【文档说明】上海市浦东中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(12)页，623.778 KB，由小赞的店铺上传

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上海市浦东中学2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分，本大题共有12题）1.i是虚数单位，复数2i1i3=+_______．【答案】35i+【解析】【分析】根据复数除法的运算公式进行求解即可.【详解】()()()2i

i2i2i6iii1331i31313105−+==++=+−，故答案：35i+2.已知扇形的圆心角大小为3，半径为2，则扇形的弧长为___________.【答案】23【解析】【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．【详解】,2,3R==22.33lR===故答案为：

233.已知向量(),3=am，()4,3b=，且ab⊥，则m=_____．【答案】94−【解析】【分析】根据向量垂直与坐标间关系12120abxxyy=+=计算即可.【详解】因为ab⊥，所以490abm=+=，解得94m=−故答案为：94−4.已知复数z满足29i0z+

=，则||z=_____．【答案】3【解析】为【分析】设复数i(,R)zxyxy=+，根据复数的乘方以及复数相等的概念，可得方程组，求得z，根据复数模的计算可得答案.【详解】设复数i(,R)zxyxy=+，由29i

0z+=可得22(29)i=0xyxy−++，故220290xyxy−=+=，即得322322xy==−或322322xy=−=，故3232i22z=−或3232i22z=−+，故223232||()()322z=+−=或223

232||()()322z=−+=，即||3z=，故答案为：35.命题：若//,//abbc，则//ac，则命题为_______（填写：真命题或假命题）【答案】假命题【解析】【分析】根据向量0brr和0b=，两种情况进行判定，即可求解.【详

解】当向量0brr时，若//,//abbc，可得//ac；当向量0b=时，若//,//abbc，则a与c不一定共线，所以命题为假命题.故答案为：假命题6.已知向量,ab的夹角为2，4a=，3b=，则2ab+=______．【答案】73【解

析】【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果.【详解】解：因为向量,ab的夹角为2，4a=，3b=，所以||||cos02abab==，因此，222444169073ababab+=++=++=，故答案为：73.7.已知(11)

,(2,1)(12)(34)ABCD−−,,,,,，CD→方向上的单位向量为e→，则向量AB→在CD→方向上的投影向量为_____．【答案】21313e【解析】【分析】根据投影向量的定义求解即可得解.【详解】由已知得

()()1,0,4,6ABCD==，故AB在CD上的投影向量为421313213ABCDeeeCD==.故答案为：21313e8.若关于x的实系数一元二次方程20xbxc−+=的一个根为13i−（i为虚数单位），则3bc+=_____．【答案】16【解

析】【分析】根据根与系数关系求得,bc，从而求得3bc+.【详解】依题意可知：关于x的实系数一元二次方程20xbxc−+=的两个根为1213i,13ixx=−=+，所以122xx+=，()()1213i13i10xx=−+=，所以1212xxbxxc+=

=，即210bc==，所以316bc+=.故答案为：169.在ABC中，若2,3,120BCACC===，则AB的长为_____．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得：222

2coscababC=+−，即2222+3223cos120c=−，所以19c=，即19AB=故答案为：19.10.已知(2,5)M，(110)N−,，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点N，则点P的坐标为______．【答案

】250,3【解析】【分析】设(),Pxy，根据3NMNP=即可求出P的坐标.【详解】由题可知3NMNP=，设(),Pxy，则()3,5NM=−，()1,10NPxy=+−，()333,330NPxy=+−，∴03332

533053xxyy=+=−=−=，即250,3P故答案为：250,3.11.函数()sin()fxAx=+（π0,0,||2A）的部分图象如图所示，若将

()fx图象上的所有点向右平移π4个单位得到函数()gx的图象，则函数()gx=__．【答案】πsin(2)6x−【解析】【分析】根据函数图象求得A和最小正周期，继而求得，利用点π(,0)3带入解析式求得π3=，即得函数解析式，根据三角函数图象的平移变换可得答案.

