取一点P，则AP平面AMN，//AP平面BDEF，即点P的轨迹为线段MN，在AMN中，22115AMANAAAN==+=，22112MNAMAN=+=，当APMN⊥时，即当P为MN的中点，AP的长度取最小值，即22min3222MNAPAN

=−=，当点P与点M或点N的重合时，AP的长度取最大值，即max5APAM==.因此，线段AP长度的取值范围是32,52.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度取值范围的求解，解题的关键就是利用//AP平面BDEF推测出点P的轨迹，一般利用线面

平行的性质或面面平行的性质来找出动点P的轨迹，在确定点P的轨迹后，再利用几何知识求解.8.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某三棱锥的三视图，则该三棱锥的内切球表面积为（）A.32327B.163C.48D.323【答案】B【解析】【

分析】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为42的正四面体，结合三棱锥的体积与表面积为公式，求得内切球的半径，最后利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为42的正四面体，（其中该正四面体是棱长为4的正方体的一部分）如

图所示，则该正四面体的体积为116444444444323DBCEVVV−=−=−=正方体，正四面体的表面积为2344(42)3234ABCSS===，设正四面体的内切球的球心为O，半径为r，则1643

3Sr=，即16432333r=，解得233r=，所以内切球的表面积为22231644()33r==.故选：B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在

三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键，同时注意球的组合体性质的应用．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.已知平面向量()2,

3a=−，()1,b=−r，且a，b的夹角是钝角，则可以是（）A.-1B.12C.32D.2【答案】BD【解析】【分析】根据题意得出a0b且a与b不共线，运算即可.【详解】因为a与b的夹角为钝角，

所以a0b且a与b不共线，即230−−且23，所以23−且32故选：BD10.2011年至2020年是中国电力工业发展的黄金十年，煤电产能结构持续优化，新能源发展突飞猛进.如图是2011年至2021年每年1~8月份全国用电总量统计数据，则下列说法正确

的是（）A.2021年1~8月份的全国用电总量最大B.2020年1~8月份的全国用电总量同比增长最低C.2016年1~8月份的全国用电总量为2011年至2021年每年1~8月份全国用电总量的中位数D.201

1年至2015年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差大于2016年至2021年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差【答案】ABC【解析】【分析】根据统计图形逐项判断可得出合适的选项.【详解】观察统计图可知，2011年至2021年每年1~8月份的全国用电总

量逐年增长，所以选项A正确；2020年1~8月份的全国用电总量同比增长最低，所以选项B正确；2016年1~8月份的全国用电总量为2011年至2021年每年1~8月份全国用电总量的中位数，所以选项C正确

；由图可知，2011年至2015年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差小于2016年至2021年每年1~8月份的全国用电总量同比增长的极差，D错.故选：ABC.11.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，若将()f

x的图象向右平移()0mm个单位长度后得到函数()()sin2gxAx=−的图象，则m的值可以是（）A.π4B.π3C.4π3D.9π4【答案】AD【解析】【分析】根据函数图象可确定A和最小正周期T，由此可得，结合π26f=可求得，

从而得到()(),fxgx的解析式，根据()()fxmgx−=可构造方程求得()ππ4mkk=−Z，由此可得m可能的取值.【详解】由图象可知：2A=，最小正周期5ππ4π126T=−=，2π2T==，ππ

2sin263f=+=，()ππ2π32kk+=+Z，解得：()π2π6kk=+Z，又π2，π6=，()π2sin26fxx=+，()π2sin23gxx=−，()()π2sin22

6fxmxmgx−=−+=，()ππ22π63mkk−+=−+Z，解得：()ππ4mkk=−Z，当0k=时，π4m=；当2k=−时，9π4m=.故选：AD.12已知0,0ab，且221ab+=，则（）.A.2ab+B.()55111abab++

C.22loglog1ab+−D.1abab++【答案】BCD【解析】【分析】根据特殊值法，可排除A；利用基本不等式，可判断BC正确；由作差法，可判断D正确.【详解】对于A，令10310,1010ab==，则2108255ab+

==，故A不正确；对于B，()()5555255222222112220abababababababbaba++−+=+−−=，当且仅当55abba=，即22ab==时，等号成立；故B正确；对于C，222222logloglogl

og12ababab++==−，当且仅当22ab==时，等号成立，故C正确；对于D，由221ab+=，所以01a，01b，则()()1110ababab+−−=−−，故D正确.故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1

