【文档说明】山东省德州市武城县第二中学2025届高二上学期开学考试数学试题word版含解析.docx，共(15)页，1.247 MB，由小赞的店铺上传

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高二上学期数学开学考试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数31i2iz=+−，则||z=（）A.5B.6C.10D.23【答案】C【解析】【分析】整理可得13

iz=+，结合复数的模长公式运算求解.【详解】由题意可得：31i2i1i2i13iz=+−=++=+，所以22||1310z=+=．故选：C．2.设xR，向量()(),1,2,4axb==−，且a⊥b，则+=ab（）A.3B.5C.9D.25【答案】B【解析】

【分析】根据向量垂直得到方程，求出2x=，进而得到()4,3ab+=−，求出模长.【详解】由题意得()(),12,4240abxx=−=−=，解得2x=，故()()()2,12,44,3ab+=+−=−，所以()22435ab=+−+=.故选：B3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现

从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（）比赛成绩678910班级数35444A.8.5B.9C.9.5D.10【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义和求解步

骤直接计算求解即可.【详解】因为80%2016=，所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是9109.52+=.故选：C.4.设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若,m⊥∥，则m⊥B.若m∥,n

⊥，则mn⊥C若,⊥⊥mnn，则m∥D.若∥,,mm∥n，则n∥【答案】B【解析】【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.【详解】对于A，如图，,m⊥∥，此时m，故A错误；对于B，若m，面内可以找一条直线c，使得mc；而n⊥

，n与内任意一条直线c都垂直，则nc⊥，则mn⊥.故B正确；对于C，如图，,⊥⊥mnn，此时m，故C错误；对于D，如图，∥,,mm∥n，此时n，故D错误．.故选：B.5.已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（）A.9πB.24πC.28πD

.84π【答案】C【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算得出结果【详解】该圆台的体积()22211144π428π3V=++=.故选：C.6.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球

和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D【解析】【分析】借助列举法，找出所有情况及符合要求的情况后计算即可得.【详解】将两个红球编号为1，2，两个黄球编号为3，4，一次性随机摸取两个球的情况有()1,2，()1,3，()

1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6种，其中两球不同色的情况有()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，共4种，故两球不同色的概率为4263P==.故选：D.7.在平行四边形ABCD中，2BEED=，2AFACAB=+，若(),EFABAD=+R，则

=（）A1B.2C.4D.8【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得8133EFABAD=+uuuruuuruuur，从而得解.【详解】223AFACABABADABABAD=+=++=+，.22()A

EABBEABEDABADAE=+=+=+−，2331AEADAB=+，113283333EFAFAEABADADABABAD=−=+−−=+，EFABAD=+，83=，13=，8=．故选：D．8.在三角形ABC中，内角,,ABC的对边分别为a，b，

c，已知cos3sinccAaC+=，3a=，32bc+=，则ABCV的面积为（）A.324B.334C.423D.433【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和辅助角公式得到π3A=，结合余弦定理得到3bc=，利用三角形面积公式求出答案.【

详解】cos3sinccAaC+=，由正弦定理得sinsincos3sinsinCCAAC+=，因为()0,πC，所以sin0C，故1cos3sinAA+=，即π2sin16A−=，故π1sin62A−=，因为()0,πA，所以ππ5π,666A−−

，故ππ66A−=，解得π3A=，由余弦定理得222cos2bcaAbc+−=，即()222122bcbcabc+−−=，因为3a=，32bc+=，所以1829122bcbc−−=，解得3bc=，11333sin32224ABCSbcA===.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分

，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.已知13i22z=−+，则下列正确的是（）A.||1z=B.z在复平面内所对应点在第二象限C.210zz++=D.200413i2

2z=−+【答案】AC【解析】【分析】利用复数乘方运算，结合复数模、共轭复数的意义及复数的几何意义判断即可.【详解】对于A，2213||()()122z=−+=，A正确；对于B，13i22z=−−在复平面内对应的点13(,)22−−在第三象限，B错误；对于C，22

