【文档说明】湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.077 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答

非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数4iiz+=在复平面内对应的点

位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数除法化简复数，即可得对应的点求解.【详解】由4iiz+=可得()()()()()4ii4ii14iiiz+−==+−=−−，故对应的点为()1,4−，

位于第四象限，故选：D2.在空间直角坐标系中，直线l过点()1,0,1A−且以()2,3,4=为方向向量，(),,Mxyz为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是（）A.11234xyz−+

==B.11234xyz+−==C.11324xyz−+==D.11243xyz−+==【答案】A【解析】【分析】根据直线方向向量的定义计算即可.【详解】由方向向量得//AM，又因为()1,,1AMxy

z=−+，所以11234xyz−+==.故选：A.3.已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表：分层样本量样本平均数第一层1055第二层3075第三层1090估计总体平均数为（）A.73B.74C.76D.80【答

案】B【解析】【分析】利用分层抽样的平均数公式，列式计算即得.【详解】依题意，估计总体平均数为10553075109074103010++=++.故选：B4.设Ra，直线()()12:110,:220laxylxaya++−=+−+=，则“1a=”是

“1l//2l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出1l//2l的a值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.【详解】因为直线()()12:110,:220laxylxaya++−=+−+

=，当1a=时，12:210,:230lxylxy+−=+−=，此时1l//2l，即1a=可以推出1l//2l，当1l//2l时，(1)2aa+=，解得1a=或2−，又2a=−时，12:10,:0lxylxy−+=−=，此时1l//2l，所以1l//2l推不出1a

=，所以“1a=”是“1l//2l”的充分不必要条件，故选：A.5.已知点()00,xy为直线260xy++=上任意一点，则()22001xy++的最小值是（）A.3B.2C.5D.6【答案】C【解析】【分析】()22001xy++的几何意

义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得．【详解】点()00,xy直线260xy++=上任意一点，又()22001xy++的几何意义为直线上的点到()1,0−的距离，故最小值为()1,0−到直线

的距离，即最小值为225521=+故选：C．6.如图，在异面直线,mn上分别取点,AB和,CD，使2,4,6ABCDBD===，且,ACmACn⊥⊥，若π,3ABCD=，则线段AC的长为（）A.2B.22C.26D.6【答案】C【解析】【分析】过C作//lAB，过B作B

Hl⊥于H，连接,BHHD，根据条件得到AC⊥面CDH，从而得到ACDH⊥，进而得BHDH⊥，在CHDV中，利用余弦定理得到23HD=，从而可求出26ACBH==.【详解】如图，过C作//lAB，过B作BHl⊥

于H，连接,BHHD，因为ACm⊥，所以ACCH⊥，又ACn⊥，nCHC=，,nCH面CDH，所以AC⊥面CDH，又DH面CDH，所以ACDH⊥，为又易知//ACBH，所以BHDH⊥，又π,3ABCD=，所以π

3HCD=，CHDV中，2,4CHABCD===，所以222π2cos416224cos123HDCHCDCHCDHCD=+−=+−=，在RtBHDV中，6BD=，23HD=，所以222361224BHBDDH=−=−=，又//,//ACB

HABCH，所以26ACBH==，故选：C.7.已知圆台的上､下底面圆周上的点都在同一个球面上，且圆台的上､下底面半径分别为1，3，高为4，则该球的表面积为（）A.25πB.30πC.32πD.40π【答案】D【解析】【分析】球心在上、下底圆心的连线上，利用勾股定理建立等量关系，求出球心位

置，即可得到球的半径，从而解出球的表面.【详解】如图：设1OOx=，则24OOx=−∵圆台的上､下底面圆周上的点都在同一个球面上∴()2222341xx+−=+解得3x=则223110r=+=在∴表面积：24π40πSr==故选：D

8.如图所示，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，π3,3PAABCBAP===，且1cos6PAD=，则cosPBC=（）A.277−B.277C.3714−D.3714【答案】D【解析】

【分析】利用基底ABADAP、、表示出向量PC，然后求出PC的模，余弦定理求出PB的长，在PBC中，利用余弦定理的变形即可求出cos.PBC【详解】如图连接AC,则PCACAPABADAP=−=+−2222()||||222P

CABADAPABADADABADABAPADAP=+−=+++−−由题可知π12,3,,cos36ABPAABCBAPPAD=====，∴222||4,||9,ABADAP===122cos22

242ABADABADBAD==−=−，122cos22362ABAPABAPPAD===，122cos22326ADAPADAPPAD===，∴4494625PC=++−−−=，在ABP中,22212co

s4922372PBABAPABAPPAB=+−=+−=,7PB=,在PBC中22274537,cos214272PBBCPCPBCPBBC+−+−===,故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在三棱锥ABCD−中，,,,EFGH分别是棱,,,ABBCCDDA的中点，M是EG和FH的交点，则（）A.四边形EFGH是平行四边形B

