【文档说明】湖北省部分市州2022-2023学年高二下学期期末联合调研考试数学试卷+含答案.docx，共(22)页，182.980 KB，由小赞的店铺上传

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2023年7月湖北省部分市州高二年级期末联合调研考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知直线𝑙:𝑥−√3𝑦−1=0，则直线𝑙的倾斜角为()A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘2.已知曲线𝑦=𝑒

𝑥+𝑎𝑥在点(0,1)处的切线与直线2𝑥−𝑦+3=0平行，则实数𝑎等于()A.−32B.−12C.1D.23.下列命题中，错误的是()A.若随机变量X~B(5,12),则D(X)=54B.若随机变量X~N(5,𝜎2)

,且P(3≤X≤5)=0.3,则P(X≥7)=0.2C.在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好D.在回归分析中,若样本相关系数r越大,则成对样本数据的线性相关程度越强4.“非”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一推”指张开大拇指和中指两端间

的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一推长𝑥(单位：厘米)和身高𝑦(单位：厘米)的关系，从所在班级随机抽取了15名学生，根据测量数据的散点图发现𝑥和𝑦具有线性相关关系，其经验回归直线方程为𝑦̂=6.5𝑥+𝑎̂，且∑𝑥𝑖15𝑖=1

=270，∑𝑦𝑖15𝑖=1=2550.已知小明的右手一推长为20厘米，据此估计小明的身高为()A.187厘米B.183厘米C.179厘米D.175厘米5.掷两枚质地均匀的骰子，设𝐴=“第一枚向

上的点数为奇数”，𝐵=“第二枚向上的点数为3的倍数”，𝐶=“向上的点数之和为8”，则()A.𝐴与𝐵互斥B.𝐴与𝐶对立C.𝐴与𝐵相互独立D.𝐵与𝐶相互独立6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的

名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为()A.54B.48C.42D.367.已知等差数列{𝑎𝑛}，{�

�𝑛}的前𝑛项和分别为𝑆𝑛，𝑇𝑛，且𝑆𝑛𝑇𝑛=3𝑛+54𝑛+6，则𝑎7𝑏8=()A.23B.34C.1013D.13198.已知𝑎=√𝑒−1，𝑏=ln32，𝑐=sin12，其中𝑒=2.71828⋯为自然

对数的底数，则()A.𝑏<𝑎<𝑐B.𝑏<𝑐<𝑎C.𝑎<𝑐<𝑏D.𝑐<𝑏<𝑎9.在二项式(1√𝑥−𝑥)9的展开式中，下列说法正确的是()A.第8项的系数为36B.常数项为−84C.各二项式系数之

和为512D.各项系数之和为010.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心𝐹为圆心的圆形

轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在𝑃点处变轨进入以𝐹为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在𝑄点处变轨进入以𝐹为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为𝑅，圆形轨道Ⅲ的半径为𝑟，则以下说法正确的是()A.椭圆轨道Ⅱ的焦距为𝑅−𝑟B.椭圆轨道Ⅱ的短轴长为√𝑅𝑟C.若𝑟不变，则

椭圆轨道Ⅱ的离心率随𝑅的增大而增大D.若𝑅不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随𝑟的增大而增大11.某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第𝑘站参观甲地的景点”为事件𝐴𝑘，𝑘=1，2，⋯，7，则()

A.𝑃(𝐴6)=37B.𝑃(𝐴2|𝐴1)=13C.𝑃(𝐴1+𝐴2)=27D.𝑃(𝐴2𝐴3)=124912.在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，设三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的体积为�

�，直线𝑃𝐵与平面𝐴𝐵𝐶所成的角为𝛼，则下列说法正确的是()A.若𝑃𝐴+𝑃𝐶=√10，则𝑉的最大值为√2B.若𝑃𝐴+𝑃𝐶=√10，则𝛼的最大值为30∘C.若直线𝑃𝐴，𝑃𝐶与平面𝐴𝐵�

�所成的角分别为30∘，60∘，则𝛼不可能为90∘D.若直线𝑃𝐴，𝑃𝐶与平面𝐴𝐵𝐶所成的角分别为30∘，60∘，则𝑉的最小值为√63二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在𝐴，𝐵，𝐶三个地区

暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为．14.6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业

生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有种.15.已知双曲线𝐶:𝑥2−𝑦23=1.则其渐近线方程为;设𝐴，𝐵分别为双曲线𝐶的左、右顶点，𝑃为双曲线𝐶

