【文档说明】北京市首都师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(13)页，547.460 KB，由小赞的店铺上传

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首师大附中2024级高一学业质量诊断（一）数学2024年10月12日第Ⅰ卷（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.已知集合071235432{|}{{1}}UxZxAB=

==＜，，，，，，，，，则UAB=IðA.B.1,2,3C.1,2,3,4,5D.0,1,2,3,6【答案】A【解析】【分析】通过={07}UxZx可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案.【

详解】解：070123{|}{}{45651}432UxZxB===，，，，，，，，，，，，{0}6UB=，ð123{}UAAB==，，，，ð故选A．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单

题.2.命题“2x，220xx−”的否定是（）A.2x，220xx−B.2x，02xC.2x，220xx−D.2x，0x或2x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解【详解】命题“2x，220xx−

”的否定是2x，0x或2x.故选:D3.若全集UR=，集合1,2,3,4,5A=，3BxRx=，图中阴影部分所表示的集合为A.1B.1,2C.1,2,3D.0,1,2【答案】B【解析】【分析】图中阴影部分表示的意思为：UABð，根据集合运算关系即可得解.【

详解】根据图中阴影部分表示的意思为：UABð，()U,3B=−ð，所以U1,2AB=ð故选：B【点睛】此题考查韦恩图表示的集合关系辨析，并求出图中表示的集合，属于简单题目，关键在于准确识别图中表达的

意思.4.对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A.若a>b，c≠0，则ac>bcB.若a>b，则ac2>bc2C.若ac2>bc2，则a>bD.若a>b，则11ab【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质逐一判断选项，即得结果.【详解】若a>b，c<0，则ac>bc,所

以A错误；若a>b，c=0则ac2=bc2,所以B错误；若ac2>bc2，则c2>o,a>b，所以C正确；若1,1ab==−满足a>b，但11ab，所以D错误；故选：C【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.5.已知不等式20axbxc++的解集为{21}xx−，那

么不等式20cxaxb−+的解集为（）.A.112xx−B.12xx−或𝑥>1}C.112xx−D.1xx−或𝑥>12}【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换

，可得答案.【详解】因为不等式20axbxc++的解集为21xx−，所以0a，且2−和1是方程20axbxc++=的两个实数根，所以2121bcaa−+=−−=，，即2caba=−=，，所以不等式20cxaxb−+可

化为220axaxa−−+，因为0a，所以2210xx+−，解得1x−或12x．故选：D.6.若“12x”是“21xm−”充分不必要条件，则实数m的取值范围为（）A.1,12B.1,12C.1,12D.1,12【答案】C【解析】【

分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.【详解】由21xm−，即121xm−−，解得2112mxm−+，因为“12x”是“21xm−”充分不必

要条件，所以()1,2真包含于()21,12mm−+，所以122211mm+−（等号不能同时取得），解得112m，所以实数m的取值范围为1,12.故选：C7.若t是一元二次方

程()200axbxca++=的根，则判别式24bac=−和完全平方式()22Matb=+的关系是（）A.M=B.MC.MD.大小关系不能确定【答案】A【解析】【分析】根据t是一元二次方程的根，把t代入原方程得到20atbtc++=进行整理，

两边同乘以4a，再移项，两边同加上2b，就得到了22(2)4atbbac+=−.【详解】t是一元二次方程20(a0)++=axbxc的根，则有20atbtc++=，等式两边同乘4a有224440atabtac++=，22444atabtac+=−，等式两边同加2b有222(2)44

atabtbbac++=−，即22(2)4atbMbac+==−=，故选：A.8.在R上定义运算：abadbccd=−，若不等式1211xaax−−+对任意实数x恒成立，则a最大（）A.12−B.32−C.12D.32【答案】D【解析】【分析】根据运算的定义可得1112xaax−+−等价

于21(1)(2)xxaa−−+−，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于a的不等式，求出其解后可得实数a的最大值.【详解】原不等式等价于(1)(2)(1)1xxaa−−−+，即21(1)(2)xxaa−−

+−对任意x恒成立.221551244xxx−−=−−−，为所以2524aa−−−，解得1322a−，故选：D9.已知非空集合A，B满足以下两个条件：①1,2,3,4,5,6AB=，AB=；②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则有序集合对()