.//BD平面EFGHC.三棱锥BDHG−的体积小于三棱锥EBDF−的体积D.()14FMFAFBFCFD=+++【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，证得//,EFHGEFHG=，可判定A正确；证得//FGBD，利用线面平行的判定定理，证得//BD平面EFGH，

可判定B正确；设点H到平面BCD的距离为h，得到点E到平面BCD的距离也为h，结合锥体的体积公式，可得判定C错误；根据向量的线性运算法则，可判定D正确.【详解】对于A中，在三棱锥ABCD−中，,,,EFGH分别是棱,,,ABBCCDDA的中点，可得1//,2

EFACEFAC=且1//,2HGACHGAC=，所以//,EFHGEFHG=，所以四边形EFGH是平行四边形，所以A正确；对于B中，在BCD△中，因为,FG分别为,BCCD的中点，可得//FGBD，又因为BD平面EFGH，FG

平面EFGH，所以//BD平面EFGH，所以B正确；对于C中，设点H到平面BCD的距离为h，因为,EH为,ABAD的中点，可得//EHBD，又因为EH平面BCD，BD平面BCD，所以//EH平面BCD，所以点E到平面BCD的距离也为h，因为13BDHGHBDBDGGVVS

h−−==，13EBDFBDFVSh−=，又因为,FG分别为,BCCD的中点，可得//FGBD，所以BDGBDFSS=，所以EBDDHGBFVV−−=，所以三棱锥BDHG−的体积等于EBDF−的体积，所以C错误；对于D中，因为

四边形EFGH是平行四边形，可得11()[())]2(2FMFEFGFBBEFCCG==++++111[())][())]222((BECGFBFCBACDFBFC=++=++++，因为FBFC=−，所以0FBFC+=，则11111[())][())]22

(22(2BACDFBFCFBBAFCCDFBFC++++=++++()1111[()()]2224FAFDFBFCFAFBFCFD=+++==+++，所以D正确.故选：ABD.10.已知圆22:(1)1Mxy−+=与圆22:(2)4N

xy+−=相交于,AB两点（点A在第一象限），则（）A.直线AB的方程是20xy−=B.,,,AMBN四点不共圆C.圆M的过点A的切线方程为3480xy+−=D.4cos5AMB=−【答案】AC【解析】【分

析】选项A，利用两圆方程相减，即可求解；选项B，联立直线AB的方程与圆的方程，直接求出84(,)55A，(0,0)B，进而可得MN中点到,,,AMBN四点距离相等，即可求解；选项C，利用选项B中结果，先求出43MAk=，进

而得到切线方程的斜率为34−，即可求解；选项D，直接求出455AB=，1MAMB==，利用余弦定理即可求解.【详解】对于选项A，因为圆22:(1)1Mxy−+=与圆22:(2)4Nxy+−=，两圆方程相减得到20xy−=，即

直线AB的方程是20xy−=，所以选项A正确，对于选项B，由20xy−=和22(1)1xy−+=，解得00xy==或8545xy==，即84(,)55A，(0,0)B，又(1,0),(0,2)MN，所以MN中点为1(,1)2P，则52PBPA==，

又5MN=，所以P到,,,AMBN四点距离相等，即,,,AMBN四共圆，所以选项B错误，对于选项C，由选项B知84(,)55A，所以4458315MAk==−，得到圆M的过点A的切线方程为438()545yx−=−−，整理得到3480xy

+−=，所以选项C正确，对于选项D，因为64164525255AB=+=，1MAMB==，在BMA△中，由余弦定理得222161135cos225MAMBABAMBMAMB+−+−===−，所以选项D错误，故选：AC.11.已知

定义在R上的函数()fx满足()()()2,12fxfxf=−=，且()()1gxfx=−为奇函数，则（）A.()()2fxfx+−=B.()()4fxgx+−为定值C.()()411gkk+=ZD.()()431fkk+=Z【答案】ABC【解析】【分析】利用函数关系求出

函数的对称轴和对称中心，从而得出周期，利用周期和对称性以及已知函数值化简选项中的函数即可判断.【详解】∵()()2fxfx=−，则()()11fxfx+=−，则()fx关于直线1x=对称，∵()()1gxfx=−为奇函数，则()()gxgx−=−，即

()()11fxfx−−=−+，则()()2fxfx−+=，故A选项正确；∵()()2fxfx−+=，∴()fx关于点()0,1对称，即()01f=，由()()2fxfx=−可得()()20fxfx−++=，则()

()22fxfx++=，即()()422fxfx+++=，则()()4fxfx+=，可知4为函数()fx的周期，∴()()()()()()44111fxgxfxfxfxfx+−=+−+=−+=为定值，故B选项正确；()()()