上一点.若𝑃𝐴的斜率为1，则tan∠𝐴𝑃𝐵=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）16.若𝑥>0时，不等式(𝑥−𝑎)𝑒𝑥+𝑎+1>0恒成立，则整数𝑎的最大值为．17.在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=4，4𝑎1+𝑎3=16．(𝐼)求数列{

𝑎𝑛}的通项公式;(Ⅱ)设𝑏𝑛=log2𝑎𝑛，求数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+1}的前𝑛项和𝑆𝑛．18.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥2+𝑎𝑥+1．(𝐼)当𝑎=−4时，求𝑓(𝑥

)的单调区间;(Ⅱ)若𝑓(𝑥)在区间(13,3)上有极值点，求实数𝑎的取值范围．19.如图1，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐶𝐷=2，∠𝐴𝐵𝐶=60∘.将△𝐴𝐶𝐷沿𝐴𝐶折起，使得𝐴𝐷⊥𝐵

𝐶，如图2．(𝐼)求证：平面𝐴𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶;(Ⅱ)在线段𝐵𝐷上是否存在点𝐸，使得平面𝐴𝐶𝐸与平面𝐵𝐶𝐷的夹角的余弦值为√64，若存在，求𝐵𝐸𝐵𝐷的值;若不存在，请说明理由．20.某年级对“热爱篮球运动与性别是否有关”作了一次调查

，被调查的男、女生人数均为4𝑛(𝑛∈𝑁∗)，其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的34，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的12.若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05．(𝐼)

求被调查的学生中男生人数的所有可能结果;(Ⅱ)当被调查的学生人数取最小值时，现从被调查的热爱篮球运动的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，再从这10人中任选4人担任助理裁判.设4名助理裁判中女生人数为𝑋，求𝑋的分布列和均值．附：𝜒2=𝑛(𝑎�

�−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．𝛼0.10.050.010.0050.001𝑥𝛼2.7063.8416.6357.87910.828

21.已知抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)，点𝑃(𝑚,4)(𝑚<0)在抛物线𝐶上，且点𝑃到抛物线𝐶的焦点的距离为174．(𝐼)求𝑝;(Ⅱ)设圆𝑀:𝑥2+(𝑦−2)2=1，点𝑄是圆𝑀上

的动点.过点𝑃作圆𝑀的两条切线，分别交抛物线𝐶于𝐴，𝐵两点，求△𝐴𝐵𝑄的面积𝑆的最大值．22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑎𝑥(𝑥>0)和𝑔(𝑥)=𝑎𝑥ln𝑥(𝑥>1)有相同的最小值．(𝐼)求𝑎;(Ⅱ)证明：存在直线𝑦=𝑏，其与两条曲线𝑦=�

�(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．答案和解析1.【答案】𝐴【解析】【分析】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．【解答】解：直线𝑥−√3𝑦−1=

0，即𝑦=√33𝑥−√33，故直线的斜率等于√33，设直线的倾斜角等于𝛼，则0≤𝛼<𝜋，且𝑡𝑎𝑛𝛼=√33，故𝛼=30∘．故选A．2.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查导数的几何意义以及直线平行

的应用，属于基础题．利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率，利用直线平行它们的斜率相等列方程求解【解答】解：因为𝑦′=𝑒𝑥+𝑎，于是切线的斜率𝑘=𝑦′|𝑥=0=1+𝑎，∵切线与直线2𝑥−𝑦+3=0平行∴有1+𝑎=2∴𝑎=1故选C.3.【答案】𝐷【解析】【分析

】本题考查二项分布的方差、正态分布的概率、残差、样本相关系数，属于基础题.利用二项分布的方差公式求出D(X)，即可判定A；利用P（X＞7）=0.5-P(X≥7)，即可判定B；利用残差的概念即可判定C；利用样本相关系数的概念，即可判定D.【解答】解：A选项，因为随机变量

X~B（5，12），所以D（X）=np（1-p）=5×12×12=54，故A正确；B选项，随机变量X～N（5，σ2），且P(3≤X≤5)=0.3，所以P（5≤X≤7）=P（3≤X≤5）=0.3，所以P(X≥7)=0.5-P（5≤X≤7）=0.5-0

.3=0.2，故B正确；C选项，在回归分析中,若残差的平方和越小,则模型的拟合效果越好，故C正确；D选项，在回归分析中,样本相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故D错误.故选D.4.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查回归直线方程，考查数学运