013131()()1313iiii222222221zz++=++=−+−+−−++=，C正确；对于D，由选项C知，210zz++=，则2(1)(1)0zzz−++=，即31z=，因此20043668()1zz==，D错误.故选：AC10.在ABCV中，角,

,ABC的对边分别是,,abc，若cossinaBbAc+=，222210,sinaabcabC=+−=，则（）A.tan2C=B.π3A=C.62b=D.ABCV的面积为122【答案】AC【解析】【分析】根据222sicsn2oababcaCCb−==+及余弦定理可判断A；根据cossinaB

bAc+=及正弦定理可判断B；由tanC的值及同角三角函数的基本关系可求cosC，sinC，根据正弦定理求出c，代入222sinabcabC+−=求出b可判断C；根据三角形面积公式可判断D.【详解】由余弦定理可得222sicsn2oababcaCCb−==+，解得tan

2C=，故A正确；的由cossinaBbAc+=及正弦定理，可得()sincossinsinsinsinABBACAB+==+,化简可得sinsincossinBAAB=.因为()0,πB，所以sin0B，所以sincosAA=，即

tan1A=.因为()0,πA，所以π4A=，故B错误；因为tan2C=，所以cos0C且sin2cosCC=，代入22sincos1CC+=，可得25cos1C=，解得5cos5C=，25sin5C=.因为210a=，π4A

=，25sin5C=，所以由正弦定理可得25210sin58sin22aCcA===，由222sinabcabC+−=，可得()2222521082105bb+−=，化简可得242240bb−−=，解得6

2b=或22b=−（舍），故C正确；112sin62824222ABCSbcA===△.故选:AC.11.如图，在三棱柱111ABCABC−中，已知点G，H分别在11AB，11AC上，且GH经过111ABC△的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且平面1//AEF平面B

CHG，下列结论正确的是（）A.//EFGHB.//GH平面1AEFC.43GHEF=D.平面1//AEF平面11BCCB【答案】ABC【解析】【分析】由三棱柱性质和面面平行性质可知A正确；利用线面平行判定定理可得B正确；由重心分边长比例可得C正确；易知平面1AEF与平面11

BCCB相交，即D正确.【详解】由三棱柱性质可知平面//ABC平面111ABC，又平面BCHG平面ABCBC=，平面BCHG平面111ABCGH=，由面面平行的性质可知//BCGH；又点E，F分别是AB，AC的中点，可知//BCEF，即可得//EFGH，所以A正确；由//EF

GH，EF平面1AEF，GH平面1AEF，所以//GH平面1AEF，即B正确；又GH经过111ABC△重心，所以1132GHGHBCBC==，且//BCEF，12EFBC=，所以43GHEF=，可知C正确；因为11A,E,B,B

四点共面，且易知1AE与1BB相交，所以平面1AEF与平面11BCCB相交，因此D错误；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件A和B互斥，且()0.8PAB=，()0.6PB=，则()PA=______

.【答案】0.4##25【解析】【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解.【详解】∵事件A和B互斥，∴()()()0.8PABPAPB=+=，又()0.6PB=，∴()()1PBPB=−=10.60.4−=，∴()()0.80.4PAPB=

−=.故答案为：0.4.13.已知在ABCV中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，若60,3,27Abca===，则ABCV的面积为_______．【答案】33【解析】的【分析】利用余弦定理解得2c=，结合面积公式运算求解.【详解】由余弦定理可得2222

cosabcbcA=+−，即()()2221273232cccc=+−，整理可得24c=，解得2c=（舍负），则6b=，所以ABCV的面积为113sin6233222ABCSbcA===．故答案为：33.14.在ABCV中，3,

2,120,,ABACBACBMBCN====为AC中点，若16AMBN=−，则实数的值为______________．【答案】23【解析】【分析】利用向量加法和减法法则进行化简，利用向量数量积公式建立方程进行求