()41411111gkfkfk+=+−=−=Z，故C选项正确；()()()()433121fkffk+===Z，故D选项错误；故选：ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线:2lykx=+在x轴上的截距为1，则k=__________.【答案】2−【解析】【

分析】根据条件，利用横截距的定义，即可求解.【详解】因为直线:2lykx=+，令0y=，得到2xk=−，由题有21k−=，解得2k=−，故答案为：2−.13.从集合2,3,4,9中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的

概率是__________.【答案】16【解析】【分析】古典概型需找到总的情况数做分母，满足题意得情况数做分子.【详解】从集合2,3,4,9中任取2个不同的数共有24A12=种取法；作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的情况有：23log

4log9、，共2种，∴概率21126P==故答案为：1614.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数()1的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点()7,0A−，B为直线:431

10lxy++=上的动点，P为圆22:(2)9Cxy−+=上的动点，则3PAPB+的最小值为__________.【答案】9【解析】【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设||3||PAPD=，利用待定系数法得D的坐标为(1,0)，即可根据三点共线，结合点到直线的

距离公式即可求解.【详解】令3PAPD=，则||3||PAPD=．由题意可得圆22:(2)9Cxy−+=是关于点A，D的阿波罗尼斯圆，且3=，设点D坐标为(,)Dmn，则2222(7)||3||()()xyPAPDxmyn++==−+−，整理得22229794994948

mnmnxyxy−−+−+=−，由题意得该圆的方程为22:(2)9Cxy−+=，即2245xyx+−=所以229744904499958mnmn+==−−=，解得10mn==，所以点D的坐标为D(1,0)，所以3333PAPBPDPBDB+=+，当

BDl⊥时，此时DB最小，最小值为22411334+=+，因此当BDl⊥时，3PAPB+的值最小为339=，故答案为：9【点睛】关键点点睛：根据3PAPB+的形式，设3PAPD=，则||3||PAPD=，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点D(1,0)，即可利用点到

直线的距离求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线1l的方程为()420axay+−+=，直线2l经过点1,02A和10,Ba.（1）若12ll⊥，求a的值；（2）若当a变

化时，1l总过定点C，求AC.【答案】（1）2a=−或4a=.（2）52【解析】【分析】（1）求出直线1l和2l的斜率，利用斜率相乘为-1求解即可；（2）将直线1l的方程为()420axay+−+=进行变形，然后解方程

组即可得到直线1l经过的定点，再利用两点间的距离公式求解即可.【小问1详解】直线2l经过点1,02A和10,Ba,所以0a，所以直线2l的斜率为102102aka−==−−，因为直线1l的斜率为4aa+，12ll⊥,所以421aaa+−=−,解得2a=−

或4a=.【小问2详解】直线1l的方程为()420axay+−+=可以改写为()420axyx−++=,由0420xyx−=+=，解得12xy==−，所以1l总过定点11C,22−−,根据两点间的距离公式,22111

5(0).2222AC=−−+−−=16.已知函数()()π3sin0,2fxx=+在区间π4π,33上单调递减且π33f=，4π33f=−（1）求(

)fx的解析式；（2）求使()62fx−成立的x的取值范围.【答案】（1）()π3sin6fxx=+（2）()11π5π2π,2π1212kkk−−Z【解析】【分析】（1）根据题意先可以确定函数()fx的最小正周期2π4ππ233T==−

，进而得到的值，进而代值计算，从而求解；（2）根据正弦函数的性质解不等式即可.【小问1详解】()()3sinfxx=+在区间π4π,33上单调递减，且π4π3,333ff==−，∴𝑓(𝑥)的最小正周期2π4ππ22π

33T==−=，解得1=.ππ3sin333f=+=，由“五点法”可知πππ,326+==.()π3sin6fxx=+.【小问2详解】由（1）可知π63sin62x+−

，π2sin62x+−，()3πππ2π2π464kxkk−+−Z，解得()11π5π2π2π1212kxkk−−Z，x的取值范围是()11π5π2π,2π1212kkk−−Z.17.已知ABCV的内角,,

ABC的对边分别为,,abc，且3sincosaCcAc=+.（1）求A；（2）若π,4CABC=△的面积为236+，求c.【答案】（1）π3（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转角得到3sin

cos1AA=+，再利用辅助角及特殊角三角函数值，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到5π12B=，利用正弦定理得到312bc+=，再利用面积公式，即可求解.【小问1详解】由3sincosaCcAc=+，得到3sinsinsincoss

inACCAC=+，又(0,π)C，sin0C，得到3sincos1AA=+，即3sincos1AA−=，所以π2sin()16A−=，得到π1sin()62A−=，又(0,π)A，所以ππ5π(,)666A−