算能力，属于基础题．由题意易求出𝑥和𝑦，又由回归直线恒过点(𝑥,𝑦)可求出𝑎̂，继而得到回归直线方程，最后代入小明的右手一拃长的数据即可估计小明的身高．【解答】解：由∑𝑥𝑖15𝑖=1=270，∑𝑦𝑖15𝑖=1=255

0，可得𝑥=∑𝑥𝑖15𝑖=115=18，𝑦=∑𝑦𝑖15𝑖=115=170，又回归直线恒过点(𝑥,𝑦)，则𝑎̂=𝑦−6.5𝑥=53，所以𝑦̂=6.5𝑥+53，又小明的右手一拃长为20厘米，代入得𝑦̂=6.

5×20+53=183(厘米)，故选B．5.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式，属于基础题．用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及

古典概型的概率公式计算可得．【解答】解：用𝑥表示第一枚骰子向上的点数，𝑦表示第二枚骰子向上的点数，则数对(𝑥,𝑦)表示两枚骰子的情况，则所有可能情况有：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2

)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(1,5)，(2

,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，(6,6)，共36个结果．显然事件𝐴与事件𝐵可以同时发生，如出现(1,3)，故事件𝐴与事件𝐵不互斥，故A错误;显然事件𝐴与事件𝐶可

以同时发生，如出现(5,3)，故事件𝐴与事件𝐶不对立，故B错误;可求得𝑃(𝐴)=1836=12，𝑃(𝐵)=1236=13，𝐴∩𝐵可能的情况有：(1,3)，(3,3)，(5,3)，(1,6)，(3,6)，(5,6)，共6个结果，则𝑃(𝐴𝐵)=636=16=𝑃(𝐴)𝑃

(𝐵)，所以𝐴与𝐵相互独立，故C正确；𝐶可能的情况有：(6,2)，(5,3)，(4,4)，(3,5)，(2,6)，共5个结果，则𝑃(𝐶)=536=13，𝐵∩𝐶可能的情况有：(5,3)，(2,6)，共2个结果，则𝑃(𝐵𝐶)=236=118

≠𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)，所以𝐵与𝐶不相互独立，故D错误．故选C．6.【答案】𝐶【解析】【分析】本题主要考查相邻的排列问题，主要考查学生的数学应用和转化能力，属于基础题．首先求出甲乙名次相邻的排列数，再求出甲得到冠军且甲乙名次相邻的排列数，即可得解．【解答】解：

由题意知乙和甲的名次相邻．排列数为𝐴22𝐴44=2×24=48,甲得到冠军且甲乙名次相邻的排列数为𝐴33=6,所以甲没得到冠军且甲乙名次相邻的排列数为42故答案为：42．7.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了等差数列的前𝑛项和，考查推理能力和

计算能力，属于中档题．由题意，设𝑆𝑛=𝑘𝑛(3𝑛+5)，(𝑘≠0)，则𝑇𝑛=𝑘𝑛(4𝑛+6)，用𝑆𝑛，𝑇𝑛分别表示出𝑎7，𝑏8，代入即可得到𝑎7𝑏8的值．【解答】解：依题意，数列{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}是等差数

列，且𝑆𝑛𝑇𝑛=3𝑛+54𝑛+6，设𝑆𝑛=𝑘𝑛(3𝑛+5)，(𝑘≠0)，则𝑇𝑛=𝑘𝑛(4𝑛+6)，所以𝑎7𝑏8=𝑆7−𝑆6𝑇8−𝑇7=182𝑘−138𝑘304𝑘−238𝑘=23．故选：𝐴．8.【答案】𝐵【解析】【分析

】本题考查利用导数比较大小，构造函数是解题的关键，属于拔高题．构造函数𝑓(𝑥)=e𝑥−1−sin𝑥以及函数𝑔(𝑥)=ln(𝑥+1)−sin𝑥，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小．【解答】解：令𝑓(𝑥)=e𝑥−1−sin𝑥，∴𝑓′(𝑥)=

e𝑥−cos𝑥，当𝑥⩾0时，𝑒𝑥⩾1，∴𝑒𝑥−cos𝑥⩾0，∴𝑓′(𝑥)⩾0，𝑓(𝑥)在[0,+∞)上单调递增，∴𝑓(12)>𝑓(0)，即𝑒12−1−sin12>0，∴√𝑒−1

