【文档说明】内蒙古宁城蒙古族中学2021届高三上学期模拟考试（二）数学试卷含答案.docx，共(14)页，213.863 KB，由小赞的店铺上传

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宁县蒙古族中学高三模拟地理试卷（二）数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷选择题(共45分)参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．·如果事件A，B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)．·锥体的体积公

式V＝13Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．·球体V＝43πR3，其中R为球的半径．一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设复数z＝a＋2i(a∈R)的共轭复数为z(i是虚数单位)，

且z＋z＝2，则复数|z|2－ai在复平面内对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设x∈R，则“x3<1”是“x－12<12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知：a＝ln114，b＝131e，c＝log1e13，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bB．c>b>aC．b>a>cD．a>b>c4．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定

费用只可能为1、2、3元)．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A．0.18B．0.3C．0.24D．0.365．在△ABC中，

角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝1，c＝23，bsinA＝asinπ3－B，则sinC＝()A.37B.217C.2112D.57196．已知双曲线C：x2a2－y23＝1(a>0)的右焦点为F，圆x2＋y2＝c2(c为

双曲线的半焦距)与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的方程是()A.x24－y23＝1B.x23－y23＝1C.x22－y23＝1D．x2－y23＝17．把函数f(x)＝As

in2x－π6(A≠0)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x－m)(m>0)是偶函数，则实数m的最小值是()A.π6B.5π6C.5π12D.π128．已知a、b>0，

a－1b2＝ba，则当a＋1b取最小值时，a2＋1b2的值为()A．2B．22C．3D．49．已知函数f(x)＝1－x1＋x，x≥0，x2＋2x＋1，x<0，函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－12恰有三个不同的零点，则k的取值范围是()A．(

－2－2，0]∪92B．(－2＋2，0]∪92C．(－2－2，0]∪12D．(－2＋2，0]∪12第Ⅱ卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)10．已

知全集为R，集合M＝{－1，0，1，5}，N＝{x|x2－x－2≥0}，则M∩(∁RN)＝________．11.2x－1x26的展开式中，1x2项的系数为________．12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，

且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(－2)，则a的取值范围是________．13．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品

尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________；若该六面体内有一

球，则该球体积的最大值为________．14．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，准线为l，过焦点的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，若|AF|＝4|BF|，则p＝________；△CDF的面积为________．15．已知平行四边形AB

CD的面积为93，∠BAD＝2π3，E为线段BC的中点．则AD→·DC→＝________；若F为线段DE上的一点，且AF→＝λAB→＋56AD→，则|AF→|的最小值为________．三、解答题(本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤．)16．(本小题满分14分)为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示：组别性别数学英语男51女33现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取

3名同学进行测试．(1)求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；(2)记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．(本小题满分14分)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90°，EB⊥平面ABCD

，EF∥AB，AB＝2，EB＝3，EF＝1，BC＝13，且M是BD的中点．(1)求证：EM∥平面ADF；(2)求二面角D－AF－B的大小；(3)线段EB上是否存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．18

．(本小题满分15分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，且过点1，32.F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若|AF|＝|FC|，求|

BF||FD|的值；(3)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2＝mk1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝32，数列{bn}是等比数列，且b1＝a1，b2＝

－a3，b3＝a4，数列{bn}的前n项和为Sn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设cn＝bn，n≤5，8an，n≥6，(n∈N*)求{cn}的前n项和Tn；(3)若A≤Sn－1Sn≤B对n∈N*恒成立，

求B－A的最小值．20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex－exsinx，x∈0，π2(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若不等式f(x)≥k(x－1)(1－sinx)对任意x∈0，π2恒成立，求实数k的取值范围；(3)证明：ex

－1>－12x－322＋1.数学答案1．A[命题立意]本题考查复数的四则运算、复数的有关概念．[解析]∵z＝a＋2i，∴z＝a－2i，又∵z＋z＝2，∴a＋2i＋a－2i＝2，∴a＝1，∴z＝1＋2i，∴|z|2