解即可．【详解】3AB=，2AC=，120BAC=，1||||cos12032()32ABACABAC==−=−，NQ为AC中点，12BNANABACAB=−=−，()(1)AMABBMBCABACABABABAC

=+=+=−+=−+，16AMBN=−，2211131()[(1)](1)2226ACABABACABACABAC−−−+=−−++=−，即11319(1)4(3)226−−++−=−，即3121126−=−，得62313=，得23

=．故答案为：23．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知,XY两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：X组：10，11，12，13，14，Y组：12，13，15，14，a．假设所

有病人的康复时间相互独立，从,XY两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y组选出的人记为乙．（1）如果8a=，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（2）如果16a=，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间

之和为25天”，事件,MN是否相互独立？【答案】（1）825（2）不相互独立【解析】【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，（2）分别求解()()(),,PMPNPMN,即可根据相互独立事件满足的关系求解.【小问1详解】如果8a=，从,XY两组随机各选1人，

样本空间()Ω=,10,11,12,13,14xyx，12,13,15,14,8y，共有25种，甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有()()()()()()()()10,8,11,8,12,8,13,12,13,8,1

4,12,14,13,14,8，共有8种，所以概率为825；【小问2详解】当16a=时，()15PM=，事件N的情况有()()()()10,15,11,14,12,13,13,12，共4种所以()425PN=事件MN：“甲康复时间为11

天且甲乙康复时间和为25天”的情况为()11,14．故()125PMN=()()()144525125PMPNPMN==所以事件,MN不相互独立．16.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1AC⊥平面,90ABCAC

B=．（1）证明：平面11ACCA⊥平面11BBCC；（2）设11,2ABABAA==，求四棱锥111ABBCC−的高．【答案】（1）证明见解析.（2）1【解析】【分析】(1)由1AC⊥平面ABC得1ACBC⊥，又因为ACBC⊥，可证⊥BC平面11ACCA，从而证得平面11AC

CA⊥平面11BCCB；(2)过点1A作11AOCC⊥，可证四棱锥的高为1AO,由三角形全等可证1ACAC=，从而证得O为1CC中点，设1ACACx==，由勾股定理可求出x，再由勾股定理即可求1AO.【小问1详解】证明：因为1AC⊥

平面ABC，BC平面ABC,所以1ACBC⊥,又因为90ACB=，即ACBC⊥，1,ACAC平面11ACCA，1ACACC=,所以⊥BC平面11ACCA，又因为BC平面11BCCB,所以平面11ACCA⊥平面11BCCB.【

小问2详解】如图，过点1A作11AOCC⊥，垂足为O.因为平面11ACCA⊥平面11BCCB，平面11ACCA平面111BCCBCC=，1AO平面11ACCA，所以1AO⊥平面11BCCB，所以四棱锥111ABBCC−的高为1AO.

因为1AC⊥平面ABC，,ACBC平面ABC,所以1ACBC⊥,1ACAC⊥,又因为1ABAB=，BC为公共边，所以ABCV与1ABC全等，所以1ACAC=.设1ACACx==，则11ACx=，所以O为1CC中点，11112O

CAA==,又因为1ACAC⊥,所以22211ACACAA+=,即2222xx+=，解得2x=，所以()22221111211AOACOC=−=−=，所以四棱锥111ABBCC−的高为1．17.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩

，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，)70,80，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本

次竞赛成绩的中位数和平均数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[80,90),[90,100]的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[90,100]内的概率.【答案】（1）0.020a=，中位数约为74.3

，平均数约为75；（2）35.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于1求出a的值，再估计中位数和平均数.（2）求出抽取的6人中在[80,90),[90,100]的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得.【小问1详解】由频率分布直方图，得

()100.0050.0300.0350.0101a++++=，解得0.020a=，成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率依次为0.05,0.3,0.35,0.2,0.1，显然本次竞赛成绩的中位数(70,80)

m，则0.35(70)0.0350.5m+−=，解得74.3m，本次竞赛成绩的平均数为550.05650.3750.35850.2950.175x=++++=，所以0.020a=，中位数约为74.3，平均数约为75.【小问2详解】由（1）知，成绩在)80,90，90,100