>sin12，即𝑎>𝑐，令𝑔(𝑥)=ln(𝑥+1)−sin𝑥，∴𝑔′(𝑥)=1𝑥+1−cos𝑥=1−(𝑥+1)cos𝑥𝑥+1=1−𝑥cos𝑥−cos𝑥𝑥+1，令ℎ(𝑥)=1−𝑥cos𝑥−cos𝑥，∴ℎ′(𝑥)=(𝑥+1)sin𝑥−

cos𝑥令𝜑(𝑥)=(𝑥+1)sin𝑥−cos𝑥，∴𝜑′(𝑥)=2sin𝑥+(𝑥+1)cos𝑥，当0<𝑥<𝜋6时，𝜑′(𝑥)>0，∴ℎ′(𝑥)单调递增，∴ℎ′(𝑥)<ℎ′(𝜋6)=(𝜋6+1

)sin𝜋6−cos𝜋6=𝜋+6(1−√3)12<0∴ℎ(𝑥)在𝑥∈(0,𝜋6)上单调递减，∴ℎ(𝑥)<ℎ(0)=0，∴𝑔′(𝑥)<0，∴𝑔(𝑥)在𝑥∈(0,𝜋6)上单调递减，∴𝑔(12)<𝑔(0)=0，即ln32−sin12<0，∴𝑏<

𝑐综上：𝑏<𝑐<𝑎．故选：𝐵．9.【答案】𝐵𝐶𝐷【解析】【分析】本题考查二项展开式特定项的系数及二项式定理的应用，属于基础题．根据二项展开式的通项可判断𝐴𝐵;根据二项式系数之和为2𝑛可判断𝐶；令𝑥=1可得各

项系数之和可判断𝐷．【解答】解：由题意(1√𝑥−𝑥)9的展开式的通项为𝑇𝑟+1=𝐶9𝑟𝑥−9−𝑟2(−1)𝑟𝑥𝑟=(−1)𝑟𝐶9𝑟𝑥3𝑟−92，令𝑟=7，则第8项的系数为(−1)7𝐶

97=−36，故A错误；令3𝑟−92=0，得𝑟=3，所以常数项是(−1)3𝐶93=−84，故B正确；由二项式系数的性质知，二项式系数之和为29=512，故C正确；令𝑥=1，则(1−1)9=09=0，所以各项系数之和为0

，故D正确．故选：𝐵𝐶𝐷．10.【答案】𝐴𝐶【解析】【分析】本题考查求椭圆的离心率(或取值范围)、椭圆的长短轴，属于中档题．根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为𝑎+𝑐，𝑎−𝑐，分别结合圆的半径𝑅和𝑟分析选项即可求解．【解答】解：由题可知圆轨道Ⅰ的半径为𝑅，Ⅱ为

椭圆，设为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，所以𝑎+𝑐=𝑅①，Ⅲ为圆形轨道，半径为𝑟，所以𝑎−𝑐=𝑟②，对于𝐴：椭圆Ⅱ的焦距为2𝑐，①−②得，2𝑐=𝑅−𝑟，故A正确；对于𝐵，由于𝑎=𝑅+𝑟2，𝑐=𝑅−𝑟2，所以2𝑏=2√𝑎2−𝑐2=2√𝑅𝑟，

故B错误；对于𝐶，𝑒=𝑐𝑎=𝑅−𝑟2𝑅+𝑟2=𝑅−𝑟𝑅+𝑟=1−2𝑟𝑅+𝑟=1−2𝑅𝑟+1，𝑟不变，𝑅越大，𝑅𝑟越大，2𝑅𝑟+1越小，则𝑒越大，故C正确；对于𝐷，𝑒=𝑐𝑎=𝑅−𝑟2𝑅+𝑟2=𝑅−𝑟𝑅+𝑟=1−2𝑟�

�+𝑟=1−2𝑅𝑟+1，𝑅不变，𝑟越小，𝑅𝑟越大，2𝑅𝑟+1越小，则𝑒越大，故D错误．故选AC．11.【答案】𝐴𝐵【解析】【分析】本题考查古典概型的计算，条件概率，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．利用古典

概型的计算公式，概率的基本性质，相互独立事件的概率乘法公式，条件概率解题即可．【解答】解：对于𝐴，显然𝑃(𝐴6)=37，故A正确；对于𝐵，𝑃(𝐴1)=37，𝑃(𝐴1𝐴2)=37×26=17，所以𝑃(𝐴2|𝐴1