,AB的个数为．A.10B.12C.4D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到集合A中元素个数可以为：1,2,4,5，根据这四种情况分别讨论，即可得出结果；【详解】由题意，易知集合A中不可能有3个元素；

因此集合A中元素个数可以为：1,2,4,5；①当集合A中只有1个元素时，集合B中有5个元素，则1A且5B，此时5A=，1,2,3,4,6B=；②当集合A中和2个元素时，集合B中有4个元素，则2A且4B，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，所以

1,4A=，2,3,5,6B=或3,4A=，1,2,5,6B=或4,5A=，1,2,3,6B=或4,6A=，1,2,3,5B=，共4种可能；③当集合A中有4个元素时，集合B中有2个元素，此情况与情况②相同，只需A，B互换，共4种可能；④当集合A中有5个

元素时，集合B中只有1个元素，此情况与情况①相同，只需A，B互换，共1种可能．综上，有序集合对(),AB的个数为10．故选A【点睛】本题主要考查由集合并集与交集的结果求集合中的元素的问题，熟记交集与并集的概念即可，

属于常考题型.10.刘老师沿着某公园的环形道（周长大于1km）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图

所示，则刘老师总共跑的圈数为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.【详解】设公园的环形道的周长为t，刘老师总共跑的圈数为x，（*Nx），则由

题意12233445tttt，所以4332t，所以21334t，因为11xt=，所以22113334xt=，又*Nx，所以8x=，即刘老师总共跑的圈数为8.故选：B第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共

32分）11.方程组322327xyxy+=−=的解集用列举法表示为______________.【答案】()3,7−【解析】【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序

数对(),ab的形式表示元素）.【详解】因为322327xyxy+=−=，所以37xy==−，所以列举法表示解集为：()3,7−.故答案为()3,7−.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元

素表示成有序数的形式：(),xy.12.已知,xy为正实数，且满足440xy+=，则xy的最大值是______．【答案】100【解析】【分析】利用基本不等式的变形，得到21442xyxy+，即可求解.【详解】因为440xy+=，所以21144100442xyxyxy+=

=，当且仅当4xy=，即5,20xy==时，等号成立.即xy的最大值为100.故答案为：10013.已知全集23,7,23Uaa=−−，7,7Aa=−，5UA=ð，则a=________．【答案】4【解析】【分析

】根据题意可得5U，3A，由元素的确定性列方程即可求解.【详解】因为23,7,23Uaa=−−，7,7Aa=−，5UA=ð，所以5U，3A，则223573aaa−−=−=，解得：4a=，故答案为：4.14.设12,xx是方程20xpx

q++=的两实根，121,1xx++是关于x的方程20xqxp++=的两实根，则p=____，q=_____；【答案】①.1−②.3−【解析】【分析】利用根与系数关系列方程组，由此求得,pq的值.【详解】由于12,xx是方程20xpxq++=的两实根，所以1212xxpxxq

+=−=①；由于121,1xx++是关于x的方程20xqxp++=的两实根，所以()()12121111xxqxxp+++=−++=②.由①②解得1,3pq=−=−.故答案为：（1）1−；（2）3−.【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的

数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知全集RU=，集合|Axxa=，1,2B=−，若()UABð，则实数a的取值范围是________．【答案】2a【解析】【分析】由题可得|UAxxa=ð，然后根据条件即得.【详解】因为|Axxa=，所以|

UAxxa=ð，又1,2B=−，()UABð，所以2a.故答案为：2a.16.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的

件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型231mx=−+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入_______万元．【答案】3【解析】【分析】设李明获得的利润为()fx万元，求出()fx关于x的表达式，利用基本不等式可求得()fx的最小值及其

对应的x的值.【详解】设李明获得的利润为()fx万元，则0x，则()()()21616168832425125211111fxmxxxxxxxxx=−=−−=−−=−++−+++++25817=−=，当且仅当1611xx+=+，因