−，所以ππ66A−=，解得π3A=.小问2详解】因为π4C=，由（1）知π3A=，所以ππ5ππ3412B=−−=，由正弦定理sinsinsinabcABC==，得到5πsinsin5π122sinπsin12sin4ccBbcC===，又5π7πππ212326sins

in=sin()12124322224+=+=+=，所以312bc+=，又ABCV的面积为236+，所以211313sin2362222SbcAc+===+，整理得到216c=，解得4c=.【18.如图，在三棱锥PABC−中，2,22,,,PAABBCPBACPABCMN=====

⊥分别是棱PB，CA上的动点（不含端点），且BMCN=.（1）证明：平面ABC⊥平面PAB.（2）设BMt=，则当t为何值时，MN的长度最小？（3）当MN的长度最小时，求平面AMN与平面PAB的夹角的余弦值

.【答案】（1）证明见解析（2）2t=时，MN的长度最小（3）33【解析】【分析】（1）根据,PABC⊥,PAAB⊥，利用线面垂直的判定定理，证得PA⊥平面ABC进而由面面垂直的判定即可求解；（3）根据

线面垂直性质，结合余弦定理和勾股定理，得到MN的表达式，即可由二次函数的性质求解最值.（3）建立空间直角坐标系进而求得平面AMN的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】由于2,22,,PAAB

PBPAAB===⊥又,PABC⊥,,BCABBBCAB=平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又因为PA平面PAB，所以平面ABC⊥平面PAB.【小问2详解】作//MDPA交AB于D，连接DN，由于PA⊥平面ABC，故

MD⊥平面ABC，MN平面ABC，故MDMN⊥，BMt=，故2222BDDMBMt===，的CNt=，故22,ANt=−又易知ABCV是等腰直角三角形，由余弦定理可得2222cos45DNADANADAN=+−()()2222212222222224222t

ttttt=−+−−−−=−+，故()222222422NMMDDNttt=+=−+=−+，故当2t=时，此时MN的最小值为2.【小问3详解】由于2,22ABBCAC===，故ABBC⊥，以B为坐标原

点，以,BCBA所在的直线分别为x和y轴，以过点B垂直与平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，当2t=时，,MN分别为,PBAC的中点，则()0,2,0A，()0,0,0B()()()2,0,0,0,1,1,1,1,0C

MN，所以()()0,1,1,1,1,0AMAN=−=−，设平面AMN的法向量为(,,)nxyz=，则00nAMnAN==，即00yzxy−+=−=，取1y=，可得平面AMN的一个法向量

()1,1,1n=，平面PAB的一个法向量为()1,0,0m=，设平面AMN与平面PAB的所成角为，则3cos|cos,|||3||||nmnmnm===，故平面AMN与平面PAB的所成角的余弦值为33.19.已知圆22

1:202Exmxym−+−=，点()1,0A关于直线:lyaxb=+的对称点为()2,3B−.（1）求l的方程；（2）讨论l与圆E的位置关系；（3）若l与圆E相交于,MN两点，圆心E到l的距离为2，圆C的圆心在线段MN上，且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上，求圆C的半径的最大值.【答案】（

1）20xy−+=（2）答案见解析（3）142−.【解析】【分析】（1）两个点关于直线对称，则线段中点在直线上且两直线垂直，建立方程组，解出答案即可；（2）通过圆的方程解出圆心和半径，比较圆心到直线的距离与半径的大小，即可得到直线与圆的位置关系；（3）由点到线距离得出参数m的值，从而得到圆的

方程，通过内切圆的关系得到半径2r的范围，由此得出最大值.【小问1详解】点()1,0A关于直线:lyaxb=+的对称点为()2,3B−，且线段AB的中点坐标为13,22−，301,2113,22aab−=−−−

−+=解得1,2.ab==l的方程为20xy−+=.【小问2详解】圆E的方程可变形为2221()2xmymm−+=+，则圆心E的坐标为(),0m，且2102mm+，解得0m或12m−

，圆E的半径212rmm=+.设圆心E到l的距离为d，则22md+=.若dr>，则2222122mmm++，解得14−m，的又12m−或10,12mm−−或04m，此时l与圆E相离；若dr=，则1

m=−或4m=，此时l与圆E相切；若dr，则4m或1m−，此时l与圆E相交.【小问3详解】由题可知222m+=，解得4m=−或0m=（舍去）.当4m=−时，圆22:(4)14Exy++=，圆心()4,0E−，半径114r=.由题可知圆C的圆心C在圆E内且两圆内切

，记圆C的半径为2r，由切点在劣弧MN上，知12ECrr=−，21rrEC=−.点C在线段MN上，2EC.当且仅当圆心C与线段MN的中点重合时，2r最大，且()2max142r=−.圆C的半径的最大值为142−.