【详解】由函数()sin()fxAx=+图象可知1A=，7ππ2π4()π,2123πT=−===，将π(,0)3代入函数解析式()sin(2)fxx=+得2π3sin()0+=，则2π+π,2ππ.Z332π+kkk+==，由于π||2，所以π

3=，即π()sin(2)3fxx=+，将()fx图象上的所有点向右平移π4个单位得到函数()gx的图象，则πππ()sin[2()]sin4)36(2gxxx=−+=−，故答案为：πsin26x−12.下列说法中正确的个数是__．（1）3i12i++；（2）若一个复

数是纯虚数，则其实部不存在；（3）虚轴上的点表示的数都是纯虚数；（4）设1iz=+（i为虚数单位），若复数2zz+在复平面内对应的向量为OZ，则向量OZ的模长为2；（5）若i=z，则51z+对应的点在复平面内的第四象限

．【答案】1【解析】【分析】(1)利用虚数不能比较大小，可判断正误；(2)由纯虚数实部为0可判断正误；(3)利用虚轴上的点表示的数除原点外都是纯虚数，可判断正误；(4)化简复数2zz+，求其模，再可判断正误；（5）化简复数51z+，再判断对应的点在复平面内的象限.【

详解】当复数不是实数时，不能比较大小，3i+与12i+为虚数，不能比较大小，故(1)错误；若一个复数是纯虚数，则其实部为0，并非不存在，故(2)错误；虚轴上的点表示的数并非都是纯虚数，虚轴上原点表示的数

是实数，故(3)错误；1iz=+，复数21i1i1i1i22zz++=++=−+=+，在复平面内对应的向量OZ的模长为2，故（4）正确；若iz=，则511iz+=+在复平面内对应的点为（1,1），在复平面内的第一象限．故（5）错误．正确的只有1个.故答案为：1．二、选择题（

本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.“复数()i,abab+R为纯虚数”是“0b”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的概念分析可知.【详解】由纯虚数的概

念可知，若复数()i,abab+R为纯虚数，则0a=且0b，故“复数()i,abab+R为纯虚数”是“0b”的充分不必要条件.故选：B14.若sincos0sincos0+则所在象限为A.第一象限

B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据已知不等式可得sin0，cos0；根据各象限内三角函数的符号可确定角所处的象限.【详解】由sincos0sincos0+知：sin0

，cos0\在第三象限故选：C【点睛】本题考查三角函数在各象限内的符号，属于基础题.15.在ABC中，已知D为BC上的一点，且满足4BDDC=，则AD=（）A.3144ABAC+B.2355ABAC+C

.1455ABAC+D.4155ABAC+【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；【详解】因为4BDDC=，所以45BDBC=,所以()44145555ADABBDABABBCACA

BABAC=+=−+=++=.故选：C.16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，()1,2,,8iPi=是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8iABAPi=的不同值的个

数为（）．A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】可根据图象得出iiAPABBP=+，然后将iABAP转化为2iABAPBB+，最后根据棱长为1及iABBP^即可得出结果.【详解】由图象可知，iiAPABBP=+，则()2·iiiABAPABABBPABABBP=+=+，因为棱

长为1，iABBP^，所以0iABBP=，2101iiABAPABABBP=+=+=，即()1,2,,8iABAPi=的不同值的个数为1，故选：A三、解答题（本大题共5题，满分52分）17.平面内给定两个向量(3,2),(1,2)a

b==−.（1）求|23|ab+；（2）若()//(2)kabab+−，求实数k的值.【答案】（1）109（2）2k=−【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则与模的计算公式即可求解；（2）根据平面向量共线的坐标运算即可.【小问

1详解】解：因为(3,2),(1,2)ab==−，所以()()()222323,231,23,10310109ab+=+−==+=.【小问2详解】解：因为(3,2),(1,2)ab==−，所以()()()3,21,231,22ka

bkkk+=+−=−+，()()()223,21,27,2ab−=−−=若()//(2)kabab+−，则()()312227kk−=+，解得：2k=−.18.已知复数()()()2566izaaaa=−−+−R.（1）若z是纯虚数，求a的值；（2）若1iaa