)=𝑃(𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴1)=1737=13，故B正确；对于𝐶，𝑃(𝐴1+𝐴2)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)−𝑃(𝐴1𝐴2)=37+37−17=57，故C错误;对于𝐷，𝑃(𝐴2𝐴3)=37×26×45+47

×36×35=27，故D错误．故选AB．12.【答案】𝐵𝐶𝐷【解析】【分析】本题考查椭圆的轨迹、棱锥体积、线面夹角问题，属难题．【解答】解：在平面中，若𝑃𝐴+𝑃𝐶=√10>2√2=𝐴𝐶，点�

�的轨迹是以𝐴，𝐶为焦点的椭圆，其中𝑎=√102，𝑏=√22，那么在空间中，点𝑃的轨迹为椭球面(点𝑃不在平面𝐴𝐵𝐶上)．𝑉max=13×2×√22=√23，A错误．当𝑃𝐵与椭球面相切时，且𝑃到椭球面中心距离最短时，𝛼取最大值

，此时sin𝛼=𝑏√2=12，且𝛼为锐角，所以𝛼的最大值为30∘，B正确．若𝛼=90∘，则𝑃𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶，因𝐴𝐵=𝐵𝐶，则直线𝑃𝐴，𝑃𝐶与平面𝐴𝐵𝐶所成的角相等，不合题意，C正

确．对于选项D，作𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝑂为垂足，则∠𝑃𝐴𝑂=30∘，∠𝑃𝐶𝑂=60∘，设𝑃𝑂=ℎ>0，则𝐴𝑂=√3ℎ，𝐶𝑂=√33ℎ，由𝐴𝑂+𝐶𝑂≥𝐴𝐶知4√33ℎ≥2√2，即ℎ≥√62，则𝑉min=13×2×√62=√63，

D正确，答案为𝐵𝐶𝐷．13.【答案】13250【解析】【分析】本题考查全概率公式及条件概率的计算，属于基础题.【解答】解：设事件𝐵为此人患有流感，𝐴1，𝐴2，𝐴3分别代表此人来自𝐴、𝐵、𝐶三个地区，根据题意可知：𝑃(𝐴1)=55+3+2=12，𝑃(𝐴2)=35+3+2=

310，𝑃(𝐴3)=25+3+2=15，𝑃(𝐵|𝐴1)=0.06，𝑃(𝐵|𝐴2)=0.04，𝑃(𝐵|𝐴3)=0.05，𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴

2)𝑃(𝐵|𝐴2)+𝑃(𝐴3)𝑃(𝐵|𝐴3)=12×0.06+310×0.04+15×0.05=13250．故答案为13250．14.【答案】60【解析】【分析】本题考查分步乘法计数原理、组合与组合数公式，属于基础题．根据分步乘法计数原理即可解答．【

解答】解：可以按照先选1名学生去青山村，再选择2名学生去绿水村，剩下3名安排到人和村，安排方法有故答案为60．15.【答案】𝑦=±√3𝑥12【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的性质，属中档题．【解答】解：双曲线𝐶:𝑥2−𝑦23=1的渐近线方程为𝑦=±√3𝑥；直

线𝑃𝐴的斜率为1，得其方程为𝑦=𝑥+1，直线方程与双曲线方程联立，可得𝑃点坐标为(2,3)，tan∠𝐴𝑃𝐵=𝑘𝑃𝐵−𝑘𝑃𝐴1+𝑘𝑃𝐵𝑘𝑃𝐴=12．16.【答案】2【解析】【分析】本题考查不等式恒成

立，利用导数解决函数最小值问题，零点存在性定理的应用，考查计算能力．首先对原不等进行转化得𝑥>0时，𝑎<𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1恒成立.设𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1，设𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥

+1𝑒𝑥−1，所以𝑓(𝑥)min=𝑓(𝑥0)=𝑥0+1，因1<𝑥0<2，则2<𝑓(𝑥0)<3，则整数𝑎的最大值为2．【解答】解：法1:不等式可化为𝑥𝑒𝑥+1>𝑎(𝑒𝑥−1)，由�

�>0，知𝑒𝑥>1，则𝑥>0时，𝑎<𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1恒成立．设𝑓(𝑥)=𝑥𝑒𝑥+1𝑒𝑥−1，𝑥>0，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑒𝑥−𝑥−2)(𝑒𝑥−1)2，设𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−