－ai＝|1＋2i|2－i＝52－i＝5（2＋i）（2＋i）（2－i）＝25＋5i5，对应点位于第一象限，故选A.2．B[命题立意]本题考查不等式解法、充分必要条件．[解析]由x3<1得x<1，由x－12<12得0<x<1，∵(0，1)(－∞，1)，∴“x

3<1”是“x－12<12”的必要不充分条件，故选B.3．A[命题立意]本题考查指数、对数函数的单调性．[解析]∵c＝log1e13＝ln3>ln114＝a>1，b＝131e<1，∴c>a>b，故选A.4．B[命题立意]本题考查相互独立事件同时发生的概率、互斥事件的和事件

的概率．[解析]甲、乙所扣费用都为1元的概率P1＝0.5×0.2＝0.1，都为2元的概率为P2＝0.2×0.4＝0.08，都为3元的概率为P3＝(1－0.5－0.2)·(1－0.2－0.4)＝0.12，∴甲、乙两人所扣

费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝0.3，故选B.5．B[命题立意]本题考查正、余弦定理．[解析]∵bsinA＝asinπ3－B，∴sinBsinA＝sinA·sin(π3－B)，∵sinA≠0，∴sinB＝sinπ3－B，∴sinB＝32co

sB－12sinB，∴tanB＝33，∴B＝π6，∵a＝1，c＝23，∴b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝7，∴b＝7，∵bsinB＝csinC，∴sinC＝c·sinBb＝217，故选B.6．D[命题立意]本题考查双曲线

的方程、几何性质．[解析]圆x2＋y2＝c2与双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的一条渐近线y＝3ax联立得A(－a，－3)，B(a，3)，又∵F(c，0)，∴Mc－a2，－32，又∵M在y＝－3ax上，∴－32＝－3a·c－a2，∴c＝2a，又∵c2＝a2＋3，∴a＝1，∴双曲线方

程为x2－y23＝1，故选D.7．C[命题立意]本题考查图象变换、正弦型函数的性质．[解析]由题意得g(x)＝Asin2x－π2－π6，∴g(x－m)＝Asin2x－π2－π6－2m是偶函数，∴－π2－π6－2m＝π2＋kπ，k∈Z，∴m＝－7π12＋kπ2，k∈Z，又∵m>0

，∴m的最小值是5π12，故选C.8．C[命题立意]本题考查基本不等式．[解析]∵a－1b2＝ba，∴a2＋1b2＝ba＋2ab，又∵a>0，b>0，∴a＋1b2＝a2＋1b2＋2ab＝ba＋4ab≥

4，当且仅当b＝2a时等号成立，∴a＋1b≥2，当且仅当b＝2a时等号成立．∴a＋1b取最小值时，a2＋1b2＝ba＋2ab＝3，故选C.9．D[命题立意]本题考查分段函数、函数零点．[解析]∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－12恰有三个不同的零点，∴f(1－x)＝k(x－1)＋12恰有三个不同

实根，令1－x＝t，则f(t)＝－kt＋12恰有三个不同实根，即y＝f(x)与y＝－kx＋12的图象恰有三个交点，画出图象如图：当k＝0时，有三个交点，当y＝－kx＋12与f(x)＝1－x1＋x(x≥0)相切时k＝12，当y＝－kx＋12与f(x)＝x2＋2x＋1(x<0)相切时k＝－2＋2.∴

由图可得，当两图象有三个交点时－2＋2<k≤0或k＝12，故选D.10．{0，1}[命题立意]本题考查不等式解法、集合的交集、补集运算．[解析]∵N＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≥2或x≤－1}，∴∁RN＝{x|－1<x<2}，又∵

M＝{－1，0，1，5}，∴M∩(∁RN)＝{0，1}．11．240[命题立意]本题考查二项展开式中特定项的系数．[解析]2x－1x26展开式的通项公式Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·－1x2r

＝(－1)r26－rCr6x3－52r.令3－5r2＝－2，得r＝2，∴1x2的系数为(－1)224C26＝240.12．(0，3)[命题立意]本题考查函数的奇偶性、单调性．[解析]∵f(x)是R上的偶函数且在区间