为0x，即当3x=时，等号成立.故答案为：3.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和

转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17.已知:pxR，210mx+，:qxR，21

0xmx++．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是______．【答案】2m【解析】【分析】方法一：根据题意得p真或q真，再依次分析p真和q真时的m的取值范围，最后求并集即可得答案；方法二：若命题p，q均为假命题，求出

m的范围，再求补集即可.【详解】方法一：当p是真命题时，0m；当q是真命题时，方程210xmx++=的判别式240m=−，解得22m−．因此，当命题p，命题q至少有一个为真命题时，0m或22m−，即2m．方法二：若命题p，q均假命题，则m需满足20,Δ40,mm=−解

得2m≥．则当命题p，命题q至少有一个为真命题时，2m．故答案为：2m.18.给定数集A，对于任意,abA，有abA+且abA−，则称集合A为闭集合．则以下结论中，错误的命题是______．①集合

4,2,0,2,4A=−−为闭集合②集合3,ZAnnkk==为闭集合③若集合12,AA为闭集合，则12AA为闭集合④若集合12,AA为闭集合，且1AR，2AR，则存在cR，使得()12cAA的为【答案】①③④【解析】【分析】由集合新定义，举反例可得①错

误，由集合新定义可得②正确；设123,Z,2,ZAnnkkAnnkk====可得③错误；取12Q,R,AA==则不存在c可得④错误；【详解】对于①，当4,4ab=−=时，8abA−=−，故①错误；对于②，由集合3,ZAnnkk

==可得集合表示为3的整数倍，所以,abab+−均为3的整数倍，满足abA+且abA−，故②正确；对于③，设123,Z,2,ZAnnkkAnnkk====，则123,2AA，但125AA，故③错误；对于④，取12Q,R,AA==则不存在c，故④错误

；；故答案为：①③④.三、解答题（本大题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.解不等式组（1）3216xx−−；（2）()2220axax−−−.【答案】（1）26xx−（2）答案

见解析【解析】【分析】（1）利用分式不等式的解法即可得解；（2）分类讨论a的取值情况，利用含参二次不等式的解法即可得解.【小问1详解】因为3216xx−−，所以32106xx−−−，即2406xx+−，所以()()246060xxx+−−，解得26x−，则原不等式的

解集为26xx−.【小问2详解】因为()2220axax−−−，所以()()210axx+−，当0a=时，原不等式220x−，解得1x；当0a时，21a−，原不等式()210xxa+−，解得2xa−或1x；当0a时，原不等式()210xxa

+−；1）当21a−，即2a−时，解得21xa−；2）当21a−=，即2a=−时，原不等式为()210x−，此时无解；3）当21a−，即20a−时，解得21xa−；综上

，当0a=时，原不等式的解集为1xx，当0a时，原不等式的解集为2xxa−或𝑥>1}，当20a−时，原不等式的解集为21xxa−，当2a=−时，原不等式解集为，当2a−时，原不等式的解集为21xxa−.20.已知1x､2x是一元二次方程24

410kxkxk−++=的两个实数根.（1）若1x､2x均为正根，求实数k的取值范围；（2）求使12212xxxx+−的值为整数的k的整数值；（3）是否存在实数k，使得()()12123222xxxx−−

=−成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由.【答案】（1）1k−（2）2,3,5−−−（3）不存在，理由见详解【解析】的【分析】（1）由题意，利用判别式和韦达定理控制范围，列出不等式组即得解；（2）利用韦达定理可得1221421xxxxk−+−=+，结合41k−+为整数，且

0k，即得解；（3）利用韦达定理可得()()21212121293222()942kxxxxxxxxk+−−=+−=−=−，求解可得95k=，与0k矛盾，即得解【小问1详解】由题意，一元二次方程有两个正根1x､2x故20,(4)16(

+1)>0kkkk=−121210104xxkxxk+=+=解得：1k−【小问2详解】由题意，2222121212121221121212()2()2224xxxxxxxxxxxxxxxxxx++−++−=−=−=−又当0，即0

k时121211,4kxxxxk++==故12211442441114xxkkxxkkk−+−=−=−=+++由于41k−+为整数，故1k+只能取1,2,4，又0k故整数k的值为2,3,5−−−【小问3详解】由题意，当0，即0k时，有12121

1,4kxxxxk++==()()2221212121212129(1)93222+252()92442kkxxxxxxxxxxxxkk++−−=−=+−=−=−=−解得：95k=，与0k矛盾故不存在实数k，使得()()12123222xx

xx−−=−成立