+−是方程2250xx++=的一个根，求z的实部.【答案】（1）1a=−；（2）8【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数a的等式与不等式，即可解得实数a的值；（2）求出方程2250xx++=的虚根，根据复数相等可求得实

数a的值，可得出复数z，即可求得复数z的实部.【小问1详解】解：由已知可得256060aaa−−=−，解得1a=−.【小问2详解】解：由2250xx++=可得()()22142ix+=−=，解得12ix=−，若1i12iaa+−=−+，可得+112aa=−−=，解

得2a=−；若1i12iaa+−=−−，可得112aa+=−−=−，无实数解.综上所述，2a=−，则88iz=−，所以，复数z的实部为8..19.已知复数i(,R)zabab=+，存在实数t，使2iizatt+=−成立.（1）求证：22ab−=；（

2）求||z的取值范围.【答案】（1）见解析（2）45,5+【解析】【分析】(1)根据复数相等充要条件即可求解；(2)根据复数的模长公式结合二次函数性质求解.【小问1详解】因为2ii21ii=zatatttab+=−=+−+,所以2=1atatb

t−=,消去t得22ab−=.【小问2详解】由22ab−=得24ab=+，所以()2222||24zabbb=+=++2288455161651616555bb=++−+−+=.故z的取值范围为45,

5+20.设a，b是两个不共线的非零向量，Rt.（1）记1,,()2OAaOBtbOCab→→→→→→→===+，那么当实数t为何值时，,,ABC三点共线；（2）若||||1ab→→==且a→与b→夹角为60，那么实数x为何值时，||xa

b→→−的值最小?【答案】（1）1t=（2）12x=【解析】的【分析】(1)由,,ABC三点共线，则满足ABAC=，建立关于的方程即可解决.(2)由题设条件，可以把||xab→→−表示为关于x的函数，根据函数求出取得最小值时的x的值.【小问1详解】ABOBOAtba=−=−，11

1()222ACOCOAabaab→→=−=+−=−+，因,,ABC三点共线，所以ABAC=，所以1122tbaab−=−+，12112t=−=−，则解得1t=.【小问2详解】

因为||||1ab→→==且a→与b→夹角为60°，所以2222222113||2211()224xabxaxabbxxxxx→→−=−+=−+=−+=−+所以当12x=时，||xab→→−的值最小.21.已知()3si

n,cosaxx=，(cos,cos)bxx=，()31fxabm=+−（x，mR）.（1）求()fx关于x的表达式，并求()fx的最小正周期；（2）若当,x−时，求()fx的单调递增区间；（3）若当0,2x

时，()fx最小值为7，求m的值.【答案】（1）()13sin(2)62fxxm=+++；T=（2）5[,]6−−和[,]36−，2[,]3.（3）8m=【解析】【分析】(1)首先化简函数()fx，根据公式求周期；(2)由（1）可知()13sin(2)62fx

xm=+++，令222,262kxkk−++Z，解之，结合,x−即可求解；(3)根据（1）可知先求26x+的范围，求出函数()fx的最小值，进而求出结果.【小问1详解】为的因为()3si

n,cosaxx=，(cos,cos)bxx=，所以()21313(3sincoscos)13sin(2)62fxabmxxxmxm=+−=++−=+++，所以函数()fx的最小正周期22T==,【小问2详解】由（1）知：()13sin(2)62fxxm=+++

，令222,262kxkk−++Z，解得：,36kxkk−+Z，又因为,x−，所以1k=−和0，1，得到：5[,]6x−−和[,]36−，2[,]3，所以函数()fx在区间[,]−

的单调增区间为5[,]6−−和[,]36−，2[,]3.【小问3详解】当0,2x时，72[,]666x+，所以1sin(2)[,1]62x+−，所以()7[1,]2fxmm−++，因为函数()fx的最小值为7，所以17m−+=，则8m=，所以

m的值为8.