）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的

地方.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数21iz=+，则z=__________．【答案】2【解析】【分析】根据复数的除法运算可得1iz=−，结合复数的几何意义即可求出模.【详解】由21iz=+，得22(1i)1i1i(1i)(1i)z−===−++−

，所以221(1)2z=+−=，故答案为：214.设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a=，3b=r，则()2abb+=_________．【答案】11【解析】【分析】设a与b的夹角为，依题意可得1cos3=，再根据数量积的定义求出ab，最后根据

数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a与b的夹角为，因为a与b的夹角的余弦值为13，即1cos3=，又1a=，3b=r，所以1cos1313abab===，所以()22222221311abbabbabb+=+=+=+=．故答案为：11．15.设()fx为偶函数，且当(2

,0x−时，()()2fxxx=−+；当)2x+，时，()()()2fxaxx=−−．关于函数()()gxfxm=−的零点，有下列三个命题：①当4a=时，存在实数m，使函数()gx恰有5个不同的零点；②若01m，，函数()gx的零点不超过4个，则2a；③对()1m+

，，()4a+，，函数()gx恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．其中，正确命题的序号是_______．【答案】①②③【解析】【分析】根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解：当4a=时()

())()())20,2422,xxxfxxxx−−=−−+又因为()fx为偶函数可画出()fx的图象，如下所示：可知当0m=时()()gxfxm=−有5个不同的零点；故①正确；若01m，，函数()gx的零点不超过4个，即01m，，()

yfx=与ym=的交点不超过4个，2x时()0fx恒成立又当)2x+，时，()()()2fxaxx=−−0ax−在)2x+，上恒成立ax在)2x+，上恒成立2a由于偶函数()fx的图象，如下所示：直线l与图

象的公共点不超过4个，则2a，故②正确；对()1m+，，偶函数()fx的图象，如下所示：()4a+，，使得直线l与()gx恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．故答案为：①②③【点

睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.16.已知菱形ABCD的边长为1，60BAD=，()0APAB=.当12=时，ADAP=___________；当APDP取得最小值时，=___________.【答案】①.14②.14【解析】【分析】取AB中点O，以O为坐标原

点可建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算可求得ADAP；设(),Pxy，由APAB=uuuruuur可表示出1,02P−，由此得到,APDP，由向量数量积坐标运算可将APDP表示为关于的函数，由二次函数性质可得结果.【详解】

取AB中点O，连接DO，四边形ABCD为菱形，60BAD=，ABD为等边三角形，DOAB⊥，则以O为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系，则1,02A−，30,2D，1,02B，当12=，即1

2APAB=时，点P为AB中点，即为坐标原点O，()0,0P，13,22AD=，1,02AP=，14ADAP=；设(),Pxy，则1,2APxy=+，又()1,0AB=，120xy+=

=，解得：120xy=−=，1,02P−，(),0AP=，13,22DP=−−，21122APDP=−=−，则当14=时，APDP取得最小值116−.故答案为：14；14.【点睛】方法点睛：求解平面几

何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.四

、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C的圆心坐标为()2,1，且点()1,3P−−在圆C上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线2ykxmk=+−与圆相交于A､B两点，当k变化时，线段A

B的最小值为6，求m的值.【答案】（1）()()222125xy−+−=（2）5m=或3m=−【解析】【分析】（1）由两点间的距离公式求出圆的半径即可；（2）根据线段AB的最小值为6，可知圆心到直线的距离为4，利用点到直线的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意得()(

)2221135rCP==+++=∴圆C的标准方程为()()222125xy−+−=.【小问2详解】若6AB，可知圆心到直线的距离为4，而圆心到直线距离211mdk−=+，当0k=时，线段AB的最小值为6，此时14dm=−=，∴5m=或3m=−.18.为了解华人社区对接

种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，

而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫的苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗10020120接种疫苗xyn总计160m200（1）求22列联表中的数据x

，y，m，n的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每

有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X，求X的分布列和数学期望.()20PKk0.1500.1000.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246635【答案】（1）60，20，40，8