(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又∵f(2log3a)>f(－2)，∴2log3a<2，∴log3a<12，∴0<a<3.13.2686729π[命题立意]本题考查组合体的体积、内切球的体积．[解析]由题意知：该六面体为两个底面重合的正四面体组成的组合体，∵

正四面体的棱长为1，∴高h＝1－13＝63，∴六面体的体积V＝2×13×34×63＝26.当球为该六面体的内切球时体积最大，设内切球半径为r，则r＝3VS表＝226×34＝69，∴球的体积为V球＝43πr3＝86729π

.14．25[命题立意]本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系．[解析]∵焦点F(1，0)，∴p2＝1，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x，如图：过B作BM⊥AC于M点，则由抛物线定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，|CM|＝

|BD|.∵|AF|＝4|BF|，∴|AC|＝4|BD|，∴|AM|＝3|BD|＝3|BF|，∴cos∠MAB＝35，∴kAB＝tan∠MAB＝43，∴AB的方程为y＝43(x－1)与y2＝4x联立，消y得4x2－17x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝174，∴|A

B|＝x1＋x2＋p＝254，∴|CD|＝|AB|·sin∠MAB＝254×45＝5，∴S△CDF＝12|CD|×2＝5.15．－95[命题立意]本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形面积．[解析

]∵SABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD，∴93＝AB·AD·sin2π3，∴AB·AD＝18，∴AD→·DC→＝|AD→|·|DC→|·cos2π3＝18×－12＝－9.∵AF→＝λAB→＋56AD→＝λ(AE→＋EB→)＋5

6AD→＝λAE→－12λAD→＋56AD→＝λAE→＋56－λ2AD→，E、F、D三点共线，∴λ＋56－λ2＝1，∴λ＝13，∴AF→＝13AB→＋56AD→，∴|AF→|2＝19AB→2＋2536AD→2＋59AB→·AD→

＝19AB→2＋2536AD→2－5，∵AB·AD＝18，∴|AF→|2≥219×2536×182－5＝5.当且仅当AB＝35，AD＝655时等号成立，∴|AF|的最小值为5.16．[命题立意]本题考查古典概型和离散型随机变量的分布列和期望、分层抽样．[解题思路](1)先按分层抽样比例

确定各组抽取人数，再由古典概型概率公式求解即可；(2)写出ξ的所有可能取值，再按照互斥事件和相互独立事件的概率公式分别求出对应的概率，写出分布列，代期望公式得期望值．[解](1)两小组的总人数之比为8∶4＝2∶1，共抽取3人，所以数学组

抽取2人，英语组抽取1人．从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学、1名女同学；2名女同学．所以所求概率P＝C13C15＋C23C28＝914.(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C23C28·C13C

14＝9112，P(ξ＝1)＝C13C15C28·C13C14＋C23C28·C11C14＝48112＝37，P(ξ＝2)＝C13C15C28·C11C14＋C25C28·C13C14＝45112，P

(ξ＝3)＝C25C28·C11C14＝10112＝556.所以ξ的分布列为：ξ0123P91123745112556E(ξ)＝0×9112＋1×37＋2×45112＋3×556＝32.17．[命题立意]本题考查线面平行的证明，异面直线所成角、二面角．[解题思路](1)建立空间直角坐标系，求出平

面ADF的一个法向量n，利用EM→·n＝0，证得EM∥平面ADF；(2)求出平面AFB的一个法向量BD→，利用向量法求得二面角的余弦值，从而得二面角的大小；(3)假设存在点P满足条件，设P(0，0，t)，利用|cos〈PC→，AF

→〉|＝cos30°，求解t值，t无解，故不存在满足条件的点P.[解](1)证明：因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.由已知可得各点坐标为：B(0，0，0)，A(0，2，0)，D(3，0，0)，C(3，－

2，0)，E(0，0，3)，F(0，1，3)，M32，0，0.EM→＝32，0，－3，AD→＝(3，－2，0)，AF→＝(0，－1，3)．设平面ADF的一个法向量是n＝(x，y，z)．由

n·AD→＝0，n·AF→＝0，得3x－2y＝0，－y＋3z＝0，令y＝3，则n＝(2，3，3)．又因为EM→·n＝32，0，－3·(2，3，3)＝3＋0－3＝0，所以EM→⊥n，又EM平面A