𝑥−2，𝑥>0，𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥−1>0，则𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，𝑔(1)=𝑒−3<0，𝑔(2)=𝑒2−4>0，则𝑔(𝑥)在(1,2)上存在唯一的零点𝑥0，当0<𝑥<𝑥0时，𝑓′(𝑥)

<0，𝑓(𝑥)单调递减，当𝑥>𝑥0时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增，所以𝑓(𝑥)min=𝑓(𝑥0)=𝑥0𝑒𝑥0+1𝑒𝑥0−1，且𝑒𝑥0=𝑥0+2，化简得𝑓(𝑥0)=𝑥0+1，因1<𝑥0<2，

则2<𝑓(𝑥0)<3，则整数𝑎的最大值为2．法2:设ℎ(𝑥)=(𝑥−𝑎)𝑒𝑥+𝑎+1，𝑥>0，ℎ′(𝑥)=(𝑥−𝑎+1)𝑒𝑥，直接考虑𝑎−1>0的情形，由ℎ′(𝑥)>0得𝑥>𝑎−1，则ℎ(𝑥)在(0,𝑎−1)上单调递减，在(𝑎−1,+∞)上单调递增，则ℎ

(𝑥)min=ℎ(𝑎−1)=−𝑒𝑎−1+𝑎+1>0，令𝐴(𝑎)=−𝑒𝑎−1+𝑎+1，𝑎>1，𝐴′(𝑎)=−𝑒𝑎−1+1<0，则𝐴(𝑎)在(1,+∞)上单调递减，𝐴(2)=3−𝑒>0，𝐴(3)=4−𝑒2<0，则整数𝑎的

最大值为2．17.【答案】解：(𝐼)方法一：设数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，则16𝑞+4𝑞=16，即𝑞2−4𝑞+4=0，则𝑞=2，𝑎1=2所以数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛．方法二：:设数列{𝑎𝑛}的公比为𝑞，则{𝑎1𝑞=44𝑎1+𝑎1𝑞2=16,解得

𝑞=2，𝑎1=2所以数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=2𝑛．(Ⅱ)由(𝐼)可得𝑏𝑛=log2𝑎𝑛=log22𝑛=𝑛，则1𝑏𝑛𝑏𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1所以𝑆𝑛=(1−12)+(12−13)+⋯+(1�

�−1𝑛+1)=1−1𝑛+1=𝑛𝑛+1．【解析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(Ⅰ)利用等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的通项公式，

进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．18.【答案】解：(𝐼)𝑓′(𝑥)=3𝑥2−4𝑥−4，由𝑓′(𝑥)>0得𝑥<−23或𝑥>2．则𝑓(𝑥)在(−∞,−23)，(2,+∞)上单调递增，在(−23,2)上单调递减．(Ⅱ)依题知，𝑓′

(𝑥)=3𝑥2−4𝑥+𝑎在(13,3)上有变号零点，由3𝑥2−4𝑥+𝑎=0，得𝑎=4𝑥−3𝑥2，令𝑔(𝑥)=4𝑥−3𝑥2=𝑥(4−3𝑥)，𝑔(𝑥)在(13,23)上单调递增，在(2

3,3)上单调递减，且𝑔(13)=1，𝑔(23)=43，𝑔(3)=−15则−15<𝑎<43．或：依题知，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−4𝑥+𝑎在(13,3)上有变号零点借助函数图象可知，解得−15<𝑎<43．【解析】本题考查导数研究函数单调性，极值问题，属中档题．19.【答案】解：

(𝐼)在图1中，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=30∘，由∠𝐷𝐶𝐵=120∘知∠𝐴𝐶𝐵=90∘，即𝐵𝐶⊥𝐴𝐶在图2中，由𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，𝐴𝐶∩𝐴𝐷=𝐴，知𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐶𝐷由𝐵𝐶⊂平面�

�𝐵𝐶，得平面𝐴𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶．或：在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐷=𝐶𝐷=2，∠𝐴𝐷𝐶=120∘，由余弦定理得𝐴𝐶=2√3，在△𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理知2√3sin60∘=2sin∠𝐵𝐴𝐶，sin∠𝐵𝐴𝐶=12，

且∠𝐵𝐴𝐶为锐角，则∠𝐵𝐴𝐶=30∘，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，即𝐵𝐶⊥𝐴𝐶下同法1(略)(Ⅱ)以𝐶为原点，𝐶𝐴，𝐶𝐵所在直线为𝑥，𝑦轴，过𝐶且垂直于底面所在直线为𝑧轴，建系则𝐵(0,2,0)，𝐷(√