的频率之比为0.2:0.12:1=，则在)80,90中随机抽取2643=人，记为1，2，3，4，在90,100中随机抽取1623=人，记为a，b，从6人中随机抽取2人的样本空间为12,13,14,1,1,23,24,2,2,34,3,3,4,4,ababababab=，共15

个样本点，设事件A=“至少有1人的成绩在90,100内”，则1,1,2,2,3,3,4,4,Aababababab=，有9个样本点，因此()93155PA==，所以至少有1人的成绩在90,100内的概率35.18.在

①4sinsinbcBC+=+，②ABCV外接圆面积为4π，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答.在锐角ABCV中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2sinaCA=，且______.（1）求C；（2）若ABCV的面

积为1683−，求ABCV的周长.【答案】（1）π6C=（2）8【解析】【分析】（1）选①或选②都可借助正弦定理得到1sin2C=，即可得C；（2）借助余弦定理与三角形面积公式计算即可得.【小问1详解】由sin2sinaCA=得2s

insinaCA=，若选①：由正弦定理sinsinsinabcABC==得4sinsinsinabcABC+==+，所以24sinC=，则1sin2C=，又因为π0,2C，故π6C=；若选②：ABCV外接

圆半径2R=，由正弦定理24sinsinsinabcRABC====，所以24sinC=，则1sin2C=，又因为π0,2C，故π6C=；【小问2详解】由（1）知4sin=cC，所以2c=，因为ABCV的

面积为1683−，所以1sin16832abC=−，所以64323ab=−，因为π6C=，所以3cos2C=，由余弦定理2222coscababC=+−得，2234abab+−=，所以2()(23)4abab+−+=，所以

2()4(23)36abab+=++=，所以6ab+=，所以ABCV的周长为8.19.如图，在直角梯形ABCD中，BCAD∥，ADCD⊥，2BC=，3AD=，3CD=，边AD上一点E满足1DE=，现将ABE沿BE折起到1ABE的位置，使平面1A

BE⊥平面BCDE，如图所示.（1）在棱1AC上是否存在点F，使直线//DF平面1ABE，若存在，求出11AFAC，若不存在，请说明理由；（2）求二面角1ABCD−−的平面角的正切值.【答案】（1）存在，1112AFA

C=（2）2【解析】【分析】（1）设1AB的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到//DFEN，得出//DF平面1ABE，进而得到结论；（2）连接CE，取BE中点O，作OMBC⊥于M，证得1AMBC⊥，得到1AMO为二面角1ABCD−−的平面角，

在直角1AMO△中，即可求解．【小问1详解】解：当F是1ACAC的中点时，直线//DF平面1ABE.证明如下：设1AB的中点为N，连接EN，FN，因为//FNBC，12FNBC=，且//EDBC，12EDBC=，所以//FNED且FNED=

，所以四边形DENF是平行四边形，所以//DFEN，又因为DF平面1ABE，EN平面1ABE，所以//DF平面1ABE，所以存在点F，使//DF平面1ABE，且1112AFAC=.【小问2详解】解：在平面图形中，连接CE，则30ECD=，60ECB=，所以2CBCEBEAEAB==

===，如图所示，取BE中点O，连接1AO，则1BEOA⊥，因为1AO平面1ABE，平面1ABE⊥平面BCDE，且平面1ABEÇ平面BCDEBE=，所以1AO⊥平面BCDE，又因为BC平面BCDE，所以1AOBC⊥作OMBC⊥于M，连接1AM，因为1AOOMO=，且1,AOOM平面1A

OM，所以⊥BC平面1AOM，又因1AM平面1AOM，所以1AMBC⊥，所以1AMO为二面角1ABCD−−的平面角，在直角1AMO△中，13AO=，32OM=，可得1tan2AMO=，为