0，有；（2）分布列见解析，554.【解析】【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解；（2）求出得分结果总和X的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可

.【详解】（1）由题意得：20016040m=−=，2020ym=−=，16010060x=−=，602080nxy=+=+=，因为()22200100202060252.0832.072160401

208012K−==.所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，10X=；当这3人

中恰有1人有疲乏症状时，13X=；当这3人中没有人有疲乏症状时，16X=.因为()21263831028CCPXC===；()122638151328CCPXC===；()03263851614CCPXC===..所以X的分布列如下：X101316P3281528514

期望()3155551013162828144EX=++=.19.如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面ABCD是正方形，M是CD的中点，2,1,ADAEDECGBFEMBD=====⊥.（1）证明：平面EMG⊥平面ABCD；（2）求直线EF与平面EMG所成角的正弦

值.【答案】（1）证明见解析（2）104【解析】【分析】（1）证明面面垂直即证线面垂直，证明线面垂直即证线线垂直；（2）利用空间直角坐标系，求平面的法向量以及直线的方向向量，运用公式求解.也可以运用几何法将

线面角作出进行求解；也可以运用等体积法进行求解.【小问1详解】法一：证明：连AC，因为//,AECGAECG=，所以四边形AEGC是平行四边形，所以//ACEG，又BDAC⊥，所以BDEG⊥，而,EMBDEG

EME⊥=，所以BD⊥平面EMG，又BD面ABCD，所以平面EMG⊥平面ABCD；法二：证明：取AD中点O，连,,EOOMAC，则////OMACEG，所以E，G，M，O四点共面，又BDAC⊥，所以BDOM⊥，而,EMBDOME

MM⊥=，所以BD⊥平面EMG，又BD面ABCD，所以平面EMG⊥平面ABCD；【小问2详解】法一（向量法一）：取AD中点O，连,EOOM，则////OMACEG，所以E，G，M，O四点共面，又BD⊥平面EMG，所以BDEO⊥，又,EOADBDADD

⊥=，所以EO⊥面ABCD，以O为原点，过O垂直于AD的向外的射线为x轴，OD为y轴，OE为z建立如图空间直角坐标系，则(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,3)ADBE−−，由1130,

,222BFAE==，所以132,,22F−，所以32,2,2EF=−−，又(2,2,0)=−BD是平面EMG的法向量，所以10sincos,4EFBDEFBDEFBD===.法二（向量法二）：以A为原点

，分别以射线,ABAD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,2,0)ABDM，设(,,)(0),(2,2,0),(1,2,0)ExyzzBDMExy=−=−−，由2222222(2

)22(1)2(2)0=++==+−+==−−+−=BAExyzDExyEzxDyM，得(0,1,3)E，又1130,,222BFAE==，所以132,,22F，所以132,,22EF=−−，又(2,2,0)=−

BD是平面EMG的法向量，所以10sincos,4EFBDEFBDEFBD===法三（几何法）：取AE中点N，连,BNND，因为//,BFNEBFNE=，所以四边形BFEN是平行四边形，所以//EF

BN，于是，问题转化为求BN与平面EMG所成角的正弦值，又因为BD⊥平面EMG，所以NBD（或其补角）就是EG与平面EMG所成角的余角，取AD中点O，连,EOOM，则////OMACEG，所以E，G

，M，O四点共面，又BD⊥平面EMG，所以BDEO⊥，又,EOADBDADD⊥=，所以EO⊥平面ABCD，所以EOAB⊥，又,ABADEOADO⊥=，所以AB⊥面EAD，所以ABAE⊥，3,5,22NDBNBD===，所以10c

os4NBD=.所以EF与平面EMG所成角的正弦值为104.20.已知数列na满足120a=，27a=，22nnaa+−=−（*nN）．（1）求3a，4a，并求数列na的通项公式；（2）记数列na的前2n项和为2nS，

当2nS取最大值时，求n的值．【答案】（1）318a=,45a=,21,219,2.nnnkannk−=−=−=，其中Nk；（2）7n=.【解析】【分析】（1）由12220,72nnaaaa+==−=−,令

1,2n=即可求得34,aa,根据题意可得数列na奇数项,偶数项分别是以2−为公差的等差数列,结合等差数列的通项公式分别求出na；（2）由2122nnSaaa=+++132122()()nnaaaaa−=++++++,分组利用等差数列的求和公式求和.【详解】解：（1）∵120a