DF，所以EM∥平面ADF.(2)由(1)可知平面ADF的一个法向量是n＝(2，3，3)．因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD，又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF.故BD→＝(3，0，0)是平面EBAF的一个法

向量．所以cos〈BD→，n〉＝BD→·n|BD→||n|＝12，又二面角D－AF－B为锐角，故二面角D－AF－B的大小为60°.(3)假设线段EB上存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30°，不妨设P

(0，0，t)(0≤t≤3)，则PC→＝(3，－2，－t)，AF→＝(0，－1，3)．所以|cos〈PC→，AF→〉|＝|PC→·AF→||PC→|·|AF→|＝|2－3t|2t2＋13，由题意得|2－3t|2t2＋13＝32，化简得－43t＝3

5，解得t＝－3543<0，因为0≤t≤3，所以无解．即在线段EB上不存在点P，使得直线CP与直线AF所成的角为30°.18．[命题立意]本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系．[解题思路](1)由离

心率和点在椭圆上列方程组，解得a，b，写出椭圆方程；(2)由椭圆对称性知若|AF|＝|FC|，则AF⊥x轴，得A、B坐标，利用两点式得直线BF的方程，与椭圆方程联立得D点坐标，利用线段成比例求得|BF||FD|；(3)按直线AF的斜率是否存在分为两类讨论：当直线AF斜率不存在

时，求出A、B、C、D四点坐标，利用斜率公式得k2＝53k1；当直线AF的斜率存在时，设A坐标得直线AF方程与椭圆方程联立，得C点坐标．同理得D点坐标，由斜率公式整理得k2＝53k1，故存在m＝53满足题意．[解](1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意知：ca＝

12，1a2＋94b2＝1，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)若|AF|＝|FC|，由椭圆对称性，知A1，32，所以B－1，－32，此时直线BF方程为3x－4y－3＝0.由3x－4y－3

＝0，x24＋y23＝1，得7x2－6x－13＝0，解得x＝137(x＝－1舍去)，故|BF||FD|＝1－（－1）137－1＝73.(3)①若直线AF的斜率不存在，则直线AF的方程为：x＝1.此时：A1，32，B－1，－32，C1，－32，D137，914.∴k

1＝32－－321－（－1）＝32，k2＝914－－32137－1＝52.∴k2＝53k1，即存在m＝53满足题意．②若直线AF的斜率存在．设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，直线AF的方程为y＝y0x0－1(x－1)，代入椭圆方程x

24＋y23＝1得：(15－6x0)x2－8y20x－15x20＋24x0＝0.因为x＝x0是该方程的一个解，所以C点的横坐标xC＝8－5x05－2x0，又C(xC，yC)在直线y＝y0x0－1(x－1)上，所以yC＝y0x0－1(xC－1)＝－3y05－2x0，同理，D点坐标为8

＋5x05＋2x0，3y05＋2x0，所以k2＝3y05＋2x0－－3y05－2x08＋5x05＋2x0－8－5x05－2x0＝5y03x0＝53k1，即存在m＝53，使得k2＝53k1.综合①②知存在m＝53满足题意．19．[命题立意]本题考查等差、等比数列

的通项公式、前n项和公式、数列的单调性与最值．[解题思路](1)由已知列方程组求得d和q，得{bn}的通项公式；(2)由(1)得{an}的通项公式，分n≤5、n>6两种情况利用等差、等比数列的前n项和公式求得Tn；(3)由

(1)求得Sn，分n为奇数、n为偶数两种情况，求得Sn的值域，从而得到Sn－1Sn的值域－712，56，利用－712，56[A，B]得B－A的最大值．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由题意可得32