3,0,1)，𝐴(2√3,0,0)，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3𝜆,−2𝜆,𝜆)，𝜆∈[0,1]，则𝐸(√3𝜆,−2𝜆+2,𝜆)设平面𝐴𝐶𝐸的法向量为�

�⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则有{𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0，即{2√3𝑥=0√3𝜆𝑥+(−2𝜆+2)𝑦+𝜆𝑧=0，则𝑥=0，令𝑦=𝜆，𝑧=2𝜆−2，所以𝑛⃗⃗=(0,𝜆,2𝜆−2)同

理可得平面𝐵𝐶𝐷的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=(−1,0,√3)cos𝜃=|cos<𝑛⃗⃗，𝑚⃗⃗⃗>|=|𝑛⃗⃗⋅𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗||𝑚⃗⃗⃗|=|√3(2𝜆−2)|2√𝜆2+(2𝜆−2)2=√64解得𝜆=23或�

�=2(舍)，则存在这样的点𝐸，且𝐵𝐸𝐵𝐷=23．【解析】本题考查空间中线面的垂直关系、二面角的求法，熟练运用空间中面面垂直的性质定理，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解

：(𝐼)整理得到如下列联表：性别篮球运动合计热爱不热爱男生3𝑛𝑛4𝑛女生2𝑛2𝑛4𝑛合计5𝑛3𝑛8𝑛则𝜒2=8𝑛(6𝑛2−2𝑛2)24𝑛⋅4𝑛⋅5𝑛⋅3𝑛=815𝑛由3.841≤815𝑛<6.635，

解得7.2≤𝑛<12.4，则𝑛=8，9，10，11，12故男生人数可能为32、36、40、44、48．(Ⅱ)由(𝐼)知，共调查64人，热爱篮球运动的男生、女生各有24人、16人参加志愿活动的10人中，男生有6人，女生有4人

由题意知𝑋服从超几何分布概率分布为𝑃(𝑋=𝑘)=𝐶4𝑘𝐶64−𝑘𝐶104，𝑘=0，1，2，3，4均值𝐸(𝑋)=4×25=85．(Ⅱ)中概率分布的另外形式：𝑋可取0，1，2，3，4𝑃(𝑋=0)=𝐶64𝐶104=114𝑃(𝑋=1)=�

�41𝐶63𝐶104=821𝑃(𝑋=2)=𝐶42𝐶62𝐶104=37𝑃(𝑋=3)=𝐶43𝐶61𝐶104=435𝑃(𝑋=4)=𝐶44𝐶104=1210则𝑋的分布列为𝑋01234𝑃114821374351210𝐸(𝑋)=821

+67+1235+14210=336210=85．【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题．(Ⅰ)先得出列联表，由公式计算𝜒⬚2，由犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，解出即可；(Ⅱ)由题意知𝑋服从超几何分布，

可得𝑋的分布列和均值．21.【答案】解：(𝐼)由题知准线方程为𝑦=−𝑝2，则4+𝑝2=174，得𝑝=12．(Ⅱ)抛物线的方程为𝑥2=𝑦，点𝑃的坐标为(−2,4)，依题知过点𝑃的直线斜率必存在设过点𝑃的直线方程为𝑦−4=𝑘(𝑥+2)，圆心到该

直线的距离为|−2+2𝑘+4|√1+𝑘2由直线与圆相切，所以|−2+2𝑘+4|√1+𝑘2=1，解得𝑘1,2=−4±√73联立{𝑥2=𝑦𝑦−4=𝑘(𝑥+2)，消𝑦得𝑥2−𝑘𝑥−2𝑘−4=0，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥

2,𝑦2)不妨设𝑥1=𝑘1+2=−4+√73+2=2+√73，𝑥2=𝑘2+2=−4−√73+2=2−√73故A(2+√73,11+4√79)，𝐵(2−√73,11−4√79)，得𝑘𝐴𝐵=43

，所以直线𝐴𝐵:𝑦−11+4√79=43(𝑥−2+√73)，即4𝑥−3𝑦+1=0圆心𝑀到直线的距离为𝑑=|−6+1|5=1，|𝐴𝐵|=√√1+169|𝑥𝐴−𝑥𝐵|=10√79所以𝑆max=12×10√79×2=10√79．(Ⅱ)另解：易知𝑃(−2,4)