=，27a=，22nnaa+−=−，∴318a=，45a=，由题意可得，数列na的奇数项、偶数项分别是以2−为公差的等差数列．当n为奇数时，11(1)(2)212nnaan+=+−−=−，当n为偶数时，2(1)(

2)92nnaan=+−−=−，∴21,219,2.nnnkannk−=−=−=，其中Nk；（2）2122nnSaaa=+++132122()()nnaaaaa−=++++++12(1)(1)(2)

(2)22nnnnnana−−=+−++−2229nn=−+．结合二次函数的性质可知，当7n=时，2nS取最大值．21.已知函数()21ln22fxmxxx=+−.（1）若0m,曲线()=yfx在点()(1,1f处的切线在两坐标轴上的截距之和为2,求m的值（2）若对于任意的

1,12m及任意的1212,2,e,xxxx总有121212()()fxfxtxxxx−−成立.求t的取值范围.【答案】（1）2m=−（2）(,1t−【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）化简后构造函数()()tgxfxx=+

，由()gx的单调性转化为不等式恒成立后求解，【小问1详解】因为()21ln22fxmxxx=+−所以()()2,11mfxxfmx=+−=−.又因为切点坐标为31,2−，所以切线方程为()112ymxm=−−−.令=0x，得212my+=−；令=0y，得()2121mxm+=−.

由()21212212mmm++−=−，化简得2260mm+−=.解得2m=−或32m=，又0m，所以2m=−.【小问2详解】设12xx，由（1）知，()2mfxxx=+−，在11,2e2mx时，()0fx，

所以()()121212fxfxtxxxx−−等价于()()()121212txxfxfxxx−−.即()()122111fxfxtxx−−，所以()()1212ttfxfxxx++.设()()tgxfxx=+，则()()12gxgx，所以()gx在

2,e上为单调递增函数.因此()220mtgxxxx=+−−，对于1,12m恒成立.所以2120,2txxx+−−即3222xtxx−+对于2,ex恒成立.设()()3222e2xhxxxx=−+，则()()21134

34+022hxxxxx=−+=−.所以()hx在2,e上单调递增，()()min21hxh==.因此，1t，即(,1t−22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点分别是12,FF，P是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知12PFF△的内切

圆半径的最大值是3,3椭圆的离心率是12.（1）求椭圆C的方程；（2）过()4,0H作斜率不为0的直线l交椭圆于,AB两点，过B作垂直于x轴的直线交椭圆于另一点Q，连接AQ，设ABQ的外心为G，求证：2AQGF为定值.【答案】（1）22143xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1

）根据12PFF△面积最大时，r最大可得出等量关系求解；（2）设出直线方程，与椭圆联立，设()()1122,,,AxyBxy，得出韦达定理，表示出AB的中点坐标，求得AB的垂直平分线方程，得出点G坐标，即可表示出2

,AQGF，即可得出定值.【详解】（1）由题意知∶12ca=，∴a=2c，222bac=−，3bc=设△12PFF的内切圆半径为r，则12121211(||||||)(22)()22PFFSPFPFFFracracr=++=+=

+.故当12PFF△面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时33r=，所以3()3acbc+=，把a=2c，3bc=代入，解得∶a=2，3b=，所以椭圆方程为22143xy+=（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为4xty=+，代入椭圆方程得()22

3424360tyty+++=.()()222Δ(24)1443414440ttt=−+=−，设()()1122,,,AxyBxy，则1222434tyyt−+=+，1223634yyt=+，因此可得1223234xxt+=+所以AB的中点坐标为(21634t+，21234tt−+)因为G

是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点，由题意可知B，Q关于y轴对称，故()22,Qxy−，AB的垂直平分线方程为221612()3434ttxytt−−=+++令y=0，得2434xt=+，即

G(2434t+，0)，所以222243|||1|3434tGFtt=−=++又2222212121212||()()()()AQxxyytyyyy=−++=−++=22221212212(1)()434ttyytyyt++−=+故2||4||AQ

GF=，所以2||||ABGF为定值，定值为4.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11Axy，，()22Bxy，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化

为1212,xxxx+形式；（5）代入韦达定理求解.