＋2d＝－32q，32＋3d＝32q2，解得q＝－12，d＝－38，或q＝－1，d＝0，∵数列{an}是公差不为0的等差数列，∴q＝－12，∴数列{bn}的通项公式bn＝－3×－12n.(2)由(1)知an＝32＋(n－1)－38＝15－3

n8，当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝32[1－－12n]1－－12＝1－－12n，当n≥6时，Tn＝T5＋c6＋c7＋…＋cn＝T5＋8(a6＋a7＋…＋an)＝T5＋8·（n

－5）（a6＋an）2＝1－－125＋8·（n－5）－38＋15－3n82＝－32n2＋272n－92732，∴Tn＝1－－12n，n≤5，－32n2＋272n－92732，n≥6.(3)由(1)可知Sn＝321－

－12n1－－12＝1－－12n，令t＝Sn－1Sn，∵Sn>0，∴t随着Sn的增大而增大，当n为奇数时，Sn＝1＋12n在奇数集上单调递减，Sn∈1，32，t∈0，56，当n为偶数时，Sn＝1－1

2n在偶数集上单调递增，Sn∈34，1，t∈－712，0，∴tmin＝－712，tmax＝56，∵A≤Sn－1Sn≤B对n∈N*恒成立，∴－712，56[A，B]，∴B－A的最小值为5

6－－712＝1712.20．[命题立意]本题考查利用导数研究函数的单调和值域、恒成立问题、证明不等式．[解题思路](1)对f(x)求导，判正负，得f(x)的单调性，从而求得值域；(2)问题转化为ex≥k(x－1)恒成立，求k的范围．构造函数g(x)＝ex－kx＋k，对g(x)求

导，分k≤0，0<k<eπ2，k≥eπ2三种情况判断g(x)的单调性，利用g(x)min≥0求得k的范围；(3)构造函数h(x)＝ex－1＋12(x－32)2－1，对h(x)求导，判单调，求得h(x)min>0

,故h(x)>0，命题得证．[解](1)f′(x)＝ex－ex(sinx＋cosx)＝ex(1－sinx－cosx)＝ex1－2sinx＋π4＝－2exsinx＋π4－22，∵x∈0，π2，∴x＋π4∈π4

，3π4，∴sinx＋π4≥22，所以f′(x)≤0，故函数f(x)在0，π2上单调递减，故f(x)max＝f(0)＝e0－e0sin0＝1；f(x)min＝fπ2＝eπ2－eπ2sinπ2＝0，所以函数f(x)的值域为[0，1]

．(2)原不等式可化为ex(1－sinx)≥k(x－1)(1－sinx)(*)，因为1－sinx≥0恒成立，故(*)式可化为ex≥k(x－1)．令g(x)＝ex－kx＋k，则g′(x)＝ex－k，①当k≤0时

，g′(x)＝ex－k>0，所以函数g(x)在0，π2上单调递增，故g(x)≥g(0)＝1＋k≥0，所以－1≤k≤0；②当k>0时，令g′(x)＝ex－k＝0，得x＝lnk，当x∈(0，lnk)时，g′(

x)＝ex－k<0；当x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)＝ex－k>0.1)当lnk<π2，即0<k<eπ2时，函数g(x)min＝g(lnk)＝2k－klnk＝k(2－lnk)>0，2)当lnk≥π2，即k≥eπ2时，函

数g(x)在0，π2上单调递减，g(x)min＝gπ2＝eπ2－kπ2＋k≥0，解得eπ2≤k≤eπ2π2－1，综上，－1≤k≤eπ2π2－1.(3)证明：令h(x)＝ex－1＋12x－322－1，则h′(x)＝ex－1＋x－32.由h′

12＝e－12－1<0，h′34＝e－14－34>0，故存在x0∈12，34，使得h′(x0)＝0即ex0－1＝32－x0.且当x∈(－∞，x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0.故

当x＝x0时，函数h(x)有极小值，且是唯一的极小值，故函数h(x)min＝h(x0)＝ex0－1＋12x0－322－1＝－x0－32＋12x0－322－1＝12[x0－32－1]2－32＝12x0－5

22－32.因为x0∈12，34，所以12x0－522－32>1234－522－32＝132>0，故h(x)＝ex－1＋12x－322－1>0，所以ex－1>－12x－322＋1.