，设𝐴(𝑥1,𝑥12)，𝐵(𝑥2,𝑥22)，𝑘𝐴𝐵=𝑥12−𝑥22𝑥1−𝑥2=𝑥1+𝑥2，则直线𝐴𝐵的方程为𝑦−𝑥12=(𝑥1+𝑥2)(𝑥−𝑥1)，即(𝑥1+𝑥2)𝑥−

𝑦−𝑥1𝑥2=0，同理，直线𝑃𝐴的方程为(𝑥1−2)𝑥−𝑦+2𝑥1=0直线𝑃𝐵的方程为(𝑥2−2)𝑥−𝑦+2𝑥2=0则|2𝑥1−2|√(𝑥1−2)2+1=|2𝑥2−2|√(𝑥2−2)2+1=1，即𝑥1和𝑥2是方程3𝑥2−4𝑥

−1=0的两个根，则𝑥1+𝑥2=43，𝑥1𝑥2=−13，所以直线𝐴𝐵的方程为4𝑥−3𝑦+1=0圆心𝑀到直线𝐴𝐵的距离为𝑑=|−6+1|5=1此时|𝐴𝐵|=√1+169|𝑥1−𝑥2|

=53√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=53×2√73=10√79所以𝑆max=12×10√79×2=10√79．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，属较难题．22.【

答案】解：(𝐼)𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥⋅𝑎𝑥−𝑒𝑥⋅𝑎(𝑎𝑥)2=𝑒𝑥(𝑎𝑥−𝑎)(𝑎𝑥)2，令𝑓′(𝑥)=0得𝑥=1，𝑔′(𝑥)=𝑎ln𝑥−𝑎(ln𝑥)2，令𝑔′(𝑥)=0得𝑥=𝑒，当

𝑎>0时，𝑓(𝑥)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以𝑓(𝑥)min=𝑓(1)=𝑒𝑎，𝑔(𝑥)在(1,𝑒)单调递减，在(𝑒,+∞)单调递增，所以𝑔(𝑥)min=𝑔(𝑒)=𝑎𝑒，由𝑒𝑎=𝑎𝑒，得𝑎=1，当𝑎<0时，𝑓

(𝑥)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，无最小值，不合题意，综上所述，𝑎=1．(𝐼𝐼)由(𝐼)知，𝑓(𝑥)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，𝑔(𝑥)在(1,𝑒)单调递减，在(𝑒,+∞)单调递增，𝑔

(𝑥)min=𝑒，则直线𝑦=𝑏与𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)最多有4个交点．当𝑥∈(1,𝑒)时，令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)，则ℎ(𝑥)在(1,𝑒)上单调递增，当𝑥→1时，ℎ

(𝑥)→−∞，ℎ(𝑒)=𝑒𝑒−𝑒2𝑒>0，则ℎ(𝑥)在(1,𝑒)上有唯一的零点𝑥0，即存在𝑥0∈(1,𝑒)，使得𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)，取𝑏=𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0

)满足题意，使得直线𝑦=𝑏与𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)恰有三个交点，分别记为𝐴(𝑥1,𝑏)，𝐵(𝑥0,𝑏)，𝐶(𝑥2,𝑏)，不妨设0<𝑥1<1<𝑥0<𝑒<𝑥2，由𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)得，即𝑥02=𝑒𝑥0ln�

�0.要证𝑥02=𝑥1𝑥2，即证𝑥1𝑥2=𝑒𝑥0ln𝑥0而𝑏=𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)=𝑔(𝑥2)，即由𝑒𝑥1𝑥1=𝑥0ln𝑥0得𝑒𝑥1𝑥1=𝑒ln𝑥0ln𝑥0，即𝑓(𝑥1)=𝑓(ln𝑥0

)，又𝑥0∈(1,𝑒)，ln𝑥0∈(0,1)，𝑥1∈(0,1)，而𝑓(𝑥)在(0,1)单调，所以𝑥1=ln𝑥0．又由得𝑒𝑥0ln𝑒𝑥0=𝑥2ln𝑥2，即𝑔(𝑒𝑥0)=𝑔(𝑥2)，又

𝑥2∈(𝑒,+∞)，𝑒𝑥0∈(𝑒,+∞)，而𝑔(𝑥)在(𝑒,+∞)单调，所以𝑒𝑥0=𝑥2．由𝑥1=ln𝑥0，𝑒𝑥0=𝑥2得𝑥1𝑥2=𝑒𝑥0ln𝑥0=𝑥02，原命题得证．获得